MA002X Bastermin - matematik VT16

MA002X Bastermin - matematik VT16 Något om trigonometri

Mikael Hindgren

12 februari 2016

Cirkelns ekvation Exempel 1 Beräkna avståndet mellan punkterna (4, 6) och (1, 2). Lösning:

−1

7 (4, 6) 6 5 d 4 6−2=4 3 2 (1, 2) 1 4−1=3

Pythagoras sats: d2

=

⇔ d

=

d>0

=

(4 − 1)2 + (6 − 2)2 q (4 − 1)2 + (6 − 2)2 p √ √ 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5

1 2 3 4 5 6

Avståndsformeln Avståndet d mellan punkterna (x1 , y2 ) och (x2 , y2 ) ges av q d = (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

2 / 21

Cirkelns ekvation

(x, y) r (a, b)

En cirkel består av alla punkter (x, y ) som befinner sig på avståndet r från en medelpunkt (a, b). ⇒ Punkten (x, y ) ligger på cirkeln om: q r = (x − a)2 + (y − b)2

Cirkelns ekvation Ekvationen för en cirkel med medelpunkt (a, b) och radie r ges av (x − a)2 + (y − b)2 = r 2 Exempel 2 Bestäm ekvationen för en cirkel med medelpunkt i (1, 2) som har radien 3. Lösning: Cirkelns ekvation: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 32 Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

3 / 21

Cirkelns ekvation Exempel 3 Ligger punkterna (1, 0) och (−2, 3) på cirkeln (x − 3)2 + (y − 4)2 = 20? Lösning: Insättning i cirkelns ekvation: x = 1, y = 0

⇒

(1 − 3)2 + (0 − 4)2 = 22 + 42 = 4 + 16 = 20

x = 2, y = 7

⇒

(2 − 3)2 + (7 − 4)2 = 12 + 32 = 1 + 9 = 10 6= 20

OK!

∴ (1, 0) ligger på cirkeln men det gör inte (2, 7). Exempel 4 Bestäm en ekvation för en cirkel som innehåller punkten (5, 3) och har medelpunkt i (2, −1). Lösning: (5, 3) ligger på cirkeln: Cirkelns ekvation: Akademin för Informationsteknologi - ITE

r=

q p √ (5 − 2)2 + (3 − (−1))2 = 32 + 42 = 25 = 5

(x − 2)2 + (y + 1)2 = 52 MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

4 / 21

Cirkelns ekvation Exempel 5 Beskriver ekvationen x 2 + y 2 + 2y − 3 = 0 en cirkel? Bestäm i så fall dess medelpunkt och radie. Lösning: x 2 + y 2 + 2y − 3

=

x 2 + (y + 1)2 − 1 − 3 = (x − 0)2 + (y + 1)2 − 22 = 0

⇔

(x − 0)2 + (y − (−1))2 = 22

∴ En cirkel med medelpunkt i (0, −1) och radie 2.

Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

5 / 21

Enhetscirkeln Definition 1 (Vinkelmåttet radianer) 1

1 l.e.

Den vinkel som motsvarar en båge med längden 1 l.e. i enhetscirkeln är 1 radian

1

Vridning moturs motsvarar positiv vinkel

1 radian

Omkretsen av en cirkel är 2πr : ⇒ 1 varv i e.c. (360◦ ) motsv 2π radianer Omvandling mellan grader och radianer: 1◦

=

1 radian

=

1 π · 2π = radianer 360 180 ◦ 1 180 · 360 = ≈ 57.3◦ 2π π

Anm: Normalt anges ingen enhet då vinkeln anges i radianer. Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

6 / 21

Enhetscirkeln Exempel 6

Exempel 7

Grader → radianer: π 30◦ = 30 · 180 π 45◦ = 45 · 180 π 60◦ = 60 · 180 π 90◦ = 90 · 180

= = = =

π 6 π 4 π 3 π 2

Radianer → grader: 3π 3π 180◦ = · = 270◦ 2 2 π 3π 3π 180◦ = · = 135◦ 4 4 π 180◦ 3π = 3π · = 540◦ (1.5 varv i e.c.) π

Definition 2 (Trigonometriska funktioner) 1 P = (x, y)

y

I enhetscirkeln: sin v = y

v x

1

Akademin för Informationsteknologi - ITE

cos v = x sin v tan v = , cos v MA002X Bastermin - matematik VT16

v 6=

π + nπ 2 Något om trigonometri

7 / 21

Rätvinkliga trianglar

c b 1

y

v x

De båda trianglarna är likformiga: b y = = sin v c 1 a x = = cos v c 1 b y sin v = = = tan v a x cos v

a

Trigonometriska samband i rätvinkliga trianglar motstående katet hypotenusan närliggande katet cos v = hypotenusan motstående katet tan v = närliggande katet sin v =

Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

8 / 21

Viktiga vinklar Exempel 8 Bestäm sin v , cos v och tan v då v =

π 3

respektive v =

π . 6

Lösning: sin

1

π 3

=y =

q 12 −

π = x = 12 3 sin π6 = x = 12 √ cos π6 = y = 23 sin π tan π3 = cos 3π = 3


1 2 2

√

=

3 2

cos

1

π 6

y

π 3

x=

1 2

1

Akademin för Informationsteknologi - ITE

tan

π 6

=

sin π 6 cos π 6

=

MA002X Bastermin - matematik VT16

√ 3 √1 3

Något om trigonometri

9 / 21

Viktiga vinklar Exempel 9

Viktiga vinklar!

Bestäm sin v , cos v och tan v då v =

π . 4

v

Lösning: Pythagoras sats: x 2 + x 2 = 12 ⇒ x =

1

√1 2

0◦

0

0

30◦

π 6 π 4 π 3 π 2

1 2 √1 √2 3 2

45◦ 60◦

1

sin x

π 4

x

1

Akademin för Informationsteknologi - ITE

π 4

√1 2 = √12

=x =

cos

π 4

=x

tan

π 4

=

sin π 4 cos π 4

sin v

90◦

1

cos v

tan v

1

0

3 2 √1 2 1 2

1 √ 3

1 √ 3

0

Ej def

√

=1

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

10 / 21

Symmetriegenskaper och samband 1

Symmetriegenskaper

y

sin(π − v ) = sin v π−v

cos(π − v ) = − cos v

v −x

−v

x

1

sin(−v ) = − sin v cos(−v ) = cos v

−y

(udda funktion) (jämn funktion)

sin( π2 ± v ) = cos v cos( π2 ± v ) = ∓ sin v

1

1

Pythagoras sats ⇒ x 2 + y 2 = 12 ⇔ y

v x

1

”Trigonometriska ettan” cos2 v + sin2 v = 1

Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

11 / 21

Areasatsen Arean A av en triangel ges av

β c

A=

a

h

α

Enligt figuren är:

γ

bh 2

h = sin α ⇔ h = c sin α c

Areasatsen

b

A=

bc sin α ca sin β ab sin γ = = 2 2 2

Exempel 10 I en triangel är en sidan är 3 cm, en annan sida är 4 cm och den mellanliggande vinkeln är π4 . Bestäm triangelns area. Lösning: Areasatsen: A =

3 · 4 · sin 2

π 4

3·4· =

2

1 √ 2

√ 12 = √ = 3 2 ≈ 4.24 a.e. 2 2

Anm: Areasatsen gäller även om vinkeln är trubbig. Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

12 / 21

Sinussatsen Enligt Areasatsen har vi

β c

bc sin α = ca sin β = ab sin γ

a

Dividerar vi med abc får vi

h

Sinussatsen

α

γ b

sin α sin β sin γ = = a b c

Exempel 11 En triangel har en vinkel som är π6 och den motstående sidan är 5 cm. En annan vinkel i triangeln är π3 . Hur stor är den motstående sidan till denna vinkeln? Lösning: Kallar vi den okända sidan för x har vi enligt Sinussatsen: √

√ sin π6 sin π3 5 sin π3 5 · 23 = ⇔x = = 5 3 ≈ 8.66 cm π = 1 5 x sin 6 2 Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

13 / 21

Sinussatsen Anm: Eftersom sin v = sin(π − v ) får man två olika fall om man bara känner sidorna a och c samt vinkeln α motstående till a. Utan ytterligare information kan man inte bestämma motstående vinkel till sidan c och därmed inte heller den återstående sidan b.

c α

a π−γ b

a γ

γ

sin(π − γ) sin α sin γ = = a c c Är det γ eller π − γ som är motstående vinkel till sidan c ? Om γ = π2 sammanfaller de båda fallen och vi får en rätvinklig triangel.

Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

14 / 21

Cosinussatsen Pythagoras sats applicerad på triangeln i figuren:

a

a2

b α

c − b cos α

c

b cos α

=

(c − b cos α)2 + b2 − (b cos α)2

=

c 2 − 2bc cos α + (b cos α)2 + b2 − (b cos α)2

Cosinussatsen a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α

Exempel 12 I en triangel är två av sidornas längder 4 cm respektive 5 cm. Deras mellanliggande vinkel är π3 . Beräkna längden av den tredje sidan i triangeln. Lösning: π 1 a2 = b2 + c 2 − 2bc cos α = 42 + 52 − 2 · 4 · 5 · cos = 16 + 25 − 40 · = 21 3 2 √ ∴ Den tredje sidan är 21 ≈ 4.58 cm. Anm: Cosinussatsen gäller även om den mellanliggande vinkeln är trubbig. Pythagoras sats är ett specialfall av Cosinussatsen då triangeln är rätvinklig dvs då cos α = cos π2 = 0. Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

15 / 21

Tillämpning av triangelsatserna Exempel 13 En triangel har sidorna 3, 7 respektive 8 cm. Bestäm triangelns area. √ Svar: Arean är 6 3 ≈ 10.4 a.e. Exempel 14 I en triangel är en av sidorna 2 cm längre än en av de andra och den mellanliggande vinkeln är 5π . Triangelns area är 12 cm2 . Bestäm samtliga sidors 6 längder. p √ Svar: Sidorna är 6, 8 och 100 + 48 3 ≈ 13.53 cm. Exempel 15 √ I triangeln ABC är vinkeln vid A π6 , sidan AB = 2 3 cm och sidan BC = 2 cm. Bestäm längden av sidan AC samt övriga vinklar i triangeln. Svar: Vi får två fall:

√ a = 2, b = 4, c = 2 3, α = √ a = 2, b = 2, c = 2 3, α =

Akademin för Informationsteknologi - ITE

π , 6 π , 6

β= β=

π , 2 π , 6

γ= γ=

π (Rätvinklig triangel) 3 2π (Likbent triangel) 3

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

16 / 21

Additions och subtraktionssatserna Sats 1 För alla vinklar u och v gäller: 1

sin(u + v ) = sin u cos v + sin v cos u

2

sin(u − v ) = sin u cos v − sin v cos u

3

cos(u + v ) = cos u cos v − sin u sin v

4

cos(u − v ) = cos u cos v + sin u sin v

Exempel 16 √ √ π π π π π π π 1 1 3 1 3+1 √ √ √ cos = cos( − ) = cos cos +sin sin = + = 12 3 4 (1.4) 3 4 3 4 2 2 2 2 2 2 u = v i (1) och (3) ger: Sats 2 (Formler för dubbla vinkeln) 1

sin 2v = 2 sin v cos v

2

cos 2v = cos2 v − sin2 v = 2 cos2 v − 1 = 1 − 2 sin2 v

Akademin för Informationsteknologi - ITE

MA002X Bastermin - matematik VT16

Något om trigonometri

17 / 21