MAT1085 Chapitre 2 Probabilités Solutions 2.1 Soit A et B deux

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités Solutions 2.1

Soit A et B deux événements tels que P(A)  0,4, P(B)  0,3. Déterminer P(A  B) pour chacune des hypothèses suivantes. a) P(A  B) = 0,1 0,6 b) A et B sont disjoints 0,7 c) B  A 0,4 c d) P(A  B ) = 0,15 0,45 e) A et B sont indépendants 0,58 f) P(A|B)  0,8 0,46

2.2

a)

2.3

On tire au hasard une personne d'une certaine population. Considérons les événements suivants :

Soit P(A) = 0,3, P(B) = 0,5, P(AB) = 0,7. Trouver : (i) P(AB), 0,1 (ii) P(AcBc), 0,3 (iii) P(BAc) 0,8 b) Soit A et B deux événements incompatibles, et soit P(A) = 0,4, P(B) = 0,3. Calculer P(AcBc). 1

A : La personne choisie a les yeux bleus B : La personne choisie a les yeux bruns C : La personne choisie a les cheveux blonds D : La personne choisie est en faveur de la peine capitale pour tout meurtre E : La personne choisie est en faveur de la peine capitale pour le meurtre d'un policier Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses. Discutez. a) d) g) j) 2.4

A et B sont indépendants F b) A et B sont incompatibles V c) P(AB) = 0 F ED F e) P(A|C) > P(A) V (probablement) f) A et D sont indépendants V (probablement) B et D sont incompatibles F h) P(D) > P(E) F i) P(D|E) = P(D)/P(E) V P(E|D) = 1 V k) P(DE) = P(E). V

Un petit restaurateur emploie 3 serveurs. Il constate que les 5 dernières assiettes cassées accidentellement ont été cassées par le même serveur, Louis Lacasse. Peut-il conclure que Louis est particulièrement maladroit ? Sous l’hypothèse que lorsqu’il y a un bris, la probabilité que ce soit Louis le coupable est de 1/3 comme tout le monde, la probabilité que ce soit Louis qui casse les 5 fois est (1/3)5 = 1/243 = 0,0041, très faible. Donc cette hypothèse est intenable et Louis doit avoir une probabilité > 1/3 d’être le coupable. Il est maladroit.

2.5

Dans un certain pays, la probabilité qu'un bébé atteigne l'âge de 50 ans est de 90% ; la probabilité qu'il atteigne l'âge de 70 ans est de 80%. Quelle est la probabilité qu'une personne de 50 ans atteigne l'âge de 70 ans ? Soit A l’événement « un bébé atteint l’âge de 50 ans » et B l’événement « il atteint l’âge de 70 ans ». On demande la probabilité P(B|A) = P(AB)/P(A) = P(B)/P(A) = 8/9 [Nous utilisons le fait que AB = B].

2.6

On tire au hasard un compte à payer parmi les comptes pour lesquels un chèque a été émis en paiement. Soit A l'événement « le chèque a été émis en retard » ; B l'événement « le chèque est sans provision ». Supposons que P(A)  0,60 et P(B)  0,10. a) Imaginez un argument pour montrer que A et B pourraient être dépendants. Déduire de cet argument que P(AB) > P(A) P(B) ou que P(A  B) < P(A) P(B). Il est plausible que P(B |A) > P(B) (quelqu’un qui remet un chèque en retard ne prend peut-être pas très au sérieux ses obligations financières). Alors P(AB) = P(A)P(B|A) > P(B)P(A).

b) Supposons que P(A B)  0,08. Calculez la probabilité (i) que le chèque soit émis en retard ou soit sans provision ; (ii) que le chèque soit bon mais qu'il ait été émis en retard ; (iii) que le chèque soit émis en retard étant donné qu'il est sans provision ; (iv) que le chèque soit bon étant donné qu'il a été remis en retard. 2.7

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB) = 0,62 P(ABc) = P(A)-P(AB) = 0,52 P(A|B) = P(AB)/P(B) = 0,8 P(Bc|A) = P(ABc)/P(A) = 0,52/0,6.

L'enfant d'un certain couple a, pour des raisons génétiques, une probabilité de 1/4 d'être atteint d'une certaine maladie. Si le couple en question a 3 enfants, calculez la probabilité de chacun des événements suivants : a) Les 3 sont malades (¼)3 = 1/64 3 b) Aucun des trois n'est malade (3/4) = 0,421875 c) Au moins un des trois est malade 1-(1/4)3 = 0,984375 d) Les deux premiers sont malades mais pas le troisième (1/4)(1/4)(3/4) = 0,046875 e) Les deux premiers sont malades (1/4)(1/4) = 0,0625 f) Exactement deux des enfants sont malades

MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 2 Désignons par « m » une naissance malade et par « s » une naissance saine. L’événement « Deux des enfants sont malades » est l’ensemble des résultats {mms ; msm ; smm}. La probabilité de chacun est (1/4)(1/4)(3/4). Don la probabilité de l’événement est 3(1/4)(1/4)(3/4) = 0,140625

2.8

La probabilité qu'une femme vive 60 ans ou plus est 0,9096 ; la probabilité qu'elle vive 61 ans ou plus est 0,9019. Quelle est la probabilité qu'une femme de 60 ans vive au moins une année de plus ? Soit B l’événement « elle vit jusqu’à 61 ans ou plus » et A l’événement « elle vit jusqu’à 60 ans ou plus ». La probabilité demandée est P(B|A) = P(AB)/P(A) = 0,9019/0,9096 = 0,9915.

2.9

Supposons que P(avoir une fille)  P(avoir un garçon). Si une famille a deux enfants, quelle est la probabilité qu'elles soient toutes deux des filles. a) Étant donné que l'aînée est une fille ? L’espace échantillon est {FF,FG,GF,GG}. Soit B l’événement « Les deux sont des filles » et A l’événement « l’ainée est une fille ». B = {FF} et A={FG, FF} . P(B|A) = P(AB)/P(A) = P({FF})/P({FG,FF}) = ½. Ou encore, la condition que l’ainée est une fille restreint l’espace échantillon à {FF,FG} et c’est dans cet espace qu’on calcule la probabilité que les enfants soient des filles, soit {FF}, donc ½.

b) Étant donné qu'au moins l'une d'elles est une fille ? Soit C l’événement « Au moins l’une d’elles est une fille ». C = {GF, FG, FF}. P(B|C) = P(BC)/P(C) = P(B)/P(C) = 1/3. Ou encore, la condition qu’au moins l’une d’elle est une fille réduit l’espace échantillon à {FF,FG,GF} et la porbabilité de {FF} dans cet espace restreint est 1/3.

2.10 On lance deux dés. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un 6 ? 1-P(n’avoir aucun 6) = 1-(5/6)2 = 0,3055556. Quelle est la probabilité d'avoir au moins un 6, sachant que les deux résultats sont différents ? Soit B l’événement « Avoir au moins un 6 » et A l’événement « Les deux résultats sont différents ». P(B|A) = P(AB)/P(A). P(AB) = P({(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6)}) et P(A) = 1-6(1/6)(1/6) = 5/6. Donc P(B|A) = P(AB)/P(A) = (10/36)/(5/6) = 1/3.

2.11 Supposons que 5 % des hommes et 0,25 % des femmes sont daltoniens. On choisit un daltonien au hasard. Quelle est la probabilité que ce soit un homme ? (Supposez que la probabilité de tomber sur un homme est 1/2 a priori).

Soit D l’événement « La personne est daltonienne » et H « La personne est un homme ». On a P(D|H) = 0,05 et P(D | H c) = 0,0025. On cherche P(H | D) = P(HD)/P(D). P(HD) = P(H)P(D|H) = (1/2)(0,05) ; P(D) = P(DH)+P(DHc) = P(H)P(D|H)+P(Hc)P(D|Hc) = (1/2)(0,05)+(1/2)(0,0025) = 0,02625. Alors P(H | D) = (1/2)(0,05)/0,02625 = 0,952381.

2.12 La boîte A contient une bille noire et une blanche ; la boîte B contient deux noires et une blanche. On choisit une boîte au hasard, puis une boule dans la boîte. Quelle est la probabilité que la boule soit noire ? 0,583333 2.13 Trois sacs contiennent chacun deux boules. Le sac A contient 2 noires, le sac B 2 rouges, et le sac C 1 rouge est une noire. On choisit un sac au hasard, puis une boule dans le sac. Elle est rouge. Quelle est la probabilité que la prochaine boule, tirée dans le même sac, soit noire (i) si on remet la première boule dans le sac avant d’en tirer une deuxième ? Soit R : « La première boule est rouge », B : « La 2e boule est noire ». P(R) = (1/3)(0)+(1/3)(1)+(1/3)(1/2) = ½ ; P(B|R)=P(RB)/P(R) ; P(RB) = (1/3)(0)+(1/3)(0)+(1/3)(1/4)= 1/12. Alors P(B|R) = (1/12)/(1/2)= 1/6.

(ii) Si on ne remet pas la première boule dans le sac ? MAT1085.02.Sols.A12

2

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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 3 P(B|R)=P(RB)/P(R) ; P(RB) = (1/3)(0)+(1/3)(0)+(1/3)(1/2)= 1/6. Alors P(B|R) = (1/6)/(1/2) = 1/3.

2.14 Vous entreprenez un voyage qui doit s'effectuer sur 3 lignes aériennes, A, B et C, dans cet ordre. La probabilité qu'une ligne perde les bagages que vous lui confiez est 0,4 pour A, 0,2 pour B et 0,1 pour C. Vous avez perdu vos bagages. Quelle est la probabilité que ce soit A qui les ait perdus ? Soit A : « A perd vos bagages » ; B : « B les perd » ; V : « C les perd » ; D = « Vos bagages sont perdus ». On cherche P(A|D) = P(AD)/P(D). P(D) = 1-(1-0,4)(1-0,2)(1-0,1) = 0,568 ; P(AD) = P(A) = 0,4. Donc P(A|D) = 0,4/0,568 = 0,7042254.

2.15 Lors de la transmission de signaux numériques, des « 0 » et des « 1 » sont envoyés dans la proportion 3 :4 (4 « 1 » pour chaque 3 « 0 »). À cause de certains bruits dans la transmission, un « 0 » devient un « 1 » avec probabilité 1/4 et un « 1 » devient un « 0 » avec probabilité 1/3. Si on reçoit un « 0 », quelle est la probabilité qu'il ait été envoyé comme « 0 » ? (3/7)(3/4)= 9/28. P(B) = P(AB)+P(AcB) =

Soit A : « Un 0 est transmis » et B : « Un 0 est reçu ». P(A|B) = P(AB)/P(B). P(AB) = (3/7)(3/4)+(4/7)(1/3) = 9/28+4/21= 43/84. Donc P(A|B) = (9/28)/(43/84)=27/43= 0,627907.

2.16 Vous tirez 3 fois sur une cible. La probabilité d'atteindre la cible au premier coup est p. La probabilité à chacun des essais suivants est p ou p/2 selon que vous avez réussi ou pas à l'essai précédent. Quelle est la probabilité d'atteindre la cible au moins 3 fois ? 2 fois ? 1 fois ? 0 fois ? Voici les valeurs de la fonction de masse : p(0) = (1-p)(1-p/2)2 ; p(1) = p(1-p)(8-5p)/4 ; p(2) = 2p2(1-p) ; p(3) = p3.

2.17 Une femme doit acheter une blouse ou une jupe. Il y a un choix de 3 blouses et 2 jupes. Si elle n'achète qu'un objet, de combien de façons peut-elle faire son choix ? 5, évidemment. S'il lui est possible d'acheter et une blouse et une jupe, de combien de façons peut-elle faire son choix ? Ila d’abord les 5 façons de choisir un seul objet; ensuite, si elle choisit 2 objets, le nombre de façons de le faire est 32 (3 fa¸ons de choisir la blouse et 3 façons de choisir la jupe). Donc en tout 5 + 3×2 = 11 façons.

2.18 De combien de façons 4 filles et 4 garçons peuvent-ils s'accoupler ? 4! = 24 (4 façons de choisir le partenaire de la fille 1, 3 façons de choisir celui de la fille 2, etc.)

De combien de façons peuvent-ils s'asseoir sur un banc en alternant fille et garçon ? Les garçons peuvent occuper les places paires (2,4,6,8) ou impaires. Pour chacune de ces 2 possibilités il y a 4! de placer les garçons et 4! façons de placer les filles. Donc 2×4!×4! = 1152 façons en tout.

2.19 On tire avec remise 8 cartes d'un jeu de 10 cartes qui consiste en 3 as, 2 rois, 2 reines et 3 valets. Quelle est la probabilité d'avoir 2 as, 3 rois et 3 valets (et pas de reine) ? a) dans cet ordre (0,3)(0,3)(0,2)(0,2)(0,2)(0,3)(0,3)(0,3) = 0,00001944 ; b) dans un ordre quelconque Pour tout ordre, la probabilité des 0,00001944. Il faut maintenant multiplier cette probabilité par le nombre d’ordres possibles de 3 as, 2 rois 3 8! 8! reines et 3 valets, soit . La probabilité est donc × 0,00001944= 0,0108864. 2!3!3! 2!3!3!

2.20 On lance un dé 9 fois. Quelle est la probabilité d'avoir le "1", le "3" et le "5" deux, trois et quatre fois, respectivement. La probabilité d’obtenir 1,1,3,3,3,5,5, dans cet ordre, est (1/6) 9 . Il faut maintenant multiplier cette probabilité par le nombre de façons de 9! 9! permuter les objets 1,1,3,3,3,5,5, soit . La probabilité est donc (1/6) 9 = 35/279936 = 0,000125028578. 2!3!4! 2!3!4!

2.21 D'une assemblée formée de 20 étudiants de 3e année, 15 de 2e année et 10 de 1ère année, on constitue un comité de 5 personnes. Quelle est la probabilité que le comité comprenne 2 étudiants de 3e, 2 de 2e et 1 de 1ère ?

  façons de choisir les deux étudiants de 3 ,   façons de choisir les deux étudiants de 2   façons de choisir l’étudiant de 1     = 9500/58179 = 0,1632891593. . Le nombre de façons de choisir 5 étudiants est   . La probabilité voulue est donc   Il y a

e

20

e

15 2

2

45

20

15

2

2

10 1

ère

10 1

45 5

5

2.22 Au numéro précédent, supposons que vous savez que le comité comprend exactement un étudiant de première. Quelle est la probabilité conditionnelle qu'il y ait 2 étudiants de 3 e, 2 de 2e et 1 de 1ère ? Si vous savez qu’il y a déjà un étudiant de 1 ère, il suffit que calculer la probabilité que parmi les 4 autres il y ait 2 de 2e et 2 de 3e, soit 1 20 15 = 285/748 = 0,3810160428. Si on veut le faire formellement, on pose A = le comité comprend exactement un étudiant de 1 ère, 2 2 35

 

  

4

et B = le comité comprend 2 étudiants de 3e, 2 de 2e et 1 de 1ère .

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3

P(B|A) = P(AB)/P(A).

Or B  A, donc P(B|A) = P(AB)/P(A) =

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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 4

P(B)/P(A). On sait que P(B) =

    .   20

15

2

2

10 1

Quant à P(A), pour qu’il y ait exactement une personne de première, il faut choisir cette

45 5

personne (10 façons) et ensuite choisir 4 autres parmi les 35 des années 2 et 3. On a donc P(A) =

1

  35 4

   .   10 1

35 4

On a donc P(B)/P(A) =

45 5

   . 20

15

2

2

2.23 On permute au hasard les lettres A, B, C, D, E. Quelle est la probabilité que les lettres A et B ne soient pas séparées par d'autres lettres ? Le nombre total de permutations est 5! Maintenant considérons la paire AB comme un seule un seul objet. On a alors 4! permutations des objets AB, C, D, et E. Mais dans chacune de ces permutations, les objets A et B peuvent se présenter dans l’ordre AB ou BA. Donc le nombre total de permutations dans lesquelles A et B ne sont pas séparés est 2×4! et la probabilité demandée est 2×4!/5! = 0,4. A 56 = 0,0925925920 65

2.24 On lance un dé 5 fois. Quelle est la probabilité que les 5 résultats soient différents ?

  = 0,0007716049383 6 5

Quelle est la probabilité que chaque résultat soit supérieur au précédent ?

65

2.25 25 personnes sont assises dans une salle d'attente. Quelle est la probabilité qu'au moins 2 personnes aient la même date de naissance. [Vous supposerez que pour chaque personne, la date de naissance peut-être l'une des 365 dates possibles avec probabilité 1/365]

1-P(les 25 dates sont différentes) = 1-

A 365 25 36525

= 0,568699704.

2.26 Dans un bar, il y a 9 tabourets et 5 clients sont assis. Quelle est la probabilité que les sièges occupés et les sièges vides s'alternent ? Le nombre de façons de placer les clients est

 9 5

; le nombre de façons de les placer en alternance est 1. La probabilité est donc 1

 9 5

=

0,0079365079.

2.27 On place au hasard n boules dans n cases. Quelle est la probabilité qu'exactement une case soit vide ? nn façons de placer les boules. 2

  façons de choisir la case qui sera vide et celle qui contiendra 2 boules ;   façons de choisie les 2 boules n 2

n 2

contenues dans la case qui contiendra 2 boules ; (n-2)! façons de placer les n-2 boules qui restetd dans les n-2 cases qui restent. La probabilité est donc

2

   (n  2)! n 2

n 2

nn

= n2(n-1)2(n-2)!/(2nn).

2.28 15 étudiants doivent se répartir en trois équipes de 5. S'il y a 3 génies dans la classe, quelle est la probabilité qu'il y en ait un dans chaque équipe ? Le nombre de façons de répartir 15 personnes en 3 groupes de 5 est puis

15! =756756. Il y a 3! façons de les placer dans les 3 équipes,    5!5!5! 15 5;5;5

12! = 34650. La probabilité demandée est donc 6(34650)/756756    4!4!4! 12 4;4;4

= 25/91 = 0,2747252747.

Quelle est la probabilité qu'ils soient tous dans la même équipe ? Il y a 3 façons de choisir l’équipe qui les contiendra,

12!    2!5!5! 12 2;5;5

de placer les 12 autres, donc 49896 façons en tout de placer les 3 génies

dans un même groupe. La probabilité est dont 49896/756756 = 6/91 = 0,06593406593.

2.29 Huit personnes sont placées en rang. a) Quelle est la probabilité qu’Alice et Bernard soient assis ensemble ? b) S’il y a 4 hommes et 4 femmes, quelle est la probabilité qu’il y ait alternance homme/femme ? 2

 8 4

c)

2(7!)/8!=1/4

= 1/35 = 0,0285714286

S’il y a 5 hommes et 3 femmes, quelle est la probabilité que les hommes soient assis ensembles ? 4

 8 5

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4

= 1/14 = 0,07142857

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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 5 d) Si les huit personnes forment 4 couples mariés, quelle est la probabilité que les couples ne soient pas séparés ? 24 4! = 1/105= 0,0095238095 8!

2.30 La langue hawaïenne compte 12 lettres, 5 voyelles et 7 consonnes. On forme au hasard un mot de 5 lettres (n’importe quelle suite de 5 lettres, répétitions permise). Quelle est la probabilité que le mot soit prononçable 7352  7253 = 0,0590760031 125

(c’est-à-dire, qu’il n’y ait pas deux consonnes contiguës ni 2 voyelles contiguës.

2.31 Chacun des 200 délégués à un congrès des Nations Unies sert la main de tout le monde. Combien y a-t-il de poignées de mains ?  2002  = 19900. 2.32 Six étudiants forment une équipe pour collaborer à un devoir comprenant 8 problèmes. Donc deux personnes devront en faire deux chacun et les quatre autres un chacun. Combien y a-t-il de façons de faire cette attribution ?

   façons de leur attribuer 2 tâches chacun ; et 4! façons d’attribuer une tâche chacun aux quatre autres. Donc le nombre de façons est     4! = 151200.  6 2

façons de choisir les deux étudiants qui en feront 2 chacun ; 6 2

8 2

8 2

6 2

6 2

2.33 En Braille, les lettres sont représentées par une configuration de points surélevés et non surélevés dans une matrice comme celle-ci , ooo ooo , ou celle-ci, 64

o o o o o

ou encore celle-ci

o o oo

. Combien peut-on former de lettres en Braille ?

On peut former 24 = 16 lettres avec 4 points, ce qui ne suffit pas.

Est-ce que 4 points auraient suffi ?

2.34 Trois Québécois, 4 Français et 5 Anglais s’assoient au hasard sur un banc. a) Quelle est la probabilité que les personnes de même nationalité soient assises l’une à côté de l’autre ? Le nombre de façons de placer ces 12 personnes (en ne tenant compte que de la nationalité et non de l’identité des personnes) est

12  3;4;5 

= 27720. Il y a 3! façons de les ranger sans séparer les personnes de même nationalité. La probabilité est donc 3!/27720 = 1/4620 = 0,0002164502165.

   8 5

b) Quelle est la probabilité qu’aucun Anglais ne soit assis à côté d’un autre Anglais ?

= 7/99 = 0,07070707

12 5

2.35 On lance un dé 10 fois. a) Quelle est la probabilité qu’aucun des résultats 3, 4, 5, et 6 n’apparaissent ? (2/6)10 =1/59049. b) Quelle est la probabilité que les numéros 1 et 2 apparaissent au moins une fois chacun et que seuls ceux-ci apparaissent ? (2/6)10-2(1/6)10 = 0,00001690201147. 2.36 On forme au hasard des « mots » de n lettres choisies parmi les lettres A à Z. [Un « mot » est une suite de n lettres, répétitions permises] a) Quelle est la probabilité qu’une même lettre ne figure pas deux fois consécutives ? 26(25)n-1/26n = (25/26)n-1 b) Quelle est la probabilité que la lettre A apparaissent m fois (m ≤ n) ?

1    26   n m

m

 25   26   

nm

 

n  m 26n = n m (25)

.

2.37 On a tiré au hasard (et sans remise) un échantillon de 8 maisons dans un quartier qui en compte 60. Votre maison est l’une des 12 situées dans un cul-de-sac. a)

  = 2/15 = 0,13333.   59 7

Quelle est la probabilité que votre maison ait été sélectionnée ?

60 8

b) Quelle est la probabilité que votre maison ainsi que celle de votre voisine aient été sélectionnées ?

  = 14/885=0,015819209   58 6

60 8

c)

Quelle est la probabilité qu’au moins une des 12 maisons du cul-de-sac aient été sélectionnée ?

 =   48

1-P(Aucune n’est sélectionnées) = 1-

8

60

0,8525185968

8

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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 6 d) Vous savez qu’au moins une des maisons du cul-de-sac a été sélectionnée. Quelle est la probabilité que votre maison l’ait été ? Soit A : « Au moins une maison du cul-de-sac est sélectionnée » et B : « La vôtre est sélectionnée ». P(B|A) = P(BA)/P(A) = P(B)/P(A). P(B) =

    59 7

60 8

e)

    48

= 2/ 15 et P(A) = 1-

8

60

et donc P(B)/P(A) = 0,1563993254.

8

Vous savez que votre maison n’a pas été sélectionnée. Quelle est la probabilité qu’au moins une des autres maisons du cul-de-sac l’ait été ? Soit A : « Votre maison n’est pas sélectionnée » et B : « Aucune des autres maisons dans le cul-de-sac n’est sélectionnée ». P(B|A) = 1-

    48

P(Bc|A) = 1-P(ABc)/P(A). P(ABc) = P(Aucune des maisons du cul-de-sac n’est sélectionnée) =

8

60

et P(A) =1-

  . Donc 1  59 7

60 8

8

c

P(AB )/P(A) = 0,8298291495.

2.38 On doit distribuer 4 oranges, 5 pommes et 6 mangues à 5 enfants. De combien de façons peut-on faire cette distribution ? [Les oranges ne sont pas discernables entre elles, les pommes et les mangues non plus].

 4  4  4  = 1852200 44

54

64

2.39 On doit distribuer 9 livres à 3 enfants. Combien y a-t-il de façons de procéder si a) l’aîné doit en recevoir 5, les deux autres 2 chacun ? Les livres sont tous distincts.

  = 756 9 5;2;2

b) les livres sont 9 copies identiques d’un même titre ; aucune restriction sur le nombre de livres que chaque enfant reçoit.  922  = 55 c)

  = 28.

les livres sont 9 copies identiques d’un même titre ; chaque enfant doit recevoir au moins un livre.

8 2

2.40 Chacune de trois classes comprend n élèves. De l’ensemble des 3n élèves, vous en tirez au hasard 3 (sans remise). 3n a) Quelle est la probabilité que les trois appartiennent à une même classe ? 3 3n 3

  3n 6n  n 2 3  3n n3  3 

b) Quelle est la probabilité que deux appartiennent à une même classe et le troisième à un autre ? c)

Quelle est la probabilité que les trois appartiennent à trois classes différentes ?

d) Déduire des trois premières questions une identité combinatoire (c’est-à-dire, montrer qu’une certaine somme de quotients, fonction d’un entier naturel n, est toujours égales à 1. On doit avoir

 33n   3 3n   6n  2n   n3 quelle que soit n.

2.41 Supposons que dans une galaxie, la probabilité de voir évoluer des êtres intelligents (l’être humain, par exemple) est p. Sachant qu’il y a environ 1011 galaxies dans l’univers, quelle doit être la valeur de p pour qu’on puisse affirmer avec au moins 90 % de certitude qu’il existe des êtres intelligents dans l’univers (à part nous) ? P(au moins une galaxie a des êtres intelligents) ≥ 0,9 1  (1  p)10 ≥ 0,9 (1  p)10  0,1  1-p≤ (0,1)1/10 . Il suffit que p ≥ 11

1  (0,1)

(1/1011)

11

11

, très petit. Donc même si p est minuscule, il est fort probable qu’il y ait des êtres intelligents ailleurs.

2.42 Une main de poker de 5 cartes est tirée d’un jeu de 52 cartes. Déterminez les probabilités suivantes (les réponses exactes présentés sous forme fractionnaire ont été déterminés à l’aide d’un logiciel. N’essayez pas de les reproduire).

  = 1/649740.   4 1

Quinte royale (ex. As Roi Reine Valet 10, toutes de trèfle).

52 5

Quinte couleur (5 consécutives, même couleur. Ex. 5,6,7,8,9, toutes de coeur). 40

  52 5

=1/64974 [

36

  52 5

= 3/216580 si on exclut la quinte royale]

2  132 

Carré (ex. 3 3 3 3 5).

=1/4165

  2     = 6/4165.   52 5

13 2

Plein (ex. 3 3 3 Roi Roi).

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4

4 3

4 2

52 5

6

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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 7 4  135 

Couleur (5 cartes distinctes mais de même couleur. Ex. 8 3 4 Reine Valet, toutes de coeur). 10(45 )  40

Quinte (5 consécutives, couleurs mixtes).

  52 5

= 33/16660.

  52 5

= 5/1274, excluant la quinte royale et la quinte couleur)

3  133  34  14  14 

Brelan (ex. 5 5 5 3 2) .

          4    4   52 5

13 3

Deux paires (ex. 4 4 8 8 2) .

3 2

4 2

4 2

4 1

= 198/4165.

52 5

13 4

Une paire (ex. 2 2 4 6 8).

4 2

= 88/4165.

3

52 5

= 352/833.

2.43 On effectue n tirages sans remise dans une population dont les éléments sont {1, 2, ... , N}, n ≤ N. Montrez que la probabilité qu’au ie tirage (i = 1, 2, ... , ou n) on obtienne l’unité u  {1, 2, ... , N} est 1/N ?

 

L’espace échantillon est de cardinalité nN n ! lorsqu’on tient compte de l’ordre de sélection. Le nombre d’éléments (quintuplés ordonnés)

 N 1  

n 1 (n 1)! n dont la ie position est occupée par u nN11 (n  1)! . La probabilité est donc .  N N n! n

 

2.44 Les 18 volumes d'une encyclopédie sont rangés sur une tablette. Quelle est la probabilité qu'ils soient rangés dans le bon ordre ? 1/18! 2.45 Vous allez inviter 5 personnes choisies parmi vos 11 amis. De combien de façons pouvez-vous faire votre choix a) si Pierre et Pierrette ne viendraient pas l'un sans l'autre  93    95  = 210 ; b) si Luc et Luce se haïssent, et l'un ne

     =378.

viendra pas si l'autre vient ?

11 5

9 3

2.46 Dans une loterie américaine destinée à choisir les jeunes gens qui pourraient éventuellement être appelés au service militaire durant la guerre du Vietnam, on tirait au hasard (sans remise) 180 jours parmi les 366 de l'année. Quelle est la probabilité que les 180 billets soient distribués uniformément sur les 12 mois, c'est-à-dire, qu'il y en

        =1,667294720/10  1/599 773 986. 31 7 15

ait 15 dans chaque mois ?

30 15

4

29 15

366 180

9

2.47 Vous avez besoin de 4 oeufs pour faire une omelette. Vous trouvez 12 oeufs dans votre réfrigérateur, mais vous ne réalisez pas que deux des oeufs sont gâtés. Quelle est la probabilité que votre omelette contienne

   = 16/33 =0,484848485.      =1/11 = 0,090909091.   2 1

a) un oeuf gâté ?

10 3

12 4

2 2

b) deux oeufs gâtés ?

10 2

12 4

2.48 Au numéro précédent, supposons que vous faites votre omelette, vous réalisez qu'il y a au moins un oeuf gâté dedans. a)

Quelle est la probabilité conditionnelle que les deux oeufs gâtés soient dans la poêle ?

   = 0,09143834289.    2 2

12 4

10 2

10 4

b) Vous décidez de recommencer : vous prenez 4 autres oeufs parmi les 8 qui restent. Quelle est la probabilité que votre deuxième omelette soit bonne (pas d’œufs gâtés) ? 0,5789473684 2.49 Dans une population, les génotypes AA, Aa et aa sont distribués selon les proportions 0,16 ; 0,48 ; 0,36. Les génotypes AA et Aa donnent lieu au type sanguin « rhésus positif » et le génotype aa donne lieu au phénotype «rhésus négatif». Une femme de type négatif donne naissance à un enfant de paternité incertaine : le père pourrait être Paul, qui est de type positif ; ou Pierre, de type négatif. A priori, chacun a probabilité 1/2 d'être le père. Sachant que le fils est négatif, quelle est la probabilité que son père soit Pierre ?

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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 8 Soit B : « Le père est Pierre » et N : « Le fils est négatif ». P(B|N) = P(BN)/P(N) P(BN) = P(B)P(N|B) = (1/2)(1) ; P(N)=P(NB)+P(NBc) = P(B)P(N|B)+P(Bc)P(N|Bc) = (1/2)(1)+(1/2)(3/8) = 8/11.

2.50 Dans une population, les génotypes AA, Aa et aa sont distribués selon les proportions p1 :2p2 :p3, où p1+2p2+ p3 = 1. Montrer que si deux parents sont choisis au hasard dans la population, les probabilités que leur enfant soit des types AA, Aa et aa sont, respectivement, r1, 2r2, et r3, où r1 = (p1+p2)2, r2 = (p1+p2)(p2+p3) et r3 = (p2+p3)2. Si on suppose maintenant que la nouvelle génération est distribuée selon les proportions r1 :2r2 :r3, montrer que les probabilités pour un enfant issu de l’union de deux parents tirées au hasard dans la population restent r1, 2r2, et r3. Parents

Prob

AA, AA

p12

As, Aa

2 2

4p 2 2

aa, aa

q

AA, Aa AA, aa Aa, aa

4p1p2 2p1q2 4p2q2

Probabilités conditionnelles

Progéniture Probabiltés conditionnelles étant donné les génotypes des parents AA Aa aa 1

0

0

1/4

1/2

1/4

0

0

1

1/2 0 0

1/2 1 1/2

0 0 1/2

p  4 p 1  4 p1 p2 1 4 2

4 p22 1  4 p1 p2 1 + 2 2 2 p1 p3 (1)  4 p2 p3 1 2

4 p22 1  p32 (1)  4 p2 p3 1 4 2

2 1

2 2

On simplifie les probabilités :

1  4 p p 1 = p2  p2  2 p p = (p +p )2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 2 1 1 1 P(Aa) = 4 p22  4 p1 p2  2 p1 p3 (1)  4 p2 p3 = 2( p22  p1 p2  p1 p3  p2 p3 ) = 2(p1+p2)(p1+p3) 2 2 2 1 2 2 2 1 2 P(aa) = 4 p1  p3 (1)  4 p2 p3 = p2  p3  2 p2 p3 = (p2+p3)2. 4 2 P(AA) = p12  4 p22

Exercices théoriques 2.51 Démontrez à partir des axiomes que P() = 0. 2.52 Démontrez à partir des axiomes que P(A) ≤ 1 pour tout événement A   2.53 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(Ac) = 1 - P(A) 2.54 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(A - B) = P(A) - P(AB). Déduisez que si B  A, alors P(A - B) = P(A) - P(B). 2.55 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(A) = P(APc 2.56 Démontrez à partir des axiomes, et des numéros précédents s’il y a lieu, que P(AB) = P(A) + P(B)-P(AB) 2.57 Montrez que P(A B) ≥ P(A) + P(B )  1. 2.58 Démontrer que P(A B C)  P(A) + P(B) + P(C)  P(AB)  P(AC)  P(B C) + P(AB C). 2.59 Soit A et B deux événements de probabilité non nulle. Montrez que P(AB) = P (A) P (B)  P (A|B) = P(A)  P(A|B) = P(A|Bc).

 nk    nnk  , et donnez-en une interprétation combinatoire. n n1 n1 Vérifiez la propriété  k    k 1    , et donnez-en une interprétation combinatoire. k 

2.60 Vérifiez la propriété 2.61

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MAT1085 Chapitre 2 Probabilités 9

2.62 Développez le deuxième terme à droite de l’identité

 nk 11    nk 12    nk2  . En appliquant la  nk 11    nk 12   ...   kk 11  = in1k 1 nk 1i  .

même

 nk    nk 11    nk1  règle

pour montrer que

successivement,

montrez

que

 nk   nk 

= =

2.63 Présentez un argument de nature combinatoire justifiant le développement du binôme de Newton :







 



(a + b)n = 0n a0bn  1n a1bn1  n2 a 2bn2  ...  nn1 a n1b1  nn a nb0 2.64 Démontrez la propriété suivante et donnez-en une interprétation combinatoire :

 mkn    0m  nk    m1  kn1    m2  kn2  ...  km2  n2    km1 1n    mk  0n  n [Dans ce développement, nous adoptons la convention que  k  = 0 si k > n. Donc certains des termes ci-dessus peuvent disparaître. Pour faire la démonstration, notez que le coefficient de x dans (1+x) est  m n  ; ensuite, k k

trouvez une deuxième expression pour le coefficient de xk en développant le produit

   

 

 

m+n



m m  n 0 (1+x)m(1+x)n =  0m x0  1m x1  ...  m x  1n x1  ...  nn x n  x     0

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