Matematikuppgifter del II, FYTA11

Matematikuppgifter del II, FYTA11 51. L¨os uppgift 10.1 i boken. 52. L¨os uppgift 10.2 i boken. 53. L¨os uppgift 10.3 i boken. 54. L¨os uppgift 10.4 i boken. 55. L˚ at en kurva i rummet vara given i parametrisk form: r(u) =



 1 2 u cos u − sin u, u sin u + cos u, u . 2

a) Ber¨akna avst˚ andet till origo som funktion av u (kan skrivas helt utan kvadratr¨otter!). Ange den punkt p˚ a kurvan som befinner sig n¨armast origo. b) Ange enhetsvektorn ˆt i tangentens riktning (tangentvektorn) som funktion av u, och visa att den (f¨or u 6= 0) har en konstant lutning av 45◦ i f¨orh˚ allande till z-axeln. c) F¨or u = 0 blir tangenten odefinierad. Taylorutveckla kurvan kring u = 0 till ordning u3 . Visa att kurvan har en “spets” i denna punkt, d¨ar tangenten byter riktning.

56. L˚ at φ(r) vara ett skal¨art f¨alt, och antag att en partikel r¨or sig emot gradientens riktning s˚ a att dess position r(t) ¨andras enligt r˙ = −∇φ(r). a) Visa att v¨ardet av φ i punkten r(t), sett som funktion av t, aldrig kan ¨oka. b) L˚ at speciellt φ = r2 . Visa att det finns precis en punkt rf d¨ar φ(r(t)) inte minskar. c) L¨os f¨or detta fall initialv¨ardesproblemet f¨or godtyckligt val av startpunkt r(0) = a, dvs. ange r(t) f¨or t > 0 (Ledning: l¨os ekv. komponentvis). Visa att partikeln alltid hamnar i punkten rf till slut.

57. L¨os uppgift 10.10 i boken. 58. L¨os uppgift 10.15 i boken. 59. Betrakta ytorna x2 + y 2 + z 2 = 9 och x2 + y 2 − z = 3. a) Visa att b˚ ada inneh˚ aller punkten (2,-1,2). b) Ber¨akna vinkeln mellan ytorna i denna punkt. , ∇×B = 60. Givet att ∇ · E = 0, ∇ · B = 0, ∇ × E = − ∂B ∂t och magnetiska f¨alten E och B b˚ ada satisfierar

1 ∂E , visa att de c2 ∂t ∂2u v˚ agekvationen ∂t2 = c2 ∇2 u.

elektriska

61. Finn konstanter a, b, c s˚ a att vektorf¨altet A = (x + 2y + az)ˆ ex + (bx − 3y − z)ˆ ey + (4x + cy + 2z)ˆ ez blir irrotationellt (dvs. ∇ × A = 0).

62. Det kan vara intressant att studera popul¨ara koordinatsystem ocks˚ a i tv˚ a dimensioner, dvs. i xy-planet. Ett popul¨art val ¨ar som bekant planpol¨ara koordinater {u1 = r, u2 = φ}, givna av x = r cos φ, y = r sin φ. a) Plocka fram de naturliga koordinat-tangentvektorerna ei = ∂r/∂ui , d¨ar r = xˆ ex + yˆ ey , och visa att de a¨r sinsemellan ortogonala (allts˚ a a¨r koordinaterna ortogonala). b) H¨arled motsvarande ortonormerade bas {ˆ ei } genom att skriva resp. ei som hiˆ ei . Visa att skalfaktorerna blir hr = 1, hφ = r. Tolka. c) Plocka ocks˚ a fram de s.k. reciproka vektorerna, ∇ui , och visa att de blir ei /hi . d) H¨arled uttrycket f¨or (det kvadrerade) l¨angdelementet ds2 i planpol¨ara koordinater. e) H¨arled motsvarande planpol¨ara uttryck f¨or areaelementet dA = dx dy. ∂2 ∂2 ¨ + blir f) (Overkurs:) Visa till slut att (den tv˚ adim.) Laplace-operatorn ∂x2 ∂y 2 1 ∂ 1 ∂2 ∂2 + + . ∂r2 r ∂r r2 ∂φ2 (Ledning: Visa det “bakl¨anges” genom att uttrycka

∂ ∂ , i termer av x, y). ∂r ∂φ

63. L¨os uppgift 11.3 i boken. 64. L¨os uppgift 11.7 i boken. 65. L¨os uppgift 11.10 i boken. 66. L¨os uppgift 11.14 i boken. 67. L¨os uppgift 11.15 i boken. 68. L¨os uppgift 11.17 i boken. 69. Anv¨and Gauss lag f¨or det elektriska f¨altet i n¨arvaro av en elektrisk laddningst¨athet, ∇ · E = ρ/ǫ0 , samt Gauss sats (divergenssatsen) f¨or att ber¨akna det elektriska f¨altet p˚ a ett avst˚ and r fr˚ an en punktladdning q. Antag att f¨altets riktning a¨r radiellt ut fr˚ an laddningen.

70. L¨os uppgift 11.19 i boken. 71. L¨os uppgift 11.21 i boken. 72. L¨os uppgift 11.27 i boken. 73. L¨os uppgift 11.28 i boken. 74. Anv¨and Amp´eres lag f¨or det magnetiska f¨altet i n¨arvaro av en elektrisk str¨omt¨athet, ∇ × B = µ0 j, samt Stokes sats f¨or att ber¨akna det magnetiska f¨altet p˚ a ett avst˚ and d fr˚ an en rak ledare genom vilken det flyter en likstr¨om I. Antag att f¨altets riktning ¨ar vinkelr¨at mot ledaren och riktat cirkul¨art runt den.

75. L¨os uppgift 12.4 i boken. 76. L¨os uppgift 12.12 i boken. 77. L¨os uppgift 12.14 i boken. 78. L¨os uppgift 12.15 i boken. 79. L¨os uppgift 12.24 i boken. 80. L¨os uppgift 12.26 i boken. 81. L¨os uppgift 20.3 i boken. 82. L¨os uppgift 20.4 i boken. 83. L¨os uppgift 20.5 i boken. 84. L¨os uppgift 20.6 i boken. 85. L¨os uppgift 20.10 i boken. 86. L¨os uppgift 20.14 i boken.

87. L¨os uppgift 21.1 i boken. 88. L¨os uppgift 21.3 i boken. 89. L¨os uppgift 21.9 i boken. 90. L¨os uppgift 21.13 i boken. 91. L¨os uppgift 21.16 i boken. 92. L¨os uppgift 30.1 i boken. 93. L¨os uppgift 30.3 i boken. (Svensk ¨overs¨ attning:) A och B har vardera tv˚ a r¨attvisa fyrsidiga “t¨arningar”, med sidorna numrerade 1, 2, 3, 4. Utan att titta f¨ ors¨ oker B gissa summan x av siffrorna p˚ a bottenytorna av A:s tv˚ a t¨arningar efter det att de kastats p˚ a ett bord. Om gissningen ¨ar riktig vinner B x2 euro, om inte f¨orlorar han ist¨allet x euro. Best¨am B:s f¨ orv¨ antade vinst per kast av A:s t¨arningar, f¨or var och en av f¨oljande strategier f¨or B: (a) han v¨aljer x p˚ a m˚ af˚ a fr˚ an intervallet 2 ≤ x ≤ 8; (b) han kastar sina egna tv˚ a t¨ arningar och gissar att x ¨ar vad de r˚ akar visa; (c) han tar ditt r˚ ad och v¨ aljer alltid samma v¨arde f¨or x. Vilket tal skulle du rekommendera?

Notera att det r˚ ader viss f¨orvirring om hur mycket B ska f¨orlora vid felgissning, vilket beror p˚ a att det inte st˚ ar helt klart vad x betyder d˚ a: ¨ar det A:s summa eller B:s gissning? Det f¨orra ¨ar troligast, men facit indikerar viss f¨orvirring. Analysera d¨arf¨or b˚ ada fallen och j¨amf¨or!

94. L¨os uppgift 30.4 i boken. 95. L¨os uppgift 30.5 i boken. 96. L¨os uppgift 30.6 i boken. 97. L¨os uppgift 30.13 i boken.

98. Ber¨akna medelv¨ardet µ = E[X] och variansen σ 2 = V[X] f¨or n˚ agra olika diskreta och kontinuerliga slumpvariabler (def. i avsnitt 30.8–9): a) Binomialf¨ordeln. (diskret):   n pk (1 − p)n−k , Pr(X = k) = pk = k f¨or k ∈ {0, 1, . . . , n}; b) Poissonf¨ordeln. (diskret): Pr(X = k) = pk = e−a

ak , k!

f¨or k ≥ 0; c) Likformig f¨ordeln. p˚ a [0,1] (kontin.), definierad av sannolikhetsf¨ordelningen  1, 0 < x < 1 f (x) = 0, annars.

¨ (Ovningstenta fo ¨r FYTA11:M2) 99. L¨os uppgift 10.14. 100. Bevisa Arkimedes princip: En kropp neds¨ankt i en v¨atska uts¨atts f¨or en lyftande kraft lika med tyngden av den undantr¨angda v¨atskan (Ledning: Anv¨and l¨amplig version av Gauss sats).

101. L¨os uppgift 12.16. 102. L¨os uppgift 20.12. 103. Betrakta Laplace ekvation i disken x2 + y 2 ≤ a2 . a) L¨os den f¨or u(x, y), givet att u = (x2 − b2 )2 p˚ a randen. b) Visa att v¨ardet i origo, u(0, 0), ¨ar medelv¨ardet av v¨ardena p˚ a randen. c) Visa att detta g¨aller f¨or alla val av randv¨arden.

104. L¨os uppgift 30.28.

(Se ocks˚ a separat utlagd tenta fr˚ an 2008).