loi binomiale

LOI BINOMIALE I. Schéma de Bernoulli : 1°) Épreuve de Bernoulli :

Définition : On appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues. • L'une est appelée succès, de probabilité p, notée S. • L'autre est appelée échec, de probabilité 1 – p, notée E ou S. p

S

1–p

S

Exemple : Une question d'un QCM est composée de 4 réponses, dont une seule est correcte. En répondant totalement 1 3 au hasard, un candidat a une probabilité de répondre juste de . Celle de répondre faux est donc de . On 4 4 appelle succès l’événement « répondre juste » et échec « répondre faux ». Cette expérience qui ne comporte que deux issues est donc une épreuve de Bernoulli. 2°) Schéma de Bernoulli :

Définition : On appelle schéma de Bernoulli toute expérience aléatoire consistant à répéter n fois la même épreuve de Bernoulli de façon indépendante (c'est à dire dans les mêmes conditions, les résultats des premières épreuves n'influant pas sur les résultats des suivantes). On dit que le schéma de Bernoulli est de paramètre n (le nombre de répétitions) et p (la probabilité du succès). Remarque : Un résultat d'un schéma de Bernoulli est donc une liste de n issues qui sont soit des succès, soit des échecs. Exemple : {S ; E ; S ; S ; ... ; S ; E ; E} .

p

S

1–p

S

…

p

S

1–p

…

p

S S

1–p

S

…

…

Exemple : Reprenons l'exemple précédent : un exercice comporte 3 questions. On est donc en présence d’un schéma 1 de Bernoulli de paramètres 3 et . On peut représenter les éventualités sur un arbre pondéré : 4

1/4

Issue

Probabilité

1/4

S

(S;S;S)

(1/4)3

3/4

S

(S;S;S)

(1/4)2×(3/4)1

1/4

S

(S;S;S)

(1/4)2×(3/4)1

3/4

S

(S;S;S)

(1/4)1×(3/4)2

1/4

S

(S;S;S)

(1/4)2×(3/4)1

3/4

S

(S;S;S)

(1/4)1×(3/4)2

1/4

S

(S;S;S)

(1/4)1×(3/4)2

S

(S;S;S)

(3/4)3

S

S 1/4

3/4

3/4

1/4

S

S

S 3/4

S 3/4

II. Loi binomiale : 1°) Loi binomiale :

Définition : Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. La loi de probabilité de la variable X est appelée loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n, p). Exemple : Reprenons l'exemple de l'exercice de QCM avec 3 questions comportant chacune 4 réponses possibles, une seule d'entre elles étant correcte. La variable aléatoire X qui correspond au nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,25 (c'est-à-dire B(3 ; 0,25)). Le nombre de bonnes réponses varie de 0 à 3 donc X ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3}. On obtient la loi de probabilité suivante : Valeur de X (xi) p(X = xi) = pi

0 3 4

1 3

()

1

1 3 3× × 4 4

2 2

() ()

2

1 3 3× × 4 4

3 1

() ()

1 4

3

()

Remarque : p(X=1) = p({(S ; S ; S) ; (S ; S ; S) ; (S ; S ; S)}). Nous remarquons que chacun des événements 1 3 2 × élémentaires qui composent cet événement a la même probabilité : (1 succès, 2 échecs). Pour 4 4 calculer p(X=1), il suffit donc de multiplier cette probabilité par le nombre d'événements élémentaires, qui correspond au nombre de branches de l'arbre de probabilité menant à exactement 1 succès. Ce nombre (de branches) est appelé coefficient binomiale.

()()

2°) Les coefficients binomiaux :

Définition : Dans le cas d'un schéma de Bernoulli de paramètre n et p, le nombre de chemins (branches) qui mènent à exactement k succès parmi les n succès possibles dans son arbre de probabilités est appelé coefficient n binomiale. Il est noté et se lit k parmi n. k

()

Remarque : Ce nombre correspond aussi au nombre de combinaisons possibles de k éléments parmi n, c'est à dire le nombre de façons différentes qu'on a de ranger k objets dans n boites. En effet, on peut considérer une expérience aléatoire suivant un schéma de Bernoulli comme le fait de devoir remplir n boites avec des S ou des S. Si l'on veut exactement k succès, il suffit de sélectionner k boites dans lesquels on placera des S, et on mettra ensuite des S dans les autres boites. Le nombre de chemins menant à exactement k succès correspond donc au nombre de façon différentes de choisir k boites parmi les n, c'est-à-dire le nombre de combinaison de k parmi n. Exemple : Toujours dans le même exemple, le nombre de branches qui mènent à exactement une bonne réponse est

(31) = 3. Remarque : Pour calculer le nombre de combinaison de p éléments parmi n, nous utiliserons la calculatrice. Par 5 exemple, sur la TI82, il faut aller dans le menu « math », onglet « PRB », et enfin numéro 3. Pour calculer , 3 on saisit « 5 Combinaison 3 ».

()

Exemples : À l'aide de la calculatrice,

( 42) = 6 ; (73) = 35 ; (135 ) = 1 287.

III. Calculs : 1°) Probabilité :

Propriété : X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p). Pour tout entier k, 0  k  n, P(X = k) =

  × p × (1 – p) n k

k

n–k

.

Preuve : Sur n épreuves, si on a k succès, cela signifie que l'on a n – k échecs. La probabilité d'avoir k succès suivis de n – k échecs est de pk × (1 – p)n – k. Chaque issue comportant k succès et n – k échecs à la même probabilité, quel que soit l'ordre dans lequel apparaissent ces succès et ces échecs (il s'agit d'une branche de l'arbre dans laquelle apparaît k fois la probabilité p et n – k fois la probabilité 1 – p). Il ne reste donc plus qu'à déterminer le nombre de branches de l'arbre correspondant à la situation. Comme n nous l'avons vu au II. 2°), ce nombre est de . k

()

Exemple : La probabilité qu'un candidat qui répond totalement au hasard à l'exercice de QCM obtienne exactement 2 3 ×0 , 252×0 , 75 bonnes réponses est de P(X = 2) = ≈ 14 %. 2

()

2°) Espérance et variance :

Exemple : Reprenons la loi de probabilité de notre exemple (B(3 ; 0,25) : Valeur de X (xi)

0

1

2

3 3 1 1 3 2 3× × 4 4 4 L'espérance de cette variable aléatoire est donc de

()

p(X = xi) = pi

1 2 3 × 4 4

() ()

1

() ()

3 3 1 1 3 2 1 2 3 1 1 +1×3× × + 2×3× × +3× 4 4 4 4 4 4

()

E (X) = 0×

() ()

3×

3

() ()

()

1 4

3

()

3

= 0,75.

On remarque que E (X) = 3 × 0,25 = np. Cette constatation peut être généralisée : Propriété (admise) : Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n ; p). Alors –

l'espérance est E (X) = n × p ;

–

la variance est V (X) = np(1 – p).

IV. Propriété des coefficient binomiaux : 1°) Les propriétés :

Propriétés : 1) Pour tout n ∈ ℕ*,

  = 1 et ( ) = 1; n 0

n n

( ) ( ) (symétrie des coefficients) ; 3) pour tout n ∈ ℕ , pour tout k ∈ ℕ , 1  k  n – 1, ( ) + ( n ) = ( n+1 ) . k +1 k +1 2) pour tout n ∈ ℕ*, pour tout k ∈ ℕ*, k  n , *

*

n n = k n– k n k

Preuve : 1) Avec l'arbre ; 2) si n = 0 alors k = 0, égalité vérifiée. Si n > 0, alors sur l'arbre représentant le schéma de Bernoulli,

 n k

est le nombre de chemins

réalisant k succès, donc aussi le nombre de chemin réalisant k échecs i.e. qui réalisent n – k succès. 3) Raisonnons sur le nombre de succès lors de n répétition, et ajoutons une répétition : pour obtenir k + 1 succès parmi n + 1 répétitions, il y a deux possibilités : - soit on avait k + 1 succès parmi les n premières répétitions, et lors de la (n + 1)ème répétition il faut n un échec. Cela représente donc cas ; k+1

( )

- soit on avait k succès parmi les n premières répétitions et lors de la (n + 1)ème répétition il faut un succès. Cela représente donc

(

(nk) cas ;

) ( ) ( k n+ 1)

n n+1 Donc k + 1 = k +

2°) Le triangle de Pascal :

n

k 0

1

2

3

4

5

6

7 …

À l'intersection de la ligne « n » et de la colonne « k », on lit

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

1

3

3

1

4

1

4

6

4

5

1 5 + 10 10 5

6

1

6 15 20 15 6

7

1

7 21 35 35 21 7

La propriété 1) permet de placer 1

=

n k

  =1 et   =1. n 0

n n

La propriété 3) permet de compléter les autres cases.

1

… 1

()

La propriété 2) permet de vérifier la symétrie des coefficients.

1 1 1

V. Exemple : Questions :

Un sac contient 20 jetons indiscernables au toucher. Six d’entre eux sont rouges et les autres sont bleus. 1. On tire un jeton au hasard. Quelle est la probabilités p d’obtenir un jeton rouge ? 2. On tire successivement 6 jetons un à un, avec remise. a) Quelle est la probabilité p1 d’obtenir exactement trois jetons rouges ? b) Quelle est la probabilité p2 d’obtenir exactement un jeton rouge ou un jeton bleu ? c) Quelle est la probabilité p3 d’obtenir au moins quatre jetons rouges ? Réponses :

1.

p=

6 =0 , 3 . 20

2. Il s’agit d’un schéma de Bernoulli car le jeton est soit rouge, soit bleu et les tirages n’ont donc que deux issues possibles et sont indépendants. Soit X le nombre de jetons rouges tirés, alors : a) p1 = P(X = 3) =

(63) ×0,3 ×0,7 ≈ 0,185. 3

3

()

()

b) p2 = P((X =1) ∪ (X = 5)) = P(X = 1) + P(X = 5) = 6 ×0,31×0,75 + 6 ×0,35×0,71 ≈ 0,313. 1 5 c) p3 = P((X = 4) ∪ (X = 5) ∪ (X = 6)) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) =

(64) ×0,3 ×0,7 + (65) ×0,3 ×0,7 + (66) ×0,3 ×0,7 ≈ 0,07 4

2

5

1

6

0