Marche aléatoire - Cours et exercices

M. Molin - Lycée Marcelin Berthelot

BCPST 1A

Année 2016-2017

D EVOIR M AISON No 10 M ARCHE ALÉATOIRE À rendre le 10 mars 2017 à 8h00 en début de cours Une copie mal présentée ne sera pas corrigée.

Il s’agit d’un exercice type que l’on rencontre très souvent (sous une forme ou une autre. . . ). Il est donc vivement conseillé de le chercher assidument, pour comprendre la démarche et être en mesure de le refaire, même avec moins de questions intermédiaires. P ROBLEME 1 On définit un graphe par des sommets et des arcs orientés aussi appelés flèches. Chaque flèche du graphe relie deux sommets : un sommet origine i et un sommet destination j . On dit que la flèche va de i vers j . Un graphe doit suivre les règle suivantes : • Une flèche peut relier un sommet à lui-même. • Pour deux sommets i et j , il y a une seule flèche au maximum qui va de i vers j . Par contre, si les sommets sont distincts, il peut y avoir une flèche de i vers j et une autre de j vers i . • Chaque flèche possède un poids que l’on indique en label. • Tous les sommets sont virtuellement reliés entre eux. Mais lorsque la flèche est de poids nul, elle n’est pas représentée. Le graphe est un graphe de probabilités si : 1 4

• Chaque flèche a un poids compris entre 0 et 1.



• La somme des poids de flèches partant d’un même sommet est égale à 1.

?

Dans ce cas, le poids de la flèche représente la probabilité de passer du sommet i au sommet j . Dans ce contre.

problème,

on

considère

le

graphe

de

probabilités

G1

V

1 2

1 2 1 4

ciB l

suivant les proben position A à avec la probabilavec la probabil-

1 2 1 2



Lecture du graphe : Un mobile se déplace sur le graphe, abilités indiquées par les flèches. Ainsi, s’il se trouve l’instant n, alors à l’instant n + 1, il reste en position A ité 14 , en position B avec la probabilité 14 et en position C ité 12 . On note p la loi de probabilité associée à ce graphe.

A

1 4

,



C j 1 4

Graphe G 1

On suppose qu’à l’instant n = 0, le mobile est en position A et on veut connaître la probabilité qu’il soit à nouveau en position A à l’instant n. Pour tout n ∈ N, on définit les trois événements :

et on pose

A n : “le mobile est en position A à l’instant n.” B n : “le mobile est en position B à l’instant n.” C n : “le mobile est en position C à l’instant n.”



 p(A n ) Un =  p(B n )  p(C n )

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Année 2016-2017

Partie 1 : Écriture matricielle 1) Tracer le graphe, et mettre en label de chaque flèche la probabilité conditionnelle qu’elle représente (entre les instants n et n + 1). 2) Pour n ∈ N, les trois événements (A n , B n ,C n ) forment-ils un système complet d’événements ? 3) Montrer qu’il existe une matrice M ∈ M3 (R) telle que ∀n ∈ N, Un+1 = M Un . Donner d’abord l’expression littérale de M pour un graphe de probabilité quelconque à 3 sommets A, B et C (on pourra s’aider de la première question). Puis donner son expression, pour le graphe G 1 considéré. 4) Justifier que la somme des coefficients de chaque colonne de M est égale à 1. Méthode : Dans les exercices de ce type, il faudra toujours faire cette vérification, même si elle n’est pas demandée. 5) Donner l’expression de Un en fonction de U0 et des puissances de M . (Écrire une justification très soignée) Partie 2 : Calcul des puissances 1) Montrer que M 2 = 43 M + 14 I 3 2) En déduire l’existence de deux suites (a n )n∈N et (b n )n∈N telles que ∀n ∈ N, M n = an M + bn I 3 Donner une relation de récurrence vérifiée par les suites (a n ) et (b n ). 3) Trouver les expressions de a n et de b n en fonction de n. 4) En déduire une expression “simple” de M n en fonction de M , I 3 et de n. 5) Donner l’expression de U0 . 6) En déduire l’expression de p(A n ) en fonction de n. 1 4

 ?

A

V

1 2

1 2 1 4



B l

1 2 1 2

1 4

Graphe G 1

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,



C j 1 4

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Indications

Partie 1 : Écriture matricielle 1) La probabilité de passer de A vers B est la probabilité d’être en B à l’instant n + 1, sachant qu’on est en A à l’instant n. 2) 3) Écrire p(A n+1 ) comme combinaison linéaire de p(A n ), p(B n ) et p(C n ) en utilisant les probabilités conditionnelles. 4) Si ce n’est pas le cas, c’est qu’il y a un problème. . . 5) Prouver par récurrence. Partie 2 : Calcul des puissances 1) Calculer. . . Si vous n’avez pas l’égalité, soit vous vous êtes trompé dans le calcul, soit pour les coefficients de M . 2) Construire les suites par récurrence. 3) On commencera par trouver une relation linéaire d’ordre 2 pour la suite (a n ) (voir le chapitre sur les suites usuelles). En déduire l’expression de a n en fonction de n, puis celle de b n . 4) 5) On sait que le mobile est en A à l’instant 0. Cela correspond à une probabilité certaine. 6) Cela correspond au premier coefficient de Un que l’on obtient avec les puissances de M et le calcul de U0 .

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