Lors d`une épidémie chez des bovins, on s`est aperçu que si la

January 12, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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LFA / Terminales S



DS prépa-bac n°2

MAINGUY - EL BAGHLI

Exercice 1 (commun à tous les candidats) Lors d’une épidémie chez des bovins, on s’est aperçu que si la maladie est diagnostiquée suffisamment tôt chez un animal, on peut le guérir ; sinon la maladie est mortelle. Un test est mis au point et essayé sur un échantillon d’animaux dont 1% st porteur de la maladie. On obtient les résultats suivants :

– si un animal est porteur de la maladie, le test est positif dans 85% des cas ;



– si un animal est sain, le test est négatif dans 95% des cas.

On choisit de prendre ces fréquences observées comme probabilités pour la population entière et d’utiliser le test pour un dépistage préventif de la maladie. On note :

– M l’événement : « l’animal est porteur de la maladie » ;



– T l’événement : « le test est positif ». 1) Construire un arbre pondéré modélisant la situation proposée. 2) Un animal est choisi au hasard : a / Quelle est la probabilité qu’il soit porteur de la maladie et que son test soit positif ? b / Montrer que la probabilité pour que son test soit positif est 0,058. 3) Un animal est choisi au hasard parmi ceux dont le test est positif. Quelle est la probabilité pour qu’il soit porteur de la maladie ? 4) On choisit cinq animaux au hasard. la taille de ce troupeau permet de considérer les épreuves comme indépendantes et d’assimiler les tirages à des tirages avec remise. On note X la variable aléatoire qui, aux cinq animaux choisis, associe le nombre d’animaux ayant un test positif. a / Quelle est la loi de probabilité suivie par X ? b / Quelle est la probabilité pour qu’au moins un des cinq animaux ait un test positif ? 5) Le coût des soins à prodiguer à un animal ayant réagi positivement au test est de 100 euros et le coût de l’abattage d’un animal non dépisté par le test et ayant développé la maladie est de 1000 euros. On suppose que le test est gratuit. D’après les données précédentes, la loi de probabilité du coût à engager par animal subissant le test est donnée par le tableau suivant :



a / Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire associant à un animal le coût à engager. b / Un éleveur possède un troupeau de 200 bêtes. Si tout le troupeau est soumis au test, quelle somme doi-il prévoir d’engager ?

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Exercice 2 (commun à tous les candidats) On considère le cube ABCDEFGH représenté sur feuille annexe. Dans tout l’exercice, l’espace est rapporté au repère !!!" !!!" !!!" orthonormal A ; AB ; AD ; AE .

(

)

⎛1 ⎞ On note I le point de coordonnées ⎜ ;1;1⎟ . ⎝3 ⎠ 1) Placer le point I sur la figure.

(

)

( )

( ) ( )

2) Le plan ACI coupe la droite EH en J . Démontrer que les droites IJ et AC sont parallèles.

( )

3) On note R le projeté orthogonal de I sur la droite AC . a / Justifier que les deux conditions suivantes sont vérifiées : !!!" !!!" – il existe un réel k tel que AR = k AC ; !!" !!!" – IR ⋅ AC = 0 . b / Calculer les coordonnées du point R .

11 . 3

c / En déduire que la distance IR est égale à

⎛ 3 ⎞ !⎜ ⎟ 4) Démontrer que le vecteur n ⎜ −3 ⎟ est normal au plan ( ACI ) . ⎝ 2 ⎠

(

)

En déduire une équation cartésienne du plan ACI .

Exercice 3 (commun à tous les candidats) La partie A est indépendante des parties B et C. Partie A prérequis : la fonction exponentielle possède les quatre propriétés suivantes :















(1) : exp est une fonction dérivable sur ! ; ( 2) : sa fonction dérivée, notée exp′ , est telle que, pour tout nombre réel x , exp′ ( x ) = exp ( x ) ; (3) : la fonction exp ne s’annule pas sur ! ; ( 4) : exp (0) = 1 .

1) En n’utilisant que ces quatre propriétés de la fonction exponentielle, démontrer que pour tout nombre réel a et tout nombre réel b : exp a + b = exp a × exp b .

(

)

( )

()

indication : on pourra utiliser la fonction g définie sur ! par g x = exp a + b − x × exp x .

()

2) En déduire que pour tout réel x :







(exp( x ))

2

( )

= exp 2x

(

)

()

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Partie B

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x On considère la fonction f définie sur l’intervalle ⎤⎦ 0 ; + ∞ ⎡⎣ par : f x = x . e −1

()

eh − 1 = 1 . h→0 h En déduire la limite de f en 0 .

1) Démontrer que : lim

2) Déterminer la limite de f en +∞ . Partie C

( )

Soit un la suite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par : un = 1

2

1) Démontrer que : 1+ e n + e n +…+ e

n−1 n

=

1− e 1− e

1 n

1 2 n−1 ⎤ 1⎡ n n n 1+ e + e +…+ e ⎢ ⎥ . n⎣ ⎦

.

⎛ 1⎞ 2) En déduire que : un = e − 1 f ⎜ ⎟ . ⎝ n⎠

(

)

( )

3) Calculer la limite de la suite un .

Exercice 4 (réservé aux candidats ayant choisi l’enseignement de spécialité) Les parties A et B sont indépendantes. Partie A

( )

On considère l’équation E : 7x − 6 y = 1 où x et y sont des entiers naturels.

( )

3) Donner une solution particulière de l’équation E .

( )

4) Déterminer l ‘ensemble des couples d’entiers naturels solutions de l’équation E . Partie B

(

)

Dans cette partie, on se propose de déterminer les couples n ; m d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation :





( )

7 n − 3× 2 m = 1 F .



1) On suppose m ≤ 4 . Montrer qu’il y a exactement deux couples solutions . 2) On suppose maintenant m ≥ 5 . a / Montre que si le couple n ; m vérifie la relation F alors 7 n ≡ 1 ⎡⎣32 ⎤⎦ .

(

)

( )

(

)

b / En étudiant les restes de la division par 32 des puissances de 7, montrer que si le couple n ; m vérifie la

( )

relation F alors n est divisible par 4.

(

)

( )

c / En déduire que si le couple n ; m d’entiers naturels vérifie la relation F alors 7 n ≡ 1 ⎡⎣5⎤⎦ .

(

)

( )

d / Pour m ≥ 5 , existe-t-il des couples n ; m vérifiant la relation F ?

( )

3) Conclure, c’est-à-dire déterminer l’ensemble des couples d’entiers naturels non nuls vérifiant la relation F .

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ANNEXE EXERCICE 2

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