Loi de Bernoulli et loi binômiale

Statistiques

L2 Psychologie

Loi de Bernoulli et loi binômiale

Statistiques

L2 Psychologie

Les variables Xi suivent une loi de Bernoulli de paramètre p et sont indépendantes entre elles. n P Xi représente alors le nombre de fois où l’évènement A s’est réalisé lors des n épreuves.

X=

i=1

On présente ici un rappel concernant les lois de Bernoulli et binômiale. Pour une étude plus détaillée il faut se reporter aux notes du cours magistral.

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Préliminaires

On peut montrer que :

P (X = k) = Cnk pk (1 − p)k (pour k = 0, . . . , n) On dit que X suit une loi binômiale de paramètre n et p. On note X ∼ B(n; p).

1. Le produit 1 × 2 × 3 × . . . × n se note n! (on dit factoriel n). ⋄ Exemple : 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120 2. Si on dispose de n objets le nombre de possibilités de prendre k objets parmi ces n se note Cnk et on peut montrer que : n! Cnk = k!(n − k)! Remarque : sur les calculatrices scientifiques on peut calculer les Cnk en utilisant la fonction nCr.

⋄ Exemple : A une foire, lorsque l’on joue à un jeu on a 5% de chance de gagner. On fait dix parties de ce jeu, quelle est la probabilité de gagner exactement 3 fois ? Quelle est la probabilité de gagner au moins deux fois ? Pour i = 1, . . . , 10 on pose Xi =



1 si on gagne à la ième partie 0 sinon

Les variables Xi sont indépendantes et suivent une loi de Bernoulli de paramètre 0, 05. 10 P X = Xi représente le nombre de fois où l’on gagne au cours des 10 parties. D’après ce qui i=1

4 = 12650 façons différentes de former un groupe de 4 élèves dans ⋄ Exemple : Il y a C25 une classe qui en compte 25.

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Loi de Bernoulli

On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 − p. Les variables de Bernoulli permettent de modéliser les expériences où seulement deux résultats sont possibles. Dans ce cas, l’évènement X = 1 correspond à un "succès" et l’évènement X = 0 à un "échec". La probabilité d’avoir un "succès" est p et celle d’obtenir un "échec" est 1 − p.

précède X ∼ B(10 ; 0, 05). On a donc : 3 × 0, 053 × (1 − 0, 05)10−3 = 120 × 0, 053 × 0, 957 ≃ 0, 01. P (X = 3) = C10 On a donc 1% de chance de gagner exactement 3 fois lors des 10 parties.

P (X ≥ 2) = 1 − P (X < 2) = 1 − (P (X = 0) + P (X = 1)) 0 × 0, 050 × (1 − 0, 05)10−0 + C 1 × 0, 051 × (1 − 0, 05)10−1 ) . = 1 − (C10 10 ≃ 0, 09 On a donc 9% de chance de gagner au moins 2 fois lors des 10 parties.

⋄ Exemple : On peut modéliser le résultat d’un jeu de pile ou face à l’aide d’une variable aléatoire X suivant une loi de Bernoulli de paramètre 1/2 :  1 si on obtient un pile X= 0 sinon On a P (X = 1) =

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1 1 et P (X = 0) = . 2 2

Loi binômiale

On s’intéresse ici au nombre de réalisations d’un évènement A de probabilité p lors de la répétition de n épreuves indépendantes. On pose pour i = 1, . . . , n :  1 si A est réalisé lors de l’épreuve i Xi = 0 sinon

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