Loi binomiale - Loto Foot -Fx

Yves Coudert

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ENONCE : Loi binomiale – Loto Foot (Niveau première S) Une grille de Loto Foot comporte 15 matchs. Pour le match de l’équipe 1 contre l’équipe 2, il y a trois choix possibles : - Case 1 : l’équipe 1 gagne - Case N : c’est un match nul - Case 2 : l’équipe 2 gagne Le joueur fait ses pronostics en cochant une des 3 cases 1, N ou 2 pour chaque match. On suppose que le joueur remplit une grille au hasard. On note X la variable aléatoire représentant le nombre de bonnes réponses sur cette grille. 1) Quelles sont les valeurs que peut prendre X ? Quelle loi suit X ? Donner ses paramètres. 2) Le plus gros lot est attribué au joueur ayant 15 bonnes réponses. Calculer, à 10 près la probabilité que le joueur obtienne 15 bonnes réponses. 3) D’autres gains sont attribués aux joueurs qui ont obtenu 12, 13 ou 14 bonnes réponses. Calculer ces probabilités. 4) En déduire la probabilité que le joueur est un gain soit : ( ≥ 12) à 10 près. 5) On considère l’évènement A : « le joueur a obtenu au plus x bonnes réponses ». Déterminer la valeur de x pour que ( ) = 0,4 . 6) Combien de bonnes réponses peut-on espérer avoir en remplissant une grille au hasard ? Correction avec la calculatrice Fx-CP400 Nous proposons ici une correction avec la calculatrice Fx CP-400 en utilisant, l’application principale.

Sélectionner l’application directement avec la touche effacer les formules présentes.

en passant par le menu général avec la touche

ou

puis à l’aide de la commande Edit / Tout effacer valider OK pour

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Yves Coudert

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1) La variable aléatoire X peut prendre les valeurs entières comprises entre 0 (aucune bonne réponse) à 15 (toutes les réponses bonnes). Si Ω désigne l’univers, on a ( ) = ; ; … ; ; Comme, le joueur remplit la grille au hasard, pour un match donné, il y a équiprobabilité entre les 3 réponses. La probabilité de donner la bonne réponse est donc : = . Le joueur répète donc 15 fois une épreuve de Bernoulli de paramètre p où le « succès » est de donner une bonne réponse. Les choix pour chaque match étant indépendants, nous avons bien un schéma de Bernoulli de paramètre n = 15 et = , donc la variable aléatoire X suit une loi Binomiale de paramètres (

, )

2) On cherche à calculer la probabilité que le joueur donne 15 bonnes réponses soit : ( = 15) On peut utiliser la formule générale de la loi binomiale: ( = ") = #$%& % (1 − )$ % avec n = 15 , k = 15 et = . Ce qui nous donne à l’aide de la calculatrice : ( = 15) = # ((& ) *

(

)1 − * = ) *

(

=

+, -

(

Pour avoir une approximation du résultat, on tape approx() * ). On obtient l’approximation à 10 près : ( = ) ≈ 0, ,- ×

+

2