Matrices

Matrices

I Matrices et opérations I.1 definitions Définition 1 Soit n un entier naturel non nul. Une matrice carrée d’ordre n est un tableau de nombres réels comportant n lignes et n colonnes. Le nombre placé à l’intersection de la ième ligne et de la jème colonne est noté ai,j et s’appelle le coefficient d’indice (i; j). a

1,1

 a2,1  .  A =  ..   ai,1  .  . . an,1

a1,2 a2,2

··· ···

a1,j a2,j .. .

··· ···

ai,2

···

ai,j .. .

···

an,2

···

an,j · · · ↑ j-ième colonne

a1,n  a2,n  ..   .   ai,n  ← i-ème ligne ..   . an,n

La diagonale de la matrice A est formée de tous les coeficients de A dont les numéros de ligne et de colonne sont égaux : a1,1 ; a2,2 ; · · · ; an,n Cas particuliers • La matrice carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls est appelée la matrice nulle et est notée 0n . • Une matrice carrée dont tous les coefficients sont nuls, sauf éventuellement les coefficients de la diagonale, est appelée matrice diagonale.

1

I. MATRICES ET OPÉRATIONS • la matrice diagonale d’ordre n dont les coefficients sur le diagonale sont matrice identité d’ordre n et est notée In .    1 0 0   1 0 0  0 1 0 1 0 I2 = I3 =  0 1 0  I4 =   0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0

égaux à 1 est appelée  0 0   0  1

Propriété 1 Deux matrices carrées sont égales si, et seulement si, elles sont de mêmes ordres n et si, pour tous entiers i et j variant de 1 à n, les coefficients d’indice (i, j) sont égaux. Définition 2 Soit un entier naturel non nul n. Une matrice colonne B (ou vecteur colonne) de dimension n est un tableau de nombres réels comportant n lignes et 1 colonne. Le nombre placé à la ième ligne est noté bi et est appelé coefficient d’indice i.   b1  b2     ..   .   B=  bi     .   ..  bn

I.2 Somme et produit par un réel Définition 3 Soit un entier naturel non nul n. On considère deux matrices carrées A et B de même ordre n et un réel k. • La somme des matrices A et B, notée A + B, est la matrice carrée d’ordre n dont le coefficient d’indice (i, j) pour tous les i et j entre 1 et n, est égal à ai,j + bi,j . • Le produit de la matrice A par le réel k, notée kA, est la matrice carrée d’ordre n dont le coefficient d’indice (i, j) pour tous les i et j entre 1 et n, est égal à k × ai,j .

-->A=[1 2 3; 5 0 1; 2 -9 3] A = 1. 5. 2.

2. 0. - 9.

3. 1. 3.

-->2*A ans = 2. 10. 4.

2

-->B=eye(3,3) B = 1. 0. 0.

0. 1. 0.

0. 0. 1.

2. 1. - 9.

3. 1. 4.

-->A+B ans = 4. 0. - 18.

6. 2. 6.

2. 5. 2.

I. MATRICES ET OPÉRATIONS

I.3 Produit d’une matrice carrée par une matrice colonne Définition 4 Soit un entier naturel n non nul. On considère une matrice carrée A d’ordre n et une colonne B de même dimension n. Le produit de la matrice carrée A par la matrice colonne B, noté A × B, est la matrice colonne P de dimension n dont, pour tout entier i entre 1 et n, le coefficient d’indice i est égal à : pi = ai,1 × b1 + ai,2 × b2 + · · · + ai,n × bn =

n X j=1

ai,j × bj

En pratique, il est commode de disposer les matrices de la façon suivante pour calculer leur produit :   b1  b2     ..   .   B=  bi     .   ..  bn     a1,1 a1,2 · · · a1,j · · · a1,n p1  a2,1 a2,2 · · · a2,j · · · a2,n    p2      ..  .. ..   ..  .    . . .     A=   pi = ai,1 × b1 + ai,2 × b2 + · · · + ai,n × bn  a a · · · a · · · a i,1 i,2 i,j i,n      .  .. ..   ..  ..    . . . an,1 an,2 · · · an,j · · · an,n pn Exemple -->A=[1 2 3; 5 0 1; 2 -9 3] A = 1. 5. 2.

2. 0. - 9.

3. 1. 3.

-->B=[-5; 6; 0] B =

-->A*B ans = 7. - 25. - 64.

- 5. 6. 0. Exemple (Suite de Fibonacci) Soit (un ) la suite définie par u0 = 1, u1 = 1 et un+2 = un+1 + un .   un On pose Un = un+1 1. Déterminer la matrice A telle que Un+1 = AUn . 2. Déterminer U1 , puis U2 .

3

I. MATRICES ET OPÉRATIONS

I.4 produit de deux matrices carrées

Définition 5 Soit un entier naturel n non nul. On considère deux matrices carrées A et B de même orde n. Le produit de la matrice A par la matrice B, notée A × B, est la matrice carrée P d’ordre n dont le coefficient d’indice (i, j) pour tous entiers i et j variant de 1 à n, est égal à : pi,j = ai,1 × b1,j + ai,2 × b2,j + · · · + ai,n × bn,j =

n X

k=1

ai,k × bk,j

Exemple Produit de deux matrices sous scilab : -->A*B ans =

-->A=[3 -1; -2 4] A = 3. - 2.

0. 10.

- 1. 4.

-->B*A ans =

-->B=[1 4; 3 -2] B = 1. 3.

14. - 16.

- 5. 13.

4. - 2.

15. - 11.

On remarque que le produit n’est pa commutatif. Exemple Nombre de trajets : l1 V1

V2 l3

l2 l5 l4 V3

Une companie de bus propose différentes lignes reliant 3 villes. On note A la matrice dont le coefficient ai,j est égal au nombre de lignes reliant la ville V i à la ville V j. 1. Déterminer A. 2. Déterminer A2 . 3. Combien de trajets utilisant deux lignes permettent d’aller de la ville V 1 à la ville V 3 ?

4

II. INVERSE D’UNE MATRICE CARRÉE Propriété 2 Soit un entier naturel n non nul. On considère des matrices carrées A, B, C de même ordre n. Alors : 1. proprieté de distributivité : (A + B) × C = A × C + B × C. A × (B + C) = A × B + A × C.

2. proprieté d’associativité : (A × B) × C = A × (B × C).

3. Pour tout réel k : k × (A × B) = (k × A) × C.

4. A × In = In × A = A, où In est la matrice identité d’ordre n.

Exemple 

2 Soient les matrices A =  1 1

  1 1 1 2 1  et J =  1 1 2 1

1. Ecrire A en fontion de I3 et J.

 1 1 1 1  1 1

2. Déterminer J 2 en fonction de J. 3. En déduire A2 .

II Inverse d’une matrice carrée II.1 Définition Définition 6 Soit n un entier naturel non nul. Une matrice carrée A d’ordre n est dite inversible s’il existe une matrice carrée B d’ordre n telle que A × B = B × A = In . La matrice B est alors unique et s’appelle inverse de A. On la note A−1 .

Preuve : On suppose que la matrice A d’ordre n est inversible. Soient deux matrice B et C d’ordre n telle que : A × B = B × A = A × C = C × A = In Alors, B = B × (A × C) = (B × A) × C = C. Les matrices sont donc égales.  Propriété 3 Soit un entier naturel n non nul. Pour toutes les matrices A et B carrées d’ordre n, 1. Si A est inversible, alors la matrice A−1 est inversible et (A−1 )−1 = A. 2. Si A et B sont inversibles, alors la matrice A × B est inversible et (A × B)−1 = B −1 × A−1 . Exemple 

 5 1 Soit la matrice A = . 3 4 1. Déterminer la matrice inverse A à l’aide de la calculatrice. Vérifier le résultat. 2. Déterminer l’inverse de A à la main.

5

II. INVERSE D’UNE MATRICE CARRÉE Exemple Inverse grace à un polynôme.   7 −10 Soit la matrice A = . 3 −4

1. Démontrer que A2 − 3A + 2I = 0.

2. En déduire que A est inversible.

II.2 Application aux systèmes linéaires

Définition 7 Un  système linéaire à n équations, n inconnues x1 , x2 , . . . , xn est un système de la forme : a1,1 x1 + a1,2 x2 + · · · + a1,n xn = b1     a2,1 x1 + a2,2 x2 + · · · + a2,n xn = b2 où les ai,j sont des réels. .. .. ..  . . .    an,1 x1 + an,2 x2 + · · · + an,n xn = bn Résoudre le système, c’est trouver les n-uplets (x1 , x2 , · · · , xn ) qui vérifient toutes les équations. Sion note les matrices :      b1 x1 a1,1 a1,2 · · · a1,n  b2   x2   a2,1 a2,2 · · · a2,n        X =  .  et B =  . . A= .  . . . . .  .   .   . . ···  ··· bn xn an,1 · · · · · · an,n Le sytème est équivalent à AX = B.

Propriété 4 Si la matrice A est inversible, le système admet une unique solution : X = A−1 B.

Preuve : En effet, en multipliant par A−1 à gauche, on a A−1 AX = A−1 B ⇔ IX = A−1 B ⇔ X = A−1 B.  Exemple Résoudre le système suivant :  10x + 4y = 3 6x + 2y = −5       10 4 x 3 Si on pose A = ,X= et B = , 6 2 y −5 le système peut s’écrire sous la forme AX = B. Déterminer A−1 à l’aide de la calculatrice puis donner la solution du système. Remarque Les solutions du système sont les coordonnées du point d’intersection des doites d1 : 10x + 4y = 3 et d2 : 6x + 2y = −5. Ces droites ont pour vecteurs directeurs ~v1 (−4; 10) et ~v2 (−2; 6). Ce système a une unique solution si les droites ont des vecteurs directeurs non colinéaires, c’est à dire si −4 × 6 + 10 × 2 6= 0 ou si 10 × 2 − 6 ×4 6= 0.  a b Généralisation : Le système qui a pour matrice A = admet une unique solution ssi ad − bc 6= 0 c d

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III. PUISSANCE N-IÈME D’UNE MATRICE CARRÉE Exemple Résoudre le sytème :   2x + 3y − t = 5 x−t=2  3−y =0

III Puissance n-ième d’une matrice carrée Définition 8 On considère un entier naturel n non nul et une matrice A. La puissance nième de A, notée An , est la matrice : An = A × A × · · · × A . {z } | nfacteurs

Remarque

Le produit de matrices étant associatif, pour tout entier n > 0 : An+1 = A × An = An × A, ce qui rend valable la Cette relation permet de calculer de proche en proche les puissances de A. Propriété 5 Pour tous les entiers naturels n et m et toute matrice A : Am × An = Am+n . 

 Propriété 6 (Matrices diagonales)  Soit une matrice diagonale A d’ordre k. On pose A =    

  Alors pour tout entier naturel n, A =    n

an1 0 .. . 0

a1 0 .. .

0 ··· 0 . .. . .. an2 .. .. . . 0 · · · 0 ank 0

0

··· 0 . .. . .. a2 .. .. . . 0 · · · 0 ak 



  .  

  .  

Dans le cas général, il n’existe pas de formule explicite donnant la puissance niéme d’une matrice A. En partique, on peut utiliser : • le raisonnement par récurrence ; • des propriétés particulières de la matrice A. Exemple 

1 1 On considère la matrice A =  0 1 0 0 1. Calculer A2 , A3 , A4 .

 0 1 . 1 

1 an 2. Montrer que pour tout entier naturel n, on peut écrire An =  0 1 0 0 précisera les relations de récurrence vérifiées par les suites (an ) et (bn ).

 bn an . On 1

3. Exprimer an et bn en fonction de n. En déduire une expression de An en fonction de n.

7

IV. MATRICES ET SUITES Exemple 

1 Soit A =  0 0 1. Ecrire A

1 1 0 en

  1 1  et J =  1 fonction de I et

0 1 0 0 0 0 J.

 1 1 . 0

2. Calculer J 2 et J 3 . 3. Démontrer par récurrence que An = I + nJ +

n(n − 1) 2 J . 2

4. En déduire une expression de An . Propriété 7 Soit A une matrice carrée. S’il existe une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que A = P DP −1 alors An = P Dn P −1 . Preuve : −1 −1 n −1 An = (P DP −1 )n = P D |P −1 {z P} DP · · · P DP = P D P .  =I

Exemple

Retour sur la suite de Fibonacci :     0 1 un On a Un+1 = AUn , où A = . et Un = 1 1 un+1 √   √ 5−1 − 5−1 . Soit P = 2 2 1. Déterminer P −1 . 2. Démontrer que P −1 AP = D est une matrice diagonale. 3. Déterminer An .

IV Matrices et suites Dans ce paragraphe, Un est une matrice colonne d’ordre 2 ou 3 et A est une matrice carrée de même ordre 2 ou 3. Propriété 8 (Un+1 = AUn ) Si une suite Un vérifie une relation de récurrence du type : Un+1 = AUn . Alors Un = An U0 . Preuve : Le démontrer par récurrence.  Exemple Une suite récurrente d’ordre 2 est une suite (un ) qui vérifie une relation du type : (1) un+2 = aun +bun+1 .    0 1 un et A = . Si on note Un = a b un+1 La relation (1) est équivalente à Un+1 = AUn . Par conséquent, Un = An U0 .

Retour sur la suite de Fibonacci. Ecrire Un en fonction de n. En déduire un en fonction de n.

8

IV. MATRICES ET SUITES Exemple Soient deux suites (un ) et (vn ) vérifiant :  un+1 = −2un + 3vn avec u0 = 3 et v0 = −2. vn+1 = −un+ 2vn  un . On pose Un = vn 1. Déterminer la matrice A telle que Un+1 = AUn . 2. Calculer A2 , puis A3 . 3. Donner An . 4. Donner un et vn en fonction de n. Propriété 9 (Un+1 = AUn + B) Soit B une matrice colonne de même ordre que A et Un . Pour étudier une suite de matrice vérifiant la relation : Un+1 = AUn + B • On cherche une matrice colonne C telle que C = AC + B. Si I − A est inversible alors C = (I − A)−1 B. • On pose Vn = Un − C et la suite (Vn ) vérifie la relation : Vn+1 = AVn . Par conséquent, Vn = An V0 • On revient à la suite (Un ), Un = Vn + C = An V0 + C. D’où, Vn = An (U0 − C) + C. Exemple Exercice 1p151 (Livre)

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V. MARCHE ALÉATOIRE

V Marche aléatoire Exemple Les deux occupations de Pataton le chat, sur une journée, sont "dormir" et "manger". On remarque que le matin à 7h, il dort toujours. S’il dort à une heure donnée, la probabilité qu’il dorme (à nouveau ou encore) une heure après est 3/4. En revanche, s’il mange à une heure donnée, la probabilité qu’il mange à nouveau une heure après est 1/5. On note Dn l’évènement :"Pataton dort n heures après 7 heures", et Dn l’évènement :"Pataton mange n heures après 7 heures", puis un = P (Dn ) et vn = P (Dn ). 1. (a) Déterminer u1 et v1 . (b) A l’aide d’un arbre, démontrer que u2 =

31 . 80

(c) Compléter l’arbre suivant : Dn+1 b

Dn b

un

Dn+1 b

b

b

vn

Dn

Dn+1

b

b

Puis  démontrer que :   un+1 = 3 un + 4 vn 4 5 1 1   vn+1 = un + vn 4 5   un 2. On note Xn = . vn

Dn+1

(a) Déterminer la matrice A telle que Xn+1 = AXn . (b) Que vaut X0 ? (c) Calculer X1 et X2 . (Vérifier vos calculs avec les questions précédentes). (d) Quelle est la probabilité pur que Pataton soit en train de dormir à 12h ?

3 4

Cet exemple peut-être traité d’une autre façon : On construit un "graphe probabiliste" : Un graphe est constitué de plusieurs sommets : ici, 2 sommets : manger (1) ou dormir (2). 1 4 1 1 2 5 4 5

La matrice de transition est la matrice carrée dont le coefficient ai,j est la probabilité de transition du sommet j au sommet i, soit la probabilité d’arriver en i sachant qu’on est parti de j.

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V. MARCHE ALÉATOIRE 

 3 4   On a A =  14 51  4 5 A chaque heure on passe d’un état à un autre état. Les états succéssifs sont représentés par des  un ) matrices colonne (ici d’ordre 2) : on les note Xn . (Ici Xn = vn On a la relation Xn+1 = AXn . Remarque Parfois, la matrice de transition est la matrice carrée dont le coefficient ai,j est la probabilité de transition du sommet i au sommet j.   3 1  4  Dans ce cas, A =  4 4 1  5 5
Mais, la matrice état n’est une colonne, mais une matrice ligne : Un = un vn . On a la relation : Xn+1 = Xn A. puis, Xn = X0 An . Exemple On considère un mobile effectuant une marche aléatoire sur le graphe suivant : 1/4 1/3

1 3/4 1/2

2 1/2

3

2/3

1. Déterminer la matrice   de transition A. 1 2. On pose X0 =  0 , Déterminer l’état de la marche aléatoire après 3 pas, cad X3 . 0 3. Quelle est la probabilité d’arriver au 2eme sommet après 3 pas ?

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V. MARCHE ALÉATOIRE Exemple On considère à présent, un mobile affectuant une marche aléatoire sur le graphe précédent de telle sorte que, à chaque pas : 1 • avec une probabilité de , le mobile choisit comme dans l’exemple précédent de suivre une 2 des arêtes issues du sommet sur lequel il est (avec la répartition probabiliste précédent pour le choix de l’arête). • sinon : le mobile se place directement et de façon équirépartie sur n’importe quel sommet sur le graphe, ycompris  celui sur lequel il est. pn On note Xn =  qn  la matrice colonne des états après n pas du mobile rn   1 1 0    1 3 21   la matrice de transition associée à la marche aléatoire précédente.  et A =  0   34 2 2  0 4 3 1. A l’aide d’un arbre, expliquer pourquoi  : 1/3 1 1 Xn+1 = AXn + B, où B =  1/3 . 2 2 1/3 2. Quelle est la probabilité d’arriver au sommet 3 après 2 pas.

Définition 9 On appelle état (ou répartition) stable de probabilité une matrice colonne P , dont tous les coefficients sont positifs de somme égale à 1, vérifiant P = AP .

 Théorème 1 1−p Une marche aléatoire entre deux états a pour matrice de transition A = p   an Xn = est la matrice état après n pas. bn Si p et q ne sont pas tous les deux nuls, ni tous les deux égaux à ,1, alors : 1) il existe existe un état stable et un seul :  p  q . P = p+ q p+q 2) quelle que soit l’état initial, la suite (Xn ) converge vers P .

q 1−q

 .

Exemple Un mobile mobile effectuant une marche aléatoire sur le graphe suivant :

0,2 0,8

1

2

0,7

0,3

1. Déterminer la matrice   de transition. 1 2. On note X0 = , prouver que Xn converge vers une matrice colonne que vous 0 préciserez.

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V. MARCHE ALÉATOIRE Théorème 2 Si la matrice de transition A admet une puissance n’ayant aucun coefficient nul, alors : • il existe une répartition stable de probabilité P et une seule, telle que P = AP . • quelle que soit l’état initial, la suite (Xn ) converge vers P .

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