Matematisk statistik för byggi

Matematisk statistik Lunds tekniska högskola

Tentamen: 2010–04–08 kl 800 –1300 FMS 601 — Matematisk statistik för byggingenjörer, 4.5 hp

Till Del A skall endast svar lämnas. Samtliga svar skall skrivas på ett och samma papper. Övriga uppgifter fordrar väl motiverade lösningar med svar. Varje uppgift skall börja överst på nytt blad. Institutionens papper skall användas både som kladdpapper och inskrivningspapper. Skriv fullständigt namn på varje papper. Rödpenna får ej användas. Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare, Formelsamling i Matematisk statistik FMS601, samt TEFYMA eller MaFyKe, eller likvärdig gymnasietabell. Totalt kan man få 120 poäng. För godkänt krävs 50 poäng. Resultatet mailas till de skrivande senast torsdagen den 15 april. Se även kurshemsidan www.maths.lth.se/matstat/kurser/fms601/ DEL A: ENDAST SVAR

1.

(a) Vid ett test av styrkan (N/mm2 ) hos betong anses styrkan vara normalfördelad N (60, 5). Vad är san- (4p) nolikheten att styrkan vid ett test understiger 58 N/mm2 ? Svara med tre decimaler. (b) (Forts. på 1a) Man gör 9 oberoende styrketester av betongen. Vad är sannolikheten att medelvärdet av (4p) de 9 testernas styrka understiger 58 N/mm2 ? Svara med tre decimaler. (c) Vi har de sju observationerna 5, 7, 8, 10, 11, 11 och 12. Beräkna deras medelvärde och median. Svara (4p) med en decimal. (d) Antalet svåra stormar under ett år i ett område är Poissonfördelat med väntevärde 1.4. Beräkna sanno- (4p) likheten att det inte kommer någon svår storm ett år. Ange svaret med två decimaler. (e) I påskhelgen spelade Valter fia med sin lillasyster. Beräkna sannolikheten att han på 10 kast med en (4p) symmetrisk tärning skulle få precis 4 sexor. Ange svaret med två decimaler. (f ) Olyckor på en väg sker oberoende av varandra och tidpunkten mellan olyckor antas vara exponential- (4p) fördelad med förväntat värde 0.5 (år). Beräkna sannolikheten att det dröjer mer än 9 månader mellan två olyckor. Ange svaret med två decimaler. (g) Ett konfidensintervall för den förväntade verkningsgraden hos en kamin anges till 87.25±2.05 procent. (4p) Detta intervall är baserat på ett stickprov om 10 kaminer där stickprovsstandardavvikelsen beräknades till s = 4.6874 procent. Vad är intervallets konfidensgrad? Ange ditt svar i procent. (h) På en arbetsplats skadas 1 % av personalen under ett år. 40 % av alla skadade var kvinnor. 30 % av de (4p) anställda var kvinnor. Vad är sannolikheten att en kvinnlig anställd råkar ut för en skada enligt denna undersökning? Svara med tre decimaler. (i) Temperaturen, mätt i ◦ C, vid en viss ort varierar enligt en stokastisk variabel, x, med väntevärde m och (4p) 9x + 32. standardavvikelse s. När man räknar om temperaturen till ◦ F använder man formeln h = 5 ◦ Ange väntevärde och standardavvikelse för temperaturen i F, d.v.s. för h. (j) Beräkna antalet olika sätt man kan ordna 4 böcker i en bokhylla.

Var god vänd!

1

(4p)

DEL B: FULLSTÄNDIGA LÖSNINGAR

T.ex. ska införda beteckningar noga redovisas, modeller alltid anges och approximationer, hypoteser och slutsatser anges och motiveras 2. I en vindkraftspark står två mindre vindkraftverk. De fungerar oberoende av varandra och sannolikheten att de fungerar vid ett visst tillfälle är 0.98 respektive 0.90. (a) Beräkna sannolikheten att precis ett av de två kraftverken fungerar.

(6p)

(b) Ett av vindkraftverken (det som fungerar med sannolikhet 0.98) ger effekten 50 kW, medan det andra (14p) ger effekten 200 kW. Beroende på vilka kraftverk som fungerar kan man få olika sammanlagda effekter: 0, 50, 200 eller 250 kW. Vad är väntevärdet av den sammanlagda effekten? 3. En ideell förening planerar en insamling och skickar därför till var och en av de 1000 medlemmarna ett brev, i (20p) vilket man ber om ett bidrag på 50 eller 100 kronor. Från tidigare erfarenhet gör man uppskattningen att det är lika vanligt med det större som det mindre bidraget och att 20 % av medlemmarna inte ger något bidrag alls. Beräkna, med en lämplig approximation, sannolikheten att föreningen får in minst 58 000 kr. 4. I kursen ”Trafikteknik” gjorde en grupp V-studenter mätningar av fordonshastigheter på Södra Esplanaden i Lund. För att undersöka vilken effekt en hastighetskylt har mätte man hastigheten (yi ) på ett fordon i ett 50område och sedan samma fordons hastighet (xi ) i ett 30-område. Mätningarna (km/h) är gjorda 28 oktober 2009, kl 9.10–9.50 på 41 olika fordon. n 41

50-område P yi q = 1548 P (yi −¯y)2 sy = = 5.9531 40

30-område P xi q = 1313 P (xi −¯ x )2 sx = = 4.7354 40

differens P P (yiq − xi ) = zi = 235 P (zi −¯z )2 sz = = 6.3758 40

(a) Beräkna ett 95 % konfidensintervall för medelhastigheten på 50-sträckan.

(10p)

(b) Beräkna ett 95 % konfidensintervall för effekten av övergången till 30-område på fordonens hastighet.

(10p)

5. En flygplanskonstruktör gör vindtunnelprov med en prototyp till en ny flygplanstyp. Speciellt intresserar hon sig för ett par små extravingar som väntas ge flygplanet goda flygegenskaper inom ett visst fartområde. Prototypen är byggd så att en vinkel (enhet: grader) hos nämnda vingpar kan varieras. Konstruktören mäter luftmotståndet (enhet: kp) vid en viss hastighet för några olika värden på vinkeln. Resultaten från de 18 försöken är: Försök 1 2 3 4 5 6

Vinkel 7 9 12 7 9 12

Luftmotstånd Försök 123 7 141 8 165 9 145 10 165 11 189 12

Vinkel 7 9 12 7 9 12

Luftmotstånd Försök 155 13 14 185 15 197 16 134 17 121 18 179

Vinkel 7 9 12 7 9 12

Luftmotstånd 149 168 186 155 192 202

Antag att luftmotståndet (y) kan beskrivas av ett linjärt samband med vinkeln (x) enligt yi = a + b (xi −¯x )+ ei där ei är oberoende observationer från N (0, s). Man har beräknat följande storheter: P18 P18 P18 n = 18; x = 168; y = 2 951; S = x )2 = 76; i i xx i=1 i=1 i=1 (xi − ¯ P18 P 18 Syy = i=1 (yi − ¯y)2 = 10 816.9444; Sxy = i=1 (xi − ¯x )(yi − ¯y) = 648.3333 (a) Skatta de tre modellparametrarna a, b och s.

(10p)

(b) Beräkna ett tvåsidigt konfidensintervall för b . Finns det anledning att påstå att vinkeln påverkar luft- (10p) motståndet?

Lycka till! 2