Lois de probabilités discrètes Loi Notation Modèle propriétés Loi

Lois de probabilités discrètes Loi Loi uniforme

P(X=k)= avec k = 1, 2, …, n.

Notation U(1 ;n)

Modèle

propriétés Si X ˷ U (1 ; n) alors : E(X) = Var (X) =

Loi de bernouilli

P(X=k) =

p si k=1 q=1-p si k=0

Loi binomiale

P(X=k)= Avec k = 0, 1,2,…, n.

X ˷ B (1,p)

X ˷ B (n,p)

modélise le résultat d’une expérience de Bernoulli, c’est-à-dire pouvant avoir uniquement 2 issues dénommées succès (k=1) et échec (k=0) modélise le nombre de succès au cours de n répétitions indépendantes d’une même expérience de Bernoulli dont la probabilité de succès est p.

Si X ˷ B (1,p) alors : E(X) = p Var(X)= pq  Si n= 1 alors cela suit une loi de Bernouilli  Si X ˷ B (n,p) alors

=1

 

Si X ˷ B (n,p) alors E(X)= np et Var (X) = npq. Si X ˷ B (n,p) alors P(X=k+1)= P(X=k) x

Loi de poisson

P(X=k) = Avec k = 0,1, ….

X ˷ P(λ)

Loi associée aux succès des évènements rares. (peut être utilisé comme approximation d’une autre loi).



Si X et Y sont indépendants X X ˷ B (n1,p) et Y ˷ B (n2,p) alors X+Y ˷ B ( n1+ n2,p)



Peut prendre un nombre infini de valeurs Si X ˷ P(λ) alors

  

Si X ˷ P(λ) alors E(X) = λ et Var(X) = λ Si X ˷ P(λ) alors P(X=k+1)=P(x=k)

Lois de probabilité continues Loi Loi uniforme f(x)=

si a≤x≤b 0 sinon

Notation X U [a ; b] avec b>a

Modèle

Propriétés Si X U [a ; b] alors : 0 si x ≤ a  F(x)= si a b  E(X) = 

Loi exponentielle

Loi normale

f(x)=

f(x)=

si x≥ 0 0 sinon

*

cette formule n’est pas à connaître)

X

E( )

X N (µ ;σ) µdéfini la position et σ défini la largeur.

Loi du chi2

E ( ) alors :  P(X ≤x) = F(x)=1 E(X) =

Est notamment utilisée pour une variable aléatoire X décrivant des évènements aléatoires évoluant dans le temps.

Si X

Est notamment utilisée pour une variable aléatoire X décrivant des évènements aléatoires divers comme des mesures mais aussi utile comme loi d’erreurs.

Soit X N (µ ; σ) alors :  σ>0  E(X)= µ  Var(X) = σ²  U= N (0 ; 1)

χ²n= Avec Xi

indépendants



  

T T (n)

T=

si x > 0

Var (X) =



E (χ²n) = n Var (χ²n) = 2n Pour 2 lois du χ² indépendantes à n et p ddl : χ²n + χ²p = χ²n+p P(X²≤u) = P (- ≤X≤ + )= π ( ) – π ) E (T (n)) =0



E (F (n ; p)) =

 Loi de student

Var(X) =

Avec U N (0 ; 1) et V χ²n Loi de fischer

Z

F (n ;p)

Z= X

= v.a.r de Fischer à n et p ddl χ²n et Y

χ²p

pour p>2

B (n,p)

n≥30 np>5 nq>5 np =

=

N (µ; σ)

n>20 p