loi binomiale

LOI BINOMIALE

Généralités : 1 C

1   On suppose que la variable aléatoire X suit une loi binomiale B  50;   10  1) Calculer P(X = 0) ; P(X = 1) ; P(X = 2) ; P(X = 3) ; P (X = 10) ; P (X ≤ 1) ; P(X ≥ 4). 2) Calculer E(X) et σ(X)

2 C

 1  On suppose que la variable aléatoire X suit une loi binomiale B  n;   100  1) Déterminer n pour que P(X = 0) ≤ 0,02. 2) Déterminer n pour que P(X ≥ 1) ≤ 0,90.

3 C

La variable X suit la loi binomiale n = 10 et p = 0,8. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : (X ≤ 4) ; B : (X < 8)?

4 C

Démontrer que pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a :

P(X = k + 1) n − k p = × P(X = k) k +1 1 −p

Application : Pour la loi binomiale telle que n = 5 et p = 0,2, calculer : P(X = 1), P(X = 2), P(X = 3), P(X = 4) et P(X = 5). Quelle est pour X la valeur la plus probable ? 5 C

Calcul de l’espérance et de la variance de la loi binomiale On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ;p) où : pk = P(X=k)= n

(nk ) p (1-p) k

n-k

.

On pose f(x)=(px+1-p) . 1)

Calculer f’(x) et f’’(x) puis f’(1) et f’’(1).

2)

Vérifier que f(x) =

n

∑p x k

k

. Calculer de nouveau f’(x) et f’’(x) puis f’(1) et f’’(1).

k =0

3)

6 C

Déduire des calculs précédents les valeurs de E(X) et Var(X).

 1 Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B n;  avec n entier supérieur ou égal à 2.  n n

1)

 n −1  Montrer que P(X = 0) =   .  n  n−1

2) 3) 4)

7 C

 n−1  Montrer que P(X = 1) =    n  En étudiant ces suites à l’aide de la calculatrice, déterminer leurs variations et une valeur approchée de leur limite. P(X = 0) Montrer que converge vers 1. Interpréter ce résultat. P(X = 1)

Voici le tableau incomplet d’une loi de probabilité : Xi Pi

0 27 125

1

2

3 8 125

Sachant que c’est une loi binomiale, retrouver les paramètres n et p et compléter le tableau. Indice : Le paramètre n étant le nombre de répétitions, c’est aussi le nombre maximum de succès. Pour n répétitions, la n probabilité de n succès est p .

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LOI BINOMIALE Exercices et problèmes : 1 C

On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de « piles » obtenus. 1) Montrer que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. 2) Donner les valeurs de P(X=k) dans un tableau. 3) Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois « pile » ? La probabilité de n’obtenir aucun « pile » ? La probabilité d’obtenir 2 « faces » ?

2

On choisit une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes. 1) Quelle est la probabilité de tirer un cœur ? 2) On répète n fois cette expérience avec remise dans le jeu après chaque tirage. Préciser la loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre des cœurs obtenus au cours des n tirages. 3) Déterminer n pour que la probabilité de tirer au moins un cœur au cours de ces n tirages soit au moins égale à 0,5.

3 C

A la sortie d’une chaine de fabrication, on a constaté que 2% des pièces fabriquées sont défectueuses. 1) Quelle est la probabilité pour que dans un lot de 20 pièces, 3 exactement soient défectueuses ? 2) Quelle est la probabilité pour que 3 au moins soient défectueuses dans ce lot ? 3) Quelle est la probabilité pour qu’une pièce au plus soit défectueuses ?

4

1) 2) 3)

On lance deux dés équilibrés : quelle est la probabilité d’obtenir un double six ? On lance ces deux dés 15 fois de suite. Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois fois un double six ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins trois fois un double quelconque ?

5

Une roue de loterie comporte 10 numéros de 0 à 9. Tous les numéros ont la même probabilité de « sortir ». On joue le n°7 dix fois de suite : X désigne le nombre de fois où le 7 sort. 1) Quelles valeurs peuvent prendre X ? Quelle est la loi de X ? 2) Quelle est la valeur la plus probable ? Calculer E(X) et V(X).

6 C

Dans une entreprise, un quart du personnel a suivi un stage de formation. On choisit au hasard 10 personnes de cette entreprise et on suppose que l’effectif est suffisamment important pour que ce choix soit assimilable à un tirage avec remise. -4 Calculer la probabilité, à 10 près que 4 personnes choisies aient suivi un stage de formation.

7 C

Un démarcheur propose des appareils ménagers à domicile. Des études statistiques ont montré que la probabilité qu’un client passe commande est 0,07. Il visite 10 clients par jour.

8 C

1) 2) 3)

Soit X la variable aléatoire égale au nombre d’appareils ménagers vendus en une journée : déterminer la loi de X. Calculer E(X) Un appareil ménager coûte 800 €. Le vendeur reçoit une commission de 10 % pour chaque appareil vendu. Ses frais journaliers s’élèvent à 25€. Soit Y la variables aléatoire égale à son gain journalier. Déterminer la loi de Y et E(Y).

1)

Une grande enveloppe contient les douze figures d’un jeu de carte. On tire simultanément et au hasard 5 cartes de l’enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X. Dans la même enveloppe, on effectue successivement 5 fois le tirage au hasard d’une carte que l’on remet à chaque fois dans l’enveloppe. Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des 5 tirages. Déterminer la loi de probabilité de Y. Calculer les espérances mathématiques de X et Y.

2)

3) 9 C

Un sac contient 36 boules indiscernables au toucher avec équiprobabilité de tirages : 2 blanches, 2 rouges, les autres étant vertes. 1) On tire simultanément et au hasard, trois boules du sac. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : on obtient une boule de chaque couleur. B : il n’y a pas de verte parmi les trois boules tirées. C : il n’y a qu’une seule verte parmi les trois boules tirées. 2) On tire maintenant trois fois de suite une boule dans le sac avec remise à chaque fois. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues après ces trois tirages. Donner la loi de probabilité de X. 3) On suppose maintenant que le sac contient encore 36 boules, dont n blanches et n rouges et les autres vertes ( n quelconque avec 1 ≤ n ≤ 17 ) et on tire simultanément trois boules sans remise du sac. Calculer P(A) en fonction de n ; déterminer n pour que cette probabilité soit maximum. Calculer P(B) ; à partir de quelle valeur de n a-t-on : P(B) > 0,6 ? Calculer P(C) ; trouver n pour que P(C) > 0,5.

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LOI BINOMIALE 10

Un joueur participe à un jeu défini de la façon suivante : on lance 3 pièces de monnaies simultanément. on gagne 10 € s’il apparaît 3 faces on gagne 7 € s’il apparaît 2 faces on gagne 3 € s’il apparaît 1 face on perd 30 € s’il n’apparaît que des cotés piles On suppose que les pièces de monnaies sont bien équilibrées. On désigne par X la variable aléatoire représentant le résultat obtenu. 1) Etablir la loi de probabilité de X. 2) Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat strictement inférieur à 7 3) Déterminer la probabilité d’obtenir un résultat strictement supérieur à 4. 4) Calculer l’espérance de X. 5) Ce jeu est-il équitable, favorable ou défavorable pour le joueur ?. 6) Combien le joueur devrait-il perdre lorsqu’il n’obtient que des piles pour que le jeu lui soit équitable ?

11

Des études statistiques montrent que lors d’une naissance, la probabilité d’avoir un garçon est d’environ 51 %. On choisit au hasard une famille de 4 enfants où l’on suppose les fécondations indépendantes. 1) Expliquer pourquoi cette situation peut être modélisée par une loi binomiale. 2) Calculer la probabilité que dans cette famille il y ait au moins 1 garçon.

12

On lance une pièce de monnaie équilibrée 10 fois de suite. Calculer la probabilité d’obtenir exactement 6 fois piles.

13 C

Une chaine de supermarché vend des sacs à ses clients pour le transport de leurs achats. On suppose que la probabilité qu’un sac soit défectueux est 0,03. Les sacs sont livrés par lots de 10 et leurs défectuosités sont supposées indépendantes. X est la variable aléatoire qui compte le nombre de sacs défectueux dans un lot de 10. 1) 2) 3)

14

Une compagnie bancaire propose des placements sous forme de produits financiers. La banque constate que le produit de type A a intéressé 10% de sa clientèle par le passé. Un sondage est effectué auprès d’un échantillon de 10 clients. On note X la variable aléatoire qui donne le nombre de clients dans l’échantillon ayant choisi le produit A. 1) 2) 3)

15 C

Préciser la loi de probabilité de X. Justifier. Donner les valeurs de ses paramètres. Calculer la probabilité, arrondie au centième, qu’au moins deux clients de l’échantillon aient choisi le produit A. Calculer la probabilité, arrondie au centième, que moins de 5 clients de l’échantillon aient choisi le produit A.

Dix composants électroniques identiques sont mis en service simultanément. La probabilité pour que l'un quelconque de ces composants soit encore en service au bout d'un an est 0,8. 1) 2)

16

Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. -2 Calculer la probabilité pour que dans un lot de 10 sacs 2 au maximum soient défectueux. Donner le résultat à 10 près. Calculer l’espérance de la variable aléatoire X.

Quelle est la probabilité pour qu'il y ait encore 7 composants en fonctionnement au bout d'un an ? au moins 7 ?

Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est p = 0,25. 1)

2)

Un même client a appelé le service à 8 dates différentes. Soit X le nombre de retards que ce client a subi. a) Définir la loi de probabilité de X. Calculer E(X) et V(X). b) Calculer (à 0,01 près au plus proche) les probabilités des événements : -le client a subi au moins un retard ; -le client a subi moins de 4 retards ; -le client a subi moins de 4 retards sachant qu'il en a subi au moins un. On considère un ensemble de 8 clients différents. 2 d'entre eux sont mécontents parce qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit M le nombre de clients mécontents parmi les 4 contactés. Définir la loi de M. La donner explicitement. Calculer E(M).

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LOI BINOMIALE 17

Un jeu de 32 cartes est truqué : on a remplacé une carte autre que l'as de pique par un deuxième as de pique. On tire au hasard une main de n cartes, n < 32. 1) Quelle est la probabilité de déceler la supercherie ? 2) On suppose n = 4 et on renouvelle l'expérience consistant à tirer 4 cartes du jeu (en remettant les 4 cartes tirées à chaque fois). Quel est le nombre minimum d'expériences à réaliser pour que la supercherie soit découverte avec une probabilité au moins égale à 0,95 ?

18

Soit X la variable la variable aléatoire associant à une pièce choisie au hasard dans la production son poids. On suppose que X est une variable aléatoire discrète de loi : Poids Probabilité 1) 2)

320 0.06

330 0.12

340 0.20

350 0.25

360 0.14

370 0.14

380 0.06

-2

Calculer à 10 près l’espérance et l’écart-type de X. On prélève au hasard et avec remise 10 pièces dans la production. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque prélèvement associe le nombre de pièces de 320g. a) Déterminer la loi de Y ainsi que son espérance et sa variance. b) Calculer la probabilité qu’au moins une pièce ait un poids de 320 g. c) Quelle est la valeur minimale du nombre de pièces à prélever dans la production pour que la probabilité d’obtenir au moins une pièce de 320 g soit supérieure à 0,90. 19

Une machine produit des pièces dont 5 % sont défectueuses. Soit X la variable aléatoire associant à chaque échantillon de 30 pièces le nombre de pièces défectueuses de cet échantillon. 1) 2) 3) 4)

20 C

Un fournisseur livre deux catégories de câbles C1 et C2. Dans chaque livraison, figurent 20 % de câbles C1 et 80 % de câbles C2. On prélève au hasard 4 câbles dans une livraison de 1000 câbles. 1) 2) 3)

21

Montrer que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Donner les valeurs de P(X=k) dans un tableau. Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois « pile » ? La probabilité de n’obtenir aucun « pile » ? La probabilité d’obtenir 2 « faces » ?

Une urne contient 5 boules rouges et 3 boules blanches. On tire une boule au hasard et on regarde si elle est rouge. 1) 2)

23

Préciser la probabilité de l’évènement E : « les 4 câbles sont de type C1 » Préciser la probabilité de l’évènement F : « 1 câble est de type C1 et 3 câbles sont de type C2.» Préciser la probabilité de l’évènement G : « au moins un câble est de type C1 »

On lance 4 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de « piles » obtenus. 1) 2) 3) 4) 5)

22

Quelle est la loi de probabilité de X ? Calculer la probabilité que l’échantillon ne comporte aucune pièce défectueuse. Calculer la probabilité que toutes les pièces soient défectueuses. Calculer la probabilité que l’échantillon comporte au plus deux pièces défectueuses.

Expliquer pourquoi cette expérience est une expérience de Bernoulli. Préciser quel en est le succès et sa probabilité. Calculer l’espérance de la loi de Bernoulli associée.

Un QCM (questionnaire à choix multiples) comporte cinq questions indépendantes et, pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un élève répond au hasard à ce QCM. On nomme X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses exactes obtenues par cet élève. 1) 2) 3)

Donner la loi de probabilité de X ainsi que son espérance mathématique. Calculer la probabilité que cet élève obtienne exactement deux réponses exactes. Calculer la probabilité que cet élève obtienne au moins quatre réponses exactes.

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LOI BINOMIALE 24

Un atelier met en peinture une série d’objets identiques. On estime que la probabilité p pour qu’un objet présente un défaut 2 de peinture à sa sortie de l’atelier est égale à . 5 On prélève 3 objets sur cette production. On considère que le nombre d’objets est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On compte le nombre d’objets, parmi ceux qui sont prélevés, présentant un défaut. 1) 2) 3) 4) 5)

25

Un atelier met en peinture une série d’objets identiques. On estime que la probabilité p pour qu’un objet présente un défaut 3 de peinture à sa sortie de l’atelier est égale à . 10 On prélève 4 objets sur cette production. On considère que le nombre d’objets est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On compte le nombre d’objets, parmi ceux qui sont prélevés, présentant un défaut. 1) 2) 3) 4) 5)

26

Expliquer pourquoi la loi de probabilité du nombre d’objets présentant un défaut de peinture est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Calculer l’espérance de cette loi. Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement 2 objets présentant un défaut de peinture. Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir au moins un objet présentant un défaut de peinture. Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement au maximum un objet présentant un défaut de peinture.

Expliquer pourquoi la loi de probabilité du nombre d’objets présentant un défaut de peinture est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Calculer l’espérance de cette loi. Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement 3 objets présentant un défaut de peinture. Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir au moins un objet présentant un défaut de peinture. Calculer la probabilité, arrondie au millième, d’obtenir exactement au maximum un objet présentant un défaut de peinture.

Une enquête statistique dans un magasin a montré que :

-

10 % des personnes achètent une table et un lot de chaises 9 % des personnes achètent uniquement un lot de chaises

On note T l’évènement « la personne achète une table » et C l’évènement « la personne achète un lot de chaise ». Les résultats seront arrondis au centième près. 1) 2) 3)

4)

Une personne entre dans le magasin. Déterminer la probabilité que la personne achète un lot de chaises. Une personne entre dans le magasin. Déterminer la probabilité que la personne n’achète rien. Quatre personnes entrent successivement dans le magasin. On suppose que leurs achats s’effectuent de manière indépendante les uns des autres. On note X la variable aléatoire égale au nombre de lots de chaises achetés. a) Quelles sont les valeurs prises par X ? b) Quelle est la loi de X ? c) Calculer la probabilité qu’une personne exactement achète un lot de chaises. d) Calculer la probabilité qu’au plus deux personnes achètent un lot de chaises. e) Calculer la probabilité qu’au moins une personne achète un lot de chaises. A la fin de la journée, le directeur du magasin constate qu’il a réalisé en moyenne un bénéfice de 6.70 € par personne entrant dans le magasin. On sait que le directeur a fait un bénéfice de 50 € par table vendue et 10 € par lot de chaises. On note B la variable aléatoire égale au bénéfice réalisé par le directeur du magasin. a) Calculer P(B = 60). b) Compléter le tableau ci-dessous :

c)

bi

0

50

P(B = bi)

0.81

0.02

Calculer l’espérance de B. Le directeur a-t-il raison ?

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LOI BINOMIALE 27 C

Dans une entreprise spécialisée dans la fabrication de tables et salons de jardins en bois, on effectue une étude afin d’améliorer la rentabilité. La fabrication d’une table nécessite 12 planches. La probabilité qu’une planche présente un nœud dans le bois, ce qui fragilise le bois, est de 0.04. Une table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n’est pas mise en vente si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. 1) On note X la variable aléatoire donnant le nombre de planche fragile par table à la sortie de la fabrication. a) Calculer la probabilité qu’une table soit vendue au prix normal. b) Calculer la probabilité qu’elle soit vendue en promotion. c) Donner l’espérance de X. 2) a) b)

28 C

Une maladie est apparue dans le cheptel bovin d’un pays. Elle touche 0,5 % de cheptel. 1) 2)

3)

29

On suppose qu’une table est vendue 99.00 € au tarif normal. La promotion est une remise de 20 %. Soit Y la variable aléatoire donnant la recette de l’entreprise par table vendue. Donner la loi de Y. Calculer l’espérance de Y.

On choisit au hasard un animal dans le cheptel. Quelle est la probabilité qu’il soit malade ? On choisit successivement et au hasard 10 animaux. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre d’animaux malades parmi eux. Montrer que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres. Calculer son espérance mathématique. On désigne par A l’évènement « aucun animal n’est malade parmi les 10 ». On désigne par B l’évènement « au moins un animal est malade parmi les 10 ». Calculer les probabilités de A et B.

Nouvelle Calédonie Mars 2005 Une compagnie de transport désire optimiser les contrôles afin de limiter l’impact des fraudes et les pertes occasionnées par cette pratique. Cette compagnie effectue une étude basée sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d’un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont indépendants les uns des autres et que la probabilité pour tout voyageur d’être contrôlé est égale à p. Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l’amende est de cent euros. Claude fraude systématiquement lors des quarante trajets soumis à cette étude. Soit Xi la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôlé au i–ème trajet et la valeur 0 sinon. Soit X la variable aléatoire définie par X = X1 + X2 + …… + X40. 1) Déterminer la loi de probabilité de X. 1 2) Dans cette partie on suppose que p = . 20 a. Calculer l’espérance mathématique de X. b. Calculer les probabilités P(X = 0), P(X = 1) et P(X = 2). -4 c. Calculer à 10 près la probabilité pour que Claude soit contrôlé au plus deux fois. 3. Soit Zi la variable aléatoire qui prend pour valeur le gain algébrique réalisé par le fraudeur. 1 Justifier l’égalité Z = 400−100X puis calculer l’espérance mathématique de Z pour p = . 5 4. On désire maintenant déterminer p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure à 99%. 38 a. Démontrer que P(X ≤ 2 ) = (1 – p) (741p² + 38p + 1) 38 b. Soit f la fonction définie sur [0 ; 1] par : f (x) = (1 – x) (741x² + 38x + 1) Montrer que f est strictement décroissante sur [0 ; 1] et qu’il existe un unique réel x0 appartenant à l’intervalle [0 ; 1] tel que f n n+1 (x0) = 0,01. Déterminer l’entier naturel n tel que < x0 < 100 100 c. En déduire la valeur minimale qu’il faut attribuer à p afin que la probabilité que Claude subisse au moins trois contrôles soit supérieure ou égale à 99%. (On exprimera p en fonction de x0).

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LOI BINOMIALE 30

Polynésie Juin 2005 Une usine d’horlogerie fabrique une série de montres. Au cours de la fabrication peuvent apparaître deux types de défauts, désignés par a et b. 2% des montres fabriquées présentent le défaut a et 10% le défaut b. Une montre est tirée au hasard dans la production. On définit les évènements suivants : A : « la montre tirée présente le défaut a » ; B : « la montre tirée présente le défaut b » ; C : « la montre tirée ne présente aucun des deux défauts » ; D : « la montre tirée présente un et un seul des deux défauts ». On suppose que les évènements A et B sont indépendants. 1. Montrer que la probabilité de l’évènement C est égale à 0,882. 2. Calculer la probabilité de l’évènement D. 3. Au cours de la fabrication, on prélève au hasard successivement cinq montres. On considère que le nombre de montres fabriquées est assez grand pour que l’on puisse supposer que les tirages se font avec remise et sont indépendants. Soit X la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de cinq montres, associe le nombre de montres ne présentant aucun des deux défauts a et b. On définit l’évènement E : « quatre montres au moins n’ont aucun défaut ». Calculer la probabilité de l’évènement E. -3 On en donnera une valeur approchée à 10 près.

31

Une association organise des promenades en montagne. Douze guides emmènent chacun, pour la journée, un groupe de personnes dès le lever du soleil. L’été, il y a plus de demandes que de guides et chaque groupe doit s’inscrire la veille de la promenade. Mais l’expérience des dernières années prouve que la probabilité que chacun des groupes inscrits ne se présente pas au départ de la promenade est 1 égale à . On admettra que les groupes inscrits se présentent indépendamment les uns des autres. Les probabilités 8 e demandées seront arrondies au 100 le plus proche. PARTIE A a) b)

c)

Montrer que la probabilité qu’un jour donné les 12 groupes inscrits soient tous présents est comprise entre 0,20 et 0,21. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de jours où les 12 groupes inscrits se sont tous présentés au départ lors d’un mois de 30 jours. Montrer que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Donner la signification des évènements X = 30 puis X = 0 et calculer la probabilité de ces évènements. Préciser l’espérance mathématique E (X). Quelle signification peut-on donner à ce résultat ? Une somme de 1 Crédit (la monnaie locale) est demandée à chaque groupe pour la journée. Cette somme est réglée au départ de la promenade. Dans le cas où un groupe ne se présente pas au départ, l’association ne gagne évidemment pas le Crédit que ce groupe aurait versé pour la journée. On nomme S la variable aléatoire égale à la somme, en Crédits, perçue par l’association un jour , donné. Calculer la probabilité de l’évènement S = 11. Préciser l’espérance de S.

PARTIE B a) Agacé par le nombre de guides inemployés, le dirigeant de l’association décide de prendre chaque jour une e réservation supplémentaire. Si les 13 groupes inscrits se présentent, le 13 groupe sera redirigé vers une activité de substitution. Toutefois, cette activité de remplacement entraine une dépense de 2 Crédits à l’association. Quelle est la probabilité P13 qu’un jour donné il n’y ait pas de désistement, c’est-à-dire que les 13 groupes inscrits la veille se présentent au départ de la promenade ? b) Soit R la variable aléatoire égale au coût de l’activité de substitution. Préciser la loi de la variable aléatoire R et calculer son espérance. k 13−k   13 7 1  − 2P . c) Montrer que le gain moyen obtenu pour chaque jour est :  k 13 k     13   8 8      k =0  Calculer ce gain. d) La décision du dirigeant est-elle rentable pour l’association ?

∑()

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LOI BINOMIALE 32 C

Concours G2E – 2014. Une compagnie aérienne dispose d'une flotte constituée de deux types d'avions : des trimoteurs (un moteur situé en queue d'avion et un moteur sous chaque aile) et des quadrimoteurs (deux moteurs sous chaque aile). Tous les moteurs de ces avions sont susceptibles, durant chaque vol, de tomber en panne avec la même probabilité x∈]0, 1[ et indépendamment les uns des autres. Toutefois, les trimoteurs peuvent achever leur vol si le moteur situé en queue ou les deux moteurs d'ailes sont en état de marche et les quadrimoteurs le peuvent si au moins deux moteurs situés sous deux ailes distinctes sont en état de marche. 1)

2) 3) 4)

On note X3 (respectivement X4) la variable aléatoire correspondant au nombre de moteurs en panne sur un trimoteur (respectivement un quadrimoteur) durant un vol. a) Quelles sont les lois suivies par X3 et X4 ? b) Calculer la probabilité que strictement moins de la moitié des moteurs du trimoteur tombent en panne. c) Même question pour le quadrimoteur. On note T l'évènement « le trimoteur achève son vol ». Démontrer que : P(T) = (1 – x)(1 + x – x²). On note Q l’évènement : « le quadrimoteur achève son vol ». Démontrer que P’Q) = (1 – x)²(1 + x)². Déterminer, des quadrimoteurs ou des trimoteurs, quels sont les avions les plus sûrs.

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LOI BINOMIALE

CORRIGE : Généralités : 1 C

1   On suppose que la variable aléatoire X suit une loi binomiale B  50;   10  1) P(X = 0) = 0.005 ; P(X = 1) = 0.029 ; P(X = 2) = 0.078 ; P(X = 3) = 0.139 ; P (X = 10) = 0.015 ; P (X ≤ 1) = 0.034 ; P(X ≥ 4) = 0.749 2) E(X) = 5 et σ(X) = 2.12

2 C

 1  On suppose que la variable aléatoire X suit une loi binomiale B  n;   100  1) Déterminer n pour que P(X = 0) ≤ 0,02.

P(X = 0) ≤ 0.02 ⇔ 0.99n ≤ 0.02 ⇒ n ≥ 390 2)

Déterminer n pour que P(X ≥ 1) ≤ 0,90.

P(X ≥ 1) ≤ 0.90 ⇔ P(X = 0) ≤ 0.10 ⇔ 0.99n ≤ 0.01 ⇒ n ≥ 459 3

4

La variable X suit la loi binomiale n = 10 et p = 0,8. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants : A : (X ≤ 4) ; B : (X < 8)? P(A) = 0.006 ; P(B) = 0.322 Démontrer que pour une loi binomiale de paramètres n et p, on a :

P(X = k + 1) n − k p = × P(X = k) k +1 1 −p

 n  k +1 n!   p (1 − p)n−k−1 (k + 1)!(n − k − 1)! P(X = k + 1)  k + 1  n −k p = = p(1 − p)−1 = × n ! P(X = k) k + 1 1 − p n k   p (1 − p)n−k k ! ( n − k ) ! k  Application : Pour la loi binomiale telle que n = 5 et p = 0,2, calculer : P(X=1), P(X=2), P(X=3), P(X=4) et P(X=5). Quelle est pour X la valeur la plus probable ? P(X = k + 1) 5 − k 0. 2 1 5 −k ; P(X = 0) = 0.8 5 = 0.32768 = × = P(X = k) k + 1 1 − 0.2 4 k + 1 P(X = 1) 1 5 − 0 5 = donc P(X = 1) = x 0.32768 = 0.4096 P(X = 0) 4 0 + 1 4 P(X = 2) 1 5 − 1 1 = donc P(X = 2) = x 0.4096 = 0.2048 P(X = 1) 4 1 + 1 2 P(X = 3) 1 5 − 2 1 = donc P(X = 3) = x 0.2048 = 0.0512 P(X = 2) 4 2 + 1 4 P(X = 4) 1 5 − 3 1 = donc P(X = 4) = x 0.0512 = 0.064 P(X = 3) 4 3 + 1 8 P(X = 5) 1 5 − 4 1 = donc P(X = 5) = x 0.0064 = 0.00032 P(X = 4) 4 4 + 1 20 5

Calcul de l’espérance et de la variance de la loi binomiale

n k n-k n On considère une variable aléatoire X suivant une loi binomiale B(n ;p) où : pk = P(X=k)=   p (1-p) . On pose f(x)=(px+1-p) . k  1) Calculer f’(x) et f’’(x) puis f’(1) et f’’(1). f' (x) = np(px + 1 − p)n−1

f' ' (x) = n(n − 1)p²(px + 1 − p)n−2

f' (1) = np et f' ' (1) = n(n − 1)p² n

2)

Vérifier que f(x) =

∑p x k

k

. Calculer de nouveau f’(x) et f’’(x) puis f’(1) et f’’(1).

k =0

n

f(x) =

n  k k  p x (1 − p)n−k = p k =0  

∑

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n

∑ k =0

n

pk xk f' (x) =

∑

pkkxk −1 ; f' ' (x) =

k =1

n

∑p k(k − 1)x k

k −2

k =2

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LOI BINOMIALE n

n

f' (1) =

∑

f' ' (1) =

kpk

k =1

3)

∑

n

∑

pkk(k − 1) =

k =2

n

pkk ² −

k =2

∑p k k

k =2

Déduire des calculs précédents les valeurs de E(X) et Var(X). n

E(X) =

∑kp

= f' (1) = np

k

k =1

n

V(X) =

∑k²p

n

k

− (E(X))² =

k =0

∑k²p

k

n

+ 1xp1 + 0xp 0 − (np)² = f' ' (1) +

k =2

∑kp

k

n

+ 1xp1 − (np)² = n(n − 1)p² +

k=2

∑kp

k

− n²p²

k =0

= n(n − 1)p² + np − n²p² = n²p² − np² + np − n²p² = np(1 − p) 6

 1 Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B n;  avec n entier supérieur ou égal à 2.  n n

1)

 n −1  Montrer que P(X = 0) =   .  n  k

P(X = k) =

n!  1   1    1 −  k!(n − k)!  n   n 

n−k

 1 ⇒ P(X = 0) =  1 −   n

n−0

 n−1  =   n 

n

n−1

2)

 n−1  Montrer que P(X = 1) =    n  n−1

1

3)

n−1

n−1

1  1 1  1  n −1  P(X = 1) = n    1 −  = nx x 1 −  =   n n n n        n  En étudiant ces suites à l’aide de la calculatrice, déterminer leurs variations et une valeur approchée de leur limite. n

 n −1  P(X = 0) =   semble croissante et tendre vers 0,368.  n  n−1

 n−1  P(X = 1) =   semble décroissante et tendre vers 0,368.  n  P(X = 0) converge vers 1. Interpréter ce résultat. 4) Montrer que P(X = 1) P(X = 0) n − 1 1 P(X = 0) = = 1 − et lim = 1 ; pour n assez grand, P(X = 0) = P(X = 1) n−>+∞ P(X = 1) P(X = 1) n n 7

Sachant que c’est une loi binomiale, retrouver les paramètres n et p et compléter le tableau. Indice : Le paramètre n étant le nombre de répétitions, c’est aussi le nombre maximum de succès. Pour n répétitions, la n probabilité de n succès est p . 8 2 = = 0.4 125 5 2 donc X suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = . 5

Donc n = 3 et P(X = 3) = P(X = n) = p donc p = 3 3

Xi Pi

0 27 125

1

2 2

2 3 54 3x x  = 5 5 125

2

3 2 36 3x x   = 5 5 125

3 8 125

Exercices et problèmes : 1

On lance 5 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de « piles » obtenus. a) Montrer que la loi de X est une loi binomiale dont on précisera les paramètres. Le lancer d’une pièce de monnaie est une expérience a deux issues (pile et face). Il s’agit d’une expérience de Bernoulli de probabilité de succès égale à 0,5. On répète cette expérience 5 fois de manières indépendantes. Si X est la variable aléatoire qui aux 5 lancers associe le nombre de piles obtenus, alors X suit une loi binomiale de paramètres n =

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LOI BINOMIALE 5 et p = 0,5 b) Donner les valeurs de P(X=k) dans un tableau. k 0 1 0 5 1 4 P(X=k)  5  1   1   5  1   1             0  2   2   1  2   2  1 5 = = 32 32

2 2

 5  1   1        2  2   2  10 = 32

3 3

4 3

 5  1   1        3  2   2  10 = 32

2

5 4

1

 5  1   1        4  2   2  5 = 32

5

 5  1   1        5  2   2  1 = 32

0

c) Quelle est la probabilité d’obtenir 4 fois « pile » ? La probabilité de n’obtenir aucun « pile » ? La probabilité d’obtenir 2 « faces » ? 5 1 5 Obtenir 4 piles : = ; Obtenir aucun pile : = ; Obtenir 2 faces = obtenir 4 piles : = 32 32 32

2 3

4 5 6

7

a) Quelle est la probabilité pour que dans un lot de 20 pièces, 3 exactement soient défectueuses ?0.006 b) Quelle est la probabilité pour que 3 au moins soient défectueuses dans ce lot ?0.163 c) Quelle est la probabilité pour qu’une pièce au plus soit défectueuses ?0.294

4

6

 10  1   3  P(X = 4) =      ≈ 0.146  4  4   4  a) n = 10 et p = 0.07 b) E(X) = 0.7 c) Un appareil ménager coûte 800 €. Le vendeur reçoit une commission de 10 % pour chaque appareil vendu. Ses frais journaliers s’élèvent à 25€. Soit Y la variables aléatoire égale à son gain journalier. Déterminer la loi de Y et E(Y). Nombre d’appareils 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Vendus yi - 25 55 135 215 295 375 455 535 615 695 775 -4 -5 -7 -8 -10 -12 P(Y= yi ) 0.483 0.364 0.123 0.025 0.03 2.10 1.8.10 8.10 2.10 3.10 2.8.10 E(Y) = 80 E(X) – 25 = 31

8

a) Une grande enveloppe contient les douze figures d’un jeu de carte. On tire simultanément et au hasard 5 cartes de l’enveloppe. Soit X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de probabilité de X. k 0 1 2 3 4 P(X=k) 56 280 336 112 8 792 792 792 792 792 b) Dans la même enveloppe, on effectue successivement 5 fois le tirage au hasard d’une carte que l’on remet à chaque fois dans l’enveloppe. Soit Y la variable aléatoire dont la valeur est égale au nombre de rois obtenus au cours des 5 tirages. Déterminer la loi de probabilité de Y. 1 Y suit une loi binomiale de paramètre n = 5 et p = 3 5 c) Calculer les espérances mathématiques de X et Y.E(X) = E(Y) = 3

9

Un sac contient 36 boules indiscernables au toucher avec équiprobabilité de tirages : 2 blanches, 2 rouges, les autres étant vertes. a) On tire simultanément et au hasard, trois boules du sac. Calculer la probabilité des évènements suivants : A : on obtient une boule de chaque couleur. B : il n’y a pas de verte parmi les trois boules tirées. C : il n’y a qu’une seule verte parmi les trois boules tirées.  2  2  32   2  2   2  32   2  2  32      2x   2x   +     1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 128 4 192 p(A) =     = ; p(B) =    = ; p(C) =        = 7140 7140 7140  36   36   36        3  3  3  b) On tire maintenant trois fois de suite une boule dans le sac avec remise à chaque fois. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues après ces trois tirages. Donner la loi de probabilité de X. 2 1 = X suit une loi binomiale de paramètre n = 3 et p = 36 18

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LOI BINOMIALE Xi P(X=xi)

0

1 0

 3  1   17        0  18   18 

3

1

 3  1   17        1  18   18 

2 2

2

3 1

 3  1   17        2  18   18 

3

 3  1   17        3  18   18 

0

c) On suppose maintenant que le sac contient encore 36 boules, dont n blanches et n rouges et les autres vertes ( n quelconque avec 1 ≤ n ≤ 17 ) et on tire simultanément trois boules sans remise du sac. Calculer P(A) en fonction de n ; déterminer n pour que cette probabilité soit maximum.  n  n  36 − 2n      3 1 1 1  = − 2n + 36n² . p(A) =    7140  36    3   3 On étudie les variations de la fonction f définie par f(x) = -2x + 36x². f’(x) = 0 ssi x = 0 ou x = 12. Donc la probabilité de A est maximum pour n = 12 Calculer P(B) ; à partir de quelle valeur de n a-t-on : P(B) > 0,6 ?  n  n  2   2 1 n3 − n² p(A) =    = > 0.6 ⇔ n3 − n² > 4284 pour n > 17 7140  36    3  Calculer P(C) ; trouver n pour que P(C) > 0,5.  n  36 − 2n   n  n  36 − 2n   +     2x   3 2 1   1  1  1  = n(n − 1)(36 − 2n) + n²(36 − 2n) = − 4n + 74n² − 36n > 0.5 ⇔ n > 8 p(C) =   7140 7140  36    3   10 11 12 13

14 15

16 17 18 19 20

1) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. X suit une loi binomiale de paramètre n = 10 et p = 0,03 -2 2) Calculer la probabilité pour que dans un lot de 10 sacs 2 au maximum soient défectueux. Donner le résultat à 10 près. 10 9 8 P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = 0.97 + 10x0.03x0.97 + 45X0.03²x0.97 . = 0.997 3) Calculer l’espérance de la variable aléatoire X. E(X) = np = 0.3

1) 2)

1) 2) 3)

21 22 23 24 25 26 27

Quelle est la probabilité pour qu'il y ait encore 7 composants en fonctionnement au bout d'un an ? 0.20 au moins 7 ? 0.88

1 625 256 P(F) = 625 369 P(G) = 625 P(E) =

1) On note X la variable aléatoire donnant le nombre de planche fragile par table à la sortie de la fabrication. a) Calculer la probabilité qu’une table soit vendue au prix normal. P(X = 0) + P(X = 1) = 0.92 b) Calculer la probabilité qu’elle soit vendue en promotion.

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LOI BINOMIALE P(X = 2) = 0.07 c) Donner l’espérance de X. E(X) = 0.48 2) On suppose qu’une table est vendue 99.00 € au tarif normal. La promotion est une remise de 20 %. Soit Y la variable aléatoire donnant la recette de l’entreprise par table vendue. a) Donner la loi de Y. 99 79.20 0 yi P(Y= yi )

0.92

0.07

0.01

b) Calculer l’espérance de Y. E(Y) = 96.62 28

1) 2) 3)

p = 0.0005 E = 0.005 P(A) = 0.995 ; P(B) = 0.005

29

31

Concours G2E – 2014. 1)

2)

On note X3 (respectivement X4) la variable aléatoire correspondant au nombre de moteurs en panne sur un trimoteur (respectivement un quadrimoteur) durant un vol. a) Quelles sont les lois suivies par X3 et X4 ? X3 suit une loi binomiale de paramètres n = 3 et p = x X4 suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et p = x b) Calculer la probabilité que strictement moins de la moitié des moteurs du trimoteur tombent en panne. P(X3 = 0) + P(X3 = 1) = (1 – x)²(1 + 2x). c) Même question pour le quadrimoteur. 3 P(X4 = 0) + P(X4 = 1) = (1 – x) (1 + 3x). On note T l'évènement « le trimoteur achève son vol ». Démontrer que : P(T) = (1 – x)(1 + x – x²).  3 P(T) = P(X3 = 0) + P(X3 = 1) +   P(X3 = 2) = (1 – x)(1 + x – x²) 1 

3)

On note Q l’évènement : « le quadrimoteur achève son vol ». Démontrer que P’Q) = (1 – x)²(1 + x)². 6 P(Q) = P(X4 = 0) + P(X4 = 1) +   P(X4 = 2) = (1 – x)²(1 + x)² 2

4)

Déterminer, des quadrimoteurs ou des trimoteurs, quels sont les avions les plus sûrs. 3 P(T) – P(Q) = (1 – x) x > 0 pour tout x de ]0 ; 1[. Donc les trimoteurs sont les avions les plus sûrs.

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