M4 särtryck.indb

SON JUNNES JONAS S RÖM HOLMST MARTIN DHAMRE EVA SME

M4 sa rtryck.indb 1

12-12-13 16.00.12

R1140-090 Detta är ett särtryck ur ISBN 978-91-47-10909-8 © 2013 Martin Holmström, Eva Smedhamre, Jonas Sjunnesson och Liber AB Projektledare: Calle Gustavsson Formgivning och layout: Cecilia Frank/Frank Etc. AB Omslag: Cecilia Frank Bildredaktör: Marie Olsson Illustrationer: Björn Magnusson, Cecilia Frank Faktor: Adam Dahl Första upplagan 1 Repro: Exakta, Malmö Tryck: Egypten 2013

BILDFÖRTECKNING Omslagsfoto: Matton Images 1–2 Janos Jurka/Naturfotograferna/IBL 9 Denny Lorentzen/Scanpix 21, 28, 31, 35 Shutterstock 38 Berit Roald/Scanpix 61, 63 Shutterstock

Kopieringsförbud Detta verk skyddas av upphovsrättslagen! Kopiering, utöver lärares rätt att kopiera för undervisningsbruk enligt BONUS-avtal är förbjuden. BONUS-avtal tecknas mellan upphovsrättsorganisationer och huvudman för utbildningsanordnare, t.ex. kommuner/universitet. Den som bryter mot lagen om upphovsrätt kan åtalas av allmän åklagare och dömas till böter eller fängelse i upp till två år samt bli skyldig erlägga ersättning till upphovsman/rättsinnehavare. Liber AB, 113 98 Stockholm 08-690 92 00 www.liber.se kundservice tfn 08-690 93 30, fax 08-690 93 01 e-post: [email protected]

M4 sa rtryck.indb 2

12-12-13 16.00.13

Januari 2013

Hej! Det här särtrycket innehåller första kapitlet i boken Matematik M4 som utkommer i juli 2013. Boken i sin helhet består av fyra kapitel. Vi föreslår att kursens totala timtal fördelas på ungefär följande sätt: 1

Trigonometri 30 %

2

Derivator

30 %

3

Integraler

20 %

4

Komplexa tal 20 %

I planeringen ovan ingår tid för repetition och prov.

Lycka till med kursen! Författarna

1

M4 sa rtryck.indb 1

12-12-13 16.00.14

Mål i det här kapitlet får du lära dig • härleda trigonometriska samband med hjälp av enhetscirkeln • använda trigonometriska formler • algebraiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • Grafiska metoder för att lösa trigonometriska ekvationer • egenskaper hos trigonometriska funktioner • använda trigonometriska funktioner i tillämpade sammanhang • lösa problem med hjälp av trigonometri • Undersöka matematiska samband med digitala hjälpmedel • hantera trigonometriska uttryck • Genomföra bevis

M4 sa rtryck.indb 2

12-12-13 16.00.21

KApiTeL 1

1 trigonometri BEGrEPP

periodisKA förLopp

I

tidigare kurser har vi använt trigonometri för att beräkna vinklar och sträckor i geometriska figurer. Här ska vi utvidga trigonometrin och möta nya tillämpningsområden. Formler och lagar som du får lära dig i det här kapitlet kan användas i t ex ellära, optik och akustik. Många händelser i naturen återkommer med bestämda mellanrum, man säger att de är periodiska. exempel: • I en ljudvåg varierar lufttrycket periodiskt. • ”Dagens längd” varierar under året. • I en väggkontakt varierar den elektriska spänningen. • Solfläcksaktiviteten varierar periodiskt och når maximal intensitet vart elfte år.

Vattendjupet i t ex en hamnbassäng ändras periodiskt och kan beskrivas med en trigonometrisk funktion. Om vattendjupet är h m efter t timmar får vi sambandet πt h(t ) = 1,5 + 2sin 6 Längst ner på sidan ser du grafen till funktionen.

enhetscirkel

Genom att matematiskt beskriva detta naturfenomen kan vi svara på frågor som: När är djupet mer än 3 m? Hur länge är hamnbassängen tom? Kapitlet ger dig kunskaper så att du kan analysera den här och liknande funktioner.

additionsformlerna

trigonometriska ettan amplitud period cosinuskurva sinuskurva tangenskurva subtraktionsformlerna dubbla vinkeln radian båge cirkelsektor

Listan kan göras lång. Periodiska händelser kan ofta beskrivas matematiskt med hjälp av trigonometriska funktioner. Låt oss titta på tidvattnet som är ett periodiskt förlopp. Två gånger per dygn är det högvatten (flod) och två gånger är det lågvatten (ebb). Det är gravitationen mellan jorden och månen som ger upphov till tidvattnet. T.v. och ovan: Bilderna visar samma plats vid ebb (lågvatten) och vid flod (högvatten).

meter h 3

h(t) = 1,5 + 2sin

πt 6

2 1

t 5

10

15

20

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 3

timmar

3

12-12-13 16.00.24

KApiTeL 1

1.1 grAfernA TiLL y = sin x oCH y = cos x enhetscirkeln och några samband Låt oss titta på en rätvinklig triangel med hypotenusan 1.

1 v

a

Definitionen på sinus och cosinus ger

b

sin v =

a =a 1

cos v =

b =b 1

slutsats: I en rätvinklig triangel med hypotenusan = 1, gäller att motstående katet = sin v närliggande katet = cos v Titta nu på den rätvinkliga triangeln i enhetscirkeln. Eftersom hypotenusan = 1, är alltså kateterna sin v och cos v.

sin v

1

–1

1 v cos v

(x, y)

1

–1

!

definiTion:

En enhetscirkel har radien 1 och medelpunkt i origo. cos v = x-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln sin v = y-koordinaten där radien för vinkeln v skär enhetscirkeln tan v =

y x

=

sin v cos v

Vinkeln v mäts från den positiva x-axeln.

y 2

1 x

3

4

M4 sa rtryck.indb 4

4

Du kommer väl ihåg hur koordinatsystemets fyra kvadranter numreras. Se bilden.

1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.25

KApiTeL 1

Titta på enhetscirkeln igen. Pythagoras sats ger följande samband: (sin v)2 + (cos v)2 = 1 Detta kallas trigonometriska ettan. Uttrycket (sin v)2 kan också skrivas sin2 v, och utläses ”sin-kvadrat-v”.

!

sATs: Trigonometriska ettan

sin2 v + cos2 v =1

y

Sedan tidigare vet vi att sin 30° och sin 150° har samma värde. Se enhetscirkeln till höger som visar att

1

180° – v

v cos(v)

cos(180–v)

sin(180° – v) = sin v cos(180° – v) = –cos v Från den här bilden kan vi se att cos (–v) = cos v

1

y 1 sin v

sin (–v) = –sin v Eftersom tan v =

x

v

sin v får vi att cos v

tan (180° – v) = – tan v

–v

x 1

sin(–v)

tan (–v) = (–tan v)

! sin (180° – v) = sin v

sin (–v) = –sin v

cos (180° – v) = –cos v

cos (–v) = cos v

tan (180° – v) = –tan v

tan (–v) = –tan v

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 5

5

12-12-13 16.00.26

KApiTeL 1

Vad händer med sin v och cos v om vi lägger till 360° till vinkeln v? Att addera 360° innebär att radien får rotera ytterligare ett varv. Detta medför att sin (360° + v ) = sin v och att cos (360° + v) = cos v Man säger att perioden för sinus och cosinus är 360°. Vi får t ex att sin 30° = sin (30° + 360°) = sin 390° y

Låt oss nu undersöka vad som händer om vi lägger till 180° till vinkeln v?

1 v + 180°

Bilden visar att sin v = b och sin (v + 180°) = –b cos v = a och cos (v + 180°) = –a

(a, b) x

v 1 (–a, –b)

För tan (v + 180°) gäller alltså tan( v + 180° ) =

sin( v + 180° ) −b b = = = tan v cos( v + 180° ) − a a

! sin (v + 180°) = –sin v cos (v + 180°) = –cos v tan (v + 180°) = tan v

Att tan (v + 180°) = tan v betyder att tangens har perioden 180°. Om vi adderar en period, dvs 180° för tangens, får vi alltså samma värde som tan v. Detta innebär t ex att tan 5° = tan 185° = tan 365°

! PERIOD

6

M4 sa rtryck.indb 6

sin v = sin (v + n · 360°)

där

n är ett heltal

360°

cos v = cos (v + n · 360°)

där

n är ett heltal

360°

tan v = tan (v + n · 180°)

där

n är ett heltal

180°

1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.27

KApiTeL 1

EXEMPEL 1

För en vinkel v gäller att 90° < v < 180° och sin v = 0,6. Bestäm cos v utan att använda räknare. Vi söker alltså x-koordinaten i enhetscirkeln för den punkt som har y = 0,6 och ligger i andra kvadranten (eftersom 90° < v < 180°). y

Trigonometriska ettan ger (cos v)2 + (sin v)2 = 12 cos2 v + 0,62 = 1 cos2 v = 1 – 0,36 cos2 v = 0,64

1 (x, 0,6) 1

v x

–1

1

cos v = ± 0,64 = ± 0,8 –1

Här gäller endast den negativa lösningen, eftersom vi vet att koordinaten finns i andra kvadranten. svar: cos v = –0,8 EXEMPEL 2

Antag att du vet att sin35° ≈ 0,57, cos 35° ≈ 0,82 och tan 35° ≈ 0,70. Bestäm följande utan att använda räknare. a) cos 755° = cos (755° – 2 · 360°) = cos 35° ≈ 0,82 Vi subtraherar 2 perioder. b) tan (–145°) = tan (–145° + 180°) = tan 35° ≈ 0,70 Vi adderar en period. c) sin (–395°) = sin (–395° + 360°) = sin (–35°) ≈ –0,57 EXEMPEL 3

Bestäm det exakta värdet för tan 480° om du vet att tan60° = 3 Vi subtraherar 3 perioder och får 480° – 3 · 180° = –60° tan480° = tan120 °== tan(180 ° − 120 tan60 tan 480° tan (–60°) = °–) = tan 60° °==– 3

svar: tan 480° = – 3

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 7

7

12-12-13 16.00.29

KAPITEL 1

1101 Använd enhetscirkeln och bestäm.

1107 Avgör, utan att använda räknare,

a) cos 90°

b) sin 90°

c) cos 180°

d) sin 180°

vilka av följande likheter som är rätt. Motivera.

e) cos 270°

f) sin 270°

a) sin 40° = sin (–40°) b) cos 40° = cos (–40°)

1102 a) Du vet att sin 30° = 0,5.

c) sin 580° = sin 40°

Ange ytter­ligare en vinkel som har sinusvärdet 0,5.

b) Utgå från cos 60° = 0,5 och bestäm ytterligare en vinkel som har cosinus­värdet 0,5.

d) tan 40° = tan 580° 1108 Bestäm med hjälp av

5

figuren sin v och tan v.

v 4

1103 Bestäm följande trigonometriska värden

med hjälp av figuren.

1109 a) Använd trigonometriska ettan och

y

bestäm det exakta värdet av sin v om cos v = 3 / 10.

1

b) Bestäm tan v när du vet att cos v = 5 / 13 och vinkeln v ligger i första kvadranten.

(0,93; 0,37) x

22° 1

1110 Rita en enhetscirkel och förklara

a) sin 22°

b) cos 22°

c) sin 202°

d) sin 338°

e) cos (–22°)

f) cos 1598°

sambanden cos (180° – v) = –cos v och sin (180° – v) = sin v.

1111

I enhetscirkeln har punkten P koordinaterna (a, b). y

1104 Bestäm följande utan räknare.

1

a) sin 750° då sin 30° = 0,5

P

b) tan 20° då du vet att tan 200° ≈ 0,36 c) sin 340° då du vet att sin 20° ≈ 0,34

(a, b) x

v –1

1

1105 En vinkel v finns i 1:a kvadranten.

Bestäm med hjälp av trigonometriska ettan värdet av cos v då sin v = 5 / 13.

–1

Bestäm med hjälp av figuren 1106 Använd trigonometriska ettan och att

sin 30° = 0,5 när du bestämmer följande. 2

2

a) (sin 60°) + (cos 60°) 2

b) 1 – (sin 30°) 8

M4 sa rtryck.indb 8

a) sin v b) sin (180° – v) c) cos v d) cos (–v)

1.1  Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.30

KApiTeL 1

1112

Lös denna NP-uppgift utan räknare.

1115

Ordna följande tal i storleksordning: a = sin 24°, b = cos 100° och c = sin 165°. Motivera ditt svar.

I den spetsvinkliga triangeln ABC är sin A = 0,6. a) Bestäm värdet av sin (B + C) b) Bestäm värdet av cos (B + C)

(Np Ma D 2005 )

(Np Ma D Vt 2011) B 2

1113 Beskriv de tre uttrycken cos x ,

(cos x)2 och cos cos x. Är det något av uttrycken som betyder samma som cos2 x?

1114

Punkten P har koordinaterna (a, b).

A

1116

y T

1

C

Ge exempel på två vinklar v, för vilka sin v inte gäller. definitionen tan v = cos v

P (a, b) x

v –1

1

R –1

S

a) Bestäm koordinaterna för punkterna T, R och S i bilden. b) Använd resultatet i a för att visa sambandet sin v = cos (v + 270°) och cos v = –sin (v + 270°).

TAnKenöT 1

En elev ska gö ra en koksaltlösn ing med koncentratione n 5,0 % och lö ser därför 5 g salt i 100 g vatten . Som tur var, så upptäcktes at t detta blev fel. Hur m ycket ytterlig are salt ska tillsät tas för att lösningen ska bli 5,0-procentig ?

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 9

9

12-12-13 16.00.33

KApiTeL 1

sinuskurvor Vi börjar med ett praktiskt exempel. Bilden visar lilla Marja som åker ”pariserhjul”. D Antag att pariserhjulet har radien 5 meter och att hjulets medelpunkt är på samma höjd E som trädets topp. När Marja är allra högst upp, är hon alltså 5 meter över trädtoppen. När Marja är nere på marken igen, så är hon 5 meter under trädtoppen.

y C B

5

5

y

x

A

5

F

Vi kallar Marjas höjd över trädtoppen för y. Höjden y kan alltså variera mellan +5 m och –5 m. Höjden y beror på radiens vinkel x mot horisontalplanet, se bilden. Vi säger att höjden y är en funktion av vinkeln x. I nästa bild har vi ritat en graf som visar hur Marjas höjd över trädtoppen beror av vinkeln x. Grafen kallas sinus-kurva. Punkterna A–F på grafen motsvarar de punkter som är markerade på pariserhjulet. y Titta nu på den blå triangeln i pariserhjulet. Här ser vi att sin x = 5 dvs y = 5 · sin x. meter 5

y

C D

B

A

x

E 90°

–5

10

M4 sa rtryck.indb 10

360°

F

1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.35

KApiTeL 1

x 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°

sin x 0 0,50 0,87 1 0,87 0,50 0 –0,50 –0,87 –1 –0,87 –0,50 0

Låt oss nu rita grafen till y = sin x för 0° ≤ x ≤ 360° Vi beräknar y = sin x för några olika vinklar x. Se värdetabellen. y 1 0,5 x 30° 60° 90° 120° 150° 180°

270°

360°

–0,5 –1

Om vi inte har något begränsat intervall för vinkeln x, får vi grafen nedan. y

en period

1

y = sinx A

A

x –180°

–90°

90°

180°

270°

360°

450°

540°

630°

720°

-1

Lägg märke till att kurvan ”börjar om igen”, dvs den upprepar sitt förlopp efter 360°. För lilla Marja betyder det att pariserhjulet snurrar mer än 1 varv! En funktion som upprepar sitt förlopp kallas en periodisk funktion. Med en period menar vi avståndet i x-led för ett helt förlopp. Här är perioden = 360°. Funktionsvärdet y varierar mellan 1 och –1. Amplituden är grafens största avstånd från ”nollnivån”. Grafen y = 1 · sin x har amplituden 1, och för ”pariserhjulet” är amplituden 5.

! y = sin x har amplituden 1 och perioden 360°

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 11

11

12-12-13 16.00.37

KApiTeL 1

EXEMPEL 1

a) y = 3 · sin x Låt oss nu titta på graferna till y = 3 sin x och y = sin x. Graferna skiljer sig åt genom att y-värdet är 3 gånger större för 3 · sin x. Se tabellen och graferna. x sin x 3 · sin x

0° 0 0

90° 1 3

180° 0 0

270° –1 –3

360° 0 0

Observera att y = 3 sin x betyder 3 · sin x y = 3 sin x har amplituden 3 och perioden 360°. y y = 3 sinx

3 2 1

y = sinx x 90°

180°

270°

360°

–3

b) y = sin 3x Bilden visar graferna till y = sin 3x och y = sin x x

0° 30° 60° 90° 120° 1

y

3sin x 3 · sin 0° = 3 · 0 = 0 3 · sin 30° = 3 · 0,5 = 1,5 3 · sin 60° ≈ 3 · 0,87 ≈ 2,6 3 · sin 90° = 3 · 1 = 3 3 · sin 120° ≈ 3 · 0,87 ≈ 2,6 y = sinx

y = sin3x

x 90°

–1

135°

180°

270°

360°

360°= 120° 3

y = sin 3x har amplituden 1 och perioden 120°. Perioden för sin 3x beräknas med divisionen

12

M4 sa rtryck.indb 12

360° = 120° 3

1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.39

KApiTeL 1

c) y = sin

x

3 x Bilden visar graferna till y = sin och y = sin x 3 y

y = sin x 3

y = sinx

1

x –180°

–90°

90°

180°

270°

360°

450°

540°

-1

Funktionen y = sin

x har amplituden 1 och perioden 1080°. 3

Perioden beräknas med divisionen

!

360° = 360° ⋅ 3 = 1080° 1 3

Funktionen y = A · sin kx har amplituden A och perioden

360° k

EXEMPEL 2

Bilden visar grafen till funktionen y = 2 + sin x. Observera att grafen har ”lyfts upp” två enheter från x-axeln. 3

x

0° 30° 60° 90°

2 + sin x 2 + sin 0° = 2 + 0 = 0 2 + sin 30° = 2 + 0,5 = 2,5 2 + sin 60° ≈ 2 + 0,87 ≈ 2,87 2 + sin 90° = 2 + 1 = 3

y A

y = 2 + sinx

2 1 x 90°

180°

270°

360°

y = 2 + sin x har amplituden 1 och perioden 360°. Funktionens största värde är 3 och minsta värdet är 1.

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 13

13

12-12-13 16.00.40

KApiTeL 1

EXEMPEL 3

Bilden visar graferna till y = sin (x + 30°) och y = sin x x

sin (x + 3)

0°

sin (0° + 30°) = sin 30° = 0,5

30°

sin (30° + 30°) = sin 60° ≈ 0,8

60°

sin (60° + 30°) = sin 90° = 1 y 1

y = sin(x + 30°) y = sinx

–180°

180°

x 360°

Lägg märke till att grafen till y = sin (x + 30°) har förskjutits 30° åt vänster i förhållande till y = sin x. EXEMPEL 4

Bilden visar graferna till y = sin (x – 30°) och y = sin x Kurvan y = sin (x – 30°) har förskjutits 30° åt höger i förhållande till kurvan y = sin x. y 1

y = sinx y = sin(x – 30°) x

–30°

30°

90°

150°

210°

270°

330° 390°

EXEMPEL 5

Ange amplitud, period och förskjutning för funktionen y = 2 sin (3x + 60°). Funktionen kan skrivas y = 2sin 3(x + 20°) 360° = 120° 3 Kurvan är förskjuten 20° åt vänster jämfört med sin 3x.

svar: Amplitud = 2

14

M4 sa rtryck.indb 14

Period =

1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.42

KApiTeL 1

EXEMPEL 6

Bestäm grafens ekvation på formen y = Asin k(x + v) + C y

ymax

mittlinje

A 1

x 90°

270°

ymin

Största värdet = 4 Minsta värdet = –2 Amplituden A är halva differensen mellan största och minsta värdet. A=

y max − y min 4 − (−2) = =3 2 2

”Mittlinjen” C ligger mitt emellan största och minsta värdet. C=

y max + y min 4 + (−2) = =1 2 2

Period = 180° ger k = 2 Förskjutning 30° åt höger ger v = –30° svar: y = 3 sin 2(x – 30°) + 1 EXEMPEL 7

Rita med räknare graferna till f(x) = sin x och g(x) = –sin x. Jämför graferna. Vi ställer in grafritaren på grader (DEG) och ritar t ex i intervallet 2 y 0° < x < 360°. y = sinx

Graferna ritas för –2 < y < 2 som bilden visar. svar: Grafen till g(x) = –sin x är ”spegelvänd” i x-axeln jämfört med grafen till f (x) = sin x

x 60

360

y = sin(–x) –2

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 15

15

12-12-13 16.00.44

KAPITEL 1

Ange amplitud och period till följande funktioner. 1117

a) y = 5 sin 2x

följande funktioner kan anta. a) y = 3 sin x

b) y = 2 sin 4x

b) y = sin 4x + 1

c) y = 1 + 3 sin 5x x 1118 a) y = 4sin 2

c) y = 2 – 3 sin x

x b) y = sin 4

c) y = 1,5 + 0,5sin 1119

1125 Ange det största och minsta värde som

1126 Ange ekvationen för sinuskurvan i bilden.

x 3

y 1

Rita graferna till följande funktioner. Använd gärna grafritare. a) y = 2 sin x

x 90°

b) y = 4 sin 2x

270°

–1

c) y = 3 + sin x 1127 Ange ekvationen för följande sinus­

Ange hur följande grafer är förskjutna i förhållande till motsvarande grundfunktion.

funktioner på formen y = A sin k(x + v) a) Amplitud = 1 Period = 180° Förskjutning = 0°

1120 a) y = sin (x + 20°)

b) y = sin (x – 50°)

b) Amplitud = 5 Period = 180 Förskjutning 30° åt höger

1121 a) y = 2 sin (x + 45°)

b) y = sin (2x – 60°)

c) Amplitud = 3 Period = 720° Förskjutning 40° åt vänster

Ange amplitud, period och förskjutning. 1122 a) y = 3 sin (2x – 50°)

b) y = 4sin (2x + 30°)

1128 Bestäm ekvationen för följande

1123 a) y = 2 + 1,5sin (5x – 60°)

sinuskurvor.

b) y = 2sin 3(x + 30°)

a) y

1124 Funktionerna i bilden kan skrivas på

1

formen y = A sin kx.

x

Bestäm konstanterna A och k. y 1

45° 90°

180°

270°

360°

–1

a b x 45°

90°

135°

180°

–1

16

M4 sa rtryck.indb 16

1.1  Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.45

KApiTeL 1 y

b)

1133

1

5 4 3 2 1

x 60° –45°

c)

1130 Rita graferna till

f (x) = 3 – 2 sin 3x och g(x) = 3 + 2 sin 3x. Jämför graferna och beskriv skillnader och likheter. Förklara!

1131

Bestäm de positiva konstanterna b och k för y = b sin kx + 4 så att perioden blir 720° och minsta värdet blir –3.

1132

Skissa grafen till funktionen y = 3 sin (2x + 60°) + 1 på rutat papper. Rita sedan grafen med räknare som kontroll.

45°

90°

135°

180°

225°

Bestäm den positiva konstanten A i funktionen f (x) = 5 + A sin 3x så att funktionens största värde blir dubbelt så stort som dess minsta värde. (Np Ma Vt 1999)

1136

Simon försöker i ord beskriva en trigonometrisk funktion y(x). ”Kurvans största värde är 5 och minsta värdet är –1. Kurvan hinner med 2 hela svängningar på 180°. Jag vet också att y(60°) = 2”. Ge exempel på en sinusfunktion enligt Simons beskrivning.

TAnKenöT 2 Lös ekvationssyst emet x = 2y = 4z x 2 + y 2 + z 2 = 21

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 17

270°

1135

x

En sinusfunktion har största värdet = 5 och minsta värdet = 1. Perioden är 90º. Ge exempel på ett funktionsuttryck som uppfyller dessa villkor.

x

Graferna till y = A sin kx och y = A sin (kx + v) har samma period, men ligger inte i fas. Förklara hur mycket y = A sin (kx + v) är förskjuten jämfört med y = A sin kx?

y

360°

y

1134

1

1129

Bestäm grafens ekvation på formen y = A sin (kx + v) + C

17

12-12-13 16.00.46

KAPITEL 1

DIGITALA RUTAN

Trigonometriska funktioner

Här ska du använda räknare och undersöka grafen till en trigonometrisk funktion av typen y = A sin k(x + v) + C. Du ska alltså ta reda på hur konstanterna A, k, v och C påverkar grafen. Kontrollera att räknaren är inställd på grader! Bilden visar grafen till y = sin x y1=sin(x)

x x=148.93617

y=.51599267

Kurvan gör en hel svängning på 360°, vilket innebär att perioden är 360°. Kurvans y-värden varierar mellan –1 och 1, kurvans amplitud är 1. • Rita y = A sin x för några olika värden på konstanten A. Formulera en slutsats om hur konstanten A påverkar grafens form. • Rita y = sin x + C för olika värden på konstanten C. Formulera en slutsats om hur konstanten C påverkar grafen. • Rita y = sin kx för k = 1, k = 2, 3, 4 och 5. Gör en tabell där du fyller i dina värden enligt nedan. Hur påverkar konstanten k perioden? k period

1 360°

2

3

4

5

• Rita i samma koordinatsystem y = sin x och y = sin (x + 40°). Rita sedan y = sin x och y = sin (x – 40°). • Skissa grafen till y = 3 sin 2x + 1 på rutat papper. Kontrollera sedan med räknare. • Skissa grafen till y = 3 sin (2x – 60°) + 1 på rutat papper. Kontrollera med räknaren. • Rita och jämför graferna till y = sin x och y = cos x

18

M4 sa rtryck.indb 18

1.1  Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.48

KApiTeL 1

Cosinuskurvor y 1

y = sinx x 90°

–1

180°

270°

360°

450°

540°

630°

720°

y = cosx

I bilden finns graferna till y = sin x och y = cos x. Vi ser att graferna har samma form. Grafen till y = cos x får vi genom att förskjuta funktionsgrafen y = sin x åt vänster 90°. EXEMPEL 1

Bilden visar graferna till y = cos (x + 30°) och y = cos x x 0°

cos (x + 30°)

30°

cos (30° + 30°) = cos 60° = 0,5

60°

cos (60° + 30°) = cos 90° = 0

cos (0° + 30°) = cos 30° ≈ 0,87

1

y

y = cos(x + 30°) y = cosx 90°

x 180°

270°

360°

–1

Lägg märke till att kurvan y = cos (x + 30°) har förskjutits 30° åt vänster i förhållande till kurvan y = cos x. EXEMPEL 2

x Ange amplitud, period och förskjutning för y = 1 + 3cos( − 20°) . 2

Funktionen kan skrivas y = 1 + 3 cos 0,5 (x – 40°) Amplitud = 3 Observera att ”ettan” endast ”lyfter upp” grafen en enhet. 360° = 720° Period = 0,5 Kurvan är förskjuten 40° åt höger i förhållande till y = cos 0,5x

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 19

19

12-12-13 16.00.50

KApiTeL 1

EXEMPEL 3

Bestäm ekvationen för grafen i bilden, både som en sinus-funktion och en cosinus-funktion. y 5

1

x 90°

180°

270°

360°

Sinus-funktion

Cosinus-funktion

Amplitud = 2

Amplitud = 2

Period = 360°

Period = 360°

Förskjutning = 30° åt vänster

Förskjutning = 60° åt höger

Dessutom har kurvan ”lyfts upp” 3 enheter

Kurvan har ”lyfts upp” 3 enheter

svar: y = 3 + 2 sin (x + 30°) eller y = 3 + 2 cos (x – 60°)

1137

Rita i samma koordinatsystem graferna till y = cos x och y = 2 cos x

1138

Ange perioden till följande funktioner. a) y = cos 3x

b) y = –cos x

c) y = 3 cos 2x 1139

Ange det största och minsta värde som följande funktioner kan anta. a) y = 3 cos x b) y = 4 – cos 2x cos5 x c) y = 2

20

M4 sa rtryck.indb 20

1140

Ange ekvationerna för följande cosinusfunktioner. a) Amplitud = 1 Period = 360° Förskjutning 30° åt höger b) Amplitud = 3 Period = 180° Förskjutning 40° åt höger c) Amplitud = 4 Period = 720° Förskjutning 10° åt vänster

1.1 Graferna till y = sin x och y =cos x

12-12-13 16.00.51

KApiTeL 1

1141

Skriv grafen både som sinusfunktion och cosinusfunktion. a)

1143

Visa hur du bestämmer konstanterna b och k i funktionen y = 2 + b cos kx så att perioden blir 90° och minsta värdet blir –1.

1144

Vilken funktion är ritad i bilden?

y 1 x 180°

360°

–1 5

b)

4 3 2

y 1

1 x 180°

4 3 2

–90° –1

1145

a b

1

90°

135°

Teckna funktionsutttrycket både som y = A sin (kx + v) + B och som y = A cos (kx + v) + B Förklara hur du tänker.

Teckna funktionsuttryck för de två graferna nedan. y

x 45°

360°

–1

1142

y

Grafen till y = A cos x + B skär y-axeln i y = 2 och antar sitt största värde y = 6 för x = 180°. Bestäm funktionsvärdet då x = 240°.

x 90° 180° 270° 360° 450°

TAnKenöT 3

Två cyklister åker varandra till mötes. De star tar 12 km från va randra och kl ockan är då 12. En av cyklisterna hå ller farten 45 km/h medan den an dres hastighet är 36 km/h. Hur lång t ifrån varandra är cyklisterna 10 minuter in nan de möts?

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 21

21

12-12-13 16.00.55

KApiTeL 1

1.2 grAfer oCH eKVATioner Trigonometriska ekvationer ekvationen sin x = a

Att ekvationen sin x = 0,5 har två svar känner vi till sedan tidigare. Räknaren ger oss den första roten, nämligen vinkeln x1 = 30°. Med hjälp av enhetscirkeln, se bilden, får vi den andra roten x2.

y

x2 = 180° – 30° = 150° x2

x1 = 30°

x

Låt oss nu lösa ekvationen sin x = 0,5 grafiskt. Vi ritar därför kurvan y = sin x och linjen y = 0,5 i samma koordinatsystem. Därefter avläser vi skärningspunkternas x-koordinater. Från bilden nedan ser vi att graferna skär varandra i fler än två punkter! Kurvan och linjen skär faktiskt varandra i oändligt många punkter. Alla dessa punkters x-koordinater är rötter till ekvationen sin x = 0,5. y y = sinx

1

y = 0,5 x

–360°

–180°

–330°

180°

–210°

30°

150°

360° 390°

540° 510°

På bilden ser vi att ekvationen har rötterna –330°, –210°, 30°, 150°, 390°, 510°… Hur kan vi beräkna alla dessa rötter?

22

M4 sa rtryck.indb 22

1.2 Grafer och ekvationer

12-12-13 16.00.56

KApiTeL 1

Åter till enhetscirkeln! Om vi vrider radien i enhetscirkeln ett helt varv, så återkommer vi till samma läge igen. Vinklarna är nu 30° + 360° = 390° eller 150° + 360° = 510°. Om vi vrider radien två hela varv, får vi vinklarna 30° + 2 · 360°= 750°eller 150° + 2 · 360° = 870° Om vi i stället vrider radien ett varv ”bakåt”, får vi 30° – 360° = –330° eller 150° – 360° = –210° Om vi vrider radien n hela varv, får vi vinklarna 30° + n · 360° eller 150° + n · 360°

! Ekvationen sin x = 0,5 har lösningar x = 30° + n · 360° eller x = 180° – 30° + n · 360°

!

sATs: Lösningar till sin x = a

Om ekvationen sin x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas x = v + n · 360° eller x = 180° – v + n · 360°

Observera att n betyder alla heltal, både positiva och negativa, och att ekvationen har oändligt många lösningar. Termen n · 360° anger att perioden är 360°.

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 23

23

12-12-13 16.00.57

KApiTeL 1

ekvationen cos x = a

I bilden nedan har vi ritat graferna till y = cos x och y = 0,5. Vi ser att linjen skär kurvan i en mängd punkter. Alla dessa punkters x-koordinater ger oss lösningarna till ekvationen cos x = 0,5 Vi ser att lösningarna ligger symmetriskt i förhållande till y-axeln. Lösningarna är ±60°, ±300°, ±420° osv. y 1 –360° –420° –300°

y = cosx

–180°

y = 0,5 180°

–60°

60°

x 360° 420° 300°

Hur kan vi beräkna alla dessa lösningar? Vi betraktar ekvationen cos x = 0,5 igen. Räknaren ger oss vinkeln x1 = 60° Den andra vinkeln x2 = –60°. Se enhetscirkeln! Om radien i enhetscirkeln vrids n varv får vi vinklarna ±60° + n · 360°

y

x1

x

x2

! Ekvationen cos x = 0,5 har lösningarna x = ± 60° + n · 360°

!

sATs: Lösningar till cos x = a

Om ekvationen cos x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas x = ± v + n · 360°

24

M4 sa rtryck.indb 24

1.2 Grafer och ekvationer

12-12-13 16.00.58

KApiTeL 1

EXEMPEL 1

Lös ekvationen sin x = 0,8 Svara i hela grader. Räknaren ger närmevärdet 53,1301… x ≈ 53° + n · 360°

eller

x ≈ 180° – 53° + n · 360° x ≈ 127° + n · 360°

svar: x ≈ 53° + n · 360° eller x ≈ 127° + n · 360° EXEMPEL 2

Lös ekvationen sin 3x = 0,5 Räknaren ger 30°. 3x = 30° + n · 360°

eller

3x = 150° + n · 360°

Nu divideras alla termer med 3. Glöm inte perioden! x = 10° + n · 120°

eller

x = 50° + n · 120°

Bilden visar att skärningspunkterna återkommer med perioden 120°. y 1

y = sin3x y = 0,5 x 90°

180°

120°

svar: x = 10° + n · 120° eller x = 50° + n · 120°

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 25

25

12-12-13 16.00.59

KApiTeL 1

EXEMPEL 3

Lös ekvationen sin (x – 20°) = 0,5 Räknaren ger 30°. x – 20° = 30° + n · 360° x = 30° + 20° + n · 360° x = 50° + n · 360° Den andra lösningen är x – 20° = 180° – 30° + n · 360° x = 150° + 20° + n · 360° x = 170° + n · 360° svar: x = 50° + n · 360° eller x = 170° + n · 360° EXEMPEL 4

Lös ekvationen sin (2x + 10°) = 0,866. Svara i hela grader. Räknaren ger 60°. 1) 2x + 10° = 60° + n · 360° 2x = 50° + n · 360° Alla termer har dividerats med 2! x = 25° + n · 180° 2) 2x + 10° = 180° – 60° + n · 360° 2x = 110° + n · 360° x = 55° + n · 180° svar: x = 25° + n · 180° eller x = 55° + n · 180° EXEMPEL 5 y

Lös ekvationen sin x = –0,5 Räknaren ger x = –30°. Observera att vinkeln –30° motsvaras av 360° – 30° = 330°. Se enhetscirkeln! x = 330° + n · 360°

x –30° 210°

330°

Den andra lösningen är x = 180° – (–30°) + n · 360° x = 210° + n · 360° Här väljer vi att ange svaret i positiva vinklar. svar: x = 330° + n · 360° eller x = 210° + n · 360°

26

M4 sa rtryck.indb 26

1.2 Grafer och ekvationer

12-12-13 16.01.01

KApiTeL 1

EXEMPEL 6

Lös ekvationen cos x = 0,707. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 45°. x ≈ ±45° + n · 360° y

svar: x ≈ ±45° + n · 360° Lägg märke till att –45° motsvaras av 360° – 45° = 315°

x 315°

–45°

Se enhetscirkeln. Om vi vill skriva svaret i positiva vinklar, får vi x ≈ 45° + n · 360° eller x ≈ 315° + n · 360° EXEMPEL 7

Lös ekvationen cos (x – 30°) = 0,94. Svara i hela grader. Räknaren ger vinkeln 20°. x – 30° ≈ ±20° + n · 360° Här måste vi dela upp lösningarna. x – 30° ≈ 20° + n · 360° x – 30° ≈ –20° + n · 360° x ≈ 50° + n · 360° x ≈ 10° + n · 360° svar: x ≈ 50° + n · 360° eller x ≈ 10° + n · 360° EXEMPEL 8

Lös ekvationen cos (2x + 20°) = 0,5 Räknaren ger vinkeln 60°. 2x + 20° = ±60° + n · 360° Här måste vi dela upp lösningarna. 2x + 20° = 60° + n · 360° 2x + 20° = – 60° + n · 360° 2x = 40° + n · 360° 2x = –80° + n · 360° x = 20° + n · 180° x = –40° + n · 180° x = –40° + 180° + n · 180° svar: x = 20° + n · 180° eller x = 140° + n · 180°

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 27

27

12-12-13 16.01.02

KAPITEL 1

Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader. 1201 a) sin x = 0,174

b) sin x = 0,643

1202 a) sin 3x = 0,707

b) sin 2x = 0,643

1217 Här ska du lösa ekvationen

2 sin (4x – 30°) + 1 = 1,8 a) algebraiskt

b) grafiskt genom att rita y = 2 sin (4x – 30°) + 1 och y = 1,8 med grafritare.

1203 a) sin (x – 30°) = 0,342

b) sin (x + 10°) = 0,985 1218 Ahmed löser en trigonometrisk

1204 a) sin (2x + 10°) = 0,342

ekvation enligt nedan. Han gör dock ett fel! Finn felet och rätta till det!

b) sin (3x – 15°) = 0,707

cos (2x + 30°) = 0,61

1205 a) sin 0,25x = 0,174

b) sin

x = 0,707 3

1206 a) sin x = –0,707

b) sin 2x = –0,9

1207 a) 3 sin x = 2,457

b) 2 sin x + 1 = 0

1208 a) cos x = 0,819

b) cos x = 0,342

1209 a) cos 2x = 0,94

b) cos 3x = 0,707

1210 a) cos (x + 40°) = 0,259

b) cos (x – 15°) = 0,707 1211 a) 2 cos x = 0,684

b) 3 cos 2x = 0,522 1212 a) cos (x – 10°) = –0,5



2x + 30° = ±52,4° + n · 360°



2x + 30° = 52,4° + + n · 360°



2x = 22,4° + + n · 360°



x = 11,2° + n · 180° eller



x = –11,2° + n · 180°

3 2 har en lösning x = 10° + n · 120°.

1219 Ekvationen sin(ax + b ) =

Bestäm a och b samt ekvationens övriga lösningar. Visa hur du gör. 1220 Zara påstår att en viss ekvation har

lösningen x = n · 120°, x = 180° + n · 360°. Max har fått svaret x = ±120° + n · 360°, x = n · 180° på samma ekvation. Kan de ha rätt båda två?

b) cos 3x = –0,259 x = 0,985 3 sin x 1214 a) 2 + 3 sin x = 0,5 b) = 0,25 2 1213 a) cos 3x = 1,2

b) cos

1215 Bestäm samtliga lösningar till

ekvationerna. Svara i grader med en decimal. a) 6 sin (2x – 10°) + 1 = 3 b) 6 cos (2x – 10°) + 1 = 3

1216 Lös ekvationen 24 sin (2x – 20°) + 1 = 13

utan att använda räknare.

28

M4 sa rtryck.indb 28

1.2  Grafer och ekvationer

12-12-13 16.01.05

KApiTeL 1

ekvationer och intervall EXEMPEL 1

Lös ekvationen sin x = 0,5

0° ≤ x ≤ 450°

Den här ekvationen skiljer sig från de ekvationer som vi har löst tidigare eftersom vi ska finna de rötter som ligger i ett intervall. Vi börjar med att lösa ekvationen som vanligt: x = 30° + n · 360° eller x = 150° + n · 360° Vi prövar nu med olika värden på n för att se vilka rötter som finns i intervallet 0°≤ x ≤ 450°. 1.

x = 30° + n · 360° ger n=0 n=1 n=2 n = –1

2.

x = 30° x = 30° + 360° = 390° x = 30° + 2 · 360° = 750° x = 30° – 360° = –330°

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

Utanför intervallet! Utanför intervallet!

x = 150° + n · 360° ger n = 0 ⇒ x = 150° n = 1 ⇒ x = 150° + 360° = 510° n = –1 ⇒ x = 150° – 360° = –210°

svar: x1 = 30°

x2 = 150°

Utanför intervallet! Utanför intervallet!

x3 = 390°

Vi kan visa lösningarna grafiskt. y y = sinx

1

y = 0,5 x

90° 30°

270° 150°

450° 390°

630° 510°

De skärningspunkter som finns inom intervallet 0° ≤ x ≤ 450° är x1 = 30°

x2 = 150°

x3 = 390°

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 29

29

12-12-13 16.01.06

KApiTeL 1

EXEMPEL 2

Lös ekvationen cos (2x + 10°) = 0,5

0° ≤ x ≤ 250°

Räknaren ger vinkeln 60°. 2x + 10° = ±60° + n · 360° Vi delar upp lösningarna: 2x + 10° = 60° + n · 360° 2x = 50° + n · 360° x = 25° + n · 180°

2x + 10° = –60° + n · 360° 2x = –70° + n · 360° x = –35° + n · 180°

Vi prövar nu med olika värden på n för att se vilka lösningar som finns i intervallet. n=0 n=1 (n = 2

x = 25° x = 25° + 180° = 205° x = 25° + 360° = 385°)

(n = 0 n=1 (n = 2

x = –35°) x = –35° + 180° = 145° x = –35° + 360° = 325°)

svar: x1 = 25°

Lös ekvationerna. Ange vinklarna i hela grader. 1221

1222

1223

a) sin x = 0,174

0° ≤ x ≤ 390°

b) sin x = 0,259

–180° ≤ x ≤ 180°

a) sin 2x = 0,643

0° ≤ x ≤ 200°

b) sin 5x = 0,866

–90° ≤ x ≤ 70°

a) sin 0,5x = 0,259 –360°≤ x ≤ 360° b) sin x = –0,5

1224

200° ≤ x ≤ 500°

a) sin (2x + 10°) = 0,342

0° ≤ x ≤ 360°

b) sin (4x + 15°) = 0,966 180° ≤ x ≤ 270°

30

M4 sa rtryck.indb 30

x2 = 145°

1225

x3 = 205°

a) 2 sin 3x = 0,518 90° ≤ x ≤ 270° b) 3 sin 5x = 2,457 –30° ≤ x ≤ 30°

1226

Visa hur du löser denna NP-uppgift. Bestäm alla lösningar till ekvationen sin x = 0,6 i intervallet 0° < x < 450°. (Np Ma D Vt 1999)

Lös ekvationerna. Ange svaren i hela grader. 1227

a) sin 2x = 0,866

0° < x < 360°

b) cos 4x = 1

0° < x < 360°

c) 2 sin 5x = 1,97

0° < x < 90°

d) 1 + cos x = 1

0° < x < 500°

1.2 Grafer och ekvationer

12-12-13 16.01.07

KAPITEL 1

1228 Lös olikheterna med en decimals

noggrannhet i intervallet 0° < x < 360°. a) sin x > 0,35 b) 3 cos x ≤ –0,9

1229 Vilka lösningar har ekvationen

6 cos 3x = 1,8 i intervallet 360° < x < 720°? Svara i hela grader.

1230 Undersök grafiskt och visa med en enkel

skiss om det finns några v så att

2 sin (v + 12°) = cos (v + 23°) för 0° < v < 180°

1231 Utgå från ekvationen a sin x = b

där a och b är konstanter. Ge ett exempel på hur a och b kan väljas så att ekvationen a sin x = b i intervallet 0° ≤ x ≤ 180° får a) bara en lösning b) två lösningar. Motivera dina val.

1232 Bestäm a och b så att funktionen

y = 2b – a sin (2x – 10) får minsta värdet 4 och största värdet 6.

Ange i så fall detta/dessa värden. (Np Ma Ht 1997)

Ordet sinus är latin och betyder bukt. Cosinus är en förkortning av ”complementi sinus”, kan tolkas som det som kompletterar sinus. Redan på 1500-talet började orden sinus och cosinus användas i matematiska sammanhang. trigonometri

M4 sa rtryck.indb 31

31

12-12-13 16.01.10

KApiTeL 1

Tangenskurvor Tidigare har vi definierat tan v i en rätvinklig triangel som tan v =

motstående katet närliggande katet

y

Med hjälp av enhetscirkeln får vi tan v =

y sin v = x cos v

y

v

(cos v ≠ 0)

x

x

Observera att tan v inte är definierat då cos v = 0, dvs för v = ±90°, ±270° osv. Bilden nedan visar grafen till funktionen y = tan x. Lägg märke till att funktionen upprepar sitt förlopp efter 180°. Tangensfunktionen har alltså perioden 180° (till skillnad från sinus- och cosinusfunktionen som har period = 360°). De streckade linjerna x = ±90, x = ±270° osv anger de x-värden som tangensfunktionen ej är definierad för. Dessa linjer kallas asymptoter. x –90° –75° –60° –45° –30° –15° 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°

32

M4 sa rtryck.indb 32

tan x ej def –3,73 –1,73 –1 –0,58 –0,27 0 0,27 0,58 1 1,73 3,73 ej def

y

y = tan x

1 x –270° –180°

–90°

90°

180°

270°

1.2 Grafer och ekvationer

12-12-13 16.01.12

KApiTeL 1

ekvationen tan x = a

I bilden nedan har vi ritat graferna till y = tan x och y = 1,5. Vi ser att linjen skär kurvan i en mängd punkter. Alla dessa punkters x-koordinater ger oss lösningarna till ekvationen tan x = 1,5. y 2 1 x –304°

–124°

56°

236°

416°

Vi löser ekvationen tan x = 1,5 med räknaren och får x ≈ 56° Eftersom perioden är 180° är den fullständiga lösningen x ≈ 56° + n · 180°, där n är ett heltal. n=0 n=1 n=2

x ≈ 56° x ≈ 56° + 1 · 180°≈ 236° x ≈ 56° + 2 · 180°≈ 416°

n = –1 n = –2

x ≈ 56°– 1 · 180° ≈ –124° x ≈ 56°– 2 · 180° ≈ –304°

! Ekvationen tan x = 1,5 har lösningen x ≈ 56° + n · 180°

!

sATs: Lösningar till tan x = a

Om ekvationen tan x = a har en lösning x = v kan samtliga lösningar skrivas x = v + n · 180°

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 33

33

12-12-13 16.01.13

KApiTeL 1

EXEMPEL 1

Lös ekvationen 3 tan x = 1,5. Svara med en decimal. 3 tan x = 1,5 tan x = 0,5

Vi har dividerat med 3

Räknaren ger vinkeln 26,6°. x ≈ 26,6° + n · 180° svar: x ≈ 26,6° + n · 180° EXEMPEL 2

Lös ekvationen 5 tan 2x = –6. Svara i hela grader. 5 tan 2x = –6 tan 2x = –1,2 Räknaren ger 2x ≈ –50° 2x ≈ –50° + n · 180° x ≈ –25° + n · 90°

Alla termer har dividerats med 2

svar: x ≈ – 25° + n · 90° Om perioden 90° adderas kan svaret skrivas x ≈ 65° + n · 90° EXEMPEL 3

Lös ekvationen sin x = 3 cos x. Svara med en decimal. sin x = 3 cos x sin x =3 cos x

Båda leden har dividerats med cos x

tan x = 3

Enligt definitionen

sin x cos x

= tan x

x ≈ 71,6° + n · 180° svar: x ≈ 71,6° + n · 180°

34

M4 sa rtryck.indb 34

1.2 Grafer och ekvationer

12-12-13 16.01.14

KApiTeL 1

Lös ekvationerna. Svara i hela grader. 1233

a) tan x = 0

1240

b) 2 sin (4x – 10°) = 1

b) 2 tan x = –3

c) tan (4x – 30°) = 2,2

c) 3 tan x + 9 = 2 1234

a) tan 3x = 0,87

b) 2 tan 6x = 1,8

c) 3 tan 4x = 5 1235

a) tan 2x = 5,67

0° < x < 360°

b) tan x = –1,19 x c) tan = 4 2

0° < x < 360°

d) 5 tan (2x + 60°) = 2 1241

lösning x = 22,5° + n · 90°. Bestäm konstanterna a och b. Förklara hur du tänker.

1243

0°< x < 200°

a) 3 sin 2x = 2,5

b) cos (3x – 20°) = –1 90° < x < 400° c) tan (2x – 30°) = 5

190° < x < 280°

a) y = tan x

d) 2 cos x = 3 sin x

0° < x < 180°

b) y = tan (x – 30°) 1244

Lös följande ekvationer. Svara med en decimal. a) sin x = 5 cos x b) 2 sin x = 3 cos x c) 5 sin x – cos x = 0 d) cos x = 0,1 sin x 1239

Lös följande ekvationer. Svara med en decimal.

Skissa kurvorna på rutat papper. Använd sedan grafritare som kontroll. c) y = tan 2x

1238

b) 1 + sin x = 1,2

1242 Ekvationen a tan bx = 3 har en

1236 Förklara varför svaret

1237

a) 4 sin x = 3cos x

c) 4 sin x – 7cos x = 0 d) tan 5x = 0,61

500° < x 0

Detta ger a = 10 Figuren ger att: sin x =

3 1 och cos x = 10 10

Formeln sin 2x = 2 · sin x · cos x ger: sin2 x = 2 ⋅

3 1 6 6 ⋅ = = = 0,6 10 10 100 10

10

3

x 1

svar: sin 2x = 0,6

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 45

45

12-12-13 16.01.34

KApiTeL 1

1317

För en vinkel x gäller att cos x = 0,8 och sin x = 0,6. Beräkna, utan att bestämma värdet på x. a) sin 2x

1322

b) cos 2x

c) tan 2x 1318

1319

1320

1321

Beräkna cos 2x exakt då du vet att 3 1 b) sin x = − a) cos x = 4 2 5 c) cos x = − 6

c) sin 2x

d) cos 2x

b) cos x

c) sin 2x

d) cos 2x

Antag att tan x = 2 och att 0° < x < 90°. Bestäm exakt värde på följande uttryck. a) sin x

b) cos x

c) sin 2x

d) cos 2x

c) tan x

d) sin 2x

Hon löser uppgiften så här: 2 16  3 sin 2 x = 1 − cos 2 x = 1 −  −  = ⇒  5 25 4 sin x = 5 4  3 24 sin2 x = 2sin x cos x = 2 ⋅ ⋅  −  = −   5 5 25 Har Lisa gjort rätt? Om inte, förklara vad hon har gjort för fel.

Rita en rätvinklig triangel med kateterna 2 cm och 4 cm. Låt x vara triangelns minsta vinkel. Beräkna exakt a) sin x

b) sin x

det exakta värdet av sin 2x 3 om cos x = − 5

4 och att 0° < x < 90°. 5 Bestäm exakt värde på följande uttryck.

b) tan x

a) cos x

1323 Lisa får följande uppgift: Bestäm

Antag att sin x = a) cos x

Antag att cos 2x = 0,28 och att 0° < x < 90°. Bestäm exakt värde på följande uttryck.

1324

Visa att sin 3x = 3sin x – 4 sin3 x.

1325

a) Använd tabellen på sidan 85 och bestäm ett exakt värde på sin 75° b) Här får du använda dig av sambandet 0,5 = sin 30° = sin (2 · 15°), när du ska visa hur du kan bestämma sin 15° med tre värdesiffror.

ekvationer och formler EXEMPEL 1

Lös ekvationen cos2 x – sin2 x = 0,5 Vi ersätter cos2 x – sin2 x med cos 2x (dubbla vinkeln) cos 2x = 0,5 2x = ± 60° + n · 360° x = ± 30° + n · 180° svar: x = ± 30° + n · 180°

46

M4 sa rtryck.indb 46

1.3 formler

12-12-13 16.01.36

KApiTeL 1

EXEMPEL 2

Lös ekvationen sin x cos x + 0,2 = 0. Svara i grader med en decimal. sin x cos x = –0,2 2 sin x cos x = –0,4 sin 2x = –0,4

Vi multiplicerar med 2 och använder formeln för dubbla vinkeln.

2x = –23,6° + n · 360° x = –11,8° + n · 180° x = 168,2° + n · 180°

2x = 180° – (–23,6°) + n · 360° 2x = 203,6° + n · 360° x = 101,8° + n · 180°

eller

svar: x = 168,2° + n · 180° eller x = 101,8° + n · 180° EXEMPEL 3

Lös ekvationen sin 2x + cos x = 0 sin 2x + cos x = 0 2 · sin x · cos x + cos x = 0 cos x · (2 sin x + 1) = 0

Faktorn cos x har brutits ut

Eftersom en produkt är noll, om minst en av faktorerna är noll, gäller att cos x = 0 eller

2 sin x + 1 = 0 y

1. Vi börjar med att lösa ekvationen cos x = 0

och får då

x

x = ± 90° + n · 360° Titta på enhetscirkeln där vinklarna har markerats. Svaret kan enklare skrivas x = 90° + n · 180° 2. Ekvationen 2 sin x + 1 = 0 ger oss

2 sin x = –1 sin x = –0,5 x = – 30° + n · 360° x = 330° + n · 360°

eller

x = 180° + 30° + n · 360° x = 210° + n · 360°

svar: x = 90° + n · 180°, x = 330° + n · 360°, x = 210° + n · 360°

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 47

47

12-12-13 16.01.38

KApiTeL 1

EXEMPEL 4

Lös ekvationen 3cos2 x + 2sin x + 2 = 0 3(1 – sin2 x) + 2sin x + 2 = 0

Trigonometriska ettan

3 – 3 sin2 x + 2sin x + 2 = 0 3 sin2 x – 2sin x – 5 = 0 3t2 – 2t – 5 = 0

Sätt sin x = t

t1 = −1 2 5 t2 − t − = 0 ⇒  3 3 t 2 = 5 / 3

Vi ”byter” nu tillbaka sin x = t. sin x = –1 ⇒ x = 270° + n · 360°

(sin x = 5 / 3 saknar lösning)

svar: x = 270° + n · 360°

Lös följande ekvationer. Svara i hela grader. 1326

a) sin2 x = 0,36

b) 2 sin x cos x = 0,5

1327

a) 2 cos2 x = 1,9

b) cos x sin x = 0

1328

cos2 x – sin2 x = 0

0° < x < 180°

1329

2 sin x · cos x = 0

100° < x < 400°

1330

2 sin x(2cos x –1) = 0

1331

Lös ekvationerna. Avrunda till en decimal när svaret inte blir exakt. a) 2 cos2 x – 4 cos x = 0 b) cos 2x = sin 2x

1332 Förklara varför man inte kan

”dividera bort” sin x i ekvationen sin x + 2sin x cos x = 0.

48

M4 sa rtryck.indb 48

Lös följande ekvationer. Avrunda till en decimal när svaret inte blir exakt. 1333

a) sin2 x + 3sin x – 4 = 0 ledning: Sätt sin x = t. sin2 x b) =1 cos x

1334

a) 1 – sin2 x = 2cos x + cos 2x b) cos 2x = –cos x – 1

1335

Felicia har löst en ekvation och kommit fram till lösningarna x = ±180° · n, x = 15° + n · 180° och x = 75° + n · 180°. Felicias lillebror har dessvärre ritat i hennes matteblock så man inte längre ser vilken ekvation som Felica har löst. Ge exempel på en ekvation som har dessa lösningar.

1.3 formler

12-12-13 16.01.39

KApiTeL 1

funktionen y = asin x + bcos x y

Bilden visar graferna till y = sin x + cos x och y = sin x (röd kurva).

y = sinx + cosx

1

Vi ser att kurvorna har samma period men olika amplituder. Dessutom är y = sin x + cos x förskjuten 45° åt vänster i förhållande till y = sin x.

y = sinx x 90°

Det verkar rimligt att y = sin x + cos x kan skrivas som en sinusfunktion på formen y = m · sin (x + v) där m ≈ 1,4 och v ≈ 45°. Här ska vi nu visa detta. Vi ska alltså visa sambandet i regelrutan:

! a sin x + b cos x = m · sin (x + v) där a > 0 och b > 0

Vänster led:

a sin x + b cos x = b   = a  sin x + cos x    a

Höger led:

m sin (x + v) = = m (sin x cos v + cos x sin v)

Vi bryter ut a

Enligt additionssatsen för sinus

sin v   = m cos v  sin x + cos x   cos v 

Vi bryter ut cos v

= m cos v (sin x + tan v cos x)

sin v = tan v cos v

Nu kan sambandet i regelrutan skrivas: b   a  sin x + cos x  = m cos v (sin x + tan v cos x)   a

De båda leden är lika för alla x om följande gäller: • a = m cos v •

b = tan v a

(eftersom både a och b är positiva tal, så gäller att 0° < v < 90°)

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 49

49

12-12-13 16.01.41

KApiTeL 1

v

b a

Titta nu på den rätvinkliga triangeln med kateterna a och b. a2 + b2

Enligt Pythagoras sats är hypotenusan = Från triangeln ser vi också att cos v =

a a + b2 2

Då uttrycket för cos v sätts in i a = m cos v får vi m = a 2 + b 2 Alltså kan funktionen skrivas y = a 2 + b 2 ⋅ sin( x + v ) där tan v =

b a

Vi har alltså visat den första satsen i rutan nedanför. För båda satserna gäller att a > 0 och b > 0.

!

sATs

y = asinx + bcosx = a2 + b2 · sin(x + v) 2

2

y = asinx – bcosx = a + b · sin(x – v)

där tanv = där tanv =

b a b a

EXEMPEL 1

a) Skriv y = sin x + cos x på formen y = msin (x + v). 1. y = 1 sin x + 1 cos x

ger att a = 1 och b = 1

a + b = 1 + 1 = 2 ≈ 1,41 b 1 3. tan v = ger tan v = = 1 dvs v = 45° a 1 svar: y = 1,41sin (x + 45°) Se grafen på förra sidan. 2.

2

2

b) Skriv y = 3 sin x – cos x på formen y = m sin (x – v). 1. y = 3 sin x – 1 cos x

ger att a = 3 och b = 1

a + b = 9 + 1 = 10 ≈ 3,16 b 1 3. tan v = ger tan v = dvs v ≈ 18,4° a 3 svar: y = 3,16 sin (x – 18,4°) 2.

50

M4 sa rtryck.indb 50

2

2

1.3 formler

12-12-13 16.01.44

KAPITEL 1 1336 Skriv på formen y = m sin (x + v).

1342 Bilden visar grafen till en funktion

y = m sin (x – v). Skriv funktionen på formen y = a sin x – b cos x .

a) y = 3 sin x + 4 cos x b) y = 12 sin x – 5 cos x

2

1337 Är det sant att man får funktionen i

föregående uppgift genom att

y

1

a) y = 5 sin x förskjuts 53,1° åt vänster

x 90° 180° 270°

b) y = 13 sin x förskjuts 22,6° åt höger?

–1

1338 Bestäm ett exakt värde på följande

funktioners amplitud. a) y = 3 sin x + cos x

b) y = 5 sin x – 4 sin x

1343 Lös följande ekvationer då 0 ≤ x ≤ 300°.

Avrunda svaren till hela grader.

1339 Beskriv följande funktionskurvor genom

a) 3 sin x + cos x = 2 2 c) 2tan x − =1 cos x

att ange amplitud och förskjutning. a) y = sin x + 3 cos x b) y = 2 sin x – 2 cos x

1344 Funktionen y = a sin x – 8 cos x

har amplituden 10. Hur mycket är kurvan förskjuten i x-led?

1340 Jon påstår att om a = b

i sambandet y = a sin x + b cos x så är kurvan alltid förskjuten 45° åt vänster. Har Jon rätt? Förklara.

b) sin x – cos x = 1

1345 Vi har funktionen y = sin x + cos 2x.

Bestäm funktionens a) period

1341 Skriv y = 20 sin (x + 26,6°) på formen

b) största värde.

y = a sin x + b cos x

Para ihop uttryck

I tabellen ser du en mängd olika uttryck. Här ska du utveckla/förenkla uttrycken så att du kan para ihop varje uttryck i kolumn A med ett uttryck i kolumn B.

A

B

1

1

(cos x + sin x)2 + (cos x – sin x)2

2

1 – (sin x – cos x)2 1 + tan2 x

cos2 x

5

cos (x + 270°) tan 2x

cos x

6

tan x · cos x + sin (–x)

3 4

7 8 9 10

cos2

x(tan2

x + 1) 1 – sin2 x

cos2 x 0 2 tan x sin 2x 1

sin 2x

2 tan x

1 + cos 2x

1 − tan2 x

sin (x – 270°)

sin x

trigonometri

M4 sa rtryck.indb 51

51

12-12-13 16.01.45

KApiTeL 1

1.4 rAdiAner Vinkelmåttet radianer Tidigare har vi mätt vinklar i grader, där 1 varv motsvarar 360°. Nu ska vi istället mäta vinklar i radianer. Vinkelmåttet radian används speciellt i praktiska sammanhang, t ex om man beskriver hur spänningen i en väggkontakt varierar.

!

definiTion: radian r

r

En vinkel är 1 radian, om den i en cirkel ger en båge

1 rad

som är lika stor som radien.

r

Vinkeln 1 rad betyder att bågens längd = radien. Vinkeln 2 rad ger alltså en båge som är 2 · radien. Vinkeln 2π rad ger en båge som är 2π · radien. Eftersom ”bågen” 2π · radien betyder cirkelns omkrets, får vi att 2π rad =360°

! Ett varv = 2π radianer = 360° 1 radian = 1º =

2π 360

360° 2π

rad =

=

180°

π 180

π

≈ 57,3°

rad ≈ 0,01745 rad

Observera att det är vanligt att man utelämnar radianbeteckningen och endast skriver t ex 2π = 360°

52

M4 sa rtryck.indb 52

π = 180°

1.4 radianer

12-12-13 16.01.46

KApiTeL 1

Då medelpunktsvinkeln i en cirkelsektor anges i radianer, blir formlerna för bågen och arean mycket enkla.

!

sATs: båglängd och area av cirkelsektor

Bågen Arean

b=v·r A=

v ⋅r

b

2

v

2

r

Bilden nedan visar y = sin x, där x ges i radianer. Observera att vi har samma skala på axlarna. 1

y y = sinx x

–π

1

π

2π

–1

I Exempel 1 visar vi hur man omvandlar från grader till radianer och tvärtom. Många räknare ger direkt dessa omvandlingar. Se också tabellen på sidan 85. EXEMPEL 1

a) Omvandla 44° till radianer. π 44 ⋅ π 44° = 44 ⋅ = ≈ 0,768 rad 180 180 b) Omvandla 45° till radianer. Svara exakt. 45 ⋅ π π = rad 45° = 180 4 c) Omvandla 1,7 rad till grader. 180° 1,7 ⋅ 180° = ≈ 97,4° 1,7 rad = 1,7 ⋅ π π

π till grader. 3 π 180° = 60° Eftersom π = 180° får vi att = 3 3

d) Omvandla

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 53

53

12-12-13 16.01.48

KApiTeL 1

EXEMPEL 2

Lös ekvationen cos 2x = 0,1. Svara i radianer med tre värdesiffror. Räknaren ger ca 1,4706 rad. Räknaren ska vara ställd på radianer. 2x ≈ ± 1,4706 + n · 2π Nu ska alla termer divideras med 2! x ≈ ± 0,735 + n · π svar: x ≈ ± 0,735 + n · π EXEMPEL 3

Lös ekvationen 4 sin x + 3,2 = 0. Svara i radianer med tre värdesiffror. 4 sin x = –3,2 3,2 sin x = − 4

Räknaren ger –0,927 rad

sin x = –0,8

x ≈ –0,927 + n · 2π x ≈ 5,36 + n · 2π (2π – 0,927 ≈ 5,36)

x ≈ π – (–0,927) + n · 2π x ≈ 4,07 + n · 2π

eller

svar: x ≈ 5,36 + n · 2π eller x ≈ 4,07 + n · 2π EXEMPEL 4

Grafen visar en sinusfunktion. Vilket är funktionsuttrycket? y 1 x –π

π –1

Amplituden = 2

Perioden = 2π

Kurvan är förskjuten 1,5 ruta till höger. π 1,5 ruta motsvarar 4 π  svar: y = 2sin  x −   4

54

M4 sa rtryck.indb 54

1.4 radianer

12-12-13 16.01.50

KAPITEL 1

1410 Den astronomiintresserade Lisa tittar

Omvandla följande vinklar till radianer. Svara exakt. 1401 a) 90°

b) 60°

c) 45°

1402 a) 30°

b) 360°

c) 120° d) 270°

på månen genom sitt teleskop. Hon ser månen under en vinkel som är ungefär 0,5°. Hur stor är månens diameter om avståndet till jorden är ungefär 380 000 km?

d) 300°

Vinklarna nedan är angivna i radianer. Omvandla till grader. 1403 a) 2π

b)

π 2

c) π

1404 a) 1,5π b) 5π

c)

π 10

0,5° Månen

d)

π 3

d)

4π 3

1405 Enhetscirkeln i bilden har delats i 12 lika

stora delar. Ange i radianer (uttryckt i π) de vinklar som motsvarar radierna a–g. c d

b

Lös följande ekvationer. Svara i radianer med tre värdesiffror. 1411

a) sin x = 0,65

b) cos x = 0,83

1412

a) 2sin x = 1

b) 4cos x = 1

1413 a) tan x = 2

a x

e

Jorden

g

b) 5tan x = 4

1414 Ange en ekvation y = f (x) till följande

sinusfunktioner. a)

f

1

y x

1406 Omvandla till radianer. Svara med tre

värdesiffror. a) 50°

b) 110°

c) 28°

d) 212°

−π

π

b)

3 2

1407 Omvandla till grader. Svara med tre

1

värdesiffror. a) 1,2 rad

b) 0,75 rad

c) 10 rad

d) 1 rad

y

x π

−π

1408 I en cirkelsektor är radien 3 cm och

medelpunktsvinkeln 2 radianer. Beräkna cirkelsektorns a) båge b) area c) omkrets.

c)

1409 Eric skär en tårtbit och har bestämt sig för

att skära en bit som har medelpunkts­vinkeln 2 radianer. Hur stor del av tårtan får han?

1 –π



–1

y x π

trigonometri

M4 sa rtryck.indb 55

55

12-12-13 16.01.51

KAPITEL 1

1415 Ange en ekvation y = f (x) till följande

1420 Nedan ser du grafen till

cosinusfunktioner. a)

1

y = 2 cos 3x.

y

Visa hur du löser olikheten 2 cos 3x < 0 i intervallet 0 < x < 2π.

x –π

π –1

b)

1 –π

1416

1417

y = 2cos3x

1

y x

x

–1 –1

π

–1



y

2

1

2π

π

3π

–2

Titta igen på grafen i 1415 a). Avläs grafiskt två rötter till ekvationen f (x) = 0,5.

1421 Figuren visar grafen till funktionen

y = a + b sin 2x. Bestäm konstanterna a och b.

(Np Ma D 2005 )

Lös ekvationen. Svara i radianer med tre värdesiffror

y

a) 4 + 3 cos 2x = 5

2

b) 0 = 4 + 5 sin 0,2x

1

1418 Ange en ekvation y = f (x) till följande

–π 2

sinusfunktioner. a)

x π 2

π

3π 2

1422 Använd räknare och rita graferna till

y 1 x –π

π

y = cos x och y = sin x. Lös sedan ekvationen sin x = cos x i intervallet 0 < x < 2π.

a) grafiskt och svara med en decimal b) algebraiskt och svara exakt.

b)

1423 Härled formeln för en cirkel-

y

sektors area då vinkeln mäts i radianer.

1 x –π

π

1424 Arean A av ett cirkelsegment kan

beräknas med sambandet r 2 ( v − sin v ) . A= 2

1419

56

M4 sa rtryck.indb 56

Titta på grafen i 1418 b). Avläs grafiskt två rötter till ekvationen f(x) = –0,5. Uttryck svaret i π.

v

A

Visa att detta samband alltid gäller då v mäts i radianer.

1.4 Radianer

12-12-13 16.01.52

KApiTeL 1

exakta värden och radianer I kurs 3 bestämde vi exakta värden för vissa vinklar, nämligen vinklarna i ”den halva liksidiga triangeln” och ”halva kvadraten”. Nu anger vi vinklarna i radianer.

! Bra att komma ihåg: 30° =

π 6

60° =

π 3

45° =

π 4

90° =

2

π 4

π 6 2

π

2

3

π 3

1

π 4 1

1

EXEMPEL 1

Beräkna cos 9π utan räknare. Vinkeln 9π innehåller fyra ”hela varv”. Vi ”drar bort” dessa fyra varv och får då ett uttryck som vi klarar utan räknare. cos 9π = cos (π + 8π) = cos π = –1 svar: cos 9π = –1 EXEMPEL 2

Använd trianglarna ovan och bestäm i exakt form. a) cos

π 3 = 6 2

b) sin

π 1 = 4 2

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 57

57

12-12-13 16.01.53

KApiTeL 1

EXEMPEL 3

Lös ekvationen sin2 x =

1 . Svara i radianer på exakt form. 2

I de flesta formelsamlingar finns det en tabell med ”exakta värden på några trigonometriska funktioner”. På sidan 85 finns en tabell för vinklarna 0°, 30°, 60° osv. I tabellen ser vi att svaret till ekvationen är π 3π 2 x = eller 2 x = 4 4 Den senare lösningen fås även ur 2 x = π − Vi får lösningarna x = svar: x =

π 3π = 4 4

π 3π och x = . Perioden är π. 8 8

π + n ⋅π 8

eller

x=

3π +n⋅π 8

EXEMPEL 4

Lös ekvationen tan x = 3 . Ange svaret i radianer på exakt form. Tabellen ger oss vinkeln svar: x =

π + n ⋅π 3

Använd trianglarna på sidan 61 och bestäm i exakt form.

π 1425 a) sin 6 c) cos 1426

58

M4 sa rtryck.indb 58

π b) cos 3

π 4

π 3 π c) cos 6 a) tan

b) tan

π 4

π 3

Skriv som ett bråk.

π 6 2π c) π − 3

b) π −

π 4

b) π −

5π 6

1427

a) π −

1428

a) π −

1429

Beräkna sinus för följande vinklar. a) 20π b) 17π c) 12,5π

π 12 3π c) π − 5

1.4 radianer

12-12-13 16.01.58

KAPITEL 1

1430 Beräkna tangens för följande vinklar.

a) 4π

b) 4,5π

1431 Beräkna exakt.

a) cos 10,25π 95π c) sin 6

c) 13,25π

1439 För trefas växelström i ellära används

uttrycket sin x + sin (x + 2π / 3) + sin (x + 4π / 3). Förenkla uttrycket.

40π b) tan 3

1440 Nedan ser du grafen till funktionen

f (x) = 2 sin 2x + 3. 4

Lös följande ekvationer. Ange svaret i radianer, om möjligt exakt. 1432 a) sin x = 0,5

b) sin x = −

c) sin x = 0,456 1433 a) cos x = 0,5

c) cos x = − 1434 a) tan x =

1 2

1 3

3 2

3 b) cos3x = 2

b) tan x = 1,5

c) tan x = –0,504

π  = 0,5 3 π  b) cos  2 x −  = 1  4  

1435 a) sin  x +

1436 Lös ekvationen 2 cos (3x – π / 2) + 1 = 2

a) algebraiskt b) grafiskt genom att rita y = 2 cos (3x – π / 2) + 1 och y = 2 med grafritare. Svara både exakt och med närmevärde. 1437 Bestäm antalet lösningar till ekvationen

x2 − 1 , där x mäts i radianer. 10 (Np Ma D Vt 2005 ) sin2 x =

1438 Förenkla följande uttryck:

a) sin (x + π / 3) + sin (x – π / 3)

y

3 2 1 –1

x 1

π

2π

3π

a) Lös ekvationen 2 sin 2x + 3 = 4 då 0 < x < 2π. b) Vad måste gälla för talet a för att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a ska ha fyra olika lösningar i intervallet 0 < x < 2π? c) Vad måste gälla för talet a för att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a ska ha två lösningar i intervallet 0 < x < 2π? d) Samma graf som bilden visar, kan fås med funktionen g(x) = A cos (kx + v) + B. Bestäm funktionen. 1441 Lös ekvationen 2 cos2 x – cos x – 1 = 0 1442 En trigonometrisk ekvation har

π lösningarna x1 = + n ⋅ π och 8 3π x2 = + n ⋅π 8 Vilken är ekvationen?

1443 Lös ekvationen sin 2x = cos (0,5π – x) 

för 0 < x < 2π a) grafiskt

b) algebraiskt och svara exakt.

b) cos (x – π / 6) – cos (x + π / 6)

trigonometri

M4 sa rtryck.indb 59

59

12-12-13 16.02.00

KApiTeL 1

Tillämpningar Med hjälp av trigonometriska funktioner kan vi beskriva periodiska förlopp, t ex hur tidvatten höjs och sänks. I dessa ”praktiska sammanhang” används alltid vinkelmåttet radianer. EXEMPEL 1

Vid ett experiment ändras temperaturen y °C enligt y = 25 + 35 sin 0,8t där t är tiden i timmar efter experimentets början. a) Bestäm temperaturen vid experimentets start. t = 0 ger y = 25 + 35 sin 0 = 25 + 0 = 25 svar: 25 °C b) Vilken är den lägsta temperaturen? Eftersom sin 0,8t varierar mellan + 1 och –1 blir den lägsta temperaturen y = 25 + 35 · (–1) = 25 – 35 = –10 Om t ex t = tiden i timmar så gäller svar: –10 °C

att 0,8t har enheten radianer.

c) Bestäm temperaturen då t = 5. y(5) = 25 + 35 sin (0,8 · 5) y(5) ≈ 25 + 35 · (– 0,7568) ≈ –1,5 svar: –1,5 °C d) Hur många minuter efter experimentets start är temperaturen för första gången 40 °C? Vi ska lösa ekvationen 40 = 25 + 35 sin 0,8t 15 = 35 sin 0,8t 15 sin0,8t = 35 0,8t ≈ 0,4429 + n · 2π eller 0,8t ≈ π – 0,4429 + n · 2π t ≈ 0,5536 + n · 7,85 t ≈ 3,37 + n · 7,85 Den minsta positiva roten är t ≈ 0,5536 0,5536 h = 0,5536 · 60 minuter ≈ 33 minuter svar: Efter ca 33 minuter

60

M4 sa rtryck.indb 60

1.4 radianer

12-12-13 16.02.02

KApiTeL 1

EXEMPEL 2

På senare tid har astronomer upptäckt många nya planeter. När planeten går runt en stjärna kan det orsaka små variationer i den fart som stjärnan har bort från oss eller mot oss. Grafen visar sådana variationer för stjärnan 51 Pegasi som ligger på 45 ljusårs avstånd. (1,1; 53)

km/s y 40 20

x 1

2

3

4

5

6

dygn

Ställ upp en matematisk modell som visar planetens hastighetsförändring y (km/s) som en funktion av tiden x (dygn). Använd modellen y = A sin kx. Från grafen ser vi att amplituden är 53 km/s. Vi ser också att en fjärdedels period är 1,1 dygn, vilket ger perioden = 4,4 dygn.

I tillämpningar mäts vinkeln i radianer!

Nu ska konstanten k bestämmas. 2π 2π ≈ 1,43 = 4,4 ⇒ k = 4,4 k

Detta ger oss y = 53 sin 1,43x svar: y = 53 sin 1,43x Att funktionen har 4,4 dygn som period betyder att omloppstiden för planeten är 4,4 dygn. Observera att vi inte vet något om stjärnans egentliga fart, utan y beskriver förändringen av farten som alltså ökar eller minskar med som mest 53 km/s!

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 61

61

12-12-13 16.02.06

KAPITEL 1

1444 Kalle har antecknat hur många

”timmar dag” det är på den ort där han bor. Uppgifterna om ”solens uppoch nedgång” har Kalle tagit från en dagstidning. Med hjälp av dessa värden har han sedan ritat en graf. Avläs från grafen och bestäm a) perioden

a) Beräkna temperaturen vid experimentets start. b) Är det sant att temperaturen är 36 grader en timma efter start?

d) Hur lång tid från försökets start är temperaturen för första gången 0 grader?

c) amplituden. Antal ”timmar dag”

e) Hur lång tid är det minusgrader under experimentets 10 första timmar?

20

1448 En forskare har gjort en matematisk

12 4

tid 21/6

21/9

21/12

datum

1445 Temperaturen i en ugn kan beräknas med

formeln f (t) = 150 + 50 sin 0,52t där f (t) är temperaturen i grader och t = tiden i timmar.

a) Bestäm den högsta temperaturen. b) Bestäm den lägsta temperaturen. c) Vilken är temperaturen då t = 6? d) Lös ekvationen f (t) = 175 för 0 < t < 10. 1446 Den elektriska spänningen i ett vägguttag

kan beskrivas med formeln u(t) = 311 sin 314t där u = spänningen i volt och t = tiden i sekunder. Beräkna a) u(0) b) u(0,008) c) u(0,5)

d) När blir spänningen för första gången 220 V?

M4 sa rtryck.indb 62

i grader enligt f(x) = 20 + 25 sin 0,85x där x är antal timmar efter experimentets början.

c) Med hur många grader ökade temperaturen under experimentets 2:a timma?

b) antal ”timmar dag” den kortaste dagen

62

1447 Vid ett experiment ändras temperaturen f(x)

modell för beräkning av antalet fåglar i ett område. Modellen anger att antalet fåglar f (t) varierar enligt f (t) = 250 + 180 · sin 0,12(t – 13) är t = antal veckor efter 1 januari. a) Bestäm f(0), dvs antalet fåglar vid årets början. b) Hur många fåglar finns det då t = 15? c) Hur många fåglar finns det som mest i området? d) Lös ekvationen f(t) = 320 för 0 < t < 52.

1449 Funktionen h(t) är en modell av hur vatten-

djupet i en hamn varierar pga tidvatten. h(t) = 3 + 2 sin 0,5236t h = vattendjup i meter t = antal timmar efter klockan 07.00

a) Vilket är vattendjupet klockan 07.00? b) Vilket är vattendjupet klockan 08.00? c) Vilket är det största vattendjupet i hamnen? d) Vid vilka tidpunkter är vattendjupet 1 m? e) Ett visst fartyg kan gå in i hamnen om vattendjupet är mer än 4,5 m. Hur lång tid kan detta fartyg besöka hamnen?

1.4 Radianer

12-12-13 16.02.06

KAPITEL 1

1450 Lisas blodtryck y varierar enligt

sambandet y = A sin kt + B där tiden t mäts i sekunder. Perioden, alltså tiden mellan två hjärtslag, är 1,5 s. Lisas högsta blodtryck är 97 mm Hg och det lägsta är 63 mm Hg. Teckna funktionen.

1451 I Varberg varierar solstrålningens

intensitet y mätt i W/m2 enligt π y = 13 − 50cos x då 6 ≤ x ≤ 18 12 där x = 6 motsvarar klockan 06.00 och x = 18 motsvarar 18.00. a) Bestäm intensiteten klockan 06.00 och 10.30. b) Vilken är den största respektive minsta intensiteten?

c) När är intensiteten 60 W/m2? π d) Lös olikheten 13 − 50cos x > 50 och 12 tolka resultatet. 1452 Tyngdaccelerationen på breddgrad x kan

approximativt bestämmas med g(x) = a cos 2x + b då 0 < x < 90°. Som du kanske vet är breddgraden vid ekvatorn 0° och på nordpolen är den 90°. a) Bestäm a och b om tyngdaccelerationen vid ekvatorn är 9,780 m/s2 och tyngdaccelerationen på nordpolen är 9,832 m/s2.

b) Vid vilken breddgrad är tyngdaccelerationen 9,810 m/s2? 1453 En svängningsrörelse kan beskrivas av

f (x) = a · cos (bx + π) + d där det är givet att perioden är π och att f(0) = 2 samt f (π / 4) = 5.

1454 Lille Ole åker karusell. Han sitter på en

häst 5 meter från karusellens centrum. Mamma står 10 meter från karusellens centrum och vinkar. Karusellen börjar snurra med farten 2 varv i minuten. a) Ställ upp en formel för Oles x-koordinat och en annan formel för hans y-koordinat vid tiden t, där t är tiden i minuter sedan karusellen satt igång. Tänk dig att origo motsvarar karusellens centrum, och att Oles koordinater vid tiden t = 0 var (5, 0).

b) Använd resultatet i a-uppgiften och bestäm avståndet s mellan mamma och Ole. Utgå från att mamma står i punkten (10, 0).

a) Visa hur du bestämmer konstanterna a, b och d. b) Lös ekvationen f (x) = 2.

trigonometri

M4 sa rtryck.indb 63

63

12-12-13 16.02.08

KApiTeL 1

AKTiViTeT

rätt eller fel? Här ska du avgöra vilka av följande påståenden som är rätt respektive fel. Arbeta utan räknare, gärna två och två. Tänk på att motivera svaren! 1 sin 30° = sin 750° 2 Funktionen f(x) = 3 – 6 cos (2x – 60°) har största värdet 9

och minsta värdet –3.

3 sin 60° = sin 30° + sin 30° 4 Funktionen f(x) = 6 cos (3x – 60°) är förskjuten 60° åt höger. 5 Ekvationen 3 + A cos 3x = 7 saknar lösning då A > 4 6 Funktionen f (t ) = 3sin

π t har perioden 24 12

7 Om vinkeln v ligger i andra kvadranten så är sin v < cos v 8 sin 210° = sin 330° 9 Om sin v = –1 så är v = 270° 10 På ett varv går det π radianer

2x har perioden π · k k 12 Enhetscirkeln har omkretsen 2π 11 Ekvationen 3sin

13 Om radien i en cirkel är 3 dm och medelpunktsvinkeln är 2 radianer

är bågens längd 5 cm.

n x = 0,5 har lösningen x = ±120° + k k π 15 Ekvationen sin 2x = 0,6 saknar lösning i intervallet < x 7  sin A   cos A 

Han påstår sedan: ”Jag har fått rätt svar, då måste jag ha gjort rätt” Stämmer detta?

TAnKenöT 5

Bestäm förhål landet mellan sidorn a i en likbent triang el, där höjden mot de n ”tredje sidan” är 1/5 av omkretsen.

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 67

67

12-12-13 16.02.22

KApiTeL 1

SammanfattninG enhetscirkeln

sin v = y

1

y

(x, y)

cos v = x sin v tan v = cos v

v –1

x 1

–1

samband mellan vinklar

sin x = cos (90° – x) cos x = sin (90° – x)

Trigonometriska ettan

sin2 x + cos2 x = 1

Trigonometriska ekvationer

sin x = 0,5 har lösningen x = 30° + n · 360° eller x = 180° – 30° + n · 360° cos x = 0,5 har lösningen x = ± 60° + n · 360° tan x = 2 har lösningen x ≈ 63° + n · 180°

grafer

Bilden visar grafen till y = sin x (röd) och y = cos x (svart). Båda dessa funktioner har perioden 360°. y y = sinx

1

y = cosx x

90° 180° 270° 360° –1

Bilden visar grafen till y = tan x. Här gäller att perioden är 180°. y

y = tanx

1

x 180°

360°

540°

Observera att y = tan x inte är definierad för x = 90° + n · 180°

68

M4 sa rtryck.indb 68

triGonometri

12-12-13 16.02.32

KApiTeL 1

grafer forts.

Bilden visar grafen till y = 1 + 3 · sin 2(x – 45°) y 1

x 90° 180° 270° 360°

–1

Amplitud = 3 Period = 180° Förskjutning = 45° åt höger Kurvan har ”lyfts upp” 1 enhet.

Additions- och subtraktionssatser för sinus och cosinus

cos (u + v) = cos u cos v – sin u sin v sin (u + v) = sin u cos v + cos u sin v cos (u – v) = cos u cos v + sin u sin v sin (u – v) = sin u cos v – cos u sin v

formler för dubbla vinkeln

sin 2x = 2 sin x cos x cos 2x = cos2 x – sin2 x cos 2x = 2 cos2 x – 1 cos 2x = 1 – 2 sin2 x

radian

2π rad = 360° 1 rad = 1° =

180° ≈ 57,3° π

π ≈ 0,01745 rad 180

360° = 2π 180° = π π 90° = 2 exakta värden

sin

π 3 = 3 2

tan

π 1 = 6 3

Tabell med exakta värden finns på sidan 85.

π 6

2 π 3

3

1

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 69

69

12-12-13 16.02.42

KApiTeL 1

teSt 1 Tabell med exakta värden får användas. 1 2

7

Du vet att sin x = 0,8. Bestäm cos x.

1 –1

Antag att du vet att sin 35° ≈ 0,57 och cos 35° ≈ 0,82.

4

5

a) sin 145°

b) cos 145°

c) sin 215°

d) cos 325°

8

Funktionen y = A sin 3x – 1 har minsta värdet –5. Bestäm värdet på A samt funktionens största värde.

9

Förenkla följande uttryck: b) cos (x – π / 6) – cos (x + π / 6) c) sin x + sin (x + 2π / 3) + sin (x + 4π / 3)

10

x 1

π

2π

Bestäm värdet av konstanten k så att

11

Bestäm cos 2x då du vet följande. a) sin x = 1 / 3 b) cos x = 1 / 4

12

Visa hur du kan bestämma sin 2x då du vet att sin x = 5 / 13.

13

Lös ekvationerna. Svara exakt och i radianer. 1 3 a) cos x = b) sin x = − 2 2

14

För f (x) = a sin (bx) + c gäller följande villkor: Perioden är π, f(0) = 1 och f (π / 4) = 1,5. Bestäm konstanterna a, b och c.

3π

–3 –4

Bestäm period i grader och det minsta värdet för följande funktioner. a) y = 2 sin 4x + 1 b) y = 2 cos 2x – 1 c) y = 2 sin (x – 30°)

M4 sa rtryck.indb 70

3π

cos (3x + 90°) – cos (3x + 270°) = ksin 3x.

–2

70

2π

a) sin (x + π / 3) + sin (x – π / 3)

y

1

6

π

b) Beskriv grafen till funktionen g(x) = –A cos x + B

Bestäm funktionsuttryck för de två kurvorna. Låt den röda vara en sinusfunktion och den blå en cosinusfunktion.

–1

1

a) Bestäm konstanterna A och B.

Förklara varför x = –58° + n · 120° kan skrivas x = 62° + n · 120°

–1

x

–3

Förenkla cos (x – 30°) – cos (x + 30°)

2

–1

y

–2

Visa hur du bestämmer följande.

3

Bilden visar grafen till funktionen f (x) = A cos x + B.

triGonometri

12-12-13 16.02.52

KApiTeL 1

15

Visa att

(

16

17

2 − cos v

)(

22

Bestäm den lösning till tan 0,5x = 1 som ligger i intervallet 200° < x < 600°.

23

Nedan ser du grafen till funktionen f (x) = 2 sin 2x + 3.

)

2 + cos v = 1 + sin 2 v

1 + sin v  1  = + tan v  Visa att   1 − sin v cos v

2

4

sin2v + sin v = sin v för alla v där 2cos v + 1 uttrycken i båda led är definierade.

Visa att

3 2 1

(Np Ma D Vt 2011)

18

19

–1

d) Bildens graf kan också fås med funktionen g(x) = A cos (kx + v) + B. Bestäm g(x). 24

Beräkna värdet av uttrycken med räknare. a) cos 80° cos 20° + sin 80° sin 20° b) sin 20° cos 25° + cos 20° sin 25°

Lös ekvationerna. Svara i grader. a) sin x(2cos x – 1) = 0

b) cos (2x – 16°) + 1,5 = 2 21

3π

c) Vad måste gälla för talet a för att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a ska ha två lösningar i intervallet 0 < x < 2π?

b) skriva funktionen på formen y = m sin (x + v). Vilket värde får m?

a) 0 = 2 + 4 sin 3x

2π

π

b) Bestäm a så att ekvationen 2 sin 2x + 3 = a får fyra olika lösningar i intervallet 0 < x < 2π?

Bestäm det största värdet för funktionen y = 24 sin x + 7cos x genom att

Bestäm samtliga lösningar till ekvationerna.

x 1

a) Lös ekvationen 2 sin 2x + 3 = 4 då 0 < x < 2π.

Beräkna arean av en cirkelsektor som har medelpunktsvinkel 83° och radie 2,3 cm.

a) använda grafräknare

20

y

b) cos 2x(2 – sin x) = 0 25

Visa hur du löser ekvationen 2 cos2 x – cos x – 1 = 0. Svara exakt och i radianer.

c) Visa hur du kan beräkna a- och b-uppgiften med huvudräkning.

triGonometri

M4 sa rtryck.indb 71

71

12-12-13 16.03.02

KApiTeL 1

26

Visa hur du löser denna NP-uppgift. y

x

Figuren visar en kvadrat och grafen till en funktion. Välj en trigonometrisk funktion vars graf liknar den i figuren och bestäm kvadratens area för den funktion du valt. (Np Ma D Vt 1999) 27

Använd din grafräknare och rita kurvorna y = sin x och y = sin 2x a) Lös ekvationen sin 2x = sin x grafiskt för π < x < 3π b) Lös nu ekvationen i a-uppgiften algebraiskt. Svara exakt.

28

72

M4 sa rtryck.indb 72

29

En kula hänger i en fjäder och gungar upp och ned. Kulans höjd över marken h meter vid tiden x sekunder kan beskrivas med sambandet h(x) = a sin (bx + c) + d där a = 0,5, b = 2, c = 0 och d = 1 a) Bestäm perioden. b) Sambandet kan också beskrivas med en funktion av typen f (x) = A cos (Bx + C) + D. Bestäm konstanterna A, B, C och D. c) I verkligheten minskar amplituden på grund av friktion. I kurs 5 får du lära dig lösa differentialekvationer, och med deras hjälp kan man analysera hur friktionen påverkar formeln. Man finner då att sambandet ändras med ytterligare en faktor f (x) = e–kx · a sin (bx + c) + d. Rita grafen då k = 0,05. De övriga konstanterna hämtar du från uppgift a. Beskriv grafen!

En växelspänning varierar enligt u = 311 sin 100πt där u = spänningen i volt (V) och t = tiden i sekunder. Hur lång tid tar det för spänningen att öka från 250 volt till 311 volt?

triGonometri

12-12-13 16.03.07

KAPITEL 1

Blandade uppgifter Lös följande ekvationer för 0° < x < 180°. Om svaren inte blir exakta, är det lämpligt att avrunda till en decimal. 1

a) sin x = 0,289

2

a) cos 3x = 0,891 b) cos x = 1,5

3

a) tan x = –1,5

b) sin 2x = –0,5

b) sin (x – 15°) = 0,866

Lös följande ekvationer. Svara i grader. x 4 a) tan 2x = 1 b) 4cos = 1 2 5

a) 2 cos (x + 40°) = 1 b) 2 + 3 sin 5x = 5

Lös följande ekvationer för 0 < x < 2π. Svara i radianer med två decimaler. 6

a) 40 sin 0,25x = 12

b) 6,8 cos 2x = –4

7

a) 3 + tan x = 12

b) tan 0,04x = 7

8

Omvandla följande vinklar till radianer. Svara exakt.

9

a) 90

b) 150°

c) 45°

d) 10°

Ange största och minsta värde till funktionerna. a) y = 5 + 2 sin 3x

b) y = 1 – sin (x – 20°)

10 Lös ekvationerna. Svara i radianer med två

decimaler.

a) sin x = 0,78

b) cos 2x = –0,82

c) 5,1 + tan 3x = 0 d) sin (2x + 0,3π) = 0,5 11 Ange amplitud, period och förskjutning.

a) y = 2,5 sin (x – 30°) b) y = sin (2x + 50°)

12 Ange ekvationen för följande cosinus­

funktioner på formen y = A cos k(x + v) a) Amplitud = 3  Period = 180° Förskjutning 30° åt vänster

b) Amplitud = 1  Period = 720° Förskjutning 20° åt höger Bestäm utan att använda räknare.

π 2

13 a) tan π

b) tan

14 a) sin 2,5π

b) cos 17,5π

15 Skriv en funktion på formen

y = A sin k(x + v) då

a) amplituden är 5, perioden är 90° och förskjutningen är 20° åt höger b) perioden är π, amplituden är 3 och π förskjutningen är åt vänster. 3 16 Bestäm exakta värden för

a) tan

π 6

b) sin

π 3

c) cos

17 Använd additionssatserna och förenkla

a) cos (3x + 180°)

b) sin (270° + 2x)

18 Beräkna det exakta värdet av cos 2x

då man vet att sin x = 0,3.

19 Visa att cos2 x · (tan2 x + 1) = 1 20 Använd triangeln och

bestäm exakta värden. 2

a) sin 60°

3

2

b) (tan 60°)

c) (sin 30°)2 + (cos 30°)2

60° 1

trigonometri

M4 sa rtryck.indb 73

π 4

73

12-12-13 16.03.11

KAPITEL 1

21 Grafen visar hur vattendjupet i en hamn

varierar pga tidvattnet. Lös följande uppgifter med hjälp av grafen. m vattendjup

Svara i radianer på exakt form.

27 Lös ekvationen f (x) = g(x) då f (x) = sin x och

g(x) = cos x. Svara i radianer på exakt form.

2

28 Lös ekvationen 5 sin2 x – 9 sin x – 2 = 0 då

1 tid 5

10

0° < x < 360°.

h

a) Vilket är det största vattendjupet i hamnen? b) Ange perioden uttryckt i timmar. c) Med hur många meter varierar vattendjupet? d) Ange amplituden uttryckt i meter. 22 Vilket eller vilka av följande alternativ

29 a) Bestäm de x för vilka h(x) = 6 då

h(x) = 5 + 2 sin (3x + 60°) och 0° < x < 180°.

b) För vilka x-värden i intervallet 0° < x < 180° gäller att h(x) > 6? 30 Lös ekvationen 2 sin x + 4 sin x = 3.

Svara exakt och i radianer.

31 Temperaturen y °C varierade under ett dygn

beskriver grafen nedan?

enligt y = 10 + 20 sin 0,2618t där t = antal timmar efter klockan 07.00.

a) y = sin x

b) y = sin (x – 90°)

a) Vilken var den högsta temperaturen?

c) y = cos x

d) y = cos (x – 90°)

b) Bestäm den lägsta temperaturen.

e) y = –sin x

Bestäm temperaturen klockan c) 07.00

y 1 π

y = 1 – 2 (sin x – cos x)2 har perioden 180°.

24 Bestäm ekvationen för grafen i bilden.

h) Bestäm perioden. i) Hur lång tid under dygnet var det minusgrader? 32 Ludde och Lina har löst samma

y 1

x 2π

4π

25 Funktionen g(x) = 3 + 4 sin (x + π) gäller för

0 < x < 0,5π.

a) Beräkna g(1) b) Lös ekvationen g(x) = 1

74

e) 22.00

g) Vid vilka tider under dygnet var temperaturen noll grader?

23 Visa, utan att rita, att funktionen

–2π

d) 13.00

f) Lös ekvationen 10 + 20 sin 0,2618t = 30 för 0 < t < 24

x

M4 sa rtryck.indb 74

26 Lös ekvationen h(x) = 2 då h(x) = 4cos 3x.

ekvation, men kommit fram till olika svar: Luddes svar: x = 45° + n · 180° eller x = 315° + n · 180°

Linas svar: x = 45° + n · 90° Visa med en enhetscirkel att båda svaren betyder ”samma sak”, dvs att svaren innehåller samma vinklar.

1.4 Radianer

12-12-13 16.03.12

KAPITEL 1

33 Lös grafiskt ekvationen

4 sin (2x + 30°) = 11 cos (2x + 30°) i intervallet –90° < x < 90°.

34 Lös ekvationen 5 sin2 x – 9 sin x – 2 = 0

för 0° < x < 360°.

44 Använd grafräknare och rita kurvorna

y = sin x + cos x samt y = 2 sin( x + 45°) .

a) Formulera en slutsats.

35 Beräkna det exakta värdet av tan

100π 3

36 Lös ekvationerna.

a) sin 2x = 0,75

sin x cos x 1 = 2 4 Svara exakt och i radianer.

43 Lös ekvationen

b) Visa att din slutsats stämmer. 45 Lös ekvationen cos2 3x = sin2 3x

0° < x < 90°.

1 b) sin x cos x = 2

37 Visa att (sin x – cos x)2 = 1 – sin 2x 38 Visa att 1 – sin 2x · tan x = cos 2x 39 Vinkeln v är spetsig och tan v = 2 2 .

Beräkna det exakta värdet av cos v.

40 Vilka av följande samband är korrekta?

a) sin2 x – cos2 x = 1 b) cos x · tan x = sin x c) sin 2x = 2sin x d) sin 4x = 2 sin 2x cos 2x x 180° − x e) sin = cos 2 2 f) cos 3x = cos x + cos 2x 41 Vattendjupet h (meter) i en hamnbassäng

varierar enligt h = 4 + 1,5 sin 0,5236t där t är tiden i timmar efter klockan 06.00. Vilka tider på dygnet är vattendjupet i bassängen mer än 4,8 m?

42 Dagens längd i Anchorage, Alaska, kan

46 Vilken formel för cos 2x får

man genom att tillämpa cosinussatsen på bildens likbenta triangel?

x x 1

sin x

sin x

47 I en cirkel med radie r finns en cirkelsektor

vars omkrets är 5r. Hur stor är cirkelsektorns medelpunktsvinkel? Svara i radianer.

48 För funktionen g(x) = A + B cos 3x gäller att

g(π) = 2 och g(10π) = 1.

Bestäm konstanterna A och B. 49 Bestäm ett närmevärde på konstanten p så

att grafen till f(x) = p + 4 sin 3x går genom punkten (1, 3p). Svara med tre värdesiffror.

50 Lös ekvationen

grader.

2 − 2sin x = 3 . Svara i sin x

51 Lös algebraiskt ekvationen 2 sin x = tan x.

Ange svaret i radianer.

52 Visa att cos 3x = 4 cos 3x – 3cos x

bestämmas med följande modell: f (t) = 6,61 · sin (0,0167t – 1,303) + 12,2

53 Lös ekvationen (sin x)3 = 0,25 sin x

där f (t) är dagens längd mätt i timmar och t är tiden i dygn efter 1 januari. Använd modellen för att bestämma när den längsta dagen inträffar på året.

54 Bestäm samtliga rötter till ekvationen

i intervallet 0° < x < 360°.

3 = 4sin x i intervallet 0 < x < 2π. sin x Svara exakt. trigonometri

M4 sa rtryck.indb 75

1

75

12-12-13 16.03.14

FACIT OCH LÖSNINGAR facit och

lösningar

KApiTeL 1 1101

a) 0 d) 0

1112

b) 1 e) 0

c) –1 f) –1

1102 a) 150°

b) 300° (som också kan skrivas –60°)

1103 a) 0,37

b) 0,93 d) –0,37 f) –0,93

c) –0,37 e) 0,93

1104 a) 0,5

1113

b) 0,36 c) –0,34

1105 cos v = 1106 a) 1

12 (≈ 0,92) 13 b) 0,75

1107 b och d är rätt 1108

3 3 sin v = , tan v = 5 4

1114

1109 a) sin v = ± 91 / 10

b) tan v = 12 / 5 = 2,4

1110

y

v

180° – v

x

v

–1

1

Punkternas x-koordinater byter tecken ⇒ cosinusvärdet byter tecken. Punkternas y-koordinater är samma ⇒ sinusvärdet är oförändrat. 1111

a) b c) a

b) b d) a

b, c, a c = sin 165° = = sin (180° – 165°) = sin 15° som är mindre än sin 24° b = cos 100° är negativt, dvs det minsta värdet cos 100° < sin 15° < sin 24° cos x2: Man ska kvadrera x , och sedan bestämma cosinus för x2. (cos x)2: Här ska cosinusvärdet kvadreras. Detta skrivs ofta cos2 x. cos cos x: Man börjar ”inifrån”, t ex cos 60° = 0,5 cos 0,5 ≈ 0,88. Man bestämmer alltså värdet av cos x, och sedan cosinus av svaret. a) T = (–b, a) R = (–a, –b) S = (b, –a) b) Om v motsvarar P, gäller att v + 270° motsvarar S. Från bilden ser vi att sin v = b = cos (v + 270°) och att cos v = a = = –sin (v + 270°).

1115

a) 0,6

1116

v = 90° och v = 270°

1117

a) A = 5 b) A = 2 c) A = 3

1118

1119

a) A = 4 p = 720° b) A = 1 p = 1440° c) A = 0,5 p = 1080°

y

y = 2sinx

1

y = 4sin2 x

y

b) 1

x 90° 180°

c)

x

360°

180°

y

360°

y = 3 + sinx

3 x 180°

360°

1120 a) 20° åt vänster

b) 50° åt höger

1121

a) 45° åt vänster b) 30° åt höger

1122 a) A = 3

p = 180° f = 25° åt höger b) A = 4 p = 180° f = 15° åt vänster

1123 a) A = 1,5 p = 72°

f = 12° åt höger b) A = 2 p = 120° f = 30° åt vänster

b) –0,8 p = 180° p = 90° p = 72°

a)

1124 a) A = 1,5 k = 2

b) A = 1

1125

k=2

a) 3 och –3 b) 2 och 0 c) 5 och –1

1126 y = 1,5 sin 2 · (x – 30°)

76

M4 sa rtryck.indb 76

12-12-13 16.03.18

FACIT

1127 a) y = sin 2x

1138 a) 120° b) 360° c) 180°

b) y = 5 sin 2 · (x – 30°) c) y = 3 sin 0,5 · (x + 40°)

1139 a) 3 och –3

c) 0,5 och –0,5

1128 a) y = 2 sin (x – 45°)

b) y = 2,5 sin 3 · (x – 45°) c) y = 2 sin 0,25 · (x + 120°)

1129 T ex f(x) = 2 sin 4x + 3

y = 3 och amplituden 2. f(x) = 3 – 2 sin 3x börjar med att ”gå nedåt”, eftersom det är minus framför sin x. g(x) = 3 + 2 sin 3x börjar med att ”gå upp” pga plustecknet.

y = 3 – 2sin3x 60

x 360

1131 k = 0,5 och b = 7 1132

y y = 3 sin( 2x + 60°) +1

4

x 60

1142 t ex a) f (x) = 2 sin x + 3

b) f(x) = 3 cos x + 1

1143 Grafens mittlinje är 2.

För att nå ner till –1 måste b = 3 eller b = –3. Period = 90° är en fjärdedel mot ”normalt”, ger k = 4.

1144 Period = 180° = 360° / 2.

y = 3 + 2sin3x

1

b) y = 3 cos 2 (x – 40°) c) y = 4 cos 0,5(x + 10°) y = cos 2(x – 45°) b) y = 2 sin (x – 90°) och y = –2 cos x

1130 Båda har ”mittlinjen”

5

1140 a) y = cos (x – 30°)

1141 a) y = sin 2x och

Amplitud= 2 Kurvans ”mittlinje” = 3 360° / 90° = 4

y

b) 5 och 3

360

Amplitud = 2. Grafens mittlinje = 3. Första topp vid 75°. 2 sin 2x + 3 har sin första topp vid 45° (som är 30° tidigare) . Alltså bör 2 sin 2(x – 30°) + 3 = = 2 sin (2x – 60°) + 3 stämma. 2 cos 2x + 3 har sin första topp vid 0° (75° tidigare). Alltså bör 2 cos 2(x – 75°) + 3 = = 2 cos (2x – 150°) + 3 stämma bra.

1145 Funktionsvärdet är 5. 1133 y = 2 sin (2x – 60°) + 3 1134 Asin(kx + v) = Asin k(x + v / k)

Detta betyder v / k enheters förskjutning (åt vänster om v / k > 0).

1135 A = 5 / 3 1136 y = 3 sin 4(x – 15°) + 2 1137

y 1

y = cosx 180°

x 360°

y = 2cosx

Ledning: Ekvationerna 2 = A + B och 6 = –A + B ger A = –2 och B = 4.

1201 a) x = 10° + n · 360°

x = 170° + n · 360° b) x = 40° + n · 360° x = 140° + n · 360°

1202 a) x = 15° + n · 120°

x = 45° + n · 120° b) x = 20° + n · 180° x = 70° + n · 180°

1203 a) x = 50° + n · 360°

x = 190° + n · 360° b) x = 70° + n · 360° x = 90° + n · 360°

1204 a) x = 5° + n · 180°

x = 75° + n · 180° b) x = 20° + n · 120° x = 50° + n · 120°

1205 a) x = 40° + n · 1440°

x = 680° + n · 1440° b) x = 135° + n · 1080° x = 405° + n · 1080°

1206 a) x = 315° + n · 360°

x = 225° + n · 360° b) x = 148° + n · 180° x = 122° + n · 180°

1207 a) x = 55° + n · 360°

x = 125° + n · 360° b) x = 330° + n · 360° x = 210° + n · 360°

1208 a) x = ± 35° + n · 360°

b) x = ± 70° + n · 360°

1209 a) x = ± 10° + n · 180°

b) x = ± 15° + n · 120°

1210 a) x = 35° + n · 360° eller

x = –115° + n · 360° Kan också skrivas x = 245° + n · 360° b) x = 60° + n · 360° eller x = 330° + n · 360°

1211 a) x = ± 70° + n · 360°

b) x = ± 40° + n · 180°

1212 a) x = 130° + n · 360° eller

x = 250° + n · 360° b) x = ± 35° + n · 120°

1213 a) Lösning saknas

b) x = ± 30° + n · 1080°

1214 a) x = 330° + n · 360° eller

x = 210° + n · 360° b) x = 30° + n · 360° eller x = 150° + n · 360°

1215 a) x ≈ 14,7° + n · 180° eller

x ≈ 85,3° + n · 180° b) x ≈ 40,3° + n · 180° eller x ≈ 149,7° + n · 180°

1216 x = 25° + n · 180° eller

x = 85° + n · 180°

1217 a) x ≈ 13,4° + n · 90° eller

x ≈ 46,6° + n · 90° b) Stämmer med svaret i a)

77

M4 sa rtryck.indb 77

12-12-13 16.03.19

FACIT

1218 Det positiva svaret är korrekt.

Det andra svaret: 2x = –52,4° – 30° + n · 360° 2x = –82,4° + n · 360° ⇒ x = –41,2° + n · 180°.

1219 120° = 360° / 3 ⇒ a = 3

3x + b = 60° + n · 360° ⇒ 60° − b x= + n ⋅ 120° 3 60° − b = 10° ⇒ b = 30° 3 De övriga lösningarna blir x = 30° + n · 120°

1220 Ja. Om du ritar en tallinje och

prickar in deras lösningar, ser du att deras olika ”lösningsuttryck” ger samma svar. Ett annat alternativ är att båda har räknat fel.

1221 a) x = 10° x = 170°

x = 370° b) x = 15° x = 165°

1222 a) x = 20° x = 70°

x = 200° b) x = –60° x = –48° x = 12° x = 24°

1223 a) x = 30° x = 330°

b) x = 210° x = 330°

1224 a) x = 5°

x = 75° x = 185° x = 255° b) x = 195° x = 203°

1225 a) x = 125° x = 175°

x = 245° b) x = 11° x = 25°

1226 x ≈ 36,9° + n · 360°

n = 1 ⇒ x ≈ 396,9° x ≈ 180° – 36,9° + n · 360° n = 0 ⇒ x ≈ 143,1°

1227 a) 30°  60°  210°  240°

b) 90°  180°  270° c) 16°  20°  88° d) 90°  270°  450°

1228 a) 20,5° < x < 159,5°

b) 107,5° < x < 252,5°

1229 384°, 456°, 504°, 576°, 624°

och 696°

1230

1241 a) x = 36,9° + n · 180°

y

x Intersection x=12.135532

y=.81779297

Eftersom kurvorna skär varandra exakt en gång i intervallet, finns det endast en lösning. Räknaren ger svaret v ≈ 12° 1231 a) Kurvan y = a sin x har

bara en topp i intervallet. Om a = b har ekvationen en enda lösning, dubbel­ rot, nämligen x-värdet för toppen. b) Om 0 < b < a skär linjen y = b kurvan på två ställen.

1232 a = 1 och b = 2,5 1233 a) x = n · 180°

b) x = 124° + n · 180° c) x = 113° + n · 180°

1234 a) x = 14° + n · 60°

b) x = 7° + n · 30° c) x = 15° + n · 45°

1235 a) x = 40° x = 130°

x = 220° x = 310° b) x = 130° x = 310° c) x = 512°

1236 Då man adderar en period,

dvs 120° till –50°, får man –50° + 120° = 70°. Kom ihåg att n = alla heltal.

1237 – 1238 a) x = 78,7° + n · 180°

b) x = 56,3° + n · 180° c) x = 11,3° + n · 180° d) x = 84,3° + n · 180°

1239 a) x = –166° x = 14°

b) x = 225°

1240 a) x = 7,9° + n · 120° eller

x = 78,8° + n · 120° b) x = 10° + n · 90° eller x = 40° + n · 90° c) x = 23,9° + n · 45° d) x = 70,9° + n · 90°

b) x = 11,5° + n · 360° eller x = 168,5° + n · 360° c) x = 60,3° + n · 180° d) x = 6,3° + n · 36°

1242 Perioden = 90° betyder att b = 2. Eftersom

tan (2 · 22,5°) = 1 3 måste = 1 ⇔ a = 3. a 1243 a) x = 28,2° eller x = 61,8° b) x = 186,7° eller x = 306,7° c) x = 234,3° d) x = 33,7° 1244 x ≈ 37,5° eller x ≈ 82,5°

(k = 4 och a = 1,5)

1245 a) x = 60° + n · 360° eller

x = 120° + n · 360° b) x = 20° + n · 360° eller x = 160° + n · 360°

1246 a) x = 20° + n · 120° eller

x = 40° + n · 120° b) x = 15° + n · 180° eller x = 75° + n · 180°

1247 a) x = n · 180° eller

x = 45° + n · 90° b) x = 30° + n · 360° eller x = 50° + n · 120°

1248 a) x = 50° + n · 360° eller

x = 56,7° + n · 120° b) x = 2,2° + n · 40° eller x = 17,1° + n · 51,4°

1249 a) x = n · 120° (x = n · 360°

ryms i denna lösning) b) x = 15° + n · 180° eller x = 82,5° + n · 90°

1250 a) x = n · 40° (x = n · 360°

ryms i denna lösning) b) x = 170° + n · 180° eller x = 5° + n · 90°

1251 a) x = 10° + n · 120° eller

x = 300° + n · 360° b) x = 45° + n · 60°

1252 a) x = 15° + n · 90° eller

x = 20° + n · 60° b) x = n · 120° eller x = n · 72°

78

M4 sa rtryck.indb 78

12-12-13 16.03.20

FACIT

1253 a) x = n · 180° eller

1306 a) A = 30°, B = 40°

1254 a) x = 5°

1307 cos x

x = 18° + n · 36° b) x = 85° + n · 180°

b) B = 2 c) A = 23°, B = 43°.

x = 42,5° x = 132,5° b) x = 260°

1308 a) cos (180° – v) =

sin180° sin v = =  cos180° cos v + 

1255 a) x = 145° + n · 180° eller

–1

x = 8,75° + n · 45° b) x = n · 180° eller x = 22,5° + n · 45°

0

0

–1

= –cos v

°) + cos v  sin(270°))= = −(sin v cos(270  0

d) sin (360° – v) = 1

0

= sin x cos x +  cos x sin x = = sin x cos x

1309 a) sin (0 – x) =

= sin 0 · cos x – cos 0 · sin x = = 0 – 1 · sin x = – sin x b) cos (0 – x) = = cos 0 · cos x + sin 0 · sin x = = 1 · cos x + 0 = cos x

1310

1261 a) x = 100° + n · 120°

(a, b) 360° – x

x

x

(a, –b)

1263 x = –108°  x = 36°  x = –60°

1302 a) –sin x

b) sin 2x

1303 a) sin 2x

b) cos 3x

1304 a) sin x

b) –cos x

1305 a) cos (85° – 25°) =

= cos 60° = 0,5 b) cos 120° = –0,5 c) sin 90° = 1 d) sin 30° = 0,5

1315 cos (90° – x) =

= cos 90° · cos x + + sin 90° · sin x = 0 + sin x = = sin x VSV = 4 sin a · cos a(cos2 a – sin2 a) = = 2 · sin 2a · cos 2a = sin 4a VSV

1317 a) 0,96 b) 0,28 c) 3,43

1262 x = 162°  x = 234°  x = 210°

b) cos x

= 2 sin x cos x = HL  VSV

1316 HL =

y

x = 24° + n · 72° b) x = 95° + n · 180°

3 +1 3 −1 b) 2 2 2 2

1314 VL = sin 2x = sin(x + x) =

1

1260 a) x = 20° + n · 90°

1301 a) –cos x

= − 3 sin x 1313 a)

90°  x°3cos = 150° x1 = 30°  x=2 =s v − cos360 in360 ° sin v = –sin v

v + n ⋅ 60° 6 x2 = 45° – 0,5v + n · 180°

3 /2

–1

= s in360° cos v − cos360 ° sin v = –sin v

1258 Martin har räknat rätt.

1264 x1 = 15° −

sin60° sin x ) = − ( cos60° cos x + 

= –(–cos v) = cos v

b) x = 10° eller x = 20°

x = 140° + n · 180° b) x = 20° + n · 120° x = 40° + n · 360°

b) VL = ( cos60° cos x −  sin60° sin x ) 3 /2

c) –sin (v + 270°) =

1257 a) x = 211°, x = 251°, x = 237°

x = 45° + n · 180° b) x = 10° + n · 40° x = 90° + n · 360°

= 2 (sin x cos 60° + + cos x sin 60°) = = sin x + 3 cos x

= cos v cos180 sin180° = ° − sin v 

x = 125° x = 200° x = 215° x = 305° b) x = 216° x = 288° x = 360° x = 432° x = 504° x = 576°

1259 a) x = 15° + n · 60°

1312 a) 2 sin(x + 60°) =

= –cos v b) cos (v + 180°) =

1256 a) x = 20° x = 35°

0

 0,99 ≈ 0,8 ⋅ 0,87 ± 0,6 ⋅ 0,5 =   0,39 b) cos(120° – v) = = cos(180° – (v + 30°)) = = sin(v + 30°). Samma svar som i a-uppgiften!

Bilden visar att sin x = b och att sin (360° – x) = –b alltså gäller att sin (360° – x) = –sin x Subtraktionsformeln: sin (360° – x) = sin360° ⋅ cos x −  =  cos360° ⋅ sin x = =0

=1

= –sin x 1311 cos v = 1 − 0,82 = ±0,6

a) sin(v + 30°) = = sin v cos 30° + + cos v sin 30° ≈

1 1 7 b) c) 8 2 18 3 4 1319 a) b) 5 3 24 7 c) d) − 25 25 2 4 1320 a) b) 20 20 1318 a)

4 5 2 1321 a) 5

c)

c)

4 5

3 5 1 b) 5

d)

d) –

3 5

79

M4 sa rtryck.indb 79

12-12-13 16.03.25

FACIT

1322 a) 0,8

c) 0,75

b) 0,6 d) 0,96

1323 Lisa har missat den negativa

4 roten sin x = − . 5 Det rätta svaret är 24 sin 2 x = ± 25



1325 a) sin 75° = sin (45° + 30°) =

= sin 45° cos 30° + + cos 45° + sin 30° = =

2 3 2 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2

=

6+ 2 4

1332 Om man dividerar med

sin x, tappar man alla lösningar där sin x = 0.

1333 a) t = 1 ger x = 90° + n · 360°

b) x = 30° + n · 360°, x = 150° + n · 360° ledning: Använd att VL = 2 sin x cos x / cos x = 2sin x Observera att cos x ≠ 0.

1334 a) x ≈ ±65,5 + n · 360°

ledning: Ekvationen kan skrivas cos2 x = 2cos x + 2cos2 x – 1 b) x = 90° + n · 180° eller x = ±120° + n · 360°

1335 Första svaret ”passar” till

b) sin 30° = sin(2 · 15°) = 2 sin 15° cos 15° = = 2sin15° 1 − sin 2 15°

Sätt sin 15° = x ⇒ 0,5 = 2 x 1 − x Kvadrering ger ekvationen 0,25 = 4x2(1 – x2) Sätt x2 = t och lös ekva­ tionen. Det ena svaret kan förkastas, eftersom svaret ska vara mindre än 0,5. Svaret blir 0,259. 2

1326 a) Svaret sammanfattas:

x = 37° + n · 180° eller x = 143° + n · 180° b) x = 15° + n · 180° eller x = 75° + n · 180°

1327 a) x = ± 13° + n · 180°

b) x = n · 90°

1328 x = 45° eller x = 135°

b) x = 90° eller x = 180° c) x = 143° (x = 90° är en falsk rot)

x = ±60° + n · 360°

(cos x – 2 = 0 är olöslig) b) x = 22,5° + n · 90° (skriv om till tan 2x = 1)

= sin 2x cos x + + cos 2x sin x = = 2 sin x cos x cos x + + (2 cos2 x – 1)sin x = = 2 sin x cos2 x + + 2 sin x cos2 x – sin x = = sin x(4cos2 x – 1) = = sin x(4(1 – sin2 x) – 1) = = sin x(4 – 4sin2 x – 1) = = 3 sin x – 4 sin3 x = HL

1343 a) x = 60°

1330 x = n · 180° eller

1331 a) x = 90° + n · 180°

1324 VL = sin 3x = sin (2x + x) =



1329 x = 180° , x = 270°, x = 360°

ekvationen sin x = 0. Andra och tredje svaret kan skrivas 2x = 30° + n · 360° och 2x = 150° + n · 360°. Dessa båda svar ”passar” till ekvationen sin 2x = 0,5. Ekvationen kan ha varit sin x · (sin 2x – 0,5) = 0.

1336 a) y = 5 sin (x + 53,1°)

b) y = 13 sin (x – 22,6°)

1337 a) ja

b) ja

1338 a)

b)

10

41

1339 a) Amplitud = 2

1344 53° åt höger 1345 Grafisk lösning ger

a) 360°

b) 1,125

π 2 π c) 4 π 1402 a) 6 2π c) 3

π 3 5π d) 3

1401 a)

b)

b) 2π d)

3π 2

1403 a) 360°

b) 90° d) 60°

1404 a) 270°

b) 900° d) 240°

c) 180° c) 18°

1405 a)

π 6

b)

π 3

c)

π 2

5π 4π e) π f) 6 3 11π g) 6 1406 a) 0,873 b) 1,92 c) 0,489 d) 3,70

d)

1407 a) 68,8°

b) 43,0° d) 57,3°

1408 a) 6 cm

b) 9 cm2

c) 573°

c) 12 cm

1409 ca 32 % 1410 Diametern motsvarar

ungefär båglängden i den avbildade cirkelsektorn. D = π · 0,5 · 3,8 · 108 / 180 ⇒ d ≈ 3,3 · 106 m

f = 60° till vänster b) Amplitud ≈ 2,8 f = 45° till vänster

1411 a) x ≈ 0,707 + n · 2π eller

1340 Ja, om a = b så blir tan v = 1

1412 a) x ≈ 0,524 + n · 2π eller

vilket ger v = 45°.

1341 y = 4 sin x + 2 cos x 1342 y = 2 sin x – 2 cos x

x ≈ 2,43 + n · 2π b) x ≈ ± 0,592 + n · 2π x ≈ 2,62 + n · 2π b) x ≈ ± 1,32 + n · 2π

1413 a) x ≈ 1,11 + n · π

b) x ≈ 0,675 + n · π

80

M4 sa rtryck.indb 80

12-12-13 16.03.29

FACIT

1414 a) y = sin 3x

c) y = sin 0,5x

b) y = 3sin 2x

1415 a) y = cos 2x b) y = cos 

π π 1416 t ex x = — och x = – — 6 6

x 3

1417 a) x ≈ ± 0,615 + n · π

b) x ≈ 20,3 + n · 10π eller x ≈ 26,8 + n · 10π

π    12  π  b) y = 2sin0,5  x +   3

1418 a) y = 2,5sin3  x +

1419 x = –0,5π och x =

11 π 6

1420 2 cos 3x = 0 ⇔ x = π / 6 +

+ nπ / 3 (≈ 0,52 + n · 1,05). Det finns 6 rötter i intervallet. x = π / 6, x = π / 2, x = 5π / 6, x = 7π / 6, x = 9π / 6 = 3π / 2 och x = 11π / 2. Mellan 1:a och 2:a roten är y-värdena negativa, dvs mindre än noll, mellan 3:e och 4:e roten, samt mellan 5:e och 6:e. Svaret blir följande tre intervall: π/61

>2

Vi ser att hela uttrycket måste vara större än 7. VSV

82

M4 sa rtryck.indb 82

12-12-13 16.03.42

+ HL =   =  cos v cos v   1 + sin v  (1 + sin v ) = =  =  cos v  cos 2 v 2

2

=

(1 + sin v )

=

1 − sin v 2 (1 + sin v ) = = (1 − sin v ) ⋅ (1 + sin v )

Test 1 1

cos x = ±0,6

2

a) sin 145° = sin (180° – 145°) = = sin 35° ≈ 0,57 b) cos 145° = cos (180° – 35°) = = –cos 35° ≈ –0,82 c) sin 215° = sin (180° + 35°) = = –sin 35° ≈ –0,57 d) cos 325° = cos (325° – 360°) = = cos (–35°) = cos 35° ≈ 0,82

sin 2v + sin v 17 VL = = 2cos v + 1 2sin v cos v + sin v = = 2cos v + 1 sin v ( 2cos v + 1) = sin v = HL = 2cos v + 1

3

sin x

4

Vi har adderat en period, dvs 120°, till den negativa vinkeln –58°. Talet n betyder fortfarande alla heltal.

18 3,8 cm

Den röda: y = 3 sin x – 1 Den blå: y = 2 cos (x / 2)

6

a) 90° och –1 b) 180° och –3 c) 360° och –2

7

a) A = 2, B = –1. b) Grafen är en spegelbild till a-grafen i linjen y = –1

8

A = ±4. Största värde = 4 – 1 = 3

9

a) sin x c) 0

b) sin x

= 120 / 169

13 a) x = ±π / 6 + n · 2π

b) x = –π / 4 + n · 2π eller x = 5π / 4 + n · 2π

14 a = 0,5 b = 2 och c = 1

(

2 − cos v

)(

21 a) 0,5

24 a) x = n · 180°,

)

2 + cos v =

= 2 – cos  v = 2 – (1 – sin2 v) = = 1 + sin2 v = HL 2

2

 1 sin v  + HL =   =  cos v cos v   1 + sin v  (1 + sin v ) = =  =  cos v  cos 2 v 2

(1 + sin v )

2

= 1 − sin 2 v 2 (1 + sin v ) = = (1 − sin v ) ⋅ (1 + sin v )

M4 sa rtryck.indb 83

b) A = a, B = b, D = d (dessa ger period, amplitud och medelnivå). Men en cosinus-kurva ligger en kvarts period förskjuten till vänster jämfört med sinuskurvan. sin 2(x – π / 4) = = sin (2x – π / 2). Ger C = –π / 2. c) Perioden är konstant men amplituden blir mindre och mindre.

x = 70° + n · 120° b) x = 38° + n · 180° eller x = –22° + n · 180°

x = 5π / 12 ≈ 1,31 x = 13π / 12 ≈ 3,40 x = 17π / 12 ≈ 4,45 b) 1 < a < 5 c) a = 1 eller a = 5 d) g(x) = 2 cos (2x – π / 2) + 3

b) –7 / 8

12 2 · (5 / 13) · (±12 / 13) =

=

29 a) π sekunder

20 a) x = –10° + n · 120°,

b) 0,707 c) Subtraktionssatsen ger att uttrycket = cos (80° – 20°) = cos 60° = 0,5. På motsvarande sätt med additionssatsen som ger sin(20° + 25°) = sin 45° = = 1/ 2

1 + sin v = VL 1 − sin v

2

x = ±60° + n · 360° b) x = 45° + n · 90°

25 Sätt cos x = t.

Ekvationen 2t2 – t – 1 = 0 har rötterna t = 1 eller t = –1 / 2 t = 1 ger x = n · 2π; t = –1 / 2 ger x = ±2π / 3 + n · 2π

26 Grafen liknar f (x) = cos x.

Kvadratens hörn ligger där linjen y = x skär grafen. Ekvationen cos x = x löses med grafritaren. x ≈ 0,74 ger arean 0,55 a.e

eller x ≈ 7,3 5π b) x = —— eller x = 2 π 3

7π eller x = —— 3 28 3 ms

b) m = 25, största värde = 25

23 a) x = π / 12 ≈ 0,26

11 a) 8 / 9

=



19 a) 25 (amplitud = 25)

22 x = 450°

10 k = –2

16

1 + sin v = = VL 1 − sin v

27 a) x ≈ 5,2 eller x ≈ 6,3

2

5

15 VL =

FACIT

2

2

Blandade uppgifter 1

a) x = 16,8° eller x = 163,2° b) x = 105° eller x = 165°

2

a) x = 9,0° x = 111,0° x = 129,0° b) Saknar lösning

3

a) x = 123,7° b) x = 75° eller x = 135°

4

a) x = 22,5° + n · 90° b) x = ± 151° + n · 720°

5

a) x = 20° + n · 360° eller x = 260° + n · 360° b) x = 18° + n · 72°

6

a) x ≈ 1,22 b) x1 ≈ 1,10 x2 ≈ 2,04 x3 ≈ 4,24 x 4 ≈ 5,18

7

a) x1 ≈ 1,46 x2 ≈ 4,60 b) Saknar lösning π 5π a) b) 2 6 π π c) d) 4 18

8

83

12-12-13 16.03.45

FACIT

9

a) Största värde = 7 minsta värde = 3 b) Största värde = 2 minsta värde = 0

10 a) x ≈ 0,89 + n · 2π

x ≈ 2,25 + n · 2π b) x ≈ ±1,27 + n · π c) x ≈ –0,46 + n · 3π d) x ≈ –0,21 + n · π x ≈ 0,84 + n · π

11 a) A = 2,5

p = 360° f = 30° åt höger b) A = 1 p = 180° f = 25° åt vänster

12 a) y = 3 cos 2(x + 30°)

b) y = cos 0,5(x – 20°)

13 a) 0

b) ej definierat

14 a) 1

b) 0

15 a) y = 5 sin 4(x – 20°)

π  b) y = 3sin2  x −   3 1 3 1 16 a) b) c) 2 3 2 17 a) –cos 3x b) –cos 2x

4π   eller 3  5π   y = 2cos0,5  x +   3   

24 y = 2sin0,5  x −

25 a) –0,366

b) x ≈ 0,52 π 2π 26 x = ± + n ⋅ 9 3 π 27 x = + n ⋅ π 4 28 x = 191,5° eller x = 348,5° 29 a) x = 30°  x = 110°  x = 150°

b) 0° < x < 30° eller 110° < x < 150° π 30 x = + n ⋅ 2π eller 6 5π x= + n ⋅ 2π 6

b) –10° c) 10° d) 30° e) –4,1° f) t = 6 g) ca kl 21 och kl 05 h) ca 24 timmar i) ca 8 timmar

21 a) 2,5 m

c) 2 m

b) 3

22 Endast alternativ c) y = cos x 23 y = 1 – 2(sin x – cos x)2 =

= 1 – 2(sin2 x – 2sin x cos x + + cos2 x) = 1 – 2(1 – sin 2x) = = 2 sin 2x – 1 Eftersom sin 2x är perioden = 360° / 2 = 180° VSV

samt mellan 19.04 och 22.56

42 t = 172 (motsvarar 21 juni)

π + n ⋅π 4 44 a) Kurvorna sammanfaller ⇒ cos xx = 2 sin( x + 45°) sinsin x x ++cos b) 2 sin( x + 45°) = = 2(sin x cos45 sin45°) = ° + cos x  43 x =

1/ 2

= sin x + cos x

45 x1 = 15°  x2 = 45°  x3 = 75° 46 cos 2x = 1 – 2 sin 2x 47 3 rad 48 A = 1,5 och B = –0,5

x = 150° + n · 360°

x

c) 1

b) 12 h d) 1 m

41 Mellan kl 07.04 och 10.56

50 x = 30° + n · 360° eller

 sin 2 x  19 VL = cos x  +1 =  cos 2 x  = sin2 x + cos2 x = 1 2

3 2

= 1 − 2sin x cos x ⋅

49 p ≈ 0,282

y

18 0,82

20 a)

sin x = cos x 2 = 1 – 2 sin  x = cos 2x 1 39 3 40 b, d och e

1/ 2

31 a) 30°

32

38 1 – sin 2x · tan x =

33 x1 ≈ –70°

x2 ≈ 20°

34 x1 ≈ 191,5°

x2 ≈ 348,5°

4π = 3 3 36 a) x = ± 60° + n · 180° b) x = 45° + n · 180° 35

tan

37 sin2x + cos2x – 2 sin cos x =

= 1 – sin 2x

π + n ⋅ 2π 3 52 VL = cos 3x = cos (2x + x) = = cos 2x cos x – sin 2x sin x = = (2cos2 x –1) · cos x – – 2 sin x cos x · sin x = = 2 cos3 x – cos x – – 2 cos x(1 – cos2 x) = = 4 cos3 x – 3 cos x 51 x = n · π eller x = ±

53 x1 = 30°

x2 = 150° x 4 = 210°

54 x1 = π / 3

x2 = 2π / 3 x 4 = 5π / 3

x3 = 180° x5 = 330° x3 = 4π / 3

84

M4 sa rtryck.indb 84

12-12-13 16.03.49

FACIT

EXAKTA TRIGONOMETRISKA VÄRDEN Vinkel Grader Radianer

0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°

sin v

cos v

tan v

0

0

1

0

π

1

3

1

6

2

2

π

1

1

4

2

2

π

3

1

3

π 2

2

2

1

0

2π

3

3

2

3π

1

4

2

5π

1

6

2

π

0

7π 6 5π 4 4π 3 3π 2 5π 3 7π 4 11π 6 2π

−

1 2

3 2

–1 3

− – −

ej def.

1 2 2 3 2

− 3 –1 −

–1

2

−

1 3

1

− −

1

−

−

3

1 3

2 1

−

1

2

−

1

3

2

0 1

2

2

1

1

2

2

1

3

2

2

0

1

3 0

3

−

1

ej def. − 3 –1 −

1 3 0

85

M4 sa rtryck.indb 85

12-12-13 16.03.54

M

4

den här boken omfattar gymnasieskolans kurs matematik 4. den riktar sig till naturvetenskaps- och teknikprogrammen. Boken passar också för vuxenutbildning och basår. • Bokens tydliga förklaringar ger en djupare förståelse för matematiken. • nivåindelade uppgifter och fördjupningar gör det lätt att individualisera. • laborativa aktiviteter, Upptäck & visa, digitala rutan samt kommunicerauppgifter ger möjlighet att träna många förmågor. • varje kapitel avslutas med Sammanfattning, test och Blandade övningar. m är en matematikserie för gymnasieskolan. Serien täcker samtliga gymnasieprogram.

Tryck.nr 47-08593-4

M4

Best.nr 47-10909-8

M4 sa rtryck.indb 86

r1140-090

Best.nr 47-08593-4

12-12-13 16.03.57