Loi Binomiale Activité introduction: la planche de Galton

Loi Binomiale

Chapitre XII

Activité introduction: la planche de Galton Dans la planche de Galton, plusieurs billes tombent au travers d'une pyramide de clous sur une planche inclinée. En bas se trouvent des boîtes dans lesquelles tombent les billes. La bille finit sa trajectoire en tombant dans une des boîtes du bas. On trouve quelquefois ce jeu dans les foires. L'animateur du stand attribuera-t-il la même valeur à chaque boîte de la planche ? Chaque fois qu'une bille tape un clou, elle a une chance sur deux de tomber d'un côté ou de l'autre. Elle a donc la même probabilité ( p  0,5 ) de continuer sa chute à gauche ou à droite. Si nous réalisons l'expérience un grand nombre de fois (400 fois par exemple), les billes accumulées dans les boîtes forment ainsi un histogramme.

1) Après un lancer d'une centaine de billes, établir un tableau des fréquences pour chaque colonne (à l’aide de la calculatrice – programme GALTON). Cas où il y a 10 rangées de clous. Colonne nº

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

effectif (ou %)

2) Notation d'un chemin : A chaque obstacle, la bille va soit à gauche, soit à droite. En notant G et D le fait d'aller à gauche ou à droite pour chaque obstacle, dessiner le chemin GGDDGGGDGG. Où la bille tombe-t-elle après ce chemin? a) b) c) d) e) f)

Combien de chemins mènent à la colonne 0 ? Coder le(s) chemin(s) obtenu(s). Combien de chemins mènent à la colonne 10 ? Coder le(s) chemin(s) obtenu(s). Combien de chemins mènent à la colonne 1 ? Coder le(s) chemin(s) obtenu(s). Combien de chemins mènent à la colonne 9 ? Coder le(s) chemin(s) obtenu(s). Quelle conjecture peut-on formuler ? Pourquoi la bille tombe-t-elle plus souvent dans la colonne centrale ?

Propriété: la probabilité pour la bille de tomber dans une colonne est proportionnelle au nombre de chemins qui mènent à cette colonne. 3) Il faut donc compter, pour chaque colonne le nombre de chemins qui y mènent.

Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d’apparition de la lettre D dans chaque chemin. Donner la loi de probabilité de X à partir de l’arbre ci-dessus.

k P X  k En déduire l’espérance de cette variable aléatoire

On obtient le triangle de Pascal, connu des chinois dès le 14eme siècle