Loi binomiale - Sebjaumaths

Chapitre VI

Loi binomiale

BTS AVA

Loi binomiale 1

Loi de Bernoulli Dénition 1 :

Une expérience de Bernoulli de paramètre p est une expérience qui ne comporte que deux issues :

• le succès (notée S ), avec p(S) = p. ¯ = 1 − p. • l'échec ( noté S¯ ), avec p(S)

Exemple 1 :

Une urne contient 10 boules : 7 sont rouges et 3 sont bleues. Un joueur tire une boule au hasard dans l'urne. On notera succès l'évènement :" la boule est rouge ". On a donc p(S) = ............. ¯ = ............. Et p(S)

Dénition 2 :

Soit une expérience de Bernoulli de paramètre p et X la variable aléatoire prenant la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec. La loi de probabilité de X est appelée loi de Bernoulli de paramètre p. On a donc :

xi

0

1

P (X = xi )

1−p

p

Exemple 2 :

Dans l'exemple précédent, la variable aléatoire X prenant la valeur 1 en cas de succès et la valeur 0 en cas d'échec soit la loi de Bernoulli de paramètre ............ , et on a :

xi

0

1

P (X = xi )

.............

.............

Propriété 1 :

Si la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p on a : p E(X) = p et V (X) = p(1 − p) et σ(X) = p(1 − p)

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Loi binomiale

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Loi de binomiale Dénition 3 :

Lorsqu'on répète n fois, dans des conditions identiques et indépendantes, une même expérience de Bernoulli de paramètre p, alors la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui associe le nombre de succès obtenus au bout des n répétition, est appelée loi binomiale de paramètres n et p. On note alors :

X ∼ B(n, p) On a, pour tout entier k en entre 0 et n :   n P (X = k) = pk × (1 − p)n−k k

Exemple 3 :

Pour une urne contenant 7 boules rouges et 3 boules bleues. Le joueur décide de tirer 5 fois consécutivement, en remettant à chaque tirage la boule dans l'urne. On note X la variable aléatoire associant le nombre de boules rouges obtenues au bout des 5 tirages. On a donc : X ∼ B(......, ......) La probabilité d'obtenir exactement 3 boules rouges et donc 2 boules bleues est :

P (X = 3) = .........................................

Propriété 2 :

Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n et p, alors p E(X) = np et V (X) = np(1 − p) et σ(X) = np(1 − p))

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