loi binomiale échantillonnage

LOI BINOMIALE ÉCHANTILLONNAGE Activité de recherche : On appelle "expérience" le fait de jeter 15 fois un dé cubique parfaitement équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On s’intéresse au nombre d’obtentions de la face n°6. 1. On souhaite obtenir exactement 3 fois la face n°6 lors de cette expérience. Déterminer à l’aide d’un arbre pondéré le nombre de chemins favorables à cet événement. 2. En déduire que la probabilité d’obtenir exactement 3 fois la face n°6 lors de cette expérience est à peu près égal à 0,236. 3. Créer un algorithme permettant de simuler cette expérience. 4. Modifier l’algorithme précédent pour répéter 1000 fois l’expérience et vérifier le résultat de la question 2.

I : Épreuve de Bernoulli et loi binomiale : 1. Schéma de Bernoulli : Exemple : On lance deux fois une pièce de monnaie parfaitement équilibrée. Les deux lancers sont indépendants (c’est-à-dire que le résultat du second lancer ne dépend pas du résultat du premier). À chaque 1 lancer, on a p(F ) = p(P ) = . 2

1/2 F

1/2 On peut représenter la succession des deux lancers par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre (On dit dans ce cas qu’il s’agit d’un arbre pondéré). 1 1 1 La probabilité d’obtenir deux fois "Face" est p(F, F ) = × = 2 2 4 1 1 1 La probabilité d’obtenir deux fois "Pile" est p(P, P ) = × = 2 2 4 1 1 1 La probabilité d’obtenir "Face" suivi de "Pile" est p(F, P ) = × = 2 2 4 1 1 1 La probabilité d’obtenir "Pile" suivi de "Face" est p(P, F ) = × = 2 2 4

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1/2

1/2 1/2 P

1/2

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F P F P

Exercice 1. : Une pièce n’est pas parfaitement équilibrée. En effectuant un grand nombre de lancers, on a remarqué que "Face" est obtenu dans 40% des cas et "Pile" dans 60% des cas. 2 3 On admet donc qu’à chaque lancer, on a p(F ) = et p(P ) = . 5 5 On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants. (a) Représenter la situation par un arbre et faire figurer les probabilités sur chaque branche de cet arbre. (b) Déterminer p(P,P) et p(F,F). (c) Déterminer la probabilité de l’événement E : « obtenir une fois "Pile" et une fois "Face" » (d) On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l’on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l’espérance mathématique de X.

Exercice 2. : On utilise une pièce de monnaie dont on ne sait pas si elle est équilibrée. Pour cette pièce on suppose que la probabilité d’obtenir "Face" est un nombre réel p de l’intervalle [0; 1]. (a) Donner la valeur de la probabilité d’obtenir "Pile". (b) On lance deux fois cette pièce de monnaie. Les deux lancers sont indépendants. i. Représenter la situation par un arbre pondéré. ii. On considère la variable aléatoire X qui à chaque éventualité fait correspondre le nombre de fois que l’on a obtenu "Face". Donner la loi de probabilité de X et calculer l’espérance mathématique de X.

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Définition : On appelle épreuve de Bernoulli une épreuve ayant deux éventualités : S (succès) et E (échec). La loi de Bernoulli de paramètre p associe à l’événement S la probabilité p et à E la probabilité 1 − p. Exemple : On considère une épreuve de Bernoulli, les deux éventualités sont S : "Succès" et E : "Échec". Notons p(S) = p et p(E) = 1 − p. On répète trois fois cette épreuve, de manière indépendante, et on s’intéresse au nombre de Succès que l’on obtient sur les trois essais. On peut traduire la situation par un arbre de probabilités :

p S p

1−p

1−p

p

S

E

S

p

E

1−p

p

1−p

S p

1−p

1−p

p

S

E

S

E

E

E

1−p

S

E

D’après l’arbre, la probabilité d’obtenir la suite (S; S; E) est : p × p × (1 − p) = p2 (1 − p) De même la probabilité de (S; E; S) est p2 (1 − p) et la probabilité de (E; S; S) est aussi p2 (1 − p) La probabilité d’obtenir exactement deux Succès sur les trois essais est la probabilité de l’événement :{(S; S; E); (S; E; S); (E; S; S)}. Elle est donc égale à 3p2 (1 − p) . En notant xi le nombre de Succès obtenus sur les trois essais, on peut justifier que l’obtient la loi de probabilité ci-dessous : xi 0 1 2 3 pi (1 − p)3 3p(1 − p)2 3p2 (1 − p) p3

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Exercice 3. : La société qui imprime des tickets pour un jeu de grattage a reçu la consigne d’imprimer 5% de tickets gagnants. Ces tickets gagnants sont soigneusement mélangés avec les autres tickets qui eux sont perdants. Lorsqu’une personne achète un ticket, on note : G l’événement : « le ticket est gagnant » ; P l’événement : « le ticket est perdant ». Une personne achète trois tickets. (a) Représenter un arbre pondéré qui illustre la situation. (b) Quelle est la probabilité que les trois tickets achetés soient gagnants ? (c) Justifier que la probabilité qu’un seul des trois tickets soit gagnant est égale à 0,135375. (d) On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de tickets gagnants obtenus (sur les trois tickets achetés). Donner la loi de probabilité de X. Calculer l’espérance mathématique de X. Définition : On appelle schéma de Bernoulli, la répétition n fois, de manière identique et indépendante, d’une épreuve de Bernoulli. Si X est la variable aléatoire correspondant au nombre de succès à l’issue du schéma de Bernoulli, on appelle loi binomiale la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

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2. Coefficients binomiaux : Définition : On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli et on considère l’arbre correspondant à cette
répétition. On appelle coefficient binomial nk le nombre de chemins de l’arbre réalisant k succès. Exemple : Si l’on considère l’arbre de l’exemple page 2 correspondant à 3 répétitions, on peut établir les 8 chemins suivants : SSS ; SSE ; SES ; SEE ; ESS ; ESE ; EES ; EEE
Un seul chemin réalise 3 succès : c’est SSS. On a donc 33 = 1 .
Trois chemins réalisent 2 succès : ce sont SSE ; SES ; ESS. On a donc 32
= 3 . Trois chemins réalisent 1 succès : ce sont SEE ; ESE ; EES. On a donc 31 = 1.
Un seul chemin réalise 0 succès : c’est EEE . On a donc 30 = 1 . Exercice 4. : Faire un arbre correspondant à 4 répétitions.


de Bernoulli
à un schéma
4 4 4 4 En déduire que : 4 = .... ; 3 = .... ; 2 = .... ; 1 = .... ; 40 = ..... Remarque(s) : Les coefficients binomiaux peuvent
être donnés par une calculatrice ou un ordinateur. 4 Pour déterminer le coefficient 2 Calculatrice TI : 4 MATH PRB nCr 2 ENTER Calculatrice Casio : 4 OPTN PROB nCr 2 Tableur : =COMBIN(4 ;2) Exercice 5. : Observer le tableau ci-dessous qui donne les coefficients binomiaux et complétez-le : k n 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

1

2

3

4

1 1 1

2 3 4

1 3 6

1 4

1

5

6

7

8

9

10

Propriété : Dans un schéma de Bernoulli comportant n répétitions, si p est la probabilité du succès de l’épreuve
de Bernoulli, la probabilité d’obtenir k succès (avec 0 ≤ k ≤ n) est : p(X = k) = nk pk (1 − p)n−k . On dit que la loi binomiale a pour paramètres n et p. On la note B(n ; p). Exemple : Une pièce de monnaie n’est pas équilibrée et la probabilité d’obtenir "Pile" est égale à 0,6. On jette 10 fois cette pièce. La probabilité d’obtenir 7 fois "Pile" est :

7 p(X = 7) = 10 × 0, 6 × (1 − 0, 6)10−7 = 10 × 0, 67 × 0, 43. 7 7 Montrez à l’aide de votre calculatrice que cette probabilité est environ égale à : 0,21499 . http://lux.math.free.fr/

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Exercice 6. : Dans un schéma de Bernoulli comportant 9 répétitions la probabilité du succès est 0,65. On appelle X le nombre de succès obtenus. Déterminer p(X = 0) ; p(X = 3) ; p(X = 8) ; p(X ≤ 2) . On donnera dans chaque cas la valeur exacte puis une valeur approchée au millième près.

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3. Espérance mathématique d’un loi binomiale : Propriété : L’espérance mathématique de la loi binomiale B(n ; p) de paramètres n et p est : E = n × p. Exemples : Si on répète 10 fois une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est 0,5 l’espérance mathématique du nombre de succès est : E = 10 × 0, 5 = 5. Si on répète 8 fois une épreuve de Bernoulli dans laquelle la probabilité du succès est 0,25 l’espérance mathématique du nombre de succès est : E = 8 × 0, 25 = 2. Exercice 7. : Un QCM (questionnaire à choix multiples) est composé de 8 questions indépendantes. Pour chaque question quatre réponses sont proposées et une seule de ces quatre réponses est juste. Un candidat répond au hasard aux 8 questions de ce QCM. On appelle N le nombre de réponses justes qu’il obtient. (a) Montrer que la loi de probabilité de N est une loi binomiale dont on donnera les paramètres. (b) Calculer p(N = 8) etp(N = 4) puis en donner des valeurs approchées au millième près. (c) Calculer l’espérance mathématique de N. (d) Comment doit-on noter ce QCM pour qu’un candidat qui répond au hasard ait en moyenne 0. Exercice 8. : On jette 10 fois de suite une pièce parfaitement équilibrée. On appelle X le nombre de "Pile" obtenus. (a) Donner la probabilité d’obtenir exactement 4 fois "Pile". (b) Donner dans un tableau la loi de probabilité de X. (c) Calculer l’espérance mathématique de X. (d) Représenter cette loi de probabilité par un diagramme en bâtons.

II : Échantillonnage : Exercice 9.

: Tester des proportions

Sur un baril contenant 10 000 perles de cinq bleu rouge vert jaune couleurs, on peut lire dans un tableau, repro30% 25% 25% 10% duit ci-contre, la répartition des couleurs. Pour vérifier cette affirmation, on a prélevé au hasard et avec remise 256 perles. L’échantillon obtenu comprend 72 perles bleues, 72 perles rouges, 50 perles vertes, 37 perles jaunes et 25 perles marron. Que peut-on en conclure ?

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marron 10%

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Rappel : On considère un caractère ayant une proportion p dans une population donnée. On considère des échantillons de taille n dans cette population. Si 0, 2 ≤ p ≤ 0, 8 et si n ≥ 25 alors 95% au moins des échantillons sont tels que la fréquence 1 1 du caractère dans l’échantillon appartient à l’intervalle [p − √ ; p + √ ] . n n Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95%. Remarque : Plus la taille n de l’échantillon est grande et plus la fréquence observée dans l’échantillon est proche de la fréquence existant dans la population. Exemple : D’après l’Insee, la proportion de femmes dans la population française est d’environ 51, 6%. - Si on observe des échantillons de 100 personnes représentatifs de cette population, alors 95% d’entre eux doivent correspondre à une fréquence se trouvant dans l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%. On a p = 0, 516 et n = 100. L’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors : 1 1 1 1 [p − √ ; p + √ ] = [0, 516 − √ ; 0, 516 + √ ] = [0, 416; 0, 616] . n n 100 100 - Si on observe des échantillons de 1000 personnes l ’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors : 1 1 1 1 [p − √ ; p + √ ] = [0, 516 − √ ; 0, 516 + √ ] = [0, 484; 0, 548] environ. n n 1000 1000 - Si on observe des échantillons de 10000 personnes l ’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est alors : 1 1 1 1 [p − √ ; p + √ ] = [0, 516 − √ ; 0, 516 + √ ] = [0, 506; 0, 526] . n n 10000 10000 Exercice 10. : D’après l’Insee, la proportion de femmes dans la population française est d’environ 51, 6%. Un observateur se place à la sortie d’une gare et note le sexe des personnes qui passent. On admettra que la proportion de femmes dans la population qui sort de la gare est identique à la proportion de femmes dans la population française. On peut assimiler le passage des personnes à un schéma de Bernoulli. 1. Déterminer la probabilité que les quatre premières personnes qui sortent soient toutes des hommes. 2. Déterminer la probabilité que, sur les dix premières personnes qui sortent, il y ait exactement cinq femmes. 3. Compléter, en utilisant une calculatrice ou un ordinateur, le tableau suivant correspondant à la loi de probabilité du nombre N de femmes parmi les dix premières personnes qui sortent. (On donnera les résultats au dix-millièmes). ni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 p(N = ni ) 4. Justifier que p(N ∈ [2; 8]) ≥ 95%.

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Propriété : Soit X le nombre de succès dans la répétition d’une épreuve soumise à une loi binomiale B(n ; p). Soit a le plus petit entier tel que p(X ≤ a) > 2, 5% . . Soit b le plus petit entier tel que p(X ≤ b) ≥ 97, 5% . On a ainsi p(a ≤ X ≤ b) ≥ 95% et l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence a b de réalisation du succès est l’intervalle [ ; ] n n Sur les calculatrices TI, la commande binomcdf(n,p,k) retourne, pour une variable aléatoire X suivant la loi de probabilité de paramètres n et p, la probabilité p(X ≤ k). Cette commande permet de déterminer a, ainsi que b. Remarque : Cet intervalle de fluctuation au seuil de 95% est à peu près le même que celui donné par 1 1 [p − √ ; p + √ ] mais il n’est pas centré en p. n n Application : une règle de décision : Lorsque l’on effectue un échantillonnage aléatoire sur une population, il y a au moins 95% de "chances" pour que la fréquence observée f d’un certain caractère dont la proportion est p dans la population soit dans l’intervalle de fluctuation rappelé ci-dessus. Mais la fluctuaution d’échantillonnage peut expliquer que dans 5% des cas, cette fréquence observée "sorte" de cet intervalle. On met alors en place la règle de décision suivante : -Si la proportion f observée sort de l’intervalle de fluctuation prévu, on ne sera pas en mesure de valider l’hypothèse : "l’échantillon provient d’une population où la proportion du caractère est p" et on la rejettera, en gardant à l’esprit que dans 5% des cas, c’est la hasard (et non un quelconque trucage) qui pourrait expliquer cette sortie de l’intervalle de fluctuation. -Si la proportion f observée est dans l’intervalle de fluctuation prévu, on ne sera pas en mesure de valider l’hypothèse : "l’échantillon provient d’une population où la proportion du caractère est p" et on la validera donc, en gardant à l’esprit que même pour un échantillon "truqué" ou "non représentatif", on pourrait observer une fréquence appartenant à l’intervalle de fluctuation prévu quand on manipule des échantillons aléatoires.

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Exemple : On émet l’hypothèse qu’un caractère se présente dans une population avec une proportion de 0,516. On observe, sur un échantillon de taille 50, la fréquence de ce caractère et on trouve f = 0, 4. On se pose la question de savoir si cette fréquence est "compatible" avec l’hypothèse émise. Que peut-on dire avec l’intervalle centré en p ? On considère le diagramme à barres ci-dessous représentant la loi binomiale B(50 ; 0,516). On peut justifier que l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% est obtenu avec a = 19 et 19 33 b = 33 ; c’est donc [ ; ] = [0, 38; 0, 66]. 50 50 On "rejette" les valeurs inférieures à a et celles supérieures à b.

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Utilisation de la calculatrice (TI) : La commande sep, se trouvant dans le menu LIST OPS fonctionne ainsi : seq(X 2 , X, 0, 4), retourne la liste des X 2 pour les entiers X allant de 0 à 4. : {0; 1; 4; 9; 16}. Ainsi, seq(X, X, 0, 100) → L1 remplit la liste L1 des entiers de 0 à 100. La commande binomcdf(n,p,L1 )→ L2 remplit la liste L2 avec les nombres p(X ≤ k) où X suit la loi B(n,p). Exercice 11. : Un constructeur affirme que la probabilité qu’un de ses téléviseurs ait une panne dans les 5 ans suivant son achat est égale à 0,12. 1. Déterminer, en utilisant votre calculatrice, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95%de la fréquence de panne pour un échantillon de 100 téléviseurs. 2. Une association de consommateurs effectue un test sur 100 personnes ayant ce modèle de téléviseur. Dans cet échantillon, 17 personnes ont eu une panne dans les 5 ans suivant leur achat. Que peut-on penser de l’affirmation du constructeur ? 3. L’association pense maintenant effectuer un test sur 500 personnes. Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95% de la fréquence de panne pour un échantillon de 500 téléviseurs. Interpréter.

Exercice 12. : Une société fabrique des boîtes en plastique de deux couleurs : des vertes et des bleues. La fabrication est automatisée et la machine est réglée à un niveau de 42% de boîtes vertes et 58% de boîtes bleues, correspondant à la demande du marché. Un test est fait sur un échantillon de 180 boîtes prélevées au hasard. L’échantillon comporte autant de boîtes bleues que de boîtes vertes. La machine est-elle déréglée ?

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