M24

24. Die Exponentialfunktion

Exponentialfunktion, Logarithmus, Potenz

x n x 0 x1 x 2 x 3 x2 x3 Reihe: exp(x)        ... 1 x   ... 0! 1! 2! 3! 2 6 n  0 n! n x n x 2 n x3 xn Folge: exp( x )  lim (1  )  lim [ 1  ( )  ( ) 2  ( ) 3  ... ] n 1 n 2 n 3 n n n 

exp(x)  ex exp(1)  e

D=

Die Funktionalgleichung lautet:

ex1.ex2 = ex1+x2

e

x1. x2

e

∞ xn 1

∞ xm 2

∞

n1 xm x 2 . =  n!  m! =   n! m! n=0 m=0 k=0 n+m=k ∞

xn1 xk-n 2 =   n! (k-n)! k=0 n=0 k

∞ 1

k

∞ 1

k

k! =  k!  n! (k-n)! xn1 xk-n 2 k=0 n=0 =  k!  (nk) xn1 xk-n 2 k=0 n=0 ∞ 1

=  k! (x1+x2) k = ex1+x2 k=0

1 exp(-x) = exp(x) Bew.: 1= exp(0) = exp(x-x) = exp(x).exp(-x) exp(x) ist streng monoton wachsend mit W = (0,∞). Bew.: ex > 1 für x > 0. ex+x = ex ex > ex . e0 = 1. e-x= 1/ex. exp(x) wächst stärker als jede Potenz von x: ∞ xk

lim

xn

x  e

x

0

n+1 n x x (n+1)! x Bew.: e =  k! > (n+1)!  exp(x) < x  0 für x  k=0

1 1 1 1 Irrationalität von e = 0! + 1! + 2! + 3! + ... = 2,71828... ∞

1 1 1 1 1 e =  n! = 0! + 1! + 2! + 3! + ... n=0

m Sei e = k mit m,k . k ≥ 2, da e nicht ganzzahlig ist. Summiert man bis zum k-ten Glied, so bleibt der Rest k

1 R = e -  n! n=0

m 1 1 1 1 1 1 = k - (0! + 1! + ... + k! ) = (k+1)! + (k+2)! + (k+3)! + ... Nach der linken Seite muß k!R  gelten, nach der rechten Seite: 1 1 1 1 1 1 k!R = k+1 + (k+1)(k+2) + (k+1)(k+2)(k+3) + ... < k+1 + (k+1)2 + (k+1)3 + ...

1 = k+1 

1 1 1 - k+1

1 = k