lois de probabilité discrètes

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
Share Embed Donate


Short Description

Download lois de probabilité discrètes...

Description

LOIS DE PROBABILITÉ DISCRÈTES Cet article vous propose d'enrichir vos connaissances sur le thème des lois de probabilités discrètes. Il a deux objectifs : • Faire le tour des lois discrètes explicitement ou implicitement inscrites dans nos différents référentiels. Exemple : La loi de probabilité dite hypergéométrique nullement citée dans les textes de programme, mais pourtant implicitement traitée ; elle est même présente dans le sujet de Baccalauréat Technologique STAE-STPA 2004-France métropolitaine. • Étoffer les strictes connaissances en lien avec les programmes. Exemple : La loi multihypergéométrique, généralisation de la précédente. Nous nous contenterons de dresser un panorama des lois de probabilité discrètes usuelles dans le cadre du tirage de boules dans une urne, puis de détailler deux exemples de lois qu'il nous semble important de connaître. Commençons par l’inventaire présenté dans le tableau ci-dessous, nous le complétons deux pages plus loin par une étude détaillée de chacune des lois. Filière Loi Bernoulli Binomiale Poisson Géométrique Pascal Binomiale négative Hypergéométrique Uniforme Pascal sans remise Multinomiale Multihypergéométrique

Baccalauréat Technologique XXX XXX

X XXX

Baccalauréat S

BTSA

XXX XXX

XXX XXX XXX X

X XXX

X XXX

XXX : référencé au programme / X : abordable avec les élèves Deux exemples importants Exemple 1 : Le modèle multinomial Une urne contient des boules de c couleurs distinctes (c ≥ 2). On tire au hasard successivement et avec remise n fois une boule dans cette urne. Notons X le vecteur aléatoire (X1 , ... , Xc) où Xi désigne la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules de la catégorie i, i étant un entier de 1 à c. X suit la loi multinomiale (n , p1 , ... , pc) où pi désigne la proportion de boules de la couleur i dans l'urne. P[(X1 , ... , Xc) = (k1 , ... , kc)] = P[(X1 = k1) ∩ (X2 = k2) ∩ ... ∩ (Xc = kc)] =

n! p k1 p k2 ... pckc k1! k2! ... kc! 1 2

avec k1 + k2 + ... + kc = n. Remarque Pour 1 i c, la variable aléatoire Xi suit la loi binomiale (n , pi). ENFA - Bulletin n°16 du groupe PY-MATH - Décembre 2007 Contact : Conf [email protected]

page 26

Prenons un exemple : Une urne contient 5 boules bleues, 3 boules blanches et 2 boules rouges. a) On tire successivement et avec remise 3 boules. Calculer la probabilité d’obtenir une boule de chaque couleur. Notons X 1 la variable aléatoire égale au nombre de boules bleues, X 2 la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches et X 3 la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges. Les probabilités p1, p2 et p3 d'obtenir respectivement une boule bleue, une boule blanche ou une boule rouge lors d'un tirage sont p1 =

5 3 2 ; p2 = et p3 = . 10 10 10

Le vecteur aléatoire (X1 , X2 , X3) suit la loi multinomiale

3,

5 3 2 , , . 10 10 10 3!

5

P[(X1 , X2 , X3) = (1 , 1 , 1)] = P[(X1 = 1) ∩ (X2 = 1) ∩ (X3 = 1)] = 1! 1! 1! 10

1

3 10

1

1

2 = 0,18. 10

b) On tire successivement et avec remise 10 boules. Calculer la probabilité d’obtenir 2 boules bleues, 1boule blanche et 7 boules rouges.

10! 5 P[(X1 , X2 , X3) = (2 , 1 , 7)] = P[(X1 = 2) ∩ (X2 = 1) ∩ (X3 = 7)] = 2! 1! 7! 10

2

3 10

1

7

2 27 = 78 125. 10

Exemple 2 : Le modèle multihypergéométrique (ou polyhypergéométrique) Une urne contient des boules de c couleurs distinctes (c ≥ 2), parmi lesquelles M1 de la couleur 1, M2 de la couleur 2, ..., Mc de la couleur c. Notons N le nombre de boules de l'urne, N = M1 + M2 + ... + Mc. M

On appelle pi la proportion de boules de la couleur i dans l'urne, pi = Ni. On tire au hasard successivement et sans remise n fois une boule dans cette urne. Notons X le vecteur aléatoire (X1 , ... , Xc) où X i désigne la variable aléatoire prenant pour valeur le nombre de boules de la couleur i, i étant un entier de 1 à c. X suit la loi multihypergéométrique (N , n , p1 , ... , pc). P[(X1 , ... , Xc) = (k1 , ... , kc)] = P[(X1

M M M ( k ) × ( k ) × ... × ( k ) = k ) ∩ (X = k ) ∩ ... ∩ (X = k )] = ( Nn ) 1

2

2

c

c

1

2

C

1

2

C

avec k1 + k2 + ... + kc = n et 0 ki Mi. Remarque Pour 1 i c, la variable aléatoire Xi suit la loi hypergéométrique

(N , n , pi).

Prenons un exemple : Une urne contient 5 boules bleues, 7 boules blanches et 8 boules rouges. On tire sans remise 5 boules. Calculer la probabilité d’obtenir deux boules bleues, deux boules blanches et une boule rouge. 5 7 8 2 × 2 × 1 35 P[(X1 , X2 , X3) = (2 , 2 , 1)] = P[(X1 = 2) ∩ (X2 = 2) ∩ (X3 = 1)] = = 323. 20 5

ENFA - Bulletin n°16 du groupe PY-MATH - Décembre 2007 Contact : Conf [email protected]

page 27

LOIS DISCRÈTES PRÉSENTÉES PAR DES MODÈLES D'URNE M N

Une urne contient N boules, de c couleurs, dont M blanches, on pose p = . Pour 1

i

c, on appelle Mi le nombre de boules de couleur i et on pose pi =

Mi . N

On effectue un ou plusieurs tirages d'une boule dans l'urne. n est le nombre de tirages.

n fixé

Expérience

Variable aléatoire X

Loi de X

n=1

On effectue un seul tirage.

nombre de boules blanches obtenues

Bernoulli (1 , p)

n≥1

On effectue n tirages avec remise.

nombre de boules blanches obtenues

Binomiale (n , p) approchée par la loi de Poisson (np) quand n ≥ 30 et p ≤ 0,1

n variable

nombre de tirages nécessaires Géométrique On effectue des tirages pour obtenir la première boule p) ou (1 , p) avec remise. blanche

avec remise

sans remise

n fixé c=2

n variable

r≥1

nombre de tirages nécessaires On effectue des tirages pour obtenir la r-ième boule avec remise. blanche

r≥1

nombre de tirages de boules On effectue des tirages non blanches avant d'obtenir avec remise. la r-ième boule blanche

n≥1

On effectue n tirages nombre de boules blanches sans remise. obtenues

Hypergéométrique (N , n , p)

M=1

On effectue des tirages sans remise.

nombre de tirages nécessaires pour obtenir la boule blanche

Uniforme (N) ou (N , 1 , p)

On effectue des tirages sans remise.

nombre de tirages pour obtenir la r-ième boule blanche

Pascal sans remise (N , r , p)

On effectue n tirages avec remise.

X = (X1, X2, ..., Xc) où Xi est la Multinomiale variable aléatoire "nombre de (n , p1 , ... , pc) boules de couleur i obtenues".

On effectue n tirages sans remise.

X = (X1, X2, ..., Xc) où Xi est la Multihypergéométrique variable aléatoire "nombre de (N , n , p1 , ... , pc) boules de couleur i obtenues".

M≥1

c>2

1≤r≤M

avec remise n fixé

sans remise n fixé n≤N

ENFA - Bulletin n°16 du groupe PY-MATH - Décembre 2007 Contact : Conf [email protected]

Pascal (r , p)

Binomiale négative

I (r , p)

page 28

Loi de X

Ensemble des valeurs possibles de X

Probabilités des valeurs de X

Dans une urne, il y a N boules parmi lesquelles M de couleur blanche, p =

Espérance de X

Variance de X

p

pq

np

npq

λ

λ

1 p

q p2

r p

rq p2

M et q = 1 – p. N

Bernoulli (1 , p)

{0 ; 1}

Binomiale (n , p)

{0 ; 1 ; ... ; n}

Poisson (λ)

IN

P(X = k) = e

Géométrique (p) ou (1 , p)

IN*

P(X = k) = p qk - 1

Pascal (r , p)

{k ∈ IN ; k ≥ r}

P(X = k) =

( kr -- 11 ) p q

Binomiale négative I (r , p)

IN

P(X = k) =

( k +r -r1- 1 ) p q

rq p

rq p2

( Mk ) × ( Nn --Mk ) ( Nn )

np

npq N - n

N+1 2

N2 - 1 12

Hypergéométrique (N , n , p)

Uniforme

(N)

P(X = 0) = q et P(X = 1) = p

P(X = k) =

( nk ) p q k

-λ λ

[max(0; n–N+M) ; min(n;M)] P(X = k) =

{1 ; ... ; N}

n-k

k

k!

r

k-r

r

k

P(X = k) = 1

N

N-1

P(X = k) = Pascal sans remise (N , r , p)

{k ∈ IN ; r ≤ k ≤ N - M + r}

( rM1 ) × ( Nk -Mr ) × M - r + 1 N-k+1 ( kN1 ) -

-

r

N+1 M+1

rq

N (N + 1) (M - r + 1) (M + 1)2(M + 2)

-

M

Dans une urne, il y a N boules de c couleurs. Il y a Mi boules de la couleur i et pi = Ni. (δij = 1 si i = j et 0 sinon) Multinomiale (n , p1 , ... , pc)

ensemble des n-uplets (k1, k2, ..., kc) tels que 0 ≤ ki ≤ Mi et

c

ki = n.

P[(X1, ..., Xc) = (k1, ..., kc)] = n! n (p1, p2, ..., pc) p k1 p k2 ... pckc k1! k2! ... kc! 1 2

cov(Xi, Xj) = δij npi - npipj

i=1

Multihypergéométrique (N , n , p1 , ... , pc)

ensemble des n-uplets (k1, k2, ..., kc) tels que 0 ≤ ki ≤ Mi et

c

i=1

ki = n.

P[(X1, ..., Xc) = (k1, ..., kc)] =

( Mk ) × ( Mk ) × ... × ( Mk ) ( Nn ) 1

1

ENFA - Bulletin n°16 du groupe PY-MATH - Décembre 2007 Contact : Conf [email protected]

2

2

C

C

n (p1, p2, ..., pc)

cov(Xi, Xj) = n (N - n) × Mi (Nδij - Mj) N2(N - 1)

page 29

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF