Mathématiques B30: Probabilité

Mathématiques B30 Probabilité Module de l’élève

2002

Mathématiques B30

Probabilité

Module de l’élève

Bureau de la minorité de langue officielle 2002

Liste des objectifs du programme d'études de Mathématiques B30 Objectifs généraux L’élève sera capable de: • Démontrer l’habileté à établir et à calculer les probabilités d’événements liés entre eux • Appliquer le théorème du binôme au développement des binômes et à des situations de la vie courante Objectifs spécifiques L’élève sera capable de: A.1 Définir les principes d'inclusion et d'exclusion lorsqu'on travaille avec deux ensembles ou plus d'événements A.2 Déterminer la probabilité d'événements s'excluant mutuellement A.3 Déterminer la probabilité de deux événements indépendants ou plus A.4 Déterminer la probabilité d'événements dépendants (probabilités conditionnelles) A.5 Organiser, analyser, estimer et résoudre des problèmes basés sur les objectifs 1 à 4 A.6 Déterminer les coefficients de termes dans un développement binomial à l'aide du théorème du binôme (recourir au triangle de Pascal ou aux combinaisons pour présenter ce sujet) A.7 Développer des expressions de la forme (a + b)n, à l'aide du théorème du binôme A.8 Résoudre des problèmes associés aux objectifs 6 et 7

Remerciements Ce module contient en partie des exercices et des exemples adaptés, avec permission, du document de B. Thiessen (Mathematics B 30, Saskatoon Public School Division, 1999).

Introduction Dans cette unité, nous allons aborder les notions associées aux probabilités. En mathématiques, nous sommes souvent justifiés de traiter les notions de probabilités et de statistiques ensemble. Par exemple, si on répète un certain nombre de fois une expérience scientifique, on obtient habituellement des résultats qui se regroupent autour d'une tendance. Il est évident qu'une expérience ne peut reproduire avec exactitude un résultat essai après essai. Toutefois, nous pouvons prédire avec une certaine confiance la probabilité de retrouver un résultat donné. Ainsi, si nous répétions une expérience visant à mesurer la température d’ébullition de l’eau, nous obtiendrions probablement une série de résultats dont la moyenne As-tu déjà estimé la probabilité de fluctuerait autour de 100/C. gagner le gros lot de la 6-49? Avant d'entreprendre l'étude approfondie des probabilités, il convient de définir la terminologie essentielle à la compréhension de ce sujet.

1. Définitions fondamentales 1.1 Épreuve ou expérience aléatoire Un processus faisant intervenir le hasard et susceptible de donner un ou plusieurs résultats est connu sous le terme d'épreuve ou expérience aléatoire. On peut parfois en prévoir l'issue ou si vous voulez, l'ensemble de tous les résultats possibles. Par exemple, si vous tirez une carte d'un jeu de 52 cartes, vous effectuez une épreuve aléatoire. 1.2 Espace échantillonnal (S) L'ensemble de tous les résultats possibles (résultats élémentaires) qui peuvent se produire lors d'une épreuve aléatoire. Par exemple, si vous lancez une pièce de monnaie parfaitement équilibrée dans les airs, vous avez deux résultats possibles: pile ou face. Dans ce cas, l'espace échantillonnal est le suivant: S = {pile, face}

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 1

1.3 Cardinal d’un ensemble ( n ( A) ) Le nombre d'éléments distincts contenus dans un ensemble est appelé le cardinal de cet ensemble. Par exemple, si un espace échantillonnal S possède cinq éléments, on pourrait écrire que n( S ) = 5 . 1.4 Événement (E) Partie de l'ensemble des résultats (donc un sous-ensemble de S) possible. Il peut contenir un ou plusieurs résultats élémentaires. Dans l'exemple portant sur la pièce de monnaie, nous aurions pu décider que l'événement E était d'obtenir face. Exemple 1: Supposons qu'on vous demande d'observer quel pied est placé sur la première marche lorsque plusieurs personnes montent un escalier. On sait qu'il y a deux événements possibles; le pied gauche ou le pied droit. On peut représenter ces deux événements de la façon suivante: E1 : pied gauche E2 : pied droit L'espace échantillonnal est: S = {E1, E2} = {pied gauche, pied droit}

2. Définition classique de la probabilité Revenons à l’exemple précédent. Comment peut-on obtenir la probabilité que ce soit le pied gauche qui se dépose sur la première marche de l’escalier? On pourrait réaliser un très grand nombre d'observations et compter le nombre de fois que cet événement se réalise. On pourrait aussi déterminer cette probabilité en fonction d’une démarche plus « théorique ». La notion de probabilité est le résultat d'un raisonnement dans lequel on évalue le nombre de fois qu’un événement se réalise. Dans notre vie quotidienne, nous utilisons la notion de probabilité lorsque nous jouons à la loterie ou lorsque nous faisons des prévisions météorologiques. Le hasard est un élément étroitement associé à la définition de la probabilité. En effet, lorsque nous jouons à la loterie, nous acceptons que les probabilités que nous gagnions dépendent du hasard.

P. 2 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

La probabilité qu'un événement E se produise est définie par le rapport entre le nombre de cas favorables ( n( E ) ) à cet événement et le nombre total de cas possibles ( n( S ) ):

P( E ) =

n( E ) n( S )

Exemple 2: Lorsque vous lancez une pièce de monnaie (parfaitement équilibrée) dans les airs, il existe deux événements possibles lorsqu'elle retombe sur une table. Elle peut tomber du côté pile ou du côté face. n( S ) est donc égal à 2. Si vous voulez connaître la probabilité qu’elle tombe du côté pile, vous devez établir le nombre d'événements favorables n( E ) . Ce dernier est égal à 1. La probabilité P(E) que la pièce de monnaie tombe pile est:

P( E ) =

n( E ) 1 = = 0,5 n( S ) 2

Observons que: 1. la probabilité d'un événement impossible est nulle; 2. la probabilité d'un événement certain est égale à 1; 3. entre ces deux extrêmes se situe toute une série d'événements probables: la probabilité qu'un événement se réalise se situe donc entre 0 et 1, c'est-à-dire 0#P(E)#1; 4. la probabilité qu'un événement E ne se réalise pas est donnée par:

P (E ) = 1 - P (E ) où E est nommé événement complémentaire de E. Par

exemple, en lançant un dé, la probabilité d’obtenir un 2 est donnée par

n( E ) 1 = alors que la probabilité d’obtenir autre chose qu’un 2 est n( S ) 6 n( S ) - n( E ) 5 P( E ) = = . 6 n( S ) P( E ) =

La dernière remarque est importante et est souvent résumée en mathématiques par l'équation ci-contre.

P (E ) + P (E ) = 1

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 3

Exemple 3: Soit une épreuve aléatoire qui consiste à choisir au hasard une carte dans un jeu de 52 cartes. Quelle est la probabilité de choisir: a) une carte de couleur noire? b) un valet? c) une carte autre qu'un valet? Solution:

a) L’espace échantillonnal contient les 52 éléments du jeu de cartes: n( S ) = 52 La moitié des cartes sont noires de sorte que n( E ) = 26 La probabilité de choisir une carte noire est donc donnée par

P( E ) =

n( E ) 26 1 = = = 0,5 . n( S ) 52 2

b) Il y a 4 valets dans un jeu ordinaire de 52 cartes. La probabilité de choisir un valet se calcule de la manière suivante:

P( E ) =

1 n( E ) 4 = = = 0,0769 n( S ) 52 13

( ) est:

c) L’expression qui permet de calculer P E

P ( E ) = 1 - P( E ) = 1 -

P. 4 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

1 12 = = 0,9231 13 13

Certains problèmes peuvent exiger une représentation visuelle de l’espace échantillonnal et de l’événement désiré. L’exemple suivant démontre comment un simple tableau peut aider à comprendre ce qui peut se produire lorsqu’on lance deux dés. Exemple 4: Quelle est la probabilité que la somme de deux dés lancés en même temps soit 6? Solution:

On peut représenter visuellement la solution à ce problème en utilisant un tableau. Dé 1

Dé 2

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

Le tableau montre qu’il existe 36 possibilités: n( S ) = 36 . Seules 5 de ces possibilités correspondent à l’événement désiré, soit que la somme des deux dés donne 6: n( E ) = 5 . On peut calculer la probabilité de cet événement: P( E ) =

5 n( E ) . = n( S ) 36

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 5

À toi de jouer! (1) Bernard Siskin et Jerome Straller ont publié le livre What are the chances (New York: Crown Publishers, Inc. 1989) dans lequel ils discutent des possibilités que certains événements se produisent dans la vie d’une personne. Le tableau suivant illustre quelques événements dans la colonne de gauche. Peux-tu associer chaque événement avec une des probabilités de la colonne de droite? Événement:

Probabilité que l’événement se produise

a) b) c) d) e) f) g) h) i)

(i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (viii) (ix) (x)

j)

mourir en service commandé pour un policier ou une policière. qu’un couple ait trois enfants ou plus. que l’avion dans lequel vous vous trouvez s’écrase et qu’il y ait une victime. qu’une personne soit frappée par la foudre. que vous soyez vivant l’année prochaine. que vous soyez admis dans un hôpital pour soins psychiatriques. que vous soyez une personne qui se ronge les ongles. que vous devrez voyager 1 à 2 heures par jour pour rendre au travail et revenir. que vous serez insatisfait de votre emploi même si vous gagnez plus de 50000$ par année. que vous allez vous marier lorsque vous aurez 18 ans et plus.

0,00000016 0,0000017 0,00038 0,0055 0,11 0,15 0,17 0,29 0,64 0,998

Notion de chances Dans la vie quotidienne, on confond souvent les termes probabilités et chances qu'un événement se produise. En mathématiques, les définitions des deux termes sont distinctes.

chances =

probabilité que l ' événement E se produise P( E ) = probabilité que l ' événement E ne se produise pas P( E )

Exemple 5: Quelles sont les chances qu'un as soit tiré d'un jeu de cartes ordinaire (52 cartes)? Solution:

On peut calculer les chances qu’un as soit tiré du jeu de cartes à partir de l’expression

( )

P (E ) où P (E ) = la probabilité que l’as soit P (E )

tiré et P E celle que la carte tirée ne soit pas un as. La probabilité qu'un as soit tiré est de 1/13, alors que la probabilité qu'une carte autre qu'un as soit tirée est de 12/13. Ainsi,

P. 6 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

1 1 Chances ( E ) = 13 = 12 12 13 On peut donc dire que les chances sont 1 contre 12 d'obtenir un as lorsqu'un pige une carte du jeu de 52 cartes. À toi de jouer! (2) Si les chances qu’un événement ait lieu sont de 2 contre 5, quelle est la probabilité que : a) l’événement ait lieu? b) que l’événement n’ait pas lieu?

3. Définition fréquentiste ou expérimentale de la probabilité Le décompte des conditions favorables et des cas possibles n'est pas toujours facile à effectuer. Parfois, il faut se fier aux résultats d'une expérience pour obtenir la probabilité d'un événement. Si on veut déterminer expérimentalement la probabilité qu’un événement se produise, il est souhaitable de répéter l’expérience le plus souvent possible pour obtenir une meilleure approximation de P (E ) .

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 7

Exemple 6: Une maison d'édition a effectué un sondage auprès de sa clientèle. Voici les résultats. Âge en années

Nombre de clients

15 £ x < 20

44

20 £ x < 25

67

25 £ x < 30

82

30 £ x < 35

187

35 £ x < 40

179

40 £ x < 45

102

45 £ x < 50

95

50 £ x < 55

33

55 £ x < 60

9

2 60 £ x < 65 Quelle est la probabilité que l'âge d'un client soit supérieur ou égal à 45 ans mais inférieur à 50 ans? Solution: On peut calculer n( S ) en additionnant les résultats de la colonne de

droite: n( S ) = 800 . La probabilité que l'âge d'un client soit supérieur ou égal à 45 ans mais inférieur à 50 ans est obtenue en effectuant le calcul suivant:

P (45 £ x £ 50 ) =

95 19 = = 0,1188 800 160

P. 8 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

Quel pourrait être l’intérêt d’un tel sondage?

4. Principes du dénombrement et calcul des probabilités d’un événement Lors du cours de mathématiques A30, nous avons appris à utiliser les concepts de permutations et de combinaisons pour résoudre des problèmes. Les problèmes portant sur les probabilités peuvent parfois se résoudre en incorporant ces principes du dénombrement comme l’illustre l’exemple suivant. Exemple 7: Dans une école secondaire, on doit élire un comité de cinq élèves parmi un groupe de 40 garçons et de 45 filles. a) Quelle est la probabilité de choisir un comité composé de cinq filles? b) Quelle est la probabilité de choisir un comité composé de cinq garçons? c) Quelle est la probabilité de choisir un comité de deux garçons et trois filles? Un rappel: n Cr =

Solution:

n! ( n - r ) !r !

a) Le nombre de choix possibles de cinq filles parmi les 45 qui composent le groupe d’élèves est déterminé par 45 C5 . On peut dire que le cardinal de l’ensemble E (l’événement de choisir 5 filles) est n( E ) = 45 C5 . De la même manière, on peut dire que le nombre de choix possibles de cinq élèves parmi les 85 élèves du groupe est déterminé par 85 C5 . Donc,

n( S ) = 85 C5 . Le calcul de la probabilité de choisir un comité de

six filles se résume à:

P( E ) =

n( E ) = n( S )

473 C5 = » 0,0372 12699 C 85 5 45

b) Le même raisonnement s’applique pour le calcul de la probabilité de former un comité composé uniquement de garçons.

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 9

P( E ) =

C5 » 0,0201 85 C5 40

c) Le nombre de combinaisons de deux garçons et trois filles se résume à 40 C2 ´ 45 C3 . La probabilité d’obtenir un comité de deux garçons et trois filles est donc:

P( E ) =

40

C2 ´ 45 C3 1229800 = » 0,3374 3644613 85 C5

À toi de jouer! (3) Lors d’un camp d’entraînement en badminton, l’entraîneur doit choisir 6 personnes pour représenter l’école dans un tournoi. Si l’équipe est composée de 8 garçons et 6 filles, calcule la probabilité de: a) choisir 2 garçons et 4 filles. b) choisir au moins 1 fille.

P. 10 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

Exercice 1 1. Lors d'une soirée casino, un des jeux exige de lancer un dé (régulier, à six faces). Si tu obtiens un nombre supérieur à 4, tu gagnes, sinon tu perds. a) En utilisant la notation d’ensemble échantillonnal et d'événement favorable, montre comment on calcule la probabilité théorique d'obtenir un 3? b) En utilisant la notation d’ensemble échantillonnal et d'événement favorable, montre comment on obtient la probabilité que le joueur gagne à ce jeu. c) En utilisant la notation d’ensemble échantillonnal et d'événement favorable, montre comment on obtient la probabilité que le joueur perde à ce jeu. d) Le responsable du jeu décide de changer les règles et de laisser gagner le joueur s'il obtient un nombre inférieur à 7 en utilisant un seul dé. Comment nomme-t-on ce genre d'événement et quelle est la probabilité qui lui est associée? e) Le responsable du jeu décide encore de changer les règles et de laisser gagner le joueur s'il obtient un nombre supérieur à 6 en utilisant un seul dé. Comment nomme-t-on ce genre d'événement et quelle est la probabilité qui lui est associée? 2.

On tire une carte d'un jeu de cartes ordinaire (52 cartes). Quelle est la probabilité que la carte tirée soit: a) un as? b) un valet de couleur rouge? c) un six de pique? d) un 4 ou une reine? e) un 5 rouge ou 9 noir?

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 11

f) un coeur ou un carreau? g) un 4, un 5, un 6 ou un 7?

3.

À l'occasion de la période de Noël, M. Lacoursière invite 12 membres de sa famille à une réception: 3 oncles, 4 frères, 4 cousines et une nièce. Suppose que chaque membre de sa famille ait des chances égales d'arriver en premier: a)

Quelle est la probabilité que la première personne à arriver chez M. Lacoursière soit un de ses oncles?

b)

Quelle est la probabilité que la première personne à arriver soit une de ses cousines?

c)

Quelle est la probabilité que la première personne à arriver ne soit pas un de ses frères?

d)

Quelles sont les chances que la première personne à arriver soit la nièce?

4. Au canal météo, on annonce pour demain que les probabilités de précipitations sont de 33,3 % ou 1/3. Quelle est la probabilité qu'il n'y ait pas de pluie demain?

5. La probabilité qu’il neige un certain jour est de a) Quelle est la probabilité qu’il ne neige pas? b) Quelles sont les chances qu’il neige?

P. 12 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

3 . 5

6. Lors d’un jeu télévisé, les finalistes doivent tourner la roulette afin de déterminer la somme en argent qu’ils remporteront. S’ils obtiennent un nombre pair, ils remportent 10000$, alors que s’ils obtiennent un nombre impair, ils remportent 2500$. Si la flèche s’arrête sur le nombre 11, ils remportent le gros lot de 25000$. Si madame Brossard est une des finalistes, a) quelle est la probabilité qu’elle remporte 10000$? b) quelle est la probabilité qu’elle remporte au moins 2500$? c) quelle est la probabilité qu’elle remporte le gros lot de 25000$? 7. Un sac contient 2 billes blanches, 4 billes bleues et 6 billes rouges. Si on tire au hasard une bille du sac, quelle est la probabilité a) qu’elle soit blanche? b) qu’elle soit bleue? c) qu’elle soit rouge? d) qu’elle ne soit pas bleue? 8. Dans le numéro précédent, on tire à la fois 3 billes du sac. Quelle est la probabilité a) qu’elles soient toutes blanches? b) qu’elles soient toutes rouges? c) qu’il n’y en ait pas de rouges?

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 13

9. On mêle 6 cartes, les 6, 7 et 8 de coeur et les 6, 7 et 8 de trèfle. On les place une à côté de l’autre sur une table. a) Combien d’arrangements sont possibles? Un rappel:

b) Quelle est la probabilité que les 3 trèfles soient suivis des 3 coeurs?

n

Pr =

n! ( n - r )!

c) Quelle est la probabilité que chaque carte soit à côté d’une autre carte portant le même numéro? d) Quelle est la probabilité qu’elles soient dans l’ordre 6,7,8 de coeur suivis de 6,7,8 de trèfle? 10. Au début de l’unité, nous t’avons demandé d’estimer les probabilités de remporter le gros lot de la Lotto 6/49. Dans ce jeu, on doit choisir 6 nombres entiers parmi les 49 entiers disponibles dans un boulier. Si les 6 nombres choisis correspondent à ceux sélectionnés lors du tirage, on remporte le gros lot. Des prix moins élevés sont aussi remportés lorsque 5, 4 ou 3 nombres correspondent. À partir de tes connaissances acquises, reproduis et complète le tableau des probabilités suivant. Nombre d’entiers correspondants

6

Probabilité

P. 14 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

5

4

3

2

1

0

5. Diagramme de Venn Nous allons utiliser les diagrammes de Venn pour illustrer schématiquement les règles fondamentales associées aux probabilités. Le diagramme de Venn nous permettra de mieux visualiser certaines opérations sur les ensembles comme l’intersection ou l’union. Dans un diagramme de Venn, les éléments de chaque ensemble sont représentés par des points comme le montre la figure cicontre. Notons que chaque ensemble est identifié par une lettre.

U

2 A 6 1 7 9 3 5 4

B

8

5.1 L'appartenance et l'inclusion On utilise un symbolisme particulier pour signifier qu'un élément appartient à un ensemble ou qu'un ensemble est inclus dans un autre. Avant de fournir des exemples de ce symbolisme, il convient de définir ce qu'est un élément, ainsi que les termes inclusion et appartenance. Soit le diagramme de Venn suivant:

S A

B Annie

Pierre

Julie Richard Manon

Marc

Martin

Hélène Josée

C

La notation à utiliser pour représenter les ensembles de ce diagramme de Venn Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 15

est la suivante: A = {Annie, Julie, Manon, Richard, Marc} B = {Pierre, Martin, Julie, Manon, Richard} C = {Hélène, Josée, Manon, Richard, Martin, Marc} S = {Annie, Julie, Manon, Richard, Marc, Pierre, Martin, Josée, Hélène} Tous les noms représentés dans le diagramme de Venn sont des éléments. Le terme appartenir est utilisé uniquement lorsqu'on parle d'éléments. Pour signifier qu'un élément appartient à un ensemble d'un diagramme de Venn, on utilise un symbole particulier: 0 . Par exemple, on peut dire que l'élément Annie appartient à l'ensemble A ou utiliser la notation: Annie 0 A Lorsqu'un élément n'appartient pas à un ensemble, il faut utiliser le symbole ó. Par exemple, Pierre ó A Le terme inclusion est utilisé uniquement lorsqu'on parle d'ensembles. Par exemple, on peut dire que l'ensemble A est inclus dans l'ensemble S. Le symbole utilisé est d. Par exemple, AdS Pour symboliser qu'un ensemble n'est pas inclus dans un autre, on utilise le symbole ç. Par exemple, SçA

P. 16 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

Exemple 8: Soit le diagramme de Venn ci-dessous.

Détermine quels énoncés sont vrais. a) 7 Î B b) 2 Î A c) B Ì A

d) A Ì W

Solution: b) et d) sont vrais L’exemple suivant nous montre comment utile ce diagramme peut être. Exemple 9: Soit un groupe de 100 athlètes lors d'une compétition internationale en athlétisme. On assigne à chaque athlète un numéro de 1 à 100. Le comité organisateur des jeux effectue deux tests pour vérifier la présence de drogues dans le système métabolique des athlètes. On sait que 55 de ces personnes ont été testées pour déterminer la présence de la drogue A et que de ce groupe, 12 ont obtenu un résultat positif, indiquant la consommation de la drogue A par ces athlètes. On sait également que les 45 autres athlètes qui ont subi le test pour déterminer la présence de la drogue B, 25 ont obtenu un résultat positif. Dessine le diagramme de Venn qui permettrait de visualiser cette situation. Solution:

Nous allons commencer par définir ce que chaque ensemble du diagramme de Venn devrait contenir. S = espace échantillonnal: athlètes numérotés de 1 à 100={1,2,3,...100}

n ( S ) = 100

A = ensemble des athlètes ayant subi le test A n ( A ) = 55

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 17

B = ensemble des athlètes ayant subi le test B

n ( B ) = 45

D = ensemble des athlètes pour lesquels on a détecté la présence de drogues

n ( D ) = 37

S

On observe que nous n’avons pas accompagné les nombres dans les trois ensembles par des points puisqu’il s’agit ici d’identifier le nombre d’éléments dans chaque ensemble et non les éléments comme tels.

D

A 43

12

B 25

20

Comme le montre l’exemple précédent, certains éléments peuvent appartenir à plus d’un ensemble. Le diagramme de Venn met en évidence le nombre d’éléments contenus dans chaque ensemble. À toi de jouer! (4) Monsieur Muri est responsable du programme sportif de son école. Au début de l’année, il demande aux élèves de la 11e et de la 12e année de choisir les sports auxquels ils voudront s’inscrire durant l’année scolaire. Voici les résultats: 13 élèves veulent jouer au badminton 22 élèves veulent s’inscrire au volley-ball 17 élèves veulent s’inscrire au curling 10 veulent s’inscrire à la fois au curling et au badminton 3 élèves veulent participer aux trois sports a) Construis un diagramme de Venn qui permet de représenter cette situation. b) Combien d’élèves ne veulent que participer au badminton? c) Combien d’élèves veulent s’inscrire aux activités sportives de cette école?

P. 18 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

5.2 Opérations sur les ensembles Lorsqu'un diagramme de Venn contient plus d'un ensemble, on peut trouver l'union des ensembles, l'intersection des ensembles ou la différence. Union: en mathématiques, union est synonyme du terme ou. On utilise le symbole È pour symboliser l'union. On peut représenter l'union entre deux ensembles A et B de la façon suivante. A ÈB

Tous les éléments qui appartiennent soit à l’ensemble A, soit à l’ensemble B représentent A È B.

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 19

Intersection: en mathématiques, intersection est synonyme du terme et. On utilise le symbole Ç pour symboliser l'intersection. On peut représenter l'intersection entre deux ensembles A et B de la façon suivante: A Ç B

Uniquement les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B sont compris dans A Ç B. Exemple 10: Soit le diagramme de Venn ci-dessous.

S A

B b

h

c

d

a t

g u

a) b)

C

Exprime A Ç B à l’aide de la notation ensembliste. Exprime A Ç B Ç C à l’aide de la notation ensembliste.

P. 20 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

a) A Ç B={a, h} b) A Ç B Ç C={a}

Solution:

Différence: en mathématiques, différence est synonyme du terme sans. On utilise le symbole pour symboliser la différence. On peut représenter la différence entre deux ensembles A et B de la façon suivante: A

B

Les éléments qui appartiennent uniquement à A répondent à la condition A Complément:

B.

le complément d'un ensemble est l'ensemble des éléments qui n'appartiennent pas à cet ensemble. On peut représenter le complément d'un ensemble A de la façon suivante: A

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 21

Exemple 11: La figure suivante montre l'espace échantillonnal S pour une expérience visant à choisir un nombre parmi {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Les événements A et B sont aussi montrés; l'événement A étant le choix d'un nombre inférieur à 4 et l'événement B étant le choix d'un nombre pair. Donc: A = {1, 2, 3} et B = {2, 4, 6, 8} a) Détermine A È B. b) Détermine A Ç B. c) Détermine B

A

d) Détermine B . e) Quelle est la probabilité que l'événement A se réalise? f) Quelle est la probabilité que A È B se réalise? g) Quelle est la probabilité que A Ç B se réalise?

P. 22 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

Solution: a) L'union de A et de B implique que tous les éléments qui sont compris dans les deux ensembles seront énumérés. Ainsi, A È B = {1, 2, 3, 4, 6, 8} b) L'intersection de A et de B implique que seuls les éléments qui sont compris à la fois dans A et B seront énumérés. Ainsi, A Ç B = {2} c) La différence B A implique que seuls les éléments qui appartiennent uniquement à B seront énumérés. Ainsi, B

A = {4, 6, 8}

d) Le complément de B comporte tous les éléments qui ne sont pas dans l'ensemble B. Ainsi,

B = {1, 3, 5, 7} e) On peut résumer la probabilité que A se réalise par: P(A) =

3 3 1 et celle de B par P(B) = = . 8 8 2

f) Cette probabilité se résume à P(A È B). Puisque AcB ={1, 2, 3, 4, 6, 8}, P(A È B)=

6 3 = . 8 4

g) Cette probabilité est de

1 . 8

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 23

Exercice 2 1. Étant donné les ensembles A = {2, 3, 4, 5, 6, 7} et B = {1, 3, 5, 7, 9}. a) Énumère les éléments communs à ces deux ensembles. b) Représente ces deux ensembles à l'aide de diagrammes de Venn. c) Exprime A Ç B en extension (A Ç B = { ? }) d) Énumère les éléments présents dans A et B. e) Exprime A È B en extension. 2. Étant donné le diagramme de Venn qui suit, identifie les nombres représentés par chacune des expressions suivantes. a) b) c) d) e) f) g)

AÈ B AÈ C BÈ C AÇ B AÇ C BÇ C AÇ BÇ C

P. 24 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

3. Trace un diagramme de Venn pour illustrer la situation suivante, puis résous le problème. Madame Tremblay est directrice adjointe d'une école secondaire en Saskatchewan. Une de ses tâches est d'établir l'horaire des classes. D'après les formulaires de demande de cours remis par les élèves de 12e année, elle sait que 163 élèves ont demandé un cours de mathématiques, 95 un cours de physique et 124 un cours de chimie, tandis que 17 élèves n'ont demandé aucune de ces matières. De plus, elle constate que 61 élèves ont demandé mathématiques et physique, 67 mathématiques et chimie, 49 chimie et physique et 27 les trois. a) Combien ont demandé seulement des mathématiques? b) Combien ont demandé seulement la physique? c)

Combien ont demandé seulement la chimie?

d) Combien de formulaires de demande de cours (élèves) y avait-il? e) Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionner un élève qui désire choisir uniquement des mathématiques? f)

Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionner un élève qui désire choisir la physique ou la chimie?

g)

Quelle est la probabilité, si on choisit un formulaire au hasard, de sélectionner un élève qui désire choisir des mathématiques ou de la physique ou de la chimie?

4. Un sondage effectué auprès de 100 personnes qui se sont procurées de nouveaux disques compacts au cours du dernier mois a donné les résultats suivants: 36 ont acheté de la musique rock, 27 étaient des adolescents et 21 étaient des adolescents qui se sont achetés de la musique rock. a) Construis un diagramme de Venn avec les ensembles R (musique rock) et A (adolescents). b) Quelle est la probabilité qu’une des personnes interrogées soit un adolescent qui n’a pas acheté de la musique rock? c)

Quelle est la probabilité que la personne sondée ne soit pas un adolescent?

d) Quelle est la probabilité que la personne interrogée n’ait pas acheté de la musique rock?

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 25

e) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ait acheté de la musique rock sans pour autant être un adolescent ? f)

Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne soit ni un adolescent, ni une personne qui ait acheté de la musique rock?

5. Soixante personnes d’une communauté de la Saskatchewan à prédominance francophone sont interrogées lors d’un sondage visant à déterminer la langue qu’elles parlent. Les résultats montrent que 45 personnes maîtrisent le français, 20 parlent l’anglais et 15 maîtrisent le français et l’anglais. a) Trace un diagramme de Venn qui illustre cette situation. b) Quelle est la probabilité qu’une des personnes interrogées maîtrise le français et l’anglais? c)

Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne parle ni l’anglais ni le français?

d) Quelle est la probabilité que la personne interrogée ne parle qu’une de deux langues officielles?

P. 26 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

6. Probabilités d’événements compatibles (qui ne sont pas mutuellement exclusifs) et d’événements incompatibles (mutuellement exclusifs) 6.1 Probabilités d’événements compatibles Parfois la réalisation d'un événement n'empêche pas la réalisation d'un second. C'est le cas lorsqu'on vous demande de calculer la probabilité qu'une carte tirée d'un jeu de 52 cartes ordinaire soit un as ou une carte de couleur noire. Dans le cas d'événements qui ne s'excluent pas, il faut tenir compte de ce qui est commun aux deux événements. Dans ce cas-ci, il est possible que la carte tirée soit à la fois un as et une carte de couleur noire. Ce ne sont pas deux événements qui s'excluent mutuellement. Il faut alors employer la formule suivante:

Probabilité d’événements compatibles La probabilité que l’événement A ou l’événement B se produise est calculée de la manière suivante:

P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) - P ( A Ç B )

Le diagramme de Venn ci-dessous illustre le cas où on souhaite tirer un as ou une carte noire d’un paquet ordinaire de 52 cartes.

L'ensemble A, les as, compte 4 éléments, alors que l'ensemble N, les cartes noires, compte 26 éléments. Les 24 autres cartes (qui ne sont pas des as ou Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 27

des cartes noires) du jeu sont dans l'espace échantillonnal. On réalise que 2 éléments sont partagés par A et N. Si on calculait la probabilité sans tenir compte des éléments qui sont partagés par les deux ensembles, on obtiendrait:

P ( A) + P ( N ) =

4 26 30 15 + = = 52 52 52 26

Cette expression nous demande de calculer les éléments de l'intersection à deux reprises. Pour contrer ceci, il faut soustraire la probabilité d'avoir à la fois A et N de la somme des probabilités de A et de N. Ainsi,

P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) - P ( A Ç B )

Dans notre exemple, la probabilité devient:

P( A È N ) = P( A) + P( N ) - P( A Ç N ) P( A È N ) =

4 26 2 28 7 + = = 52 52 52 52 13

Exemple 12: Quelle est la probabilité de tirer un roi ou une carte rouge supérieure à 10 lorsqu’on tire une carte d’un jeu ordinaire? Solution:

Voilà bien une situation d’événements qui ne sont pas mutuellement exclusifs, donc compatibles. Soit les deux événements, R=un roi et S=une carte rouge supérieure à 10, alors la probabilité de tirer un roi ou une carte rouge supérieure à 10 est:

P ( R È S ) = P ( R) + P (S ) - P ( R Ç S ) P(R È S) =

4 6 2 8 2 + = = 52 52 52 52 13

P. 28 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

Le diagramme ci-contre montre la solution de l’exemple précédent. On remarque qu’en traçant un encadré autour des solutions possibles, deux cartes peuvent être choisies deux fois (le roi de carreau et le roi de coeur). Il faut donc s’assurer que le calcul de la probabilité tienne compte de l’intersection entre l’ensemble « Roi » et l’ensemble « carte rouge supérieure à 10 ».

Exemple 13: On lance deux dés à six faces, un rouge et un bleu. Détermine: a) la probabilité qu’un des dés montre un 3 ou que la somme des deux dés indique 8. b) la probabilité que le dé rouge indique un nombre plus grand que 4 ou que le dé bleu montre un nombre inférieur ou égal à 2. Solution:

a) L’utilisation d’un diagramme nous permettra de mieux visualiser la solution à cette question.

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 29

Comme le montre le diagramme, il y a 36 possibilités au total, mais 11 d’entre elles correspondent à l’événement que l’un des dés indique 3. Il y a 5 possibilités d’obtenir une somme de 8 à partir des deux dés. On remarque que l’intersection des deux ensembles compte 2 éléments (points noirs). Si T=un des deux dés indique 3 et H=la somme des deux dés donne 8 alors,

P (T È H ) = P (T ) + P ( H ) - P (T Ç H ) P (T È H ) =

11 5 2 14 7 + = = 36 36 36 36 18

b) Le diagramme suivant résume les deux événements.

Si R=le dé rouge indique un nombre supérieur à 4 et B=le dé bleu indique un nombre inférieur ou égal à 2, alors

P ( R È B) = P ( R) + P ( B) - P ( R Ç B) P ( R È B) =

12 12 4 20 5 + = = 36 36 36 36 9

P. 30 - Mathématique B30 - Unité de la Probabilité

Exemple 14: On tire une carte d'un jeu de 52 cartes. Trouve la probabilité de choisir soit un valet soit un pique. Solution:

Il s'agit d'événements qui ne sont pas mutuellement exclusifs puisqu'il existe une possibilité de choisir un valet de pique, ce correspondrait aux deux conditions. Si V=valet et P=pique, alors

P (V È P ) = P (V ) + P ( P ) - P (V Ç P ) P (V È P ) =

4 13 1 16 4 + = = 52 52 52 52 13

6.2 Événements incompatibles (mutuellement exclusifs) Deux événements sont dits incompatibles si la réalisation d'un de ces événements empêche la réalisation du second. On dit alors que les événements sont mutuellement exclusifs.

Probabilité d’événements incompatibles La probabilité que l’événement A ou l’événement B se produise lorsque ces deux événements s’excluent mutuellement est calculée de la manière suivante:

P

(A

È B

)=

P

(A )+

P

(B )

On remarque que cette relation est une condition particulière de la relation pour les événements compatibles où A Ç B = {Æ} . En effet, lorsque

A Ç B = {Æ} , on dit que les événements n'ont pas de résultats en commun et qu'ils sont mutuellement exclusifs. Puisque P ( Æ ) = 0 , la relation devient:

P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) - 0

Mathématique B30 - Unité de la Probabilité - P. 31

Exemple 15: Quelle est la probabilité de choisir un valet ou un as lorsqu'on tire une carte d'un jeu de cartes ordinaire? Solution:

Cette situation représente un cas d'événements mutuellement exclusifs. La réalisation d'un des événements empêche la réalisation de l'autre. Soit A = choisir un valet, B = choisir un as, alors

P ( A È B ) = P ( A) + P ( B ) =

4 4 8 2 + = = 52 52 52 13

Exemple 16: Le tableau suivant montre la répartition des âges des joueurs d'une équipe de hockey. Événement

Âge du joueur (années)

Proportion des joueurs (%)

A1

moins de 21

5

A2

21 £ x