LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM

H0009, Introduktionskurs i matematik

Armin Halilovic

LINJÄRA EKVATIONSSYSTEM Två ekvationer med två obekanta variabler x och y. (1) ⎧ax + by = c ⎨ (2) ⎩dx + ey = f SUBSTITUTIONSMETODEN Vi löser ut en av de obekanta ur den ena ekvationen och sätter in i den andra. ⎧2 x − 3 y = 1 Exempel 1. Lös följande ekvationssystem exakt ⎨ ⎩3x + y = 7 Lösning. I andra ekvationen är det lätt att lösa ut y:

(1) (2)

1. Ekvation (2) ger y = 7 − 3x . 2. I ekvation (1) ersätter (substituerar) vi därför y med (7 − 3 x)

2 x − 3 y = 1 ersätter vi y med (7 − 3 x)

I ekvationen

2 x − 3(7 − 3 x) = 1 ⇒ 2 x − 21 + 9 x = 1 ⇒ 11x = 22 Dividera båda leden med 11 x=2 3. x = 2 insättes i y = 7 − 3x , vilket ger y = 1 Kontroll: (1) ⎧2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 1 = 1 ⎨ (2) ⎩3 ⋅ 2 + 1 = 7 Svar: x = 2 , y = 1

Exempel 2. Lös följande ekvationssystem med avseende på x och y (1) ⎧ x + 2 y = 2a + 3 ⎨ (2) ⎩2 x + 3 y = 3a + 5 Lösning. I första ekvationen är det lätt att lösa ut x: 1. Ekvation (1) ger x = 2a + 3 − 2 y 2. I ekvation (2) ersätter vi därför x med (2a + 3 − 2 y )

2(2a + 3 − 2 y ) + 3 y = 3a + 5 ⇒ 4a + 6 − 4 y + 3 y = 3a + 5 ⇒ − y = −a − 1 Multiplicera båda leden med (-1) y = a +1 3. y = a + 1 insättes i x = 2a + 3 − 2 y , vilket ger x = 2a + 3 − 2a + 2 d v s x =1 Svar: x = 1 , y = a + 1 1 av 2

H0009, Introduktionskurs i matematik

Armin Halilovic

Exempel 3. Linjerna i figuren har ekvationen y = 3x + 2 och y = x − 1 . Bestäm exakt koordinaterna för linjernas skärningspunkt.

Lösning. ⎧ y = 3x + 2 Vi ska lösa ekvationssystemet ⎨ ⎩y = x −1 I andra ekvationen ersätter vi y med ( 3 x + 2 ) vilket ger 3x + 2 = x − 1 ⇒ 2 x = −3 ⇒ −3 x= . 2 −3 −5 Vi ersätter x = i ekvationen y = x − 1 och får y = 2 2 −3 −5 , y= Svar: x = 2 2 ÖVNINGAR: ( Substitutionsmetoden) (1-4) Lös följande ekvationssystem med avseende på x och y: ⎧x + 2 y = 5 1. ⎨ ⎩3x + 2 y = 7

⎧2 x + 3 y = 1 2. ⎨ ⎩3x + y = 5

⎧ x + y = 2a + 1 3. ⎨ ⎩2 x + 3 y = 4 a + 3

⎧ x + y = a + 2b 4. ⎨ ⎩ x − 2 y = 2b − 2a

5. Bestäm exakt koordinaterna för skärningspunkten mellan de båda linjerna y = 2 x + 2 och y = x + 3 Svar: 1. x = 1 , y = 2 5. x = 1 , y = 4

2. x = 2 , y = −1 3. x = 2a , y = 1 4. x = 2b , y = a

2 av 2