Lois de composition interne

⋇ Lois de composition interne ⋇ Définition et propriétés d’une l.c.i Définition – Loi de Composition Interne Soit E un ensemble non vide. On appelle loi de composition interne définie sur E toute application de E 𝗑 E dans E. On associe ainsi à chaque couple (x,y) d’éléments de E un élément de E noté x ∗ y, qui est par définition le composé de x et y par la loi ∗.

Définition – Associativité Une loi de composition interne définie sur E, notée ∗, est associative ssi quels que soient les éléments x, y, et z de E on a l’égalité : (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)

Définition – Commutativité Une loi de composition interne ∗ définie sur un ensemble E est commutative ssi : (∀(x, y) ∈ E²) x∗y=y∗x

Définition – Distributivité Soit ∗ et ⊤ deux lois de composition interne définies sur l’ensemble E. On dit que la loi ∗ est distributive par rapport à la loi ⊤ ssi quels que soient les éléments x, y, z de E : x ∗ (y ⊤ z) = (x ∗ y) ⊤ (x ∗ z) (distributivité à gauche) (y ⊤ z) ∗ x = (y ∗ x) ⊤ (z ∗ x) (distributivité à droite)

Définition – Partie stable Soit E un ensemble muni d’une lci *. Une partie A, non vide, de E est stable par la loi * ssi : (∀(x, y) ∈ A²) x∗y∈A

Définition – Compatibilité d’une l.c.i et d’une relation binaire Si ∗ est une loi de composition interne sur l’ensemble E, et ℛ une relation binaire définie dans E, on dit que la loi ∗ est compatible avec la relation ℛ si quels que soient les éléments x1, x2, y1, y2 de E x1 ℛ x2 et y1 ℛ y2 ⟹ (x1 ∗ y1) ℛ (x2 ∗ y2)

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Propriétés des éléments Définition – Éléments neutres Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E. Un élément e de E est élément neutre pour la loi ∗ ssi : (∀x ∈ E) e=e∗x=x

x ∗

* S’il existe un élément neutre, il est unique

Définition – Éléments symétrisables Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E, ayant un élément neutre e . Un élément x de E est symétrisable pour ∗ ssi il existe un élément x’ de E tel que x ∗ x’ = x’ ∗ x = e. On dit que x’ est le symétrique de x pour la loi ∗. * Pour une loi de composition interne associative et possédant un élément neutre, si l’élément x admet un symétrique il est unique. * Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E, ayant un élément neutre. Si les éléments x et y de E ont respectivement pour symétriques x’ et y’, alors x ∗ y est symétrisable et a pour symétrique y’ ∗ x’

Définition – Éléments réguliers (ou simplifiables) Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E. Un élément a de E est régulier (ou simplifiable) pour la loi ∗ ssi pour tout couple (x, y) d’éléments de E : a ∗ x = a ∗ y => x = y (régulier à gauche) et x ∗ a = y ∗ a => x = y (régulier à gauche) * Soit ∗ une loi de composition interne sur l’ensemble E. Si ∗ est associative et possède un élément neutre alors tout élément symétrisable de E est régulier.

Définition – Éléments absorbants Un élément s de E est absorbant (ou singulier) pour la loi de composition interne ∗ définie sur E ssi (∀x ∈ E) x ∗ s = s ∗ x = s

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