M1 S1 CH2 : Les ensembles de nombres : exercices : énoncés

M1 S1 CH2 : Les ensembles de nombres : exercices : énoncés 2013

Exercice 1 : 4 𝑎=√ 9

;

16 𝑏 = −√ ; 225

𝑐 = (1 − 4√3) × (1 + 4√3);

𝑑 =

2√3 + (√3 − 1)² 50

Préciser pour chacun de ces quatre nombres si ils sont entiers naturels, décimaux, rationnels ou irrationnels.

Exercice 2 : 1. Donner deux rationnels non décimaux dont la somme est un entier. 2. Donner deux rationnels non décimaux dont le produit est un entier. 3. Donner deux décimaux non entiers dont le produit est un entier.

Exercice 3 : Dans chacun des cas suivants trouver un nombre rationnel strictement compris entre : 𝑎)

1 1 𝑒𝑡 4 3

;

𝑏)

1 1 𝑒𝑡 12 11

;

𝑐)

1 1 𝑒𝑡 2004 2003

Exercice 4 : Sans effectuer l’opération, expliquer pourquoi

le nombre suivant est un

nombre décimal : 21 2 × 59

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M1 S1 CH2 : Les ensembles de nombres : exercices : énoncés 2013 Exercice 5 : Les nombres 𝑎 et 𝑏 ont pour produit 247 et pour somme 32. 1) Sans calculer 𝑎 et 𝑏 , trouver la valeur de : 𝐴 = 𝑎² + 𝑏²

;

𝐵=

3 3 + 𝑎 𝑏

;

𝐶 = 5𝑎3 𝑏 + 5𝑎𝑏 3

2) Supposons que 𝑎 et 𝑏 soient des entiers, les déterminer en utilisant la décomposition en produit de nombres premiers de 247. Conclure sur leur appartenance ou non à l’ensemble des entiers naturels. Vérifier alors les résultats obtenus à la question 1.

Exercice 6 : 1. Un spectacle dure 3 heures et 25 minutes. Exprimer la mesure de cette durée, en prenant l'heure comme unité, sous forme d'une fraction irréductible. Ce nombre est-il un décimal ? 2. Une mesure de durée est exprimée sous la forme 𝑛 heures et 𝑝 minutes ( 0 < 𝑝 < 60 ). Pour quelles valeurs de 𝑛 et 𝑝 la mesure en heures de la même durée sera-telle exprimée par un nombre décimal ?

Exercice 7 : 1- On considère le rationnel dont l’écriture à virgule est 𝑟 = 2,370 370 … sa période étant 370. Ecrire ce rationnel sous la forme d’une fraction irréductible. 2- On considère le rationnel dont l’écriture à virgule est 𝑟 = 5,413 131 313 … la période étant 13. Ecrire ce rationnel sous la forme d’une fraction.

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M1 S1 CH2 : Les ensembles de nombres : exercices : énoncés 2013 Exercice 8 :

1. Parmi les nombres rationnels suivants, quels sont ceux qui sont des décimaux ? Justifier la réponse. 1 27 91 42 ; ; ; 7 8 7 17 2. Le but de cette question est d’étudier l’écriture décimale périodique de

1 7

a. Poser la division de 1 par 7. En déduire l’écriture décimale périodique de

1 7

b. Donner, en justifiant, la 32ième décimale du développement périodique de

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1 7

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M1 S1 CH2 : Les ensembles de nombres : exercices : énoncés 2013 3. Le but de cette question est de produire l’écriture décimale périodique de

42 . En utilisant le tableur pour effectuer la division de 42 par 17 on obtient 17

le tableau suivant. A partir de la cellule A2, la colonne A donne les restes successifs de la division de 42 par 17. A partir de la cellule B2, la colonne B donne les quotients successifs. a. Donner sans justification la 20ième décimale de l’écriture décimale de b. A partir du tableau ci-dessus donner l’écriture décimale périodique de

42 17 42 17

c. Expliquer pourquoi on est sûr de retrouver dans la cellule A19 un reste déjà obtenu. 4. On se propose maintenant de retrouver l’écriture fractionnaire du rationnel 𝑎 = 1,232323... Pour cela, calculer 100𝑎 − 𝑎

et en déduire

l’écriture de 𝑎 sous forme fractionnaire.

Exercice 9: 1) Démontrer que : Si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres décimaux alors la somme 𝑎 + 𝑏 est un nombre décimal. 2) Démontrer que : Si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres décimaux alors le produit 𝑎 × 𝑏 est nombre décimal. 3) Démontrer que : Si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres rationnels alors la somme 𝑎 + 𝑏 est un nombre rationnel. 4) Démontrer que : Si 𝑎 et 𝑏 sont des nombres rationnels alors le produit 𝑎 × 𝑏 est un nombre rationnel.

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M1 S1 CH2 : Les ensembles de nombres : exercices : énoncés 2013 Exercice 10 : La lettre 𝑥 désigne un nombre. Dire en justifiant si les énoncés suivants sont vrais ou faux. Enoncé 1 : Si 2𝑥 est un nombre entier naturel, alors 𝑥 est un nombre entier naturel. Enoncé 2 : Si 𝑥 + 3 est un nombre entier naturel, alors 𝑥 est un nombre entier naturel.

Exercice 11: Soit 𝑎 et 𝑏 deux entiers naturel tels que : 𝑎 = 123456789123456789² 𝑏 = 123456789123456788 × 123456789123456790 Le nombre √𝑎 − 𝑏 est-il un nombre entier ?

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