Loi binomiale 4 - Les leçons de mathématiques à l`oral du CAPES

Leçon no

4

Loi binomiale

Niveau Prérequis Références

9

Première S + SUP (Convergence) Variable aléatoire, espérance, variance, théorème limite central, loi de Poisson [11], [12], [13], [14]

4.1 Loi de Bernoulli Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). On note p la probabilité de succès. Soit X la variable aléatoire qui est égal à 1 en cas de succès et 0 sinon. Alors, on dit que X suit un loi de Bernoulli de paramètres p. On note alors X ∼ Bern(p). Définition 4.1 — Loi de Bernoulli.

R

4.2

Si X ∼ Bern(p), on notera :

P (X = 1) = p

et

P (X = 0) = 1 − p = q.

On lance un dé non pipé. On note X la variable aléatoire qui prend comme valeur 1 si la face 6 apparaît lors du lancer et 0 sinon. La variable aléatoire X est une variable aléatoire qui suit la loi de Bernoulli de paramètres 1/6. Donc X ∼ Bern(1/6). 



Exemple 4.3

Lemme 4.4

Si X ∼ Bern(p) alors X 2 ∼ Bern(p).

Développement • Preuve On a X 2 (Ω) = {0, 1} et :

P (X 2 = 1) = P (X = 1) = p

donc X 2 ∼ Bern(p). Proposition 4.5

•

Si X ∼ Bern(p) alors :

1. E(X) = p

2. Var(X) = pq. Développement • Preuve On a : et :

E(X) = P (X = 0) × 0 + P (X = 1) × 1 = q × 0 + p × 1 = p, Var(X) = E(X 2 ) − E(X)2 = E(X 2 ) − p2

or X 2 ∼ Bern(p), donc on a : E(X 2 ) = E(X) = p. Ainsi, Var(X) = p − p2 = pq.

4.2 Loi binomiale

•

10

Leçon no 4 • Loi binomiale

Soit Ω l’univers associé à une expérience aléatoire. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω. On dit que X suit une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0 , 1] lorsque :

Définition 4.6 — Loi binomiale.

1. X(Ω) = {0, 1, . . . , n} ;

2. pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, P (X = k) =

n
k k p (1

− p)n−k =

n
k n−k . k p q

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p alors on note X ∼ Bin(n, p).

R

4.7

Soit X ∼ Bin(n, p). On a bien défini une variable aléatoire car : n n  0 k X X nk P (X = k) = q n−k = [p + (1 − p)]n = 1. p k=0

k=0

Soit E une épreuve comportant deux issues (succès et échec). On note p la probabilité de succès. On note n fois, de façons indépendantes, l’épreuve E. Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de succès. Alors : X suit une loi binomiale de paramètres n et p.

Théorème 4.8

Développement • Preuve La probabilité d’avoir k succès suivis de n−k succès suivis de n−k échecs est : pk (1−p)n−k . Mais les succès et les échecs n’apparaissent pas nécessairement dans cet ordre. On considère l’ensemble des « mots »de
n lettres qui ne contiennent que des S (Succès) et des E (Échecs). On sait qu’il y en a exactement np qui contiennent exactement k fois la lettre S (et donc n − k fois la lettre E). On en déduit m   n k P (X = k) = p (1 − p)n−k p et ceci pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}.

R

•

4.9

1. La probabilité d’avoir n succès : P (X = n) = pn et d’avoir aucun succès P (X = 0) = q n . Par conséquent, la probabilité d’avoir au moins un succès est : P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − q n .

2. La loi de Bernoulli est un cas particulier de la loi binomiale où l’épreuve E n’est réalisée qu’une seule fois. 3. Toute variable aléatoire X suivant une loi binomiale de paramètres n ∈ N∗ et p ∈ [0 , 1] peut s’écrire comme somme X = X1 + · · · + Xn où, pour tout k ∈ {0, 1, . . . , n}, Xk est une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre p (Xk vaut 1 en cas de succès à la k e réalisation de E et 0 sinon).

La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 43 . On suppose qu’il fait deux tirs et on note X la variable aléatoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus (X = 0, 1 ou 2). 

Exemples 4.10

1. Calculer la probabilité des événements {X = 0}, {X = 1} et {X = 2}.

2. Calculer

P2

k=0 P (X

= k).

3. On suppose qu’il fait sept tirs et on note Y la variable aléaoire associant à cette épreuve le nombre de succès obtenus. Calculer P (X = 1) et P (X = 2). 

11

4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux Théorème 4.11 — Espérance et variance d’une loi binomiale.

p ∈ [0 , 1] alors :

E(X) = np

Si X ∼ Bin(n, p) avec n ∈ N∗ et

Var(X) = npq.

et

Développement • Preuve Puisque X ∼ Bin(n, p), il existe des variables aléatoires (réelles) X P1 ,nX2 , . . . , Xn définies sur Ω indépendantes, de loi de Bernoulli de même paramètre p telles que X = i=1 Xi . Par linéarité de l’espérance : ! n n X X E(X) = E Xi = E(Xi ) i=1

et d’après ce qui précède :

E(X) =

i=1

n X

p = np.

i=1

De même pour la variance : Var(X) = Var

n X

Xi

i=1

!

=

n X

Var(Xi ) =

i=1

n X i=1

pq = npq. •

La probabilité qu’un tireur atteigne sa cible est p = 34 . On suppose qu’il tire n = 7 fois. On note X la variable aléatoire associant à cette expérience aléatoire le nombre de succès obtenus. Calculer son espérance et sa variance.  

Exemple 4.12

4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux 4.3.1 Définitions et propriétés Soient n et p deux entiers naturels et E un ensemble contenant n éléments. Un sous-ensemble de E contenant p éléments est appelé une combinaison de p éléments de E.

Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté np ou np .

Définition 4.13 — Combinaisons.

Pour gagner au Loto, il faut trouver 3 numéros parmi 5. On veut savoir combien il y a de grilles possibles. Considérons une grille quelconque (c’est-à-dire une 3-combinaison de l’ensemble des 5 numéros) : par exemple {1, 3, 4}. Il y a 3! façons possibles d’ordonner ces nombres. Or, il y a 5
× 3! suites de 3 nombres ordonnées. Mais, on compte 5 × 4 × 3 de ces dernières suites. Donc : 3 

Exemple 4.14

5 3

!

=

5×4×3 . 3!



On peut maintenant généraliser la formule :

12

Leçon no 4 • Loi binomiale

Proposition 4.15

Le nombre de p-combinaisons d’un ensemble contenant n éléments est noté n p

!

n(n − 1)(n − 2) · (n − (p − 1)) p! n! = p!(n − p)!

=

(4.1) (4.2)

Développement • Démonstration de la proposition 4.15 On part de la formule (4.1) pour arriver à la formule (4.2) :   n n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) = p! p n(n − 1)(n − 2) · · · (n − p + 1) (n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1 = p! (n − p)(n − p − 1) · · · 2 × 1 n! = p!(n − p)! Une autre façon de voir la formule (4.2). Il y a Apn manières de tirer p objets parmi n en les ordonnant soit n! Apn = . (n − p)! Une fois les p objets tirés, il y a p! manières de les ordonner. Il y a donc parmi sans les ordonner. D’où   n 1 n! Ap . = n = p p! p! (n − p)!

Définition 4.16 — Coefficients binomiaux.

Ap n p!

manières de tirer p objets

Soit p un entier naturel non nul. Les nombres

appelés les coefficients binomiaux. Proposition 4.17 — Formule de Pascal.

n p

• n
p

sont

Soit n, p ∈ N tel que p < n. On a :

!

=

!

!

n−1 n−1 + . p p−1

Développement • Démonstration de la formule de Pascal Soit un ensemble E à n éléments. On suppose que l’on a « extrait » une partie à p éléments. Si l’on retire un élément {a} à E, c’est soit un élément de la combinaison, soit non. Dans le premier cas, les p − 1 restants forment une partie de l’ensemble E \ {a} de cardinal n − 1, et dans le second, ce sont les p éléments qui forment une partie de E \ {a}. Cette union étant disjointe, les cardinaux s’ajoutent pour aboutir à l’égalité demandée. • Proposition 4.18 — Formule itérée de Pascal. n X

k=p

Soit p ≤ n deux entiers naturels. Alors k p

!

=

!

n+1 . p+1

13

4.3 Propriétés sur les coefficients binomiaux

n\p 0 1 2 3 .. .

0 1 1 1 1 .. .

1

2

3

···

1 2 3 .. .

1 3 .. .

1 .. .

..

.

F IGURE 4.1 – Triangle de Pascal

Développement • Démonstration de la formule itérée de Pascal On effectue une récurrence sur l’entier n. Initialisation Lorsque n = p, les deux membres valent 1. Hérédité On suppose que la formule est vraie au rang n et on montre qu’elle est encore vraie au rang n+1:   n+1 n   X k  X k n+1 = + p p p k=p

k=p

et d’après l’hypothèse de récurrence, n+1 X k   p + 1  n + 1 n + 2 = + = . p n+1 p p+1 k=p

La dernière égalité est justifiée par l’emploi de la formule de Pascal.

•

On note A = C (ou R ou Q ou Z).

Théorème 4.19 — Formule du binôme.

∀n ∈ N,

Soient deux éléments a, b de A qui commutent. Alors : (a + b) = n

n X

k=0

!

n k n−k a b . k

Développement • Démonstration de la formule du binôme de Newton On démontre la formule par récurrence sur n. Initialisation Lorsque n = 0, les deux membres sont égaux à 1 (avec le cas échéant la convention 00 = 1). Hérédité On suppose que la formule est vraie au rang n et on montre qu’elle est encore vraie au rang

14

Leçon no 4 • Loi binomiale

n + 1. (a + b)n+1 = (a + b)(a + b)n = (a + b) =

n   X n

k k=0 n+1 X

n   X n

k

k=0

ak bn−k+1 +

n   X n

k=0

k

ak bn−k

ak bn−k+1

 n   X n n k n−k+1 = ak bn−k+1 + a b k−1 k k=1 k=0  n  n   X X n n k n−k+1 n+1 k n−k+1 n+1 =a + a b +b + a b k−1 k k=1 k=1        n  n + 1 0 n+1 X n n n + 1 n+1 0 k n+1−k = a b + ( + )a b + a b 0 k−1 k n+1 k=1 n+1 X n + 1  = ak bn−k . k k=0

La dernière égalité utilise la formule de Pascal pour l’addition des deux coefficients binomiaux. • R

4.20

Certains auteurs définissent le coefficient binomial comme le coefficient du monôme ak bn−k dans le développement de l’expression (a + b)n en remarquant que ce développement est homogène en a et b.

Corollaire 4.21

1. 2.

On a les égalités suivantes :

n
n k=0 k = 2 ,
Pn k n k=0 (−1) k =

Pn

0.

Développement • Démonstration du corollaire 4.21 1. On utilise le binôme de Newton avec a = 1 et b = 1. 2. On utilise le binôme de Newton avec a = −1 et b = 1.

R

4.22

•

On remarque que l’égalité 1 du corollaire 4.21 traduit le fait que le nombre de parties d’un ensemble à n éléments est 2n . En effet, ce nombre est la somme des nombres de parties ayant respectivement 0, 1, . . . éléments (le cardinal d’une union disjointe est la somme des cardinaux), ce qui correspond bien à la somme indiquée.

Proposition 4.23 — Formule de Van der Monde.

l’égalité :

m+n p

!

=

Pour tous entiers m, n et p tels que p ≤ m + n, on a p X

k=0

!

m k

!

n . p−k

15

4.4 Stabilité additive de la loi binomiale

Développement • Démonstration de la formule de Van der Monde Soit x un réel. Alors : m+n X m + n (1 + x)m (1 + x)n = (1 + x)m+n = xp . p p=0 Or

! n    m   m X n    X X n X m m n i+j m n i  j = x x (1 + x) (1 + x) = x i j i j i=0 j=0 i=0 j=0            m n m n m n = + ( + )x 0 0 0 1 1 0            m n m n m n + ( + + )x2 + · · · 0 2 1 1 2 0 m+n X  X mn
 = xp . i j p=0 i,j>0 i+j=p

Par identification des coefficients de ce polynôme de degré p, on obtient finalement que, pour tout entier 0 ≤ p ≤ m + n,    p   X mn X m+n m n . = = p i j i p−i i,j>0 i=0 i+j=p

•

4.4 Stabilité additive de la loi binomiale Théorème 4.24 — Stabilité additive de la loi binomiale.

et Y indépendantes, alors X + Y = Bin(m + n, p).

Soit (Ai )1≤i≤n une suite d’événements. On note : Développement

Si X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) avec X

`n

i=0 Ai

si les événements sont disjoints.

• Preuve On pose S = X + Y . On a clairement S(Ω) = {0, . . . , m + n}. Calculons P (S −1 (k)) pour tout 1 ≤ k ≤ m + n : S

−1

(k) =

k a

X −1 (i) ∩ Y −1 (k − i).

k X

P (X −1 (i) ∩ Y −1 (k − i)).

i=0

D’où : P (S

−1

(k)) =

i=0

Et comme X et Y sont indépendantes : P (S

−1

(k)) =

k X i=0

P (X −1 (i))P (Y −1 (k − i)).

16

Leçon no 4 • Loi binomiale

Comme X ∼ Bin(m, p) et Y ∼ Bin(n, p) :   k   X m i n P (S −1 (k)) = p (1 − p)m−i pk−i (1 − p)n−(k−i) i k − i i=0 ! k   X m n = pk (1 − p)m+n−k . i k − i i=0
n

Pk m m+n Et comme i=0 i k−i = k .   m+n k −1 P (S (k)) = p (1 − p)m+n−k . k Donc S ∼ Bin(m + n, p).

•

4.5 Convergence 4.5.1 Vers la loi de Poisson Lorsque n tend vers l’infini et que simultanément pn → 0 de sorte que limn npn = a > 0, la loi binomiale de paramètres n et pn converge vers la loi de Poisson de paramètre a. En pratique, on remplace la loi binomiale par une loi de Poisson dès que n > 30 et np < 5 ou dès que n > 50 et p < 0.1.

Théorème 4.25

Développement • Preuve On décompose P (X = k) :   n k n(n − 1) · · · (n − k + 1) k p (1 − pn )n−k = pn (1 − pn )n−k k n k!      (npn )k 1 2 k−1 = 1− 1− ··· 1 − (1 − pn )n−k . k! n n n On se place dans la situation où pn est équivalent à na en l’infini.


tendent vers 1. Le produit — Lorsque n tend vers l’infini, les facteurs 1 − n1 , 1 − n2 , . . ., 1 − k−1 n de ces termes tend également vers 1 puisqu’ils sont en nombre fini fixé k. — On a : (1 − pn )n−k = (1 − pn )n (1 − pn )−k ,

or, limp→0 (1 − p)−k = 1 et de plus, (1 − pn )n ' (1 − na )n et ce dernier terme tend vers e−a quand n tend vers l’infini. On trouve donc :   n k ak −a lim pn (1 − pn )n−k = e , n→+∞ k k! qui est la probabilité de k pour la loi de Poisson de paramètre a.

•

4.5.2 Vers la loi normale Soit (Xn )n une suite de variable aléatoires indépendnates de même loi de Bernoulli Bern(p) et Sn = X1 + · · · + Xn suit la loi binomiale Bin(n, p). D’après le théorème central limite, la loi de Sn peut re approximée par la loi normale N(E(Sn ), Var(Sn )),

Théorème 4.26

17

4.6 Échantillonnage

c’est-à-dire par la loi N(np, npq). R

4.27

En pratique, lorsque n ≥ 30, np ≥ 15 et npq > 5, la loi binomiale Bin(n, p) peut être approximée par la loi normale N(np, npq).

4.6 Échantillonnage 4.6.1 Premier problème : proportion de boules dans une urne Dans une urne contenant une dizaine de boules, il y a 2 boules noires et 8 boules blanches. La proportion de boules noires est donc de 1/5. On pioche dans l’urne avec ordre et remise une vingtaine de boules et on s’intéresse à la proportion de boules noires obtenues. Cette expérience a été recommencée 100 fois à l’aide d’un tableur et voici les proportions obtenues. Proportion Nb d’échantillons 1. 2. 3. 4.

0 0

0, 05 9

0, 1 13

0, 15 20

0, 2 27

0, 25 16

0, 3 9

0, 35 5

0, 4 0

0, 45 1

0, 5 0

Total 100

Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 ? Quel est le nomb re d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 ? Quel est le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires entre 0, 1 et 0, 4 ? Le but de cette partie est de retrouver par le calcul ce dernier nombre. On considère la variable aléatoire X qui lors de l’expérience compte le nombre boules noires obtenues. (a) Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. (b) Calculer P (2 ≤ X ≤ 8). (c) En déduire la probabilité que la proportion de boules noires soit comprise entre 0 et 0, 4.

• Solution Proportion Nb d’échantillons

0 0

0, 05 9

0, 1 13

0, 15 20

0, 2 27

0, 25 16

0, 3 9

0, 35 5

0, 4 0

0, 45 1

0, 5 0

Total 100

1. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 3 est 9. 2. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires de 0, 6 est 0. En effet, tous les échantillons sont déjà dans le tableau. 3. Le nombre d’échantillons qui ont une proportion de boules noires comprise entre 0, 1 et 0, 4 est 13 + 20 + 27 + 16 + 9 + 5 = 90. Soit 90%. 4. (a) On recommence 20 fois de manière indépendante une expérience ayant deux issues possibles, succès ou échec. La variable aléatoire qui compte le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres 20 et 1/5. (b) P (2 ≤ X ≤ 8) = 0, 92. (c) On cherche la probabilité que la proportion de boules noires dans un échantillon soit comprise entre 0, 1 et 0, 4 ; c’est-à-dire la probabilité qu’il y ait entre 10% et 40% de boules noires. Or chaque échantillonnage contient 20 boules. Ainsi 10% de boules noires pari ces 20 boules représente exactement 2 boules noires. De même 40% représente 8 boules noires. Finalement, chercher la probabilité que la proportion de boules noires dans les échantillonnages soit comprise entre 0, 1 et 0, 4 revient à chercher la probabilité de piocher entre 2 et 8 boules noires parmi les 20 boules. C’est exactement la probabilité que l’on a calculé à la question 4b, soit 0, 92. Ce qui correspond à peu près au 90% trouvé grâce au tableau.

18

Leçon no 4 • Loi binomiale •

4.6.2 Second problème : proportion de camions sur une autoroute Sur une autoroute, la proportion des camions par rapport à l’ensemble des véhicules est 0, 07. 1. Soit X le nombre de camions parmi 100 véhicules choisis au hasard. Calculer P (X ≥ 5).

2. Soit Y le nombre de camions parmi 1000 véhicules choisis au hasard. Calculer P (65 ≤ Y ≤ 75). 3. On choisit n véhicules au hasard. Pour quelles valeurs de n peut-on affirmer que la proportion de camions est entre 0, 06 et 0, 08 avec un risque d’erreur inférieur à 5% ? • Solution 1. Soit X une variable aléatoire de loi binomiale Bin(100, 0.07). 100 ≥ 30, 100×0, 07 = 7 < 15, 0, 07 ≤ 0, 1 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi de Poisson Pois(7) et : P (X ≥ 5) ≈ 1 − e−7

4 X 7k

k=0

k!

≈ 0, 827.

2. Y suit la loi binomiale Bin(1000, 0.07). 1000 ≥ 30, 1000 × 0, 07 = 70 ≥ 15, 70 × 0, 93 = 64, 1 > 4 donc l’approximation à utiliser est celle par la loi normale N(70, 65.1) et si F désigne la fonction de répartition de la loi N(70, 65.1),     5.5 5.5 − Φ −√ P (65 ≤ Y ≤ 75) ≈ F (75.5) − F (64.5) = Φ √ 65.1 65.1   5.5 = 2Φ √ − 1 ≈ 2Φ(0.68) ≈ 0.5 65.1

3. On choisit n véhicules au hasard. Le nombre Sn des camions parmi ces n véhicules suit la loi binomiale Bin(n, 0.07) et la proportion des camions est Snn . On cherche n tel que
P Snn − 0.07 ≥ 0.01 = 0.05. Si n ≥ 30, 0.07n ≥ 15 et 0.07 × 0.93 × n > 5, c’est-à-dire n ≥ 215, on peut approximer la loi de Sn Sn 0.0651 0.065 n par la loi normale N(0.07, n ) et la loi de n − 0.07 par la loi normale N(0, n ). On a alors :   √     √ Sn n Sn n 1 √ √ P − 0.07 ≥ 0.01 = P − 0.07 ≥ n 0.0651 n 0.0651 100   √  n ≈ 0.05 ≈2 1−Φ √ 651  √  n On a donc Φ √651 ≈ 0.975 ≈ Φ(1.96) et n ≈ 1.962 × 651 ≈ 2501. 2501 ≥ 90, ce qui légitime l’approximation. •

4.7 Loi multinomiale Le vecteur aléatoire N suit la loi multinomiale de paramètres n et (p1 , . . . , pd ) où n ∈ N∗ et les pi sont strictement positifs et de somme 1 si pour tout d-uple (j1 , j2 , . . . , jd ) d’entiers tels que j1 + j2 + · · · + jd = n,

Définition 4.28 — Loi multinomiale.

P [N = (j1 , j2 , . . . , jd )] =

n! pj11 pj22 · · · pjdd . j1 !j2 ! · · · jd !

19

4.7 Loi multinomiale

On considère 20 tirages d’une boule avec remise dans une urne contenant 1 boule bleue, 3 jaunes, 4 rouges et 2 vertes. Notons N = (N1 , N2 , N3 , N4 ) où Ni est le nombre de boules de la couleur i en numérotant les couleurs par ordre alphabétique (b,j,r,v). On a (p1 , p2 , p3 , p4 ) = 1 3 4 2 ( 10 , 10 , 10 , 10 ). La probabilité d’obtenir en 20 tirages 3 bleues, 5 jaunes, 10 rouges et 2 vertes est : 

Exemple 4.29

20! P (N = (3, 5, 10, 2)) = 3!5!10!2!



1 10

3 

3 10

5 

4 10

10 

2 10

2

' 0, 004745. 

20

Leçon no 4 • Loi binomiale

Bibliographie

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