MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 4.

MATHF105 Probabilités et Statistique. TP 4.
r Ex.1 Soit r ≥ 1 un entier et p ∈ (0,1). On définit pk = k−1 p (1 − p)k−r , pour k ≥ r. t−1 Montrez que (pk , k ≥ r) définit une fonction de masse de probabilité (pmf ). Ex.2 Supposons qu’on tire n boules avec remplacement à partir d’une urne qui contient N1 boules noires et N − N1 boules blanches. On pose p = N1 /N (la proportion de boules noires dans l’urne) et Xn comme étant le nombre de tirages qu’il a fallu jusqu’à ce qu’on ait tiré r boules noires, pour un certain r ∈ {1,2, . . . ,n} fixé. Si le nombre de boules noires tirées après le ne tirage est plus petit que n, alors on pose Xn = ∞. Montrez que pour tout k ≥ r, P (Xn = k) → pk

quand n → +∞.

(1)

Ex.3 Combien de fois (n) faut-il lancer un dé (à six faces bien équilibré) pour que la probabilité d’obtenir au moins un “6” soit plus grande que 0,95? Ex.4 Soit y ≥ 0 et λ > 0. Prouvez rigoureusement que  k Z y λ 1 X 1− → e−λt dt, quand n → +∞. n 1≤k≤yn n 0

(2)

Ex.5 Soit λ > 0. Montrer que la fonction fλ (x) := λe−λt 1{t ≥ 0} est une densité. Ex.6 Soit (Ω,A, P ) l’espace de probabilité où Ω = (0,1], A est la sigma-algèbre de Borel (notée B((0,1])), et où P ((a,b]) = b − a pour tout intervalle (a,b] ⊆ (0,1] (ce qui est suffisant pour définir tout P , cf. Théorème d’équivalence entre mesure de probabilité et fonction de distribution (P vs F )). Montrer que   1−ω 1 (3) X(ω) = − log λ λ suit une distribution exponentielle. Ex.7 (difficile) Soit F une fonction de distribution continue et strictement croissante. Comment construire une variable aléatoire X sur l’espace mesurable ((0,1], B((0,1])) de l’exercice précédent qui a comme fonction de distribution la fonction F donnée. Ex.8 Supposons que, d’une urne contenant au départ N boules dont N1 sont noires, on tire des boules sans remplacement jusqu’à ce que l’on tire une boule noire. On pose X le nombre de tirage effectués. Déterminez la pmf associée à X, c’est-à-dire, déterminez P (X = k), pour tout k ∈ K (où K est un ensemble indices approprié).

1