Lois de probabilités discrètes 1 Loi équirépartie 2 Loi de

Chapitre 5d

Lois de probabilités discrètes

On s’intéresse ici aux lois de variables aléatoires prenant un nombre fini de valeurs.

1 Loi équirépartie Soit X une variable aléatoire prenant n valeurs x 1 , x 2 , . . . , x n . On dit que X suit une loi équirépartie lorsque X prend ces n valeurs avec la même probabilité

1 . n

P(X = x 1 ) = P(X = x 2 ) = . . . = P(X = x n )

2 Loi de B ERNOULLI Définition : loi de B ERNOULLI Une épreuve de B ERNOULLI est une expérience aléatoire qui ne comporte que deux issues, l’une appelée succès de probabilité p, l’autre appelée échec de probabilité 1 − p. La loi de probabilité ci-dessous est appelée loi de B ERNOULLI de paramètre p. issue probabilité

succès (s) p

échec (e) 1−p

Exemple : On lance une fois une pièce équilibrée. On appelle succès l’événement « obtenir Pile ». On obtient la loi de B ERNOULLI de paramètre 21 . Exemple : On lance une fois un dé équilibré à 6 faces. On appelle succès l’événement « obtenir la face 1 ». On obtient la loi de B ER1 NOULLI de paramètre 6 . Remarques : Soit X une variable aléatoire prenant pour valeur 0 ou 1 telle que – P(X = 1) = p ; – P(X = 0) = 1 − p. On dit que X est une variable de B ERNOULLI de paramètre p ou que X suit une loi de B ERNOULLI (on le note «X suit B(p)»). k P(x = k)

1 p

0 1-p

Propriété : La loi de B ERNOULLI de paramètre p a pour : P – espérance mathématique E(X) = p (rappel : E(X) = p i x i ) ; P – variance V(X) = p(1 − p) (rappel : V(X) = p i (x i − x)2 ).

3 Loi binomiale Définition : Shéma de B ERNOULLI Un shéma de B ERNOULLI est la répétition d’épreuves de B ERNOULLI identiques dans des conditions d’indépendance. Exemple : On lance n dés (n > 1). On note A l’événement "obtenir au moins un 6 (sur l’ensemble des n lancers)". 1. Décrire l’événement A à l’aide d’une phrase. 2. Faire un arbre et calculer p(A) dans le cas où n = 3. 3. Dans cette question, on suppose n quelconque. Exprimer p(A) en fonction de n.

4. Combien de dés faut-il lancer pour que la probabilité d’obtenir au moins un six soit supérieure à

3 ? 4

Définition : loi binomiale Un shéma de B ERNOULLI est constitué de n épreuves indépendantes. X est la variable aléatoire qui, à chaque liste de n résultats, associe le nombre de succès. Alors pour tout entier k, avec 0 6 k 6 n, Ã ! n k p (1 − p)n−k . P(X = k) = k La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale de paramètres n et p. Cette loi est notée B(n; p). Démonstration : Chaque liste formée de k succès et donc de n − k échecs, a pour probabilité : p k (1 − p)n−k . Le nombre de telles listes est égal ¡ ¢ au nombre de façons différentes de choisir la position des k succès parmi les n résultats. Il y a nk telles listes. ¡ ¢ Donc P(X = k) = nk p k (1 − p)n−k . Propriété : La loi binomiale de paramètres n et p a pour : – espérance mathématique : E(X) = np ; – variance : V(X) = np(1 p − p) ; – écart-type : σ(X) = np(1 − p). Exercice : Un élève répond au hasard aux 10 questions d’un Q.C.M. Pour chaque question, 5 réponses sont proposées dont une seule est exacte. X est la variable aléatoire égale au nombre de bonnes réponses. 1. Montrer que la loi de probabilité de X est une loi binomiale. 2. Calculer la probabilité d’avoir au moins 5 bonnes réponses. 3. Calculer l’espérance mathématique du nombre de bonnes réponses. Remarque : Chaque question est une épreuve de B ERNOULLI où le succès est « la réponse est exacte » ; alors p = répétition de 10 épreuves identiques et indépendantes ; il correspond alors à un schéma de B ERNOULLI.

1 . Le Q.C.M. est la 5

Le nombre X de bonnes réponses au Q.C.M. est une variable aléatoire de loi binomiale de paramètres 10 et

1 . 5