Loi binomiale

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Loi binomiale 1

Loi de Bernoulli

Définitions : Soit une expérience aléatoire présentant deux issues : l’une appelée « succès » et notée S et l’autre appelée « échec » et notée E. On note p la probabilité de succès. • Cette expérience aléatoire s’appelle épreuve de Bernoulli de paramètre p. • La variable aléatoire qui prend la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d’échec s’appelle variable aléatoire de Bernoulli. • La loi de probabilité de cette variable aléatoire s’appelle loi de Bernoulli de paramètre p. Exemple : Un joueur lance un dé cubique bien équilibré. Le joueur gagne lorsque le résultat est « 6 ». 1 Il s’agit d’une épreuve de Bernoulli de paramètre p= . 6 xi La loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli est résumée dans le tableau P(X=xi ) suivant

1 1 6

0 5 6

Propriété : Soit X une variable aléatoire. Si X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors l’espérance de X est E( X)=p. Preuve : E( X)=0×(1−p)+1×p =p

2

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Définitions : • Une expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière identique et indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p est appelée schéma de Bernoulli de paramètres n et p. • La loi de probabilité de la variable aléatoire X correspondant au nombre de succès au cours des n épreuves est appelée loi binomiale de paramètres n et p et est notée B( n,p). Exemple : Un joueur lance un dé cubique bien équilibré neuf fois de suite. On s’intéresse au nombre de fois où le résultat est « 6 ». 1 La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres n=9 et p= . 6 Loi binomiale dans le cas où n=2 : • L’issue formée de 0 succès est EE, donc, d’après l’arbre de probabilité, 2 P( X=0)=( 1−p) . • Les issues formées d’un seul succès sont SE et ES, d’où P( X=1)=p ×(1−p)+(1−p)×p=2p(1−p). • L’issue formée de 2 succès est SS, d’où P( X=2)= p 2.

issues

p

S

1−p

E

p

S

1−p p

E S

1−p

E

SS SE ES EE

Loi binomiale pour n=2 :

xi P(X=xi )

0 2 ( 1−p)

1 2p(1−p)

2 p2

Loi binomiale dans le cas où n=3 : issues

p

S

1−p

p

S

1−p

E

p

S

1−p

E

E

p

S

1−p p

E S

1−p

E

p

S

1−p p

E S

1−p

E

SSS SSE SES SEE ESS ESE EES EEE

3

• L’issue formée de 0 succès est EEE, d’où P( X=0)=( 1−p) . • Les issues formées d’un seul succès sont SEE, ESE et EES, 2 2 2 2 d’où P( X=1)=p×(1−p) + p×(1−p) + p×(1−p) =3p(1−p) . • Les issues formées de 2 succès sont SSE, SES et ESS, d’où P ( X=2)= p 2 ×(1−p)+ p 2 ×(1−p)+ p 2 ×(1−p)=3p 2 (1−p). • L’issue formée de 3 succès est SSS, d’où P( X=3)= p 3. Loi binomiale pour n=3 : xi P(X=xi )

0 3 ( 1−p)

1 2 3p(1−p)

2 3p 2 (1−p)

3 p3

Lorsque ܺ suit une loi binomiale, on a vu dans les cas où ݊ = 2 ݁‫ = ݊ ݐ‬3 que, pour calculer la probabilité d’avoir ݇ succès, on commence par noter toutes les issues formées de ݇ succès et de ݊ − ݇ échecs. n− k D’après une propriété des arbres pondérés, ces issues ont toutes la même probabilité p k ×(1−p) . Il est donc nécessaire d’en connaître le nombre. On s’intéresse ainsi au nombre de chemins de l’arbre formé de ݇ succès exactement (et donc de ݊ − ݇ échecs). Définition : Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n. n Le coefficient binomial   est le nombre de chemins réalisant k succès pour n répétitions dans l’arbre k  d’un schéma de Bernoulli.

 2  2  2 3  3 Exemple : D’après les cas étudiés précédemment,   =1,   =2,   =1,   =1,   =3, 0 1   2  0 1  Méthodes : • Pour calculer les coefficients binomiaux, on peut utiliser la calculatrice ou un tableur :

3   =3 et  2

 3   =1.  3

• Sur Texas : touche MATH , puis PRB, puis Combinaison (syntaxe : n Combinaison k). • Sur Casio : touche OPTN , puis , puis PROB, puis nCr (syntaxe : n nCr k). • Sur Excel : fonction COMBIN (syntaxe : =COMBIN(n;k)). • Pour obtenir les coefficients binomiaux, on peut aussi utiliser le « triangle de Pascal » : valeurs de n 0 1 2 3 4 5 …

0 1 1 1 1 1 1

1

2

1 2 3 4 5

1 3 6 10

3

1 4 10

4

5

valeurs de k



n valeurs de   k 1 5

1

Pour construire le tableau, on utilise la relation  n + 1  n   n    =  +   k + 1   k   k + 1

Propriété : Formule générale de la loi binomiale Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètre n et p, alors pour tout entier k compris entre 0 et n : n n− k P( X=k)=   p k ×(1−p) . k

n Preuve : Dans l’arbre du schéma de Bernoulli, il y a   chemins réalisant k succès. Donc l’événement « X= k » est k n n− k formé de   issues. De plus, ces issues ont toutes la même probabilité p k ×(1−p) . D’où le résultat. k   Méthodes : • Pour calculer p( X=k), on peut utiliser la calculatrice ou un tableur : • Sur Texas : menu Distrib ( 2nde

var ), puis binomFdp (syntaxe : binomFdp(n,p,k)).

• Sur Casio : touche OPTN , puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bpd (syntaxe : BinominalPD(k,n,p). • Sur Excel : fonction LOI.BINOMIALE (syntaxe : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;FAUX)). • Pour calculer p( XÂk), on peut utiliser la calculatrice ou un tableur : • Sur Texas : menu Distrib ( 2nde

var ), puis binomFrép (syntaxe : binomFrép(n,p,k)).

• Sur Casio : touche OPTN , puis STAT, puis DIST, puis BINM, puis Bcd (syntaxe : BinominalCD(k,n,p). • Sur Excel : fonction LOI.BINOMIALE (syntaxe : =LOI.BINOMIALE(k;n;p;VRAI)). Propriété : L’espérance mathématique la loi binomiale de paramètre n et p est µ=n×p.

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