M0031M, Linjär algebra och differentialekvationer Föreläsning 2

M0031M, Linj¨ar algebra och differentialekvationer F¨orel¨asning 2 Ove Edlund LTU

2016-08-30

Ove Edlund (LTU)

M0031M, F¨ orel¨ asning 2

2016-08-30

1/5

Pol¨ara koordinater

Komplexa tal kan beskrivas med pol¨ara koordinater, vilket inneb¨ar att z beskrivs av avst˚ andet fr˚ an origo r och vinkeln mot reella axeln ϕ som uttrycks med arg z. F¨ orh˚ allandet mellan rektangul¨ara koordinater och pol¨ara koordinater beskrivs av uttrycken: p   x = r cos ϕ r = |z| = x 2 + y 2 y = r sin ϕ ϕ = arg z det ger z = x + i y = r (cos ϕ + i sin ϕ) (= r e i ϕ ) Ove Edlund (LTU)

M0031M, F¨ orel¨ asning 2

2016-08-30

2/5

Pol¨ar form

Att uttrycka komplexa tal med pol¨ara koordinater enligt z = r (cos ϕ + i sin ϕ) (= r e i ϕ ) kallas pol¨ ar form. Likhet mellan tv˚ a komplexa tal z1 och z2 i pol¨ar form ges av  r1 = r2 z1 = z2 ⇔ ϕ1 = ϕ2 + k 2 π, k heltal  |z1 | = |z2 | ⇔ arg z1 = arg z2 + k 2 π, k heltal Ove Edlund (LTU)

M0031M, F¨ orel¨ asning 2

2016-08-30

3/5

Satser f¨or pol¨ar form Sats 9.8 L˚ at z1 6= 0 och z2 6= 0 vara komplexa tal. D˚ a g¨aller arg(z1 z2 ) = arg z1 + arg z2 arg

z1 = arg z1 − arg z2 z2

Sats 9.9: deMoivres formel (cos ϕ + i sin ϕ)n = cos nϕ + i sin nϕ d˚ a n ¨ar heltal.

Ove Edlund (LTU)

M0031M, F¨ orel¨ asning 2

2016-08-30

4/5

Andragradsekvationer

L¨ osningsid´ e 1. Kvadratkomplettera 2. Ers¨att kvadraten med en ny variabel 3. Identifiera realdel och imagin¨ardel (leder till reell andragradsekvation) ˚terf¨or l¨osningen till de ursprungliga variablerna. 4. A

Ove Edlund (LTU)

M0031M, F¨ orel¨ asning 2

2016-08-30

5/5