MECANIQUE RATIONNELLE COURS ET EXERCICES Université Djilali Bounaama Khemis Miliana

Université Djilali Bounaama Khemis Miliana Institut des Sciences et Techniques

MECANIQUE RATIONNELLE COURS ET EXERCICES

Ali MAHIEDDINE Maître de conferences

Septembre 2014

Sommaire

INTRODUCTION ............................................................................................................................................................ 7 1.

OUTILS MATHEMATIQUES.............................................................................................................................. 9 1.1.

VECTEUR LIBRE ............................................................................................................................................... 9

1.2.

PRODUIT SCALAIRE .......................................................................................................................................... 9

1.3.

BASE ................................................................................................................................................................ 9

1.4.

CHANGEMENT DE BASE ORTHONORMEE ......................................................................................................... 10

1.5.

PRODUIT VECTORIEL ...................................................................................................................................... 10

1.5.1.

Définition .................................................................................................................................................. 10

1.5.2.

Double produit vectoriel........................................................................................................................... 10

1.5.3.

Produit mixte ............................................................................................................................................ 10

1.5.4.

Division vectorielle ................................................................................................................................... 11

1.6.

VECTEUR LIE ET SYSTEME VECTORIEL .......................................................................................................... 11

1.6.1.

Vecteur lié................................................................................................................................................. 11

1.6.2.

Moment d’un vecteur lié ........................................................................................................................... 11

1.6.3.

Système vectoriel ...................................................................................................................................... 11

1.6.4.

Moment d’un système vectoriel ................................................................................................................ 12

1.7.

2.

TORSEUR........................................................................................................................................................ 12

1.7.1.

Définition .................................................................................................................................................. 12

1.7.2.

Propriété des torseurs .............................................................................................................................. 12

1.7.2.1.

Égalité ............................................................................................................................................................. 12

1.7.2.2.

Somme ............................................................................................................................................................ 13

1.7.2.3.

Multiplication par un scalaire .......................................................................................................................... 13

1.7.2.4.

Torseur nul ...................................................................................................................................................... 13

1.7.2.5.

Produit scalaire de deux torseurs ..................................................................................................................... 13

1.8.

DERIVATION D'UN VECTEUR PAR UN OPERATEUR DONNE ............................................................................... 13

1.9.

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 14

STATIQUE ............................................................................................................................................................ 17 2.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 17

2.2.

NOTIONS FONDAMENTALES DE LA STATIQUE ................................................................................................. 17

2.2.1.

Point matériel ........................................................................................................................................... 17

2.2.2.

Corps solide parfait .................................................................................................................................. 17

2.2.3.

Force ........................................................................................................................................................ 17

2.2.4.

Moment d’une force par rapport à un point ............................................................................................. 18

2.3.

TORSEURS DES FORCES EXTERIEURES ............................................................................................................ 19

2.4.

CONDITION D’EQUILIBRE STATIQUE ............................................................................................................... 20

2.4.1.

Cas Général .............................................................................................................................................. 20

2.4.2.

Condition d’équilibre analytique.............................................................................................................. 20

2.5.

LES LIAISONS ET LES REACTIONS.................................................................................................................... 21

2.5.1.

Définition .................................................................................................................................................. 21

2.5.2.

Axiome des liaisons .................................................................................................................................. 21

2.5.3.

Différents types des liaisons et de réactions ............................................................................................. 22

2.6.

QUELQUES OPERATIONS SUR LES FORCES....................................................................................................... 23

2.6.1.

Résultante de deux forces concourantes ................................................................................................... 23

2.6.2.

Résultante de plusieurs forces concourantes ............................................................................................ 24

2.6.2.1.

Méthode du parallélogramme des forces ......................................................................................................... 24

2.6.2.2.

Règle du polygone des forces .......................................................................................................................... 24

2.6.2.3.

Condition d’équilibre géométrique.................................................................................................................. 25

2.6.3.

2.6.3.1.

Décomposition suivant deux directions........................................................................................................... 25

2.6.3.2.

Décomposition suivant trois directions ........................................................................................................... 26

2.6.3.3.

Décomposition d'une force si un point de la ligne d’action est connu ............................................................. 27

2.6.4.

Décomposition analytique d’une force ..................................................................................................... 28

2.6.5.

Cas général du moment d’une force ......................................................................................................... 28

2.6.5.1.

Moment d’une force par rapport à un axe ....................................................................................................... 28

2.6.5.2.

Théorème de VARIGNON .............................................................................................................................. 30

2.7.

ÉQUILIBRE DES SOLIDES EN PRESENCE DU FROTTEMENT ................................................................................ 30

2.7.1.

Frottement de glissement .......................................................................................................................... 30

2.7.1.1.

Force de frottement statique ............................................................................................................................ 31

2.7.1.2.

Force de frottement cinématique ..................................................................................................................... 31

2.7.2.

Angle de frottement................................................................................................................................... 32

2.7.3.

Frottement de roulement .......................................................................................................................... 32

2.7.4.

Frottement d’un câble sur une poulie....................................................................................................... 34

2.8. 3.

Décomposition géométrique d’une force .................................................................................................. 25

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 34

GEOMETRIE DES MASSES .............................................................................................................................. 37 3.1

INTRODUCTION ................................................................................................................................................... 37

3.2

MASSE D’UN SYSTEME MATERIEL ....................................................................................................................... 37

3.2.1

Système discret ......................................................................................................................................... 37

3.2.2

Système continu ........................................................................................................................................ 37

3.3

CENTRE D’INERTIE .............................................................................................................................................. 38

3.3.1

Définition .................................................................................................................................................. 38

3.3.2

Symétries matérielles ................................................................................................................................ 38

3.3.3

Théorèmes de Guldin ................................................................................................................................ 38

3.4

3.3.3.1.

Centre d'inertie d'une courbe plane.................................................................................................................. 38

3.3.3.2.

Centre d'inertie d'une surface plane ................................................................................................................. 39

MOMENT D’INERTIE, OPERATEUR D’INERTIE ....................................................................................................... 40

3.4.1

Définition .................................................................................................................................................. 40

3.4.2

Matrice d’inertie ....................................................................................................................................... 40

3.4.3.

Cas particuliers ........................................................................................................................................ 41

3.4.2.1

Le système présente certains plans de symétrie .................................................................................................... 41

3.4.2.2

Le système est un corps de révolution autour de l'axe Oz .................................................................................... 42

3.4.4.

Axes principaux d’inertie.......................................................................................................................... 42

3.4.5.

Théorème de Huygens .............................................................................................................................. 42

3.4.6.

Moment d’inertie par rapport à une droite quelconque ∆ ........................................................................ 44

3.4.7.

4.

Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires ................................................................ 44

3.5

CENTRES ET MATRICES D’INERTIE POUR QUELQUES SOLIDES .............................................................................. 45

3.6

EXERCICES.......................................................................................................................................................... 47

CINEMATIQUE ................................................................................................................................................... 49 4.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 49

4.2.

CINEMATIQUE DU POINT................................................................................................................................. 49

4.2.1.

Trajectoire ................................................................................................................................................ 49

4.2.2.

Vecteur vitesse .......................................................................................................................................... 49

4.2.3.

Vecteur accélération ................................................................................................................................. 50

4.3.

CINEMATIQUE DU SOLIDE............................................................................................................................... 50

4.3.1.

Définitions ................................................................................................................................................ 50

4.3.1.1.

Notion d'un solide parfait ................................................................................................................................ 50

4.3.1.2.

Mouvement de translation d’un solide ............................................................................................................ 50

4.3.1.3.

Mouvement de rotation d’un solide ................................................................................................................. 50

4.3.2.

Repérage d’un solide ................................................................................................................................ 50

4.3.3.

Matrice de passage de 𝑹 à 𝑹𝒐 ................................................................................................................. 51

4.3.3.1.

Angle de précession ........................................................................................................................................ 51

4.3.3.2.

Angle de nutation ............................................................................................................................................ 52

4.3.3.3.

Angle de rotation propre.................................................................................................................................. 53

4.3.4.

Torseur cinématique – distribution des vitesses ....................................................................................... 54

4.3.5.

Champ des accélérations d'un solide ....................................................................................................... 55

4.3.6.

Axe instantané de rotation ........................................................................................................................ 56

4.3.7.

Cas particulier de mouvements ................................................................................................................ 56

4.3.7.1.

Mouvement de translation ............................................................................................................................... 56

4.3.7.2.

Mouvement de rotation autour d'un axe .......................................................................................................... 57

4.3.7.3.

Mouvement hélicoïdal ..................................................................................................................................... 58

4.4.

COMPOSITION DE MOUVEMENTS......................................................................................................... 58

4.4.1.

Dérivation composée ................................................................................................................................ 58

4.4.2.

Composition de vitesses ............................................................................................................................ 59

4.4.3.

Composition des taux de rotation instatanés ............................................................................................ 60

4.4.4.

Composition d’accélérations .................................................................................................................... 61

4.5. 4.5.1.

LES LIAISONS ................................................................................................................................................. 62 Définitions ................................................................................................................................................ 62

4.5.2.

4.5.2.1.

Vitesse de glissement ...................................................................................................................................... 63

4.5.2.2.

Plan tangent ..................................................................................................................................................... 63

4.5.2.3.

Roulement sans glissement ............................................................................................................................. 63

4.5.2.4.

Roulement et pivotement................................................................................................................................. 63

4.6.

MOUVEMENT PLAN SUR PLAN .............................................................................................................. 64

4.6.1.

Définition .................................................................................................................................................. 64

4.6.2.

Centre instantané de rotation ................................................................................................................... 64

4.6.3.

Base et roulante ........................................................................................................................................ 64

4.7. 5.

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 65

CINETIQUE ......................................................................................................................................................... 67 5.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 67

5.2.

GRANDEURS ASSOCIEES AUX VITESSES .......................................................................................................... 67

5.2.1.

Quantité de mouvement, moment cinétique .............................................................................................. 67

5.2.1.1.

Point matériel .................................................................................................................................................. 67

5.2.1.2.

Ensemble de points matériels .......................................................................................................................... 67

5.2.1.3.

Système matériel continu ................................................................................................................................ 67

5.2.2.

Torseur cinétique ...................................................................................................................................... 67

5.2.2.1.

Définition ........................................................................................................................................................ 67

5.2.2.2.

Calcul de la résultante ..................................................................................................................................... 68

5.2.2.3.

Théorème de Koenig relatif au moment cinétique........................................................................................... 68

5.2.2.4.

Moment cinétique d'un solide indéformable en G (centre d'inertie) ................................................................ 69

5.2.2.5.

Moment cinétique d'un solide indéformable en un point de vitesse nulle ....................................................... 70

5.2.3.

Energie cinétique ...................................................................................................................................... 70

5.2.3.1.

Définition ........................................................................................................................................................ 70

5.2.3.2.

Théorème de Koenig relatif à l'énergie cinétique ............................................................................................ 70

5.2.3.3.

L'énergie cinétique d'un solide indéformable .................................................................................................. 71

5.3.

GRANDEURS ASSOCIEES AUX ACCELERATIONS .............................................................................................. 72

5.3.1.

Torseur dynamique ................................................................................................................................... 72

5.3.1.1.

Définition ........................................................................................................................................................ 72

5.3.1.2.

Calcul de la résultante dynamique ................................................................................................................... 72

5.3.1.3.

Théorème de Koenig relatif au moment dynamique ....................................................................................... 73

5.3.1.4.

Calcul du moment dynamique ......................................................................................................................... 73

5.4. 6.

Solides en contact ponctuel ...................................................................................................................... 62

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 74

DYNAMIQUE ....................................................................................................................................................... 77 6.1.

INTRODUCTION .............................................................................................................................................. 77

6.2.

TORSEUR D’ACTION ....................................................................................................................................... 77

6.3.

PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE ................................................................................................. 77

6.3.1.

Rappel de la dynamique des particules .................................................................................................... 77

6.3.1.1.

Première loi de Newton ................................................................................................................................... 78

6.3.1.2.

Deuxième loi de Newton ................................................................................................................................. 78

6.3.1.3.

6.3.2.

Troisième loi de Newton ................................................................................................................................. 78

Principe fondamental de la dynamique pour un système matériel ........................................................... 79

6.3.2.1.

Théorème de la résultante dynamique ............................................................................................................. 79

6.3.2.2.

Théorème du moment cinétique ou moment dynamique ................................................................................. 79

6.3.2.3.

Solide mobile autour d'un axe fixe 𝚫............................................................................................................... 79

6.4.

ENERGIE CINETIQUE ....................................................................................................................................... 79

6.4.1.

Puissance et travail d'une force................................................................................................................ 79

6.4.2.

Cas des solides indéformables .................................................................................................................. 80

6.4.3.

Théorème de l'énergie cinétique ............................................................................................................... 80

6.5.

6.4.3.1.

Cas d'un système discontinu ............................................................................................................................ 80

6.4.3.2.

Cas du solide indéformable (continu).............................................................................................................. 81

6.4.3.3.

Conservation de l'énergie mécanique .............................................................................................................. 81

EXERCICES ..................................................................................................................................................... 81

Introduction La Mécanique Rationnelle est une science située à la frontière entre les mathématiques et la physique. Elle permet d’étudier et d’effectuer des prédictions dans l'étude de l'état de repos ou de mouvement des corps sous l'action des forces auxquelles ils sont soumis. Dans ce cours, on décrit les grands principes de la mécanique classique en restreignant volontairement les applications aux seuls solides indéformables ou des systèmes articulés de solides indéformables qui constituent dans un grand nombre de situations une modélisation satisfaisante de systèmes réels. La théorie générale s’articule autour des concepts d’espace ou se déroulent les phénomènes étudiés, de temps pour décrire l’évolution des positions occupées par la matière, de masse et d’effort causes de mouvements ou de déformation des systèmes matériel. La mécanique rationnelle se divise en trois grandes parties. La statique qui est l’étude de l’équilibre des systèmes matériels, La cinématique qui est l’étude des mouvements en fonction du temps, indépendamment des causes qui les provoquent et enfin la dynamique qui se propose d’étudier le mouvement des corps matériels en liaison avec les forces qui s’exercent sur les corps. Pour une modélisation complète d’un problème de mécanique, il est important de définir précisément le système, ou la partie du système, étudié et les inconnues du problème avant d’appliquer les théorèmes fondamentaux issus du principe fondamental de la dynamique.

Chapitre I OUTILS MATHEMATIQUES

8

1. OUTILS MATHEMATIQUES La modélisation de l’espace physique qui, dans le cadre de la mécanique classique, peut être considéré comme étant à trois dimensions, homogène et isotrope, suppose l’introduction de concepts et formules mathématiques tel que les vecteurs et les torseurs. L’utilisation des torseurs en mécanique permet de simplifier l’écriture et clarifier la présentation des grandeurs mécaniques fondamentales.

1.1.

Vecteur libre

L’espace physique ou se meuvent les systèmes matériels est représenté par l’espace métrique tridimensionnel de la géométrie classique d’Euclide qu’on notera E3 .

Les éléments de E3 sont des points dont des quantités de matière petites leur sont associées. A un couple ordonné de points (P, Q) de E3 , correspond un élément v �⃗ d’un espace vectoriel Euclidien : (𝑃, 𝑄) → 𝑣⃗ = �����⃗ 𝑃𝑄

(1.1)

Cette application a les propriétés suivantes : �

�����⃗ = −𝑄𝑃 �����⃗ 𝑃𝑄 �����⃗ 𝑃𝑄 = ������⃗ 𝑃𝑀 + ������⃗ 𝑀𝑄

(1.2)

Il existe une infinité de points (P, Q) correspondant au même vecteur. Ces vecteurs sont appelés vecteurs libres.

1.2.

Produit scalaire

Pour un couple (v �⃗1 , v �⃗2 ) de vecteurs de E3 , on peut correspondre un nombre réel appelé produit �⃗1 par �v⃗2 et noté v �⃗1 ∙ v �⃗2 . Il s’écrit : scalaire de v -

1.3.

𝑣⃗1 ∙ 𝑣⃗2 = ‖𝑣⃗1 ‖ ∙ ‖𝑣⃗2 ‖ ∙ cos(𝑣⃗1 , 𝑣⃗2 )

(1.3)

On note 𝑣⃗ 2 = 𝑣⃗ ∙ 𝑣⃗ et on appelle ‖𝑣⃗‖ module de 𝑣⃗. Un vecteur est unitaire si son module est égal à 1. Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul

Base

On appelle base de E3 un ensemble de trois vecteurs u �⃗1 , u �⃗2 , u �⃗3 tels que tout vecteur v �⃗ de E3 soit d’une manière et une seule une combinaison linéaire de u �⃗1, u �⃗2, u �⃗3 . La base (u �⃗1 , u �⃗2 , u �⃗3 ) est orthonormée si et seulement si �u⃗i ∙ u �⃗j = δij (δ est le delta de Kronecker). Pour une base orthonormée de E3 on peut écrire ∀ v �⃗ ∈ E3 :

3

𝑣⃗ = 𝑣1 𝑢 �⃗1 + 𝑣2 𝑢 �⃗2 + 𝑣3 𝑢 �⃗3 = � 𝑣𝑖 𝑢 �⃗𝑖

(1.4)

𝑖=1

9

On dit que v1 , v2 , v3 sont les composantes de v �⃗ dans la base orthonormée (u �⃗1 , u �⃗2 , u �⃗3 ). Les ) (u vecteurs �⃗1 , u �⃗2 , u �⃗3 constituent une base orthonormée ; v1 , v2 , v3 sont les projections orthogonales de �v⃗ sur les trois vecteurs de base : 𝑣𝑖 = 𝑣⃗ ∙ 𝑒⃗𝑖 = ‖𝑣⃗‖ ∙ cos(𝑣⃗, 𝑒⃗𝑖 )

1.4.

(1.5)

Changement de base orthonormée

Tout vecteur d’une base peut être exprimé dans une autre base et réciproquement : {𝑣⃗ ′ } = [𝛼]{𝑣⃗}

Ou :

𝑣⃗1′ = 𝛼11 𝑣⃗1 + 𝛼12 𝑣⃗2 + 𝛼13 𝑣⃗3 �𝑣⃗2′ = 𝛼21 𝑣⃗1 + 𝛼22 𝑣⃗2 + 𝛼23 𝑣⃗3 𝑣⃗3′ = 𝛼31 𝑣⃗1 + 𝛼32 𝑣⃗2 + 𝛼33 𝑣⃗3

(1.6)

(1.7)

Où �v⃗i ∙ v �⃗j′ = αij sont les cosinus directeurs de {v �⃗ ′ } dans {v �⃗} et [α] est la matrice des cosinus ′ directeurs de {v �⃗ } dans {v �⃗}.

1.5.

Produit vectoriel

1.5.1. Définition Soient v �⃗, �w ��⃗, x�⃗ trois vecteurs quelconques de l’espace vectoriel à trois dimensions qui sont rapportés à une base (u �⃗1 , u �⃗2 , u �⃗3 ) orthonormée et directe. Le produit vectoriel �v⃗ ∧ �w ��⃗ s’écrit :

-

𝑣2 𝑤3 − 𝑣3 𝑤2 𝑣⃗1 𝑤 ��⃗1 𝑣⃗ ∧ 𝑤 ��⃗ = �𝑣⃗2 � ∧ �𝑤 ��⃗2 � = �𝑣3 𝑤1 − 𝑣1 𝑤3 � 𝑣1 𝑤2 − 𝑣2 𝑤1 𝑣⃗3 𝑤 ��⃗3

(1.8)

Notons que si 𝑣⃗ ∧ 𝑤 ��⃗ = 𝑥⃗, on aura 𝑣⃗ ⊥ 𝑥⃗ et 𝑤 ��⃗ ⊥ 𝑥⃗ Le produit vectoriel est anticommutatif : 𝑣⃗ ∧ 𝑤 ��⃗ = −𝑤 ��⃗ ∧ 𝑣⃗ Le produit vectoriel est déterminé autrement : 𝑣⃗ ∧ 𝑤 ��⃗ = (‖𝑣⃗‖ ∙ ‖𝑤 ��⃗‖ ∙ sin(𝑣⃗, 𝑤 ��⃗)) ∙ 𝑢 �⃗

(1.9)

�⃗ étant le vecteur unitaire du produit vectoriel �v⃗ ∧ �w u �⃗ dirigé perpendiculairement à v �⃗ et �w �⃗.

1.5.2. Double produit vectoriel

Le double produit vectoriel de trois vecteurs v �⃗ ∧ (w ��⃗ ∧ �x⃗) est exprimé par la relation suivante : 1.5.3. Produit mixte

𝑣⃗ ∧ (𝑤 ��⃗ ∧ 𝑥⃗) = (𝑥⃗ ∙ 𝑣⃗) ∙ 𝑤 ��⃗ − (𝑤 ��⃗ ∙ 𝑣⃗) ∙ 𝑥⃗

(1.10)

Le produit mixte de trois vecteurs est écrit par v �⃗ ∙ (w ��⃗ ∧ �x⃗), on peut l’exprimer par : 10

1.5.4. Division vectorielle

𝑣⃗ ∙ (𝑤 ��⃗ ∧ 𝑥⃗) = 𝑥⃗ ∙ (𝑣⃗ ∧ 𝑤 ��⃗) = 𝑤 ��⃗ ∙ (𝑥⃗ ∧ 𝑣⃗)

(1.11)

���⃗ w

Si x�⃗ ∧ v �⃗ = �w ��⃗, on dit que �x⃗ est le résultat de la division vectorielle �w ��⃗ par v �⃗ ( v�⃗ ). S’il existe un réel positif λ, le résultat de la division s’écrit :

1.6.

𝑥⃗ =

𝑣⃗ ∧ 𝑤 ��⃗ + 𝜆𝑣⃗ ‖𝑣⃗‖2

(1.12)

Vecteur lié et Système Vectoriel

1.6.1. Vecteur lié Un vecteur lié est un objet géométrique caractérisé par un vecteur libre �v⃗ et un point P : (P, v �⃗).

La droite issue de P ayant v �⃗ pour vecteur directeur est le support du vecteur lié (P, v �⃗). Cette droite est aussi appelée axe Pv �⃗. En mécanique, les forces sont des exemples de vecteurs liés.

1.6.2. Moment d’un vecteur lié Le moment d’un vecteur lié (P, �v⃗) par rapport à un point O est exprimé par : ��⃗𝑜 (𝑃, 𝑣⃗) = �����⃗ 𝑀 𝑂𝑃 ∧ 𝑣⃗

(1.13)

���⃗o (P, v M �⃗) est un vecteur libre fonction du point O.

Le moment d’un vecteur lié (P, �v⃗) par rapport à un axe (Δ) est : ��⃗Δ (𝑃, 𝑣⃗) = �𝑀 ��⃗𝑜 (𝑃, 𝑣⃗)� 𝑢 𝑀 �⃗

(1.14)

O est un point quelconque de l’axe (Δ) et �u⃗ est le vecteur directeur de l’axe (Δ).

1.6.3. Système vectoriel

Un système vectoriel (S) est un ensemble de n vecteurs liés. On écrit symboliquement : (𝑆) = �(𝑃𝑖 , 𝑣⃗𝑖 )

(1.15)

𝑖

Un tel système n’admet de somme géométrique que si les vecteurs sont concourants. En effet, l’addition (P1 , v �⃗1 ) + (P2 , v �⃗2 ) + ⋯ n’a pas de sens. Par définition, on appelle résultante (ou somme) de (S) le vecteur libre �R⃗ tel que : 𝑅�⃗ = 𝑣⃗1 + 𝑣⃗2 + 𝑣⃗3 + ⋯ + 𝑣⃗𝑛 = � 𝑣⃗𝑖

(1.16)

𝑖=1

11

1.6.4. Moment d’un système vectoriel Le moment d’un système vectoriel (S) par rapport à un point O est le vecteur libre fonction du point O : ��⃗𝑜 = � �����⃗ 𝑀 𝑂𝑃𝑖 ∧ 𝑣⃗𝑖

(1.17)

��⃗𝑜′ (𝑆) = 𝑀 ��⃗𝑜 (𝑆) + �������⃗ 𝑀 𝑂′ 𝑂 ∧ 𝑅�⃗ (𝑆)

(1.18)

𝑖

On démontre que, lors d’un changement d’origine, on a la relation :

Cette relation définit un champ de vecteurs dit champ de moment ou champ de vecteurs antisymétrique.

1.7.

Torseur

1.7.1. Définition Le torseur est une grandeur mathématique très utilisée en mécanique. Le torseur [τ] d’un système vectoriel (S), est formé : -

de sa résultante 𝑅�⃗ (vecteur libre) ��⃗ fonction du point, appelé moment. d’un champ antisymétrique 𝑀

Sa représentation en un point O est notée :

[𝜏]𝑜 = �

𝑅�⃗ � ��⃗𝑜 𝑀

(1.19)

Quelque soit le point d’application, la résultante du torseur ne varie pas. Cependant, le moment dépend du point auquel il est exprimé. La propriété la plus importante des torseurs est la règle de transport des moments (ou distribution des moments) qui caractérise un champ des vecteurs antisymétrique. 1.7.2. Propriété des torseurs Soit :

Et :

[𝜏]𝑜1 = �

On a alors les propriétés suivantes :

[𝜏]𝑜2 = �

𝑅�⃗1 � ��⃗𝑜1 𝑀 𝑅�⃗2 � ��⃗𝑜2 𝑀

(1.20)

(1.21)

1.7.2.1. Égalité Deux torseurs sont égaux si :

12

��⃗𝑜1 = 𝑀 ��⃗𝑜2 [𝜏]𝑜1 = [𝜏]𝑜2 ⟺ 𝑅�⃗1 = 𝑅�⃗2 et 𝑀

1.7.2.2. Somme

(1.22)

La résultante et le moment de la somme de deux torseurs sont respectivement la somme des deux résultantes et la somme des deux moments (exprimés en même point). ��⃗𝑜 = 𝑀 ��⃗𝑜1 + 𝑀 ��⃗𝑜2 [𝜏]𝑜 = [𝜏]𝑜1 + [𝜏]𝑜2 ⟺ 𝑅�⃗ = 𝑅�⃗1 + 𝑅�⃗2 et 𝑀

(1.23)

1.7.2.3. Multiplication par un scalaire

La multiplication d’un torseur par un scalaire est égale à : 𝜆[𝜏]𝑜 = �

1.7.2.4. Torseur nul

𝜆𝑅�⃗ � ��⃗𝑜 𝜆𝑀

(1.24)

Un torseur est nul si et seulement si sa résultante et son moment sont nuls. ��⃗𝑜 = �0⃗ [𝜏]𝑜 = 0 ⟺ 𝑅�⃗ = �0⃗ et 𝑀

(1.25)

1.7.2.5. Produit scalaire de deux torseurs

Le produit scalaire de deux torseurs [τ]A et [τ]B est donné par :

1.8.

[𝜏]𝐴 ∙ [𝜏]𝐵 = �

𝑅�⃗𝐴 𝑅�⃗ ��⃗𝐵 + 𝑅�⃗𝐵 𝑀 ��⃗𝐴 � ∙ � 𝐵 � = 𝑅�⃗𝐴 ∙ 𝑀 ��⃗𝐴 ��⃗𝐵 𝑀 𝑀

(1.26)

Dérivation d'un vecteur par un opérateur donné

Soit la fonction variable en fonction du temps : ���⃗ (𝑡) = 𝑥𝑜 (𝑡)𝑥⃗𝑜 + 𝑦𝑜 (𝑡)𝑦⃗𝑜 + 𝑧𝑜 (𝑡)𝑧⃗𝑜 𝑊

(1.27)

exprimée dans le repère fixe R o (O, x�⃗o , y �⃗o , z⃗ o ). -

la dérivée de cette fonction vectorielle dans le temps est :

-

���⃗ (𝑡) 𝑑𝑊 (1.28) ���⃗ ′ (𝑡) =𝑊 𝑑𝑡 la dérivée du produit d’une fonction variable et une fonction vectorielle dans le temps 𝑡 est :

-

-

���⃗ � 𝑑𝑓 ���⃗ 𝑑�𝑓𝑊 𝑑𝑊 ���⃗ + 𝑓 = 𝑊 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 la dérivée du produit scalaire de deux fonctions vectorielles dans le temps 𝑡 est : �⃗ ∙ 𝑉 �⃗ � 𝑑𝑈 �⃗ �⃗ 𝑑�𝑈 𝑑𝑉 �⃗ + 𝑈 �⃗ = 𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 la dérivée du produit vectorielle de deux fonctions dans le temps 𝑡 est :

(1.29)

(1.30)

13

-

-

�⃗ ∧ 𝑉 �⃗ � 𝑑𝑈 �⃗ �⃗ 𝑑�𝑈 𝑑𝑉 (1.31) �⃗ + 𝑈 �⃗ ∧ = ∧𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ���⃗ (𝑡) exprimée dans 𝑅𝑜 (𝑂, 𝑥⃗𝑜 , 𝑦⃗𝑜 , 𝑧⃗𝑜 ) est : La dérivée par rapport au repère fixe 𝑅𝑜 de 𝑊 ���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅𝑜 𝑊 (1.32) = 𝑥̇ 𝑜 (𝑡)𝑥⃗𝑜 + 𝑦̇𝑜 (𝑡)𝑦⃗𝑜 + 𝑧̇𝑜 (𝑡)𝑧⃗𝑜 𝑑𝑡 ���⃗(t) La dérivée par rapport au repère fixe R o (O, x�⃗ o , y �⃗o , z⃗ o ) d’une fonction vectorielle W exprimée dans le repère mobile 𝑅(𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) tels que : ���⃗ (𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑥⃗ + 𝑦(𝑡)𝑦⃗ + 𝑧(𝑡)𝑧⃗ 𝑊

(1.33)

En appliquant les règles de dérivation d'un vecteur :

���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅𝑜 𝑊 𝑑 𝑅𝑜 𝑥⃗ 𝑑 𝑅𝑜 𝑦⃗ 𝑑 𝑅𝑜 𝑧⃗ = 𝑥̇ (𝑡)𝑥⃗ + 𝑦̇ (𝑡)𝑦⃗ + 𝑧̇ (𝑡)𝑧⃗ + 𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 D'après la formule de la base mobile :

��⃗R/R Le vecteur Ω o repère 𝑅𝑜 .

1.9.

(1.34)

𝑑 𝑅𝑜 𝑥⃗ ��⃗R/R ∧ 𝑥⃗ (1.35) =Ω o 𝑑𝑡 𝑑𝑅𝑜 𝑦⃗ �⃗R/R ∧ 𝑦⃗ (1.36) = �Ω o 𝑑𝑡 𝑑 𝑅𝑜 𝑧⃗ ��⃗R/R ∧ 𝑧⃗ (1.37) =Ω o 𝑑𝑡 est appelé vecteur taux de rotation du repère 𝑅(𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) par rapport au

���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅 𝑊 ���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅𝑜 𝑊 𝑑 𝑅𝑜 𝑥⃗ 𝑑 𝑅𝑜 𝑦⃗ 𝑑 𝑅𝑜 𝑧⃗ (1.38) = + 𝑥(𝑡) + 𝑦(𝑡) + 𝑧(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅 𝑊 ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅𝑜 𝑊 ��⃗R/R ∧ 𝑥⃗� + 𝑦(𝑡)�Ω ��⃗R/R ∧ 𝑦⃗� = + 𝑥(𝑡)�Ω o o (1.39) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 � �⃗ + 𝑧(𝑡)�ΩR/Ro ∧ 𝑧⃗� ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅 𝑊 ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅𝑜 𝑊 (1.40) �⃗R/R ∧ (𝑥(𝑡)𝑥⃗ + 𝑦(𝑡)𝑦⃗ + 𝑧(𝑡)𝑧⃗) = + �Ω o 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅 𝑊 ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅𝑜 𝑊 (1.41) ��⃗R/R ∧ 𝑊 ���⃗ (𝑡) = +Ω o 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ���⃗ (𝑡) exprimée dans le repère mobile 𝑅(𝑂, 𝑥⃗, 𝑦⃗, 𝑧⃗) C’est la dérivée de la fonction vectorielle 𝑊 par rapport au repère fixe 𝑅𝑜 (𝑂, 𝑥⃗𝑜 , 𝑦⃗𝑜 , 𝑧⃗𝑜 ).

Exercices

A. Deux points A et B ont pour coordonnées cartésiennes dans l’espace : A(2,3, −3) et B(5,7,2). Déterminer les composantes du vecteur �����⃗ AB ainsi que son module, sa direction et son sens. �⃗1 et F �⃗2 est égale à 50N et fait un angle de 30° avec la force B. La résultante de deux forces F �⃗2 et l’angle entre les deux forces. F1 = 15N. Trouver le module de la force F �⃗ et U �⃗ ��⃗1 = A1⃗ı + A2⃗ȷ + A3 k �⃗2 = B1⃗ı + B2⃗ȷ + B3 k C. Soient les vecteurs suivants : U 14

-

�⃗1 ∙ 𝑈 �⃗2 , 𝑈 �⃗1 ∙ 𝑈 �⃗1 et 𝑈 �⃗2 ∙ 𝑈 �⃗2 Calculer les produit scalaires : 𝑈

�⃗ , 𝑉 �⃗ et 𝑉 �⃗ �⃗1 = 2𝚤⃗ − 𝚥⃗ + 5𝑘 �⃗2 = −3𝚤⃗ + 1.5𝚥⃗ − 7.5𝑘 �⃗3 = −5𝚤⃗ + 4𝚥⃗ + 𝑘 On donne : 𝑉

�⃗1 ∙ 𝑉 �⃗2 et 𝑉 �⃗1 ∧ 𝑉 �⃗2. Calculer 𝑉 Sans faire de représentation graphique que peut-on dire du sens et de la direction du �⃗2 par rapport à 𝑉 �⃗1. vecteur 𝑉 �⃗1 ∙ �𝑉 �⃗2 ∧ 𝑉 �⃗3 � et 𝑉 �⃗1 ∧ �𝑉 �⃗2 ∧ 𝑉 �⃗3 �. - Calculer les produits suivant : 𝑉 �⃗2 et 𝑉 �⃗3. - Déterminer la surface du triangle formé par les vecteurs 𝑉 �⃗, �V⃗ = 8ı⃗ + yȷ⃗ + zk �⃗, �P⃗ = 3ı⃗ − 4ȷ⃗ + 2k �⃗, �Q⃗ = −2ı⃗ + yȷ⃗ + ��⃗ = 2ı⃗ + 6k D. Soient les vecteurs : U �⃗. 12k �⃗ et 𝑉 �⃗ soient colinéaires. - Déterminer 𝑦 et 𝑧 pour que les vecteurs 𝑈 �⃗ soient perpendiculaires. - Déterminer la valeur de 𝑦 pour que les vecteurs 𝑃�⃗ et 𝑄 E. Trouver le volume d’un parallélépipède dont les cotés sont les vecteurs �U⃗, �V⃗ et �Q⃗ tel que : �⃗ et 𝑄 �⃗ . �⃗ = 𝚤⃗ + 4𝚥⃗ − 2𝑘 �⃗ = 2𝚤⃗ + 6𝚥⃗, 𝑃�⃗ = 3𝚥⃗ + 5𝑘 𝑈 -

15

Chapitre II STATIQUE

16

2. STATIQUE 2.1.

Introduction

La statique est l’étude de l’équilibre des systèmes matériels, c’est-à-dire l’étude mécanique des systèmes au repos. Un système matériel peut se déplacer globalement ou se déformer sous l’action de causes extérieures. On nomme ces causes diverses : forces extérieures. Tout système matériel est toujours soumis à des forces extérieures. Il est cependant possible, dans des cas particuliers, que l’ensemble de toutes ces actions ait pour résultat une absence de mouvement. La statique étudie ce cas particulier.

2.2.

Notions fondamentales de la statique

2.2.1. Point matériel On appelle point matériel une région de l’espace extrêmement petite dans laquelle est localisée une quantité de matière m que l’on appelle masse. La différence par rapport au point géométrique, réside en le fait que le point matériel est supposé contenir une certaine quantité de matière concentrée. La position du point matériel peut être définie en établissant l’évolution au cours du temps du ������⃗. On peut repérer ce vecteur en utilisant différents systèmes de coordonnées. vecteur position OM 2.2.2. Corps solide parfait

Tout corps physique se présente en mécanique comme un système de points matériels : on entend par-là un ensemble de particules matérielles qui agissent les unes sur les autres conformément au principe d’égalité de l’action et de la réaction. Par corps solide, on entend un corps dont deux points quelconques restent en toutes circonstances séparés par une distance inchangée. Autrement, le corps solide conserve une forme géométrique constante (il reste indéformable) tant dans son ensemble qu’en chacune de ses parties. 2.2.3. Force Quelle que soit leur nature, et quelle que soit la façon dont elles se manifestent (à distance ou au contact de deux corps), les forces (par exemple le poids d’un corps), sont, en physique traditionnelle, des grandeurs vectorielles. La force est définie par : -

La droite d’action (la direction) ; Le sens ; Le point d’application ; L’intensité.

On distingue deux types de forces. Les forces extérieures qui sont exercées par d’autres corps sur le solide, et les forces intérieures qui sont des force d’interaction se développant entre les points matériels du solide et dont leur résultante est nulle.

17

2.2.4. Moment d’une force par rapport à un point Un moment de force (M) est la grandeur physique décrivant la capacité d’une force à mettre en rotation un objet. Il est défini comme le produit de la force par le bras de levier.

Soit une force �F⃗ et un point O. Menons par O un plan contenant �F⃗. Abaissons de O une �⃗. La longueur de la perpendiculaire est le bras perpendiculaire OP sur la direction AB de la force F �⃗ par rapport au point O ; ce point s’appelle pôle. de levier h de la force F ��⃗𝑜 �𝐹⃗ � 𝑀 𝑜

𝑜

ℎ 𝐴

𝑃

𝐹⃗

𝐵

𝐶

ℎ 𝐴

𝑃

𝐹⃗

𝐵

Figure 2.1. Moment d’une force par rapport à un point �⃗ par rapport à O est le produit du module F du vecteur de la force F �⃗ par le bras Le moment de F de levier h, qui peut être affecté de signe positif ou négatif. 𝑀𝑜 �𝐹⃗ � = ±𝐹ℎ

(2.1)

�⃗� > 0 si la force fait tourner le plan dans le sens contraire à celui des aiguilles d’une Mo �F montre. �⃗� < 0 si la force fait tourner le plan dans le sens des aiguilles d’une montre. Mo �F

La valeur absolue du moment d’une force est le double de l’aire du triangle OAB construit sur la force �F⃗ et le pôle O ou l’aire du parallélogramme OABC (Figure 1.2b). Où :

D’où :

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� = 𝐹ℎ = 2𝑆𝑂𝐴𝐵 �𝑀

(2.2)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� = 𝐹ℎ = 𝐹 ∙ 𝑂𝐴 ∙ sin 𝜑 = 𝐹 ∙ 𝑟 ∙ sin 𝜑 = �𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ � �𝑀

(2.3)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� = �𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ � �𝑀

(2.4)

18

���⃗o �F �⃗� est égal en module à l’aire du parallélogramme construit sur les Le vecteur moment M �����⃗ et �F⃗. Il est perpendiculaire au plan de ces deux vecteurs. vecteurs r⃗ où OA

���⃗o �F �⃗� par rapport à un point O est un vecteur lié en O, qui Ainsi, le vecteur moment d’une force M s’écrit : ��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = 𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ 𝑀

(2.5)

Le moment étant un vecteur il doit être donc défini par les mêmes quatre paramètres qu’une force : -

2.3.

Un point d’application (point O) ; Une direction (perpendiculaire au plan OAB) ; Un sens ; Une intensité.

Torseurs des forces extérieures

Les actions mécaniques exercées sur un solide sont rarement modélisable uniquement par une résultante ou par un moment. Elles sont souvent une combinaison des deux. Les torseurs sont des outils de modélisation, analogues aux vecteurs, permettant de représenter ces actions mécaniques. Les efforts appliqués sur un système matériel peuvent être représentés mathématiquement par un torseur, appelé torseur d'action, qui s'écrit en un point O : 𝐹⃗ [𝐹]𝑜 = � � ��⃗𝑜 𝑀

(2.6)

�⃗ représente la résultante des forces extérieures appliquées R �⃗ et M ���⃗o le moment de la force F �⃗ Où F par rapport au point O.

Les efforts extérieurs à un système matériel (S) sont les efforts exercés sur (S) par d'autres ��⃗i , le torseur des efforts systèmes extérieurs. Si (S) est soumis à des forces �F⃗i et des couples �M extérieurs exercés sur (S) en un point O, s'écrit : 𝑅�⃗ = � 𝐹⃗𝑖 𝐹⃗𝑒 [𝐹𝑒 ]𝑜 = � �=� � ��⃗𝑜 (𝐹𝑒 ) 𝑀 ������⃗ ⃗ � 𝑂𝑀𝑖 ∧ 𝐹𝑖

𝐹⃗1

𝐹⃗5

𝐹⃗𝑛

𝑜

𝐹⃗2

𝐹⃗4

𝐹⃗3

⟺

𝑅�⃗

𝑜

(2.7)

��⃗𝑜 �𝐹⃗𝑖 � 𝑀

Figure 2.2. Equivalence des efforts appliqués à un système

19

2.4.

Condition d’équilibre statique

2.4.1. Cas Général Un solide (S) est en équilibre par rapport à un repère fixe (R) si chaque point de (S) reste fixe dans le temps par rapport à (R). En conséquence, le torseur des forces extérieurs est en tout point O, où : 𝑅�⃗ = 𝐹⃗𝑒 �⃗ [𝐹𝑒 ]𝑜 = (0) = � � = �0� ��⃗𝑜 (𝐹𝑒 ) �0⃗ 𝑀

(2.8)

Pour que le système de forces appliquées à un solide soit en équilibre, il faut et il suffit que la résultante générale du système et le moment résultant par rapport à un centre de réduction quelconque soient égaux à zéro, où : ��⃗𝑜 (𝐹𝑖 ) = �0⃗ 𝑅�⃗ = �0⃗, 𝑀

(2.9)

2.4.2. Condition d’équilibre analytique

La condition d’équilibre analytique d’un corps solide est la projection des éléments du torseur des forces extérieurs nulle. Cette projection sur les axes d’un repère orthonormé R(O, x, y, z) permet d’obtenir en général six équations : Trois équations liées à la résultante des forces extérieures : 𝑛

⎧𝑅�⃗ = � 𝐹⃗ = �0⃗ 𝑥 𝑖𝑥 ⎪ 𝑖=1 ⎪ 𝑛 ⎪ � ⃗ �⃗ �⃗ 𝑅 = 0 ⟹ 𝑅𝑦 = � 𝐹⃗𝑖𝑦 = �0⃗ ⎨ 𝑖=1 𝑛 ⎪ ⎪ ⎪ 𝑅�⃗𝑧 = � 𝐹⃗𝑖𝑧 = �⃗ 0 ⎩ 𝑖=1

(2.10)

Et trois équations liées au moment des forces par rapport aux axes du repère : 𝑛

⎧𝑀 ��⃗𝑜𝑥 = � 𝑀 ��⃗𝑖𝑥 �𝐹⃗𝑖 � = �0⃗ ⎪ 𝑖=1 ⎪ 𝑛 ⎪ � ⃗ ��⃗ ⃗ ��⃗ ��⃗𝑖𝑦 �𝐹⃗𝑖 � = �0⃗ 𝑀𝑜 �𝐹𝑖 � = 0 ⟹ 𝑀𝑜𝑦 = � 𝑀 ⎨ 𝑖=1 𝑛 ⎪ ⎪ ��⃗𝑜𝑧 = � 𝑀 ��⃗𝑖𝑧 �𝐹⃗𝑖 � = �⃗ ⎪𝑀 0 ⎩ 𝑖=1

(2.11)

Dans le cas d’un problème plan (par exemple X et Y), on aura trois équations d'équilibre. Deux équations liées à la résultante statique :

20

𝑛

𝑅�⃗ = �0⃗ ⟹

⎧𝑅�⃗ = � 𝐹⃗ = �⃗ 0 𝑖𝑥 ⎪ 𝑥 𝑖=1 𝑛

(2.12)

⎨ ⎪𝑅�⃗𝑦 = � 𝐹⃗𝑖𝑦 = �0⃗ ⎩ 𝑖=1

Et une équation pour le moment des forces par rapport au centre O : ��⃗𝑜 �𝐹⃗𝑖 � = �⃗ 𝑀 0

(2.13)

Dans le cas d'un système de forces concourantes au centre O, le moment sera nul par rapport à O, il reste seulement trois équations pour la projection de la résultante: 𝑛

2.5.

⎧𝑅�⃗ = � 𝐹⃗ = �0⃗ 𝑥 𝑖𝑥 ⎪ 𝑖=1 ⎪ 𝑛 ⎪ 𝑅�⃗ = �0⃗ ⟹ 𝑅�⃗𝑦 = � 𝐹⃗𝑖𝑦 = �0⃗ ⎨ 𝑖=1 𝑛 ⎪ ⎪ ⎪ 𝑅�⃗𝑧 = � 𝐹⃗𝑖𝑧 = �0⃗ ⎩ 𝑖=1

(2.14)

Les liaisons et les réactions

2.5.1. Définition La modélisation des liaisons mécaniques passe par un modèle de référence théorique qui suppose la liaison sans dimension, sans masse, sans frottement, sans jeux, en bref parfaite. Il faut donc que les dimensions de la liaison soient petites devant les dimensions du système mécanique étudié. 2.5.2. Axiome des liaisons Pour tout corps solide lié, il est possible de supprimer les liaisons en les remplaçant par les réactions et de lui considérer comme un corps solide libre soumis à l’action des forces données et des réactions de liaisons. 𝐵 𝑚

𝐴

𝐷

𝐶

𝑅�⃗𝐴𝑥

��⃗𝐴 𝑀

Figure 2.3. Equivalence des liaisons

�⃗𝐵 𝑇

𝑅�⃗𝐶

𝑅�⃗𝐴𝑦

21

2.5.3. Différents types des liaisons et de réactions Les liaisons peuvent être matérialisées soit par des appuis, articulations, encastrements, etc. Dans les cas énumérés sont confectionnées à partir d’un matériau absolument rigide, et que le frottement, aux points de contact avec les solides considérés, est négligeable. Toutes les liaisons que nous décrivons ci-dessous sont supposées parfaites. Chacune est caractérisée par : -

Sa définition mathématique Ses mobilités : mouvements relatifs que la liaison autorise Le torseur des actions de contact de la liaison

Dans le tableau ci-dessous sont représentés quelques types de liaisons : Tableau 2.1. Quelques types de liaisons Liaison

Mobilités

Equivalence

3 Rotations sur 𝑥, 𝑦 et 𝑧 Rotule

Linéaire annulaire

Appui ponctuel

Pivot glissant

Appui linéique

3 Rotations sur 𝑥, 𝑦 et 𝑧 1 Translation suivant 𝑥

3 Rotations sur 𝑥, 𝑦 et 𝑧 2 Translations suivant 𝑥 et 𝑦

1 Rotation sur 𝑥 1 Translation suivant 𝑧

2 Rotations sur 𝑥 et 𝑧 2 Translations suivant 𝑥 et 𝑦

22

1 Rotation sur 𝑧 2 Translations suivant 𝑥 et 𝑦

Appui plan

1 Rotation sur 𝑧

1 Translation suivant 𝑧 Glissière

2.6.

Quelques opérations sur les forces

2.6.1. Résultante de deux forces concourantes Ce sont des forces dont les droites d’action passent par le même point. La résultante de forces concourantes est représentée vectoriellement par la diagonale du parallélogramme construit sur les vecteurs figurant ces forces. �⃗1 et �F⃗2 appliquées à un point O du solide. Pour la détermination de leur Soient deux forces F �⃗2 . Le module et la direction de la résultante �R⃗, on construit un parallélogramme sur �F⃗1 et F �⃗ sont déterminés par la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux forces. résultante R 𝐹⃗1

𝑜

𝜑1 𝜑2

𝑅�⃗

𝜑 𝐹⃗2

Figure 2.4. Parallélogramme de deux forces On écrit :

Et son module s'obtient :

𝑅�⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2

(2.15)

23

Et sa direction se détermine :

�𝑅�⃗ � = �𝐹12 + 𝐹22 − 2𝐹1 𝐹2 cos 𝜑

(2.16)

𝐹1 𝐹2 𝑅 𝑅 = = = sin 𝜑2 sin 𝜑1 sin(𝜋 − 𝜑) sin 𝜑

(2.17)

Les formules précédentes définissent le module, la direction et le sens de la résultante des deux forces appliquées au même point et faisant un angle φ entre elles. 2.6.2. Résultante de plusieurs forces concourantes

2.6.2.1. Méthode du parallélogramme des forces On peut faire la somme de forces concourantes, en faisant leur composition suivant la règle du parallélogramme. Composer les forces �F⃗1 et �F⃗2 , trouver leur résultante �R⃗1 , puis composer cette �⃗3 , construire un parallélogramme sur R �⃗1 et �F⃗3 , trouver la résultante �R⃗ 2 , et ainsi dernière et la force F �⃗. de suite, jusqu'à obtention de la résultante finale R

𝐹⃗3

𝑜

𝐹⃗4 𝐹⃗𝑛

𝐹⃗2

𝐹⃗1

𝑅�⃗3

𝐹⃗3 𝐹⃗4

𝑅�⃗

𝑜

𝐹⃗2

𝑅�⃗2 𝐹⃗1

𝑅�⃗1

𝐹⃗𝑛

Figure 2.5. Parallélogramme des forces

2.6.2.2. Règle du polygone des forces Pour la construction du polygone des forces, on respecte le sens et la direction de chaque force. �⃗3 à D’abord, on place l’origine du vecteur �F⃗2 à l’extrémité B de �F⃗1 . puis de placer l’origine F �⃗2 , etc…En joignant le point A d’application des forces et l’extrémité de F �⃗n , on l’extrémité C de F �⃗. La méthode porte le nom : La règle du polygone des forces. obtient la résultante R La ligne brisée ABDCEF s’appelle polygone des forces et le segment AF, vecteur fermant le polygone s’appelle la résultante des forces.

24

𝐹⃗4

𝐷

𝐹⃗3 𝑜

𝐹⃗4

𝐹⃗2

𝐹⃗𝑛

𝐹⃗1

𝐹⃗𝑛

𝐸

𝑅�⃗

𝐶

𝐴

𝐹⃗1

𝑜

𝐹⃗3

𝐵

𝐹⃗2

Figure 2.5. Polygone des forces

�⃗ est appliquée en O, et S’il y a n forces �F⃗1 , �F⃗2 , …, �F⃗n concourantes en O, leur résultante unique R vaut la somme géométrique des vecteurs forces : 𝑛

𝑅�⃗ = 𝐹⃗1 + 𝐹⃗2 + ⋯ + 𝐹⃗𝑛 = � 𝐹⃗𝑖

(2.18)

𝑖=1

2.6.2.3. Condition d’équilibre géométrique

Pour que le système de forces concourantes soit en équilibre, il faut et il suffit que le polygone des forces soit fermé. 2.6.3. Décomposition géométrique d’une force 2.6.3.1. Décomposition suivant deux directions Décomposer une force revient à trouver les forces, appelées composantes, qui sont appliquées au même point, et produiront un effet équivalent à celui de la fore décomposée.

𝐴

𝐹⃗

𝐵 (𝑚)

(𝑛)

(𝑛)

𝐶

𝐹⃗𝑛

𝐴

𝐹⃗

𝐵 𝐹⃗𝑚

𝐷

(𝑚)

Figure 2.6. Décomposition d’une force suivant deux directions La décomposition de la force �F⃗ est valable lorsque les directions (m) et (n) des composantes cherchées sont connues. Pour déterminer ces composantes, il suffit de mener par le point �⃗ et par l’extrémité B de �F⃗ deux droites parallèles à (m) et (n) : les d’application A de la force F 25

�⃗ est la diagonale points d’intersections définissent un parallélogramme ADBC dans lequel la force F et les cotés AD et AC sont les composantes �F⃗m et �F⃗n . Soit : 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑚 + 𝐹⃗𝑛

(2.19)

2.6.3.2. Décomposition suivant trois directions On peut décomposer une force d’une façon unique, suivant trois directions arbitraires non parallèles à un plan. La solution conduit à un parallélépipède dont les arêtes ont les directions �⃗ est égale à la données et dont la diagonale AB est constituée par la force décomposée. La force F somme des composantes cherchées et sera écrite : 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑚 + 𝐹⃗𝑛 + 𝐹⃗𝑝

(𝑛) 𝐴

(2.20)

(𝑛)

𝐹⃗

𝐵 (𝑝)

𝐹⃗𝑛

(𝑚)

𝐴

𝐹⃗𝑚

𝐹⃗𝑝

𝐹⃗

𝐵

(𝑝)

(𝑚)

Figure 2.7. Décomposition d’une force suivant trois directions La force �F⃗ fait les angles θx , θy , θz respectivement avec les axes x, y, et z du système de coordonnées cartésiennes orthogonales Oxyz. Pour décomposer �F⃗ suivant les trois axes, �⃗ sera une diagonale. construisons un parallélépipède dans lequel F 𝑧

𝐹⃗𝑧 𝐴

𝜃𝑧 𝐹⃗𝑥

⃗ 𝜃𝑦 𝐹

𝜃𝑥 𝐹⃗𝑦

𝑁(𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧) 𝑦

𝑥

Figure 2.8. Représentation d’une force dans un système cartésien

26

Le vecteur de la force �F⃗ s’écrit :

𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑥 + 𝐹⃗𝑦 + 𝐹⃗𝑧 = 𝐹𝑥 𝑥⃗ + 𝐹𝑦 𝑦⃗ + 𝐹𝑧 𝑧⃗

(2.21)

Tel que Fx , Fy et Fz sont les composantes de la force �F⃗ et dont les modules sont : 𝐹𝑥 = �𝐹⃗ � cos 𝜃𝑥 ; 𝐹𝑦 = �𝐹⃗ � cos 𝜃𝑦 ; 𝐹𝑧 = �𝐹⃗ � cos 𝜃𝑧

(2.22)

D’où le module de la force �F⃗ :

�𝐹⃗ � = �𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦2 + 𝐹𝑧2

(2.23)

Les cosinus directeurs s'obtiennent : cos 𝜃𝑥 =

𝐹𝑦 𝐹𝑥 𝐹𝑧 ; cos 𝜃𝑦 = ; cos 𝜃𝑧 = �𝐹⃗ � �𝐹⃗ � �𝐹⃗ �

�⃗, peut s’exprimer autrement, en utilisant les cosinus directeurs : Le module de la force F �𝐹⃗ � =

𝐹𝑦 𝐹𝑥 𝐹𝑧 = = cos 𝜃𝑥 cos 𝜃𝑦 cos 𝜃𝑧

(2.24)

(2.25)

2.6.3.3. Décomposition d'une force si un point de la ligne d’action est connu Si le point 𝑁 de coordonnées 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 et 𝑑𝑧 appartenant à la ligne d’action de la force 𝐹⃗ est connu. Le vecteur ������⃗ 𝑂𝑁 forme les angles 𝜃𝑥 , 𝜃𝑦 et 𝜃𝑧 avec les axes 𝑥, 𝑦 et 𝑧 et d son module, nous pouvons écrire :

Il vient :

𝑑𝑥 = 𝑑 cos 𝜃𝑥 ; 𝑑𝑦 = 𝑑 cos 𝜃𝑦 ; 𝑑𝑧 = 𝑑 cos 𝜃𝑧

(2.26)

������⃗ � = 𝑑 = �(𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2 + (𝑑𝑧)2 �𝑂𝑁

(2.27)

Comme, on peut l’exprimer par la relation ; en introduisant les cosinus directeurs : 𝑑=

𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧 = = cos 𝜃𝑥 cos 𝜃𝑦 cos 𝜃𝑧

(2.28)

Divisons membre à membre les relations (1.12) et (1.13), nous obtenons : 𝐹𝑦 𝐹 𝐹𝑥 𝐹𝑧 = = = 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑧

(2.29)

27

2.6.4. Décomposition analytique d’une force �⃗ appliquée à l’origine O du système de coordonnées orthogonales x, y, z. Considérons la force F Pour définir la direction de �F⃗, nous traçons le plan vertical OBAC contenant �F⃗, tel qu’indique la figure 1.18a.

Le plan OBAC contient l’axe vertical z, l’orientation de ce plan peut être définie par l’angle φ qu’il forme avec l’axe y dans le plan (x, y), tandis que l’orientation de la force �F⃗ dans le plan OBAC est donnée par l’angle θz qu’elle fait avec l’axe z. 𝑧

𝐵

𝑥

𝑜

𝑧

𝑧

𝜃𝑧

𝐹⃗

𝜑

𝐴 𝐶

𝐵

𝐹⃗𝑧

𝑦 𝑥

𝑜

𝜃𝑧 𝐹⃗ℎ

𝐹⃗

𝜑

𝐴

𝐵

𝑦

𝐶

𝑥

𝐹⃗𝑧 𝐹⃗𝑥

𝑜

𝜃𝑧 𝐹⃗ℎ

𝐹⃗ 𝜑

𝐴

𝐹⃗𝑦

𝑦

𝐶

Figure 2.9. Décomposition analytique d’une force �⃗ en ces composantes F �⃗z et F �⃗h . Cette dernière (Fh ) étant Nous décomposons d’abord la force F contenue en plan (x, y). Les composantes scalaires de �F⃗ sont alors : 𝐹𝑧 = 𝐹 cos 𝜃𝑧 ; 𝐹ℎ = 𝐹 cos 𝜃𝑧

(2.30)

𝐹𝑥 = 𝐹ℎ sin 𝜑 = 𝐹 sin 𝜃𝑧 sin 𝜑

(2.31)

Ensuite, la composante �F⃗h peut se décomposer, en �F⃗x et �F⃗y suivant les directions x et y. nous aurons alors les composantes scalaires :

𝐹𝑦 = 𝐹ℎ cos 𝜑 = 𝐹 sin 𝜃𝑧 cos 𝜑

(2.32)

2.6.5. Cas général du moment d’une force

2.6.5.1. Moment d’une force par rapport à un axe Considérons la force �F⃗ dans le repère (Oxyz) et r⃗ le vecteur de position du point d’application de �⃗ à l’origine O. La force �F⃗ s’écrit : la force F 𝐹⃗ = 𝐹⃗𝑥 + 𝐹⃗𝑦 + 𝐹⃗𝑧 = 𝐹𝑥 𝑥⃗ + 𝐹𝑦 𝑦⃗ + 𝐹𝑧 𝑧⃗

(2.33)

�⃗x , F �⃗y et F �⃗z sont les projections de �F⃗ sur les axes Ox, Oy et Oz. Où F 28

Ainsi le vecteur de position r⃗ dans le même repère s’écrit :

𝑟⃗ = 𝑟⃗𝑥 + 𝑟⃗𝑦 + 𝑟⃗𝑧 = 𝑟𝑥 𝑥⃗ + 𝑟𝑦 𝑦⃗ + 𝑟𝑧 𝑧⃗

(2.34)

Où r⃗x , r⃗y et r⃗z sont les projections de r⃗ sur les axes Ox, Oy et Oz. 𝑧

𝐹⃗𝑧

𝑟⃗𝑧 𝑜

𝑟⃗

𝑟⃗𝑦

𝑟⃗𝑥

𝐴

𝐹⃗𝑥

𝐹⃗𝑦

𝐹⃗

𝑦

𝑥

Figure 2.10. Moment d’une force par rapport à un axe ��⃗o �F �⃗� par rapport au point O s’écrit : Le vecteur moment d’une force �M 𝑥⃗ ��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = 𝑟⃗ ∧ 𝐹⃗ = � 𝑟𝑥 𝑀 𝐹𝑥

Où

𝑦⃗ 𝑟𝑦 𝐹𝑦

𝑧⃗ 𝑟𝑧 � 𝐹𝑧

(2.35)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = �𝑟𝑦 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑦 �𝑥⃗ + (𝑟𝑧 𝐹𝑥 − 𝑟𝑥 𝐹𝑧 )𝑦⃗ + �𝑟𝑥 𝐹𝑦 − 𝑟𝑦 𝐹𝑥 �𝑧⃗ 𝑀

(2.36)

��⃗𝑜 �𝐹⃗ � = 𝑀𝑜𝑥 �𝐹⃗ �𝑥⃗ + 𝑀𝑜𝑦 �𝐹⃗ �𝑦⃗ + 𝑀𝑜𝑧 �𝐹⃗ �𝑧⃗ 𝑀

(2.37)

�⃗�, Moy �F �⃗� et Moz �F �⃗�, sont les moments par rapport Les composantes du vecteur moment Mox �F aux axes Ox, Oy et Oz respectivement dans le point O, et sont exprimés comme suivant : ��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� �𝑀

𝑜𝑥

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� �𝑀

𝑜𝑦

��⃗𝑜 �𝐹⃗ �� �𝑀

𝑜𝑧

= 𝑀𝑜𝑥 �𝐹⃗ � = 𝑟𝑦 𝐹𝑧 − 𝑟𝑧 𝐹𝑦 = 𝑀𝑜𝑦 �𝐹⃗ � = 𝑟𝑧 𝐹𝑥 − 𝑟𝑥 𝐹𝑧

= 𝑀𝑜𝑧 �𝐹⃗ � = 𝑟𝑥 𝐹𝑦 − 𝑟𝑦 𝐹𝑥

(2.38) (2.39) (2.40)

Les cas où le moment d’une force non nulle par rapport à un axe est égal à zéro sont les suivant : -

la direction de la force rencontre l’axe ( h = 0) la force est parallèle à l’axe (la projection de 𝐹⃗ sur un plan h à l’axe sera nulle). 29

2.6.5.2. Théorème de VARIGNON �⃗, le moment de cette résultante par Si un système de forces plan admet une résultante unique R rapport à un point quelconque est égal à la somme algébrique des moments de toutes les forces de ce système par rapport à ce même point. 𝑦

𝑜

𝑅�⃗

𝐹⃗2

ℎ2

ℎ1 ℎ

𝐹⃗1 𝑥

Figure 2.11. Théorème de Varignon

Soit :

2.7.

��⃗𝑜 �𝑅�⃗ � = � 𝑀𝑜 �𝐹⃗𝑖 � 𝑀

(2.41)

��⃗𝑜 �𝑅�⃗ � = 𝑀𝑜 �𝐹⃗1 � + 𝑀𝑜 �𝐹⃗2 � 𝑀

(2.42)

𝑅 ∙ ℎ = 𝐹1 ℎ1 + 𝐹2 ℎ2

(2.43)

Équilibre des solides en présence du frottement

2.7.1. Frottement de glissement On appelle frottement de glissement la résistance qui s’oppose au glissement de deux solides à paroi rugueuse en contact. Soit un solide de poids �P⃗ qui repose sur une surface horizontale. Appliquons à ce solide une force horizontale �T⃗.

�⃗ 𝑁 𝑃�⃗

�⃗ 𝑇

�⃗ 𝑁 𝐹⃗𝑡𝑟

𝑃�⃗

�⃗ 𝑇

𝐹⃗𝑚𝑎𝑥 𝐹⃗𝑡𝑟

Mi − chemin

Mouvement

�⃗1 𝑇 30

Figure 2.12. Frottement d’un solide 1er cas : Surfaces en contact polies �⃗. Dans ce cas, aucune force ne s’oppose à la La force du poids �P⃗ est équilibrée par la réaction �N �⃗. Le solide est en mouvement. force motrice T 2ème cas : Surfaces en contact rugueuses

�⃗ est équilibrée par la réaction N ��⃗. Le solide peut rester au repos, dans ce cas, il La force du poids P existe une autre force qui s’oppose au mouvement du solide de même direction et de sens opposée à �T⃗. On appellera cette force, force de frottement de glissement �F⃗fr . �⃗. Tant que le solide reste au repos, la force F �⃗fr équilibre Augmentons progressivement la force T �⃗, dans ce cas la force �F⃗fr augmente avec elle jusqu’à une valeur à chaque instant la force motrice T �⃗max maximale Fmax (Ffr ≤ Fmax ) où le corps solide est en mouvement. La force maximale F correspond au cas limite de l’équilibre du solide, c’est à dire à l’instant où celui-ci est à mi-chemin (dans la zone de transition) entre le repos et le mouvement.

2.7.1.1. Force de frottement statique La force de frottement de glissement est une force résistante qui agit dans le plan tangent aux deux surfaces de contact dans le sens opposé à la force motrice et de direction parallèle aux surfaces de contact. La force de frottement qui agit lorsque le corps se trouve avant le mouvement (immobile) s’appelle force de frottement de repos ou force de frottement statique.

𝐹⃗𝑚𝑎𝑥 = 𝐹⃗𝑠

�⃗ 𝑁 𝑃�⃗

�⃗ 𝑇

Figure 2.13. Frottement statique D’après la loi d’Amontons – Coulomb, la valeur maximale du module de la force de frottement de repos où statique �F⃗max ou �F⃗s est proportionnelle à la pression normale du solide sur la surface d’appui : �⃗ 𝐹⃗𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑠 𝑁

(2.44)

où fs est le coefficient de frottement de glissement, sans dimension, qui est en fonction des matériaux des surfaces en contact et de l’état de ces surfaces. 2.7.1.2. Force de frottement cinématique

La force de frottement qui agit quand un solide se déplace sur l’autre, est la force de frottement cinématique Fk . Elle est aussi proportionnelle à la réaction normale :

31

�⃗ 𝐹⃗𝑘 = 𝑓𝑘 𝑁

(2.45)

où fk est le coefficient de frottement de glissement en mouvement. Il est fonction de la vitesse de mouvement. Il reste toujours inférieur au coefficient de frottement au repos (fk < fs ). 2.7.2. Angle de frottement 𝑅�⃗

𝛽

�⃗ 𝑁

𝐹⃗𝑡𝑟

𝑃�⃗

𝑅�⃗

�⃗ 𝑇

�⃗ 𝜑>𝛽 𝑁 𝐹⃗𝑚𝑎𝑥

�⃗ 𝑇

𝑃�⃗

Figure 2.14. Angle de frottement �⃗, compte tenue Lorsque le corps solide est au repos, la réaction totale d’une surface rugueuse R du frottement, est déterminée en module et en direction par la diagonale du rectangle formé par la �⃗ et la force de frottement �F⃗fr : réaction normale �N �⃗ + 𝐹⃗𝑓𝑟 𝑅�⃗ = 𝑁

(2.46)

�⃗ du coté opposé à �T⃗. Dans ce cas, plus �T⃗ est grand, plus La direction de �R⃗ fait un angle β avec �N �⃗ s’écarte de la normale. L’écart maximal est constaté lorsque Ffr = Fmax . La valeur la direction de R maximale de l’angle d’écart β s’appelle angle de frottement φ, et est exprimée par : tan 𝜑 =

2.7.3. Frottement de roulement

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑠 ⟹ 𝜑 = arctg𝑓𝑠 𝑁

(2.47)

Par frottement de roulement, on entend la résistance qui a lieu quand un solide roule sur un �⃗, de rayon R, reposant sur une surface horizontale, et autre. Soit un rouleau cylindrique de poids P �⃗. sollicité en son centre de gravité par une force motrice T Sens du mouvement

𝑦

𝑦

𝑜

𝑃�⃗

𝐴

�⃗ 𝑇

𝑥

𝐹⃗𝑓𝑟

Figure 2.15. Frottement de roulement

𝑜

�⃗ 𝑇

𝑃�⃗

𝐴

�⃗ 𝑁

𝑓𝑟

𝑥

𝐶

32

La surface d’appui se déforme sous l’action du poids du rouleau, c'est-à-dire, le point ��⃗ et la force de frottement �F⃗fr se déplace de A vers le point C. Les d’application des réactions N équations d’équilibre du rouleau sont : 𝑛

(2.48)

𝑖=1 𝑛

� 𝐹⃗𝑖𝑦 = �⃗ 0⟹𝑁−𝑃 =0

(2.49)

𝐹𝑓𝑟 = 𝑇 et 𝑁 = 𝑃

(2.50)

𝑚𝑟 = 𝑀𝐴 (𝑁)

(2.51)

� 𝑀𝐴 (𝐹) = 𝑀𝐴 (𝑁) − 𝑇𝑅 = 0

(2.52)

𝑚𝑟 = 𝑇𝑅

(2.53)

(𝑚𝑟 )𝑚𝑎𝑥 = 𝑓𝑟 𝑁

(2.54)

𝑚𝑟 ≤ (𝑚𝑟 )𝑚𝑎𝑥

(2.55)

� 𝐹⃗𝑖𝑥 = �0⃗ ⟹ 𝑇 − 𝐹𝑓𝑟 = 0 𝑖=1

d’où :

Le couple (Ffr , T) tend à mettre le rouleau en mouvement, tandis que le couple (N, P) s’oppose au mouvement et tend à mettre le rouleau au repos. Ce dernier couple s’appelle moment de résistance au roulement, mr , il est égal au moment de la force N par rapport au point A.

d'où :

A l’instant où le solide se met en mouvement, le moment résistant atteint sa valeur maximale. Les expériences montrent que cette valeur est proportionnelle à la réaction normale.

Le coefficient de proportionnalité fr , dit coefficient de frottement de roulement, est mesuré en unité de longueur. Au repos, on a :

𝑇𝑅 ≤ 𝑓𝑟 𝑁

d'où :

f

𝑇≤

𝑓𝑟 𝑁 𝑅

(2.56)

(2.57)

En général Rr est beaucoup plus petit que le coefficient de frottement de glissement fs ; c’est pourquoi, quand le repos est perturbé, le rouleau se met à rouler sur la surface d’appui sans glisser sur cette dernière.

33

2.7.4. Frottement d’un câble sur une poulie 𝛽

Sens du mouvement

𝑟

�⃗2 𝑇

𝑥

𝑜 𝐴

�⃗1 𝑇

Figure 2.16. Frottement d’un câble

La relation qui lie les deux tensions T1 et T2 d’un câble sur une surface cylindrique rugueuse, s’écrit sous la forme : 𝑇1 = 𝑒 𝑓𝑠 𝛽 𝑇2

(2.58)

où β est l’angle d’arc de contact du câble sur la surface cylindrique, fs est le coefficient de frottement statique et T1 est toujours supérieure à T2 (T1 > T2 ) selon le sens du mouvement. La résultante de la force de frottement entre le câble et la surface cylindrique, s’écrit :

2.8.

Exercices

𝐹 = 𝑇1 − 𝑇2

(2.59)

A. Déterminer les tensions des câbles dans les figures suivantes :

B. Une barre homogène pesant 80 N est liée par une articulation cylindrique en son extrémité A à un mur. Elle est retenue sous un angle de 60° avec la verticale par un câble inextensible de masse négligeable à l’autre extrémité B. Le câble fait un angle de 30° avec la barre. Déterminer la tension dans le câble et la réaction au point A.

34

C. On maintient une poutre en équilibre statique à l’aide d’une charge P suspendue à un câble inextensible de masse négligeable, passant par une poulie comme indiqué sur la figure. La poutre a une longueur de 8m et une masse de 50 Kg et fait un angle de 45° avec l’horizontale et 30° avec le câble. Déterminer la tension dans le câble ainsi que la grandeur de la réaction en A ainsi que sa direction par rapport à l’horizontale.

D. La barre AB=L est liée en A par une articulation cylindrique et à son extrémité B, elle repose sur un appui rouleau. Une force de 200 N agit en son milieu sous un angle de 45° dans le plan vertical. La barre a un poids de 50 N. Déterminer les réactions aux extrémités A et B. E. Une échelle de longueur 20 m pesant 400 N est appuyée contre un mur parfaitement lisse en un point situé à 16 m du sol. Son centre de gravité est situé à 1/3 de sa longueur à partir du bas. Un homme pesant 700 N grimpe jusqu’au milieu de l’échelle et s’arrête. On suppose que le sol est rugueux et que le système reste en équilibre statique. Déterminer les réactions aux points de contact de l’échelle avec le mur et le sol. F. On applique trois forces sur une poutre de masse négligeable et encastrée au point A. Déterminer la réaction à l’encastrement.

35

Chapitre III GEOMETRIE DES MASSES

36

3. GEOMETRIE DES MASSES 3.1 Introduction Afin de préparer les concepts cinétiques et dynamiques, on doit étudier la répartition géométrique des masses dans un système matériel. Pour comprendre et décrire le mouvement des systèmes matériel, il est indispensable de connaitre un certain nombre de données sur la répartition des masses des systèmes, notamment la localisation du centre de masses et la détermination des moments d’inertie et produits d’inertie

3.2 Masse d’un système matériel La masse mesure la quantité de matière contenue dans un volume donné. Elle est invariable au cours du temps (en mécanique Newtonienne) et possédant la propriété d’additivité. La masse est une grandeur scalaire positive. Un système matériel est un ensemble discret ou continu de points matériels. 3.2.1

Système discret

La masse d’un système formé de n points matériels de masse mi est la somme des masses : 𝑛

3.2.2

Système continu

𝑚 = � 𝑚𝑖

(3.1)

𝑖=1

La masse d’un système constitué d’un ensemble continu de masses s’écrit sous la forme : On appelle masse d’un système matériel continu, la grandeur scalaire : 𝑚 = � 𝜌(𝑃)𝑑𝑣

(3.2)

𝑣

où dv est un élément de volume et ρ(P) est la masse volumique du corps au point P. Pour un système homogène, la masse volumique est constante et m = ρv. Si le corps (S) a une surface S, le cas d’une plaque par exemple : 𝑚 = � 𝜎(𝑃)𝑑𝑠

(3.3)

𝑠

où ds est un élément de surface et σ(P) est la densité surfacique au point P. Si le corps (S) a une courbe l (le cas d’une ligne matérielle) : 𝑚 = � 𝜆(𝑃)𝑑𝑙

(3.4)

𝑙

où dl est un élément de longueur et λ(P) est la densité linéique au point P.

37

3.3 Centre d’inertie 3.3.1

Définition

On appelle centre d’inertie où centre des masses G du solide le barycentre des différents centres P des éléments de volume dv : � �����⃗ 𝐺𝑃𝑑𝑚(𝑃) = 0

(3.5)

�����⃗𝑑𝑚(𝑃) = � �𝐺𝑂 �����⃗ + 𝑂𝑃 �����⃗�𝑑𝑚(𝑃) = �0⃗ � 𝐺𝑃

(3.6)

𝑣

Si O étant un point arbitraire de l’espace : 𝑣

d’où :

𝑣

�����⃗ 𝑂𝐺 =

1

� �����⃗ 𝑂𝑃𝑑𝑚 =

∫𝑣 𝑑𝑚 𝑣

1 � �����⃗ 𝑂𝑃𝑑𝑚 𝑚

(3.7)

𝑣

Si nous rapportons l’espace à un repère orthonormé R(O, x�⃗, y �⃗, z⃗ ) d’origine O, nous pouvons écrire :

Et :

�����⃗ 𝑂𝐺 = 𝑥𝐺 𝑥⃗ + 𝑦𝐺 𝑦⃗ + 𝑧𝐺 𝑧⃗

(3.8)

�����⃗ 𝑂𝑃 = 𝑥𝑥⃗ + 𝑦𝑦⃗ + 𝑧𝑧⃗

(3.9)

Les coordonnées du centre d’inertie d’un système matériel G sont donc exprimées par :

3.3.2

𝑥𝐺 =

1 1 1 � 𝑥𝑑𝑚 ; 𝑦𝐺 = � 𝑦𝑑𝑚 ; 𝑧𝐺 = � 𝑧𝑑𝑚 𝑚 𝑚 𝑚

Symétries matérielles

𝑣

𝑣

(3.10)

𝑣

Le centre d’inertie d’un système matériel possédant des éléments de symétrie matérielle est situé sur ces éléments de symétrie. Si le système matériel peut être décomposé en une somme de systèmes matériels simples, le centre d’inertie global s’obtiendra en recherchant le barycentre des centres d’inertie partiels. 3.3.3

Théorèmes de Guldin

Si le système considéré est homogène, on peut considérer les deux théorèmes suivants : 3.3.3.1. Centre d'inertie d'une courbe plane Considérons une courbe plane Γ, de longueur l, de densité linéique λ, tournant autour d’un axe fixe de son plan. La rotation de l’arc engendre une surface de révolution dont l’aire latérale est égale a :

38

𝑠Γ = 𝑙Γ ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝐺

(3.11)

Où R G est le rayon du cercle décrit par le centre G. 𝑦⃗

𝑆𝑦

𝑅𝐺

𝐴

Γ

𝐺 +

𝐵

𝑜

Figure 3.1. Arc plan

𝑥⃗

Suivant l’axe x, pour dm = λdl, on écrit :

∫Γ 𝜆𝑥𝑑𝑙 𝑚 Si λ est constant et l est la longueur de Γ, on peut écrire pour (R G = xG ) : 𝑥𝐺 =

𝑙𝑥𝐺 = � 𝑥𝑑𝑙 ⟺ 2𝜋 ∙ 𝑙𝑥𝐺 = 2𝜋 ∙ � 𝑥𝑑𝑙 = � 2𝜋𝑥𝑑𝑙 ⟺ 2𝜋𝑙𝑥𝐺 = 𝑠𝑦 Γ

Γ

(3.12)

(3.13)

Γ

Où sy représente l’aire de la surface engendrée par la rotation de la courbe Γ autour de l’axe Oy. On a donc : 𝑥𝐺 =

𝑠𝑦 2𝜋𝑙

𝑦𝐺 =

𝑠𝑥 2𝜋𝑙

Lorsque la courbe tourne autour de l'axe x, elle engendre la surface Sx , d'où :

(3.14)

(3.15)

3.3.3.2. Centre d'inertie d'une surface plane Ce théorème est analogue au précédent. Considérons une surface plane homogène s, tournant autour d’un axe fixe de son plan sans le rencontrer. Cette surface engendre un volume intérieur v égal a : 𝑣 = 𝐴𝑆 ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅𝐺

(3.16)

Si vy et vx sont les volumes engendrés par la rotation de la surface S autour des axes Ox et Oy. Les coordonnées du centre d’inertie s’expriment par :

39

𝑥𝐺 =

𝑉𝑦 𝑉𝑥 ; 𝑦𝐺 = 2𝜋𝐴𝑆 2𝜋𝐴𝑆 𝑦⃗

𝐴

𝑉𝑦

𝑜 Figure 3.2. Plaque plane

(3.17)

S 𝐵

𝑥⃗

3.4 Moment d’inertie, opérateur d’inertie 3.4.1

Définition

On appelle moment d’inertie d’un système discret (formé de n points matériels Pi de masse mi ) par rapport à un axe ∆, la quantité : 𝑛

𝐼∆ = � 𝑚𝑖 𝑟𝑖2

(3.18)

𝐼∆ = � 𝑟 2 𝑑𝑚 = � 𝜌𝑟 2 𝑑𝑉

(3.19)

Où ri est la distance du point Pi à l’axe ∆.

𝑖=1

Pour un système continu, on a :

2

𝑣

𝑣

On peut aussi écrire I∆ = mR , ou m est la masse totale du système et R le rayon de giration.

3.4.2 Matrice d’inertie

Pour un solide (S) donné, un point O appartenant à (S) et un repère orthonormé R(O, x�⃗, y �⃗, z⃗ ), on appelle tenseur d’inertie de (S), en O, relativement au repère considéré, noté IO , la matrice symétrique :

Où :

𝐼𝑥𝑥 𝐼𝑜 = �−𝐼𝑦𝑥 −𝐼𝑧𝑥

−𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 −𝐼𝑧𝑦

−𝐼𝑥𝑧 −𝐼𝑦𝑧 � 𝐼𝑧𝑧

(3.20)

Ixx = ∫v (y 2 + z 2 )dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe des x.

Iyy = ∫v (x 2 + z 2 )dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe des y. 40

Izz = ∫v (x 2 + y 2 )dm : Moment d’inertie par rapport à l’axe des z. Ixy = ∫v (xy)dm : Produit d’inertie par rapport aux axes Ox et Oy. Ixz = ∫v (xz)dm : Produit d’inertie par rapport aux axes Ox et Oz.

Iyz = ∫v (yz)dm : Produit d’inertie par rapport aux axes Oy et Oz.

3.4.3. Cas particuliers 3.4.2.1

Le système présente certains plans de symétrie

Si Oxy est un plan de symétrie : à tout point M1 de côte z, on peut associer le point M2 de côté –z : 𝑧⃗ 𝑥⃗

𝑜

𝑦⃗

. .

𝑀1 (𝑧) 𝑀2 (−𝑧)

Figure 3.3. 𝑂𝑥𝑦 plan de symétrie

Ixz = ∫v xzdm = 0 et Iyz = ∫v yzdm = 0 car zG = 0

Si Oyz est plan de symétrie : à tout point M1 de côte x, on peut associer le point M2 de côté – x : 𝑥⃗ 𝑜

𝑦⃗ 𝑧⃗

. .

𝑀1 (𝑥) 𝑀2 (−𝑥)

Figure 3.4. 𝑂𝑥𝑧 plan de symétrie

Iyx = ∫v yxdm = 0 et Izx = ∫v zxdm = 0 car xG = 0

De même, Si Oxz est plan de symétrie : à tout point M1 de côte y, on peut associer le point M2 de côté – y :

41

𝑦⃗

𝑥⃗

𝑜

𝑧⃗

. .

𝑀1 (𝑦) 𝑀2 (−𝑦)

Figure 3.5. 𝑂𝑥𝑧 plan de symétrie

Iyz = ∫v yzdm = 0 et Ixy = ∫v xydm = 0 car yG = 0

3.4.2.2

Le système est un corps de révolution autour de l'axe Oz

Tout plan contenant l’axe Oz est un plan de symétrie ; en particulier les plans Oxz et Oyz, donc : Ixy = Ixz = Iyz = 0

Ixx = Iyy (Ox et Oy ont le même rôle).

3.4.4. Axes principaux d’inertie

�⃗1 � dans La matrice d’inertie Io est diagonalisable, il existe une base orthonormée �ı⃗1 , ⃗ȷ1 , k laquelle elle est diagonale : 𝐼𝑜𝑥1 𝐼𝑜 = � 0 0

0

𝐼𝑜𝑦1 0

0 0 �

(3.21)

𝐼𝑜𝑧1

Il est donc possible de trouver, par changement de base, un système d’axes orthonormés tel que les produits d’inertie soient nuls. Cette base est appelée base principale d’inertie, ses axes, axes principaux d’inertie, la matrice, matrice principale d’inertie et les termes diagonaux, moments principaux d’inertie. 3.4.5. Théorème de Huygens Connaissant le moment d’inertie par rapport à un axe (∆) passant par le centre d’inertie O, le �⃗ parallèle à théorème de Huygens permet de calculer le moment d’inertie par rapport à tout axe Au Ou �⃗.

42

𝑧⃗

𝑧

𝑥

𝑥⃗

.

𝑢 �⃗

𝑃 𝑦

𝑜

𝑑

𝑑2

𝐻 𝑢 �⃗

𝑑1

𝑦⃗

Figure 3.6. Théorème de Huygens

Soit le repère R(O, x�⃗, �y⃗, z⃗ ) et soit :

�����⃗ 𝑂𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) ; ������⃗ 𝑂𝐻 = (𝑑1 , 𝑑2 , 𝑧)

(3.22)

������⃗ 𝐻𝑃 = (𝑥 − 𝑑1 , 𝑦 − 𝑑2 , 0)

(3.23)

𝐼𝐴𝑢�⃗ = � ((𝑥 − 𝑑1 )2 + (𝑦 − 𝑑2 )2 )𝑑𝑚

(3.24)

𝐼𝐴𝑢�⃗ = � (𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑚 + � (𝑑12 + 𝑑22 )𝑑𝑚 − 2 � (𝑥𝑑1 + 𝑦𝑑2 )𝑑𝑚

(3.25)

𝐼𝐴𝑢�⃗ = 𝐼𝑂𝑢�⃗ + 𝑚𝑑 2 − 2𝑑1 � 𝑥𝑑𝑚 − 2𝑑2 � 𝑦𝑑𝑚

(3.26)

On a alors :

D’où :

𝑉

𝑉

Où d est la distance entre Ou �⃗ et Au �⃗.

𝑉

𝑉

𝑉

𝑉

Or par définition, ∫V xdm = ∫V ydm = 0 car O est le centre d’inertie. On a donc : 𝐼𝐴𝑢�⃗ = 𝐼𝑂𝑢�⃗ + 𝑚𝑑 2

(3.27)

Le théorème de Huygens stipule que le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Au �⃗ est égal au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe parallèle à Ou �⃗ passant par le centre de masse du solide augmenté du produit de la masse de ce solide par le carré de la distance du centre de masse à Ox.

Ce théorème s’applique uniquement à partir du moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre de masse.

43

3.4.6. Moment d’inertie par rapport à une droite quelconque (∆)

Soit n �⃗ le vecteur directeur unitaire de l’axe (∆). Le moment d’inertie par rapport à cette droite est défini par : 𝐼∆ = � 𝑟 2 𝑑𝑚

(3.28)

𝑣

Où r représente la distance de l’élément matériel P à la droite (∆) ;

Si Io est le tenseur d’inertie en O, le moment d’inertie par rapport à la droite ∆, passant par O et de direction n� , est : 𝐼∆ = 𝑛�𝑡 ∙ 𝐼𝑜 ∙ 𝑛�

(3.29)

Où n� t est le transposé du vecteur directeur unitaire de la droite (∆) ;

Donc le moment d’inertie du système (S) par rapport à la droite (∆, n� ) est le produit doublement contracté du tenseur d’inertie Io par le vecteur unitaire n� . 𝑧⃗

(𝑆) 𝑥⃗

𝑜

. 𝑛�⃗

𝑃

𝐻

(∆)

𝑦⃗

Figure 3.7. Moment d’ inertie par rapport à une droite 3.4.7. Produit d’inertie par rapport à deux droites perpendiculaires Le produit d’inertie noté Int est défini par :

𝐼𝑛𝑡 = � 𝑥𝑛 𝑥𝑡 𝑑𝑚

(3.30)

𝑥𝑛 = �����⃗ 𝑂𝑃𝑛�⃗ ; 𝑥𝑡 = �����⃗ 𝑂𝑃𝑡⃗

(3.31)

𝑣

Avec xn et xt sont les coordonnées de P sur les axes (∆) et (∆′ )

Le tenseur d’inertie étant connu en Io , le produit d’inertie par rapport aux droites perpendiculaires ∆(O, n �⃗) et ∆′ �O, ⃗t� (figure 2.12) est : 𝑡

𝐼𝑛𝑡 = −�𝑡⃗� ∙ 𝐼𝑜 ∙ 𝑛�⃗

(3.32)

44

t

Où n �⃗ est le vecteur directeur unitaire de la droite (∆) passant par O et �t⃗� la transposé du vecteur directeur unitaire t⃗ de la droite (∆′ ) perpendiculaire avec (∆) en O. Le produit d’inertie d’un système par rapport à deux droites perpendiculaires (O, n �⃗) et �O, t⃗� est égal à l'opposé du produit doublement contracté du tenseur d’inertie par les vecteurs n �⃗ et t⃗. (∆′ )

𝑥⃗

𝑧⃗

𝑡⃗

𝑜

. 𝑛�⃗

𝑃

𝐻

(𝑆)

(∆)

𝑦⃗

Figure 3.8. Produit d’inertie

3.5 Centres et matrices d’inertie pour quelques solides Dans le tableau suivant sont rassemblés quelques résultats utiles pour des solides simples. Tableau 3.1. Centre d’inertie pour quelques solides Solides homogènes de masse M 𝑥 𝑜 𝑦

𝑅

𝑧

Centres d’inertie

Centre

Cylindre plein 𝑥 𝑜 𝑦

𝑅

𝑧

Centre

Cylindre creux 𝑏

𝑧 𝑜 𝑥

𝑦

𝑎

𝑐

Centre

Parrallèlépipède rectangle 𝑧 𝑜 𝑥

𝑅

𝑦

Sphère pleine

Centre

Moments et produits d’inertie en 𝑶 𝑀𝑅 2 𝑀𝐿2 + 4 12 𝑀𝑅 2 𝐼𝑧 = 2

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 =

𝑀𝑅 2 𝑀𝐿2 𝐼𝑥 = 𝐼𝑥 = + 2 12 𝐼𝑧 = 𝑀𝑅 2 𝑀(𝑏 2 + 𝑐 2 ) 12 𝑀(𝑎2 + 𝑐 2 ) 𝐼𝑦 = 12 𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 ) 𝐼𝑧 = 12 𝐼𝑥 =

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐼𝑧 =

2 𝑀𝑅 2 5

45

𝑧 𝑜 𝑥

𝑅

𝑦

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 = 𝐼𝑧 =

Centre

Sphère creuse 𝑧

𝑅

𝑜 𝑥

𝑦

ℎ

𝑧𝐺 =

𝑀𝑅 2 𝑀ℎ2 + 4 4 𝑀𝑅 2 𝐼𝑧 = 2

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =

2ℎ 3

Cône creux 𝑧

𝑅

𝑜 𝑥

𝑦

ℎ

𝑧𝐺 =

3𝑀𝑅 2 3𝑀ℎ2 + 20 5 3𝑀𝑅 2 𝐼𝑧 = 10

𝐼𝑥 = 𝐼𝑦 =

3ℎ 4

Cône plein 𝑦

𝑜

𝑧

𝑅

𝑥

𝑥𝐺 = 𝑦𝐺 =

2𝑅 𝜋

𝑀𝑅 2 2 𝐼𝑧𝑧 = 𝑀𝑅 2 𝑀𝑅 2 𝐼𝑥𝑦 = 𝜋

𝐼𝑥𝑥 = 𝐼𝑦𝑦 =

Quart de cercle matériel 𝑦

𝑏

𝑜

𝑎 𝑥

𝑧

Quart de plaque elliptique 𝑦

𝑜

𝑧

𝑅 𝛼

𝑥

Secteur circulaire

4𝑎 3𝜋 4𝑏 𝑦𝐺 = 3𝜋

𝑥𝐺 =

𝑥𝐺 =

2 𝑀𝑅 2 3

2 sin 𝛼 𝑅 3 𝛼

𝑀𝑏 2 𝑀𝑎2 𝐼𝑥𝑥 = ; 𝐼𝑦𝑦 = 4 4 𝑀(𝑎2 + 𝑏 2 ) 𝐼𝑧𝑧 = 4 𝑀𝑎𝑏 𝐼𝑥𝑦 = 2𝜋 𝑀𝑅 2 sin 2𝛼 �1 − � 4 𝛼 𝑀𝑅 2 sin 2𝛼 𝐼𝑦 = �1 + � 4 𝛼 𝑀𝑅 2 𝐼𝑧 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 = 2 𝐼𝑥 =

46

3.6 Exercices A. Déterminer le centre d’inertie des corps solides homogènes suivants : - Un demi-cercle matériel de rayon R ; - Un demi disque matériel de rayon R ; - Une demi sphère matérielle creuse de rayon R ; - Une demi sphère matérielle pleine de rayon R. B. Déterminer, par intégration et par le théorème de Guldin, les coordonnées des centres d’inertie des corps surfaciques homogènes suivants :

C. Déterminer le centre d’inertie du disque homogène après avoir percé un trou de rayon r , comme indiqué sur la figure.

D. Déterminer les tenseurs d’inertie en O relativement au repère orthonormé des solides homogènes (S) suivants : - Une barre AB de longueur L, de milieu O, portée par l’axe Oy ; - Un cercle de centre O, de rayon R, d’axe Oz ; - un disque de centre O, de rayon R, d’axe Oz ; - une sphère creuse de centre O, de rayon R ; - une sphère pleine de centre O, de rayon R ; - une plaque rectangulaire de dimension a x b de centre de gravité O, l’axe Oz est perpendiculaire à la plaque ; - un parallélépipède plein de dimension 2a x 2b x 2c et le centre du repère est en O milieu du côté 2a.

47

Chapitre IV CINEMATIQUE

48

4. CINEMATIQUE 4.1.

Introduction

La cinématique est l’étude des mouvements en fonction du temps, indépendamment des causes qui les provoquent. Cela ne peut être fait que par rapport à un référentiel où l’on pourrait déterminer la position du corps mobile.

4.2.

Cinématique du point

On rappel ici les définition de la position, de la vitesse et de l’accélération d’un point M par rapport à un repère R(O, x�⃗, y �⃗, z⃗ ).

4.2.1. Trajectoire

Soit un point M repéré dans un référentiel R(O, x�⃗, y �⃗, z⃗ ) fixe. Sa position est déterminée par le vecteur position à l'instant t : 𝑥(𝑡) ������⃗ 𝑟⃗ = 𝑟⃗(𝑡) = 𝑂𝑀(𝑡) = �𝑦(𝑡) 𝑧(𝑡)

(4.1)

Où x(t), y(t) et z(t) sont les coordonnées du point M à l'instant t. M(t) est la position du point M à l'instant t. M ′ (t + ∆t) est la position du point M à l'instant (t + ∆t). ���������⃗ MM ′ est le vecteur déplacement du point M. L’ensemble des positions du point M au cours du temps s’appelle trajectoire (Γ). -

Si (Γ) est une droite, le mouvement du point est rectiligne; Si (Γ) est une courbe, le mouvement du point est curviligne. (Γ)

𝑧⃗

𝑥⃗

𝑟⃗(𝑡) 𝑜

𝑀(𝑡) Δ𝑟⃗

𝑀(𝑡 + Δ𝑡)

𝑟⃗(𝑡 + ∆𝑡)

Figure 4.1. Trajectoire d’un point

𝑦⃗

4.2.2. Vecteur vitesse La vitesse du point M par rapport au repère R, à l’instant t, est la dérivée du vecteur position r⃗(t) par rapport à t dans R : �⃗ = 𝑉

𝑑 𝑅 𝑟⃗ 𝑑𝑡

(4.2)

Le vecteur vitesse du point M à l’instant t est tangent à la trajectoire en M(t). 49

4.2.3. Vecteur accélération L’accélération du point M par rapport au repère R, à l’instant t, est la dérivée du vecteur vitesse �V⃗ par rapport à t, dans R : 2

4.3.

Cinématique du solide

�⃗ 𝑑 𝑅 𝑟⃗ 𝑑𝑅 𝑉 𝑎⃗ = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2

(4.3)

4.3.1. Définitions 4.3.1.1. Notion d'un solide parfait On appelle solide parfait ou solide indéformable un ensemble de points matériels dont les distances mutuelles ne varient pas au cours du temps. Par conséquent, les vitesses entre ces points ne sont pas indépendantes. 4.3.1.2. Mouvement de translation d’un solide On dit qu’un solide est en mouvement de translation par rapport à un repère R, si pour deux point M et M ′ quelconques de ce solide, le vecteur ���������⃗ MM ′ garde toujours les mêmes direction, sens et norme au cours du temps. Les trajectoires de tous les points du solide sont superposables. Si les trajectoires de ces points sont : -

Des courbes de forme quelconque, on dit que le mouvement est un mouvement de translation curviligne ; Des droites parallèles, on dit que le mouvement est un mouvement de translation rectiligne ; Des cercles de même rayon, on dit que le mouvement est un mouvement de translation circulaire.

4.3.1.3. Mouvement de rotation d’un solide Un solide est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe, si la trajectoire d’un point quelconque M de ce solide est un cercle ou une portion de cercle. Une trajectoire circulaire ne correspond pas nécessairement à un mouvement de rotation du solide. 4.3.2. Repérage d’un solide On étudié le mouvement d'un point O du solide (S) par rapport à un observateur lié au référentiel R0. Si ce mouvement n'est pas simple, il peut être avantageux de faire apparaître le mouvement de O par rapport à un repère intermédiaire R issu de O, et lié à (S). On repère le mouvement de (O) en deux temps: -

-

Mouvement de (𝑂) par rapport à 𝑅𝑜 (3 degrés de libertés) Mouvement autour de 𝑀 considérée fixe, c’est à dire le mouvement de 𝑅 par rapport à 𝑅𝑘 (𝑀 est l’origine de 𝑅𝑘 et ces axes sont couramment parallèles à ceux de 𝑅𝑜 ) On peut passer de 𝑅𝑘 à 𝑅𝑜 par 3 rotations ordonnées au plus (3 degrés de liberté dans le mouvement de R par rapport à 𝑅𝑘 )

50

𝑧⃗ 𝑅𝑘 𝑧⃗𝑘

𝑅0 𝑧⃗0 𝑥⃗0

𝑜0

𝑅

𝑧⃗𝑘

𝑀 𝑜 𝑥⃗

𝑦⃗ (𝑆)

𝑦⃗𝑘

𝑦⃗0

Figure 4.2. Repérage d’un solide Le solide a donc au total 6 degrés de liberté. Son mouvement est entièrement repéré par les 3 coordonnées de M par rapport à R o , et 3 angles qui sont en général les angles d’Euler.

Pour cela, on considère le mouvement du solide (S) autour de Oo comme fixe et l’origine du repère R o . On considère que le point O coïncide avec Oo . Un tel mouvement peut être réalisé par une articulation sphérique. On peut transformer R en R o par trois rotations successives, qui définissent les angles d’Euler de type I. 4.3.3. Matrice de passage de 𝐑 à 𝐑 𝐨

Les angles d’Euler sont utilisés quand l'intersection des plans (Oo , x�⃗o , y �⃗o ) et (O, x�⃗, y �⃗) existe. Cette intersection s'appelle ligne des noeuds. On passe du repère R o au repère R à l'aide de deux repères intermédiaires R1 et R 2 qui seront définis par la suite.

𝑛0

𝑧

𝜃

𝑥0

𝑧0

𝑜

𝑛 𝑦

𝜓

𝜑𝑥

𝑢

𝑦0

Figure 4.3. Matrice de passage de 𝑅 à 𝑅𝑜

4.3.3.1. Angle de précession

Soit u(O, u �⃗) l’axe porté par la droite d’intersection des plans (Oo , x�⃗o , y �⃗o ) et (O, x�⃗, y �⃗). L’angle de précision est définie par ψ = (x�⃗o , u �⃗). On a alors un nouveau repère R1 (O, u �⃗, v �⃗, z⃗ ).

51

(𝑅1 )

𝑧⃗0 𝑜 𝑥⃗0

𝑣⃗ 𝜓

𝜓

𝑦⃗0 𝑢 �⃗

Figure 4.4. Angle de précession Les nouveaux axes de R1 sont définis par :

𝑢 �⃗ = cos 𝜓 𝑥⃗0 + sin 𝜓 𝑦⃗0

𝑣⃗ = − sin 𝜓 𝑥⃗0 + cos 𝜓 𝑦⃗0

Le vecteur taux de rotation de R1 par rapport à R 0 est : �Ω �⃗(𝑅1 ⁄𝑅0 ) =

4.3.3.2. Angle de nutation

𝑑𝜓 𝑧⃗ = 𝜓̇𝑧⃗0 𝑑𝑡 0

(4.4) (4.5)

(4.6)

On fait subir au repère R1 une rotation autour de l’axe (O, u �⃗). L’angle de nutation θ est défini par θ = (z⃗ 0 , z⃗ ). On a alors un nouveau repère R 2 (O, �u⃗, �w �⃗, z⃗ ). (𝑅2 )

𝑢 �⃗ 𝑜 𝑣⃗

𝜃

𝑧⃗

𝜃

𝑧⃗0 𝑤 ��⃗

Figure 4.5. Angle de mutation Les axes de R 2 sont définis par :

𝑤 ��⃗ = − cos 𝜃 sin 𝜓 𝑥⃗0 + cos 𝜃 sin 𝜓 𝑦⃗0 + sin 𝜃 𝑧⃗0 𝑧⃗ = sin 𝜃 sin 𝜓 𝑥⃗0 − sin 𝜃 cos 𝜓 𝑦⃗0 + cos 𝜃 𝑧⃗0

(4.7) (4.8)

52

Ce nouveau repère R 2 est appelé repère de Résal. Le vecteur taux de rotation de R 2 par rapport à R 2 est : 𝑑𝜃 𝑢 �⃗ = 𝜃̇𝑢 �⃗ 𝑑𝑡

��⃗(𝑅2 ⁄𝑅1 ) = Ω

4.3.3.3. Angle de rotation propre

(4.9)

On fait subir au repère R 2 une rotation autour de l’axe (O, z⃗ ). L’angle de rotation propre φ est défini par φ = (u �⃗, x�⃗). On arrive au repère R(O, x�⃗, y �⃗, z⃗ ). (𝑅)

𝑧⃗ 𝑜 𝑢 �⃗

𝑦⃗

𝜑

𝜑

𝑤 ��⃗ 𝑥⃗

Figure 4.6. Angle de rotation propre Les axes de R sont définis par :

𝑥⃗ = cos 𝜑 𝑢 �⃗ + sin 𝜑 𝑤 ��⃗

(4.10)

𝑦⃗ = sin 𝜑 𝑢 �⃗ + cos 𝜑 𝑤 ��⃗

(4.11)

Le vecteur taux de rotation de R par rapport à R 2 est : ��⃗(𝑅 ⁄𝑅2 ) = Ω

𝑑𝜑 𝑧⃗ = 𝜑̇ 𝑧⃗ 𝑑𝑡

La matrice de passage de R à R 0 est indiquée dans le tableau suivant :

Tableau 4.1. Matrice de passage de 𝑅 à 𝑅0 �⃗𝟎 �⃗𝟎 𝒙 𝒚 �⃗ 𝒙 cos 𝜑 cos 𝜓 − cos 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜓 cos 𝜑 sin 𝜓 + cos 𝜃 sin 𝜑 cos 𝜓 �⃗ − cos 𝜑 cos 𝜓 − cos 𝜃 cos 𝜑 sin 𝜓 𝒚 − sin 𝜑 sin 𝜓 + cos 𝜃 cos 𝜑 �⃗ 𝒛 sin 𝜃 sin 𝜓 − sin 𝜃 cos 𝜓 Le vecteur taux de rotation instantané de R par rapport à R 0 s’écrit : �Ω �⃗(𝑅 ⁄𝑅0 ) = 𝜓̇𝑧⃗0 + 𝜃̇ 𝑢 �⃗ + 𝜑̇ 𝑧⃗

(4.12)

�𝒛⃗𝟎 sin 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜃 cos 𝜑 cos 𝜃 (4.13)

Ce vecteur s’écrit différemment suivant qu’il est exprimé sur R 0 où sur R :

53

𝜑̇ sin 𝜃 sin 𝜓 + 𝜃̇ cos 𝜓 ��⃗(𝑅 ⁄𝑅0 ) = �−𝜑̇ sin 𝜃 cos 𝜓 + 𝜃̇ sin 𝜓� Ω 𝜑̇ cos 𝜃 + 𝜓̇ (𝑥⃗0 ,𝑦 �⃗0 ,𝑧⃗0 ) 𝜓̇ sin 𝜃 sin 𝜑 + 𝜃̇ cos 𝜑 �Ω �⃗(𝑅 ⁄𝑅0 ) = �−𝜓̇ sin 𝜃 cos 𝜑 + 𝜃̇ sin 𝜑� 𝜓̇ cos 𝜃 + 𝜑̇

(4.14)

(4.15)

(𝑥⃗,𝑦 �⃗,𝑧⃗)

4.3.4. Torseur cinématique – distribution des vitesses

La définition d’un solide parfait entraîne que la dérivée par rapport au temps de la distance entre deux de ses points quelconques A et B est nulle : 2

�����⃗ � �����⃗ 𝑑�𝐴𝐵 𝑑𝐴𝐵 �����⃗ �����⃗ �𝑉 �⃗𝐵 − 𝑉 �⃗𝐴 � = 0 = 0 ⟺ 2𝐴𝐵 = 2𝐴𝐵 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑅0 𝑧⃗0 𝑥⃗0

𝑅

𝑧⃗

𝐴+

𝑜0

𝑜

𝐵+

𝑥⃗

(𝑆)

(4.16)

𝑦⃗𝑘

𝑦⃗0

Figure 4.7. Champ des vitesses d’un solide en mouvement A chaque point du solide (S), on peut associer son vecteur vitesse défini par : �⃗𝐴⁄𝑅 = 𝑉 0

�⃗A⁄R et V �⃗B⁄R Cherchons la relation entre V 0 0

𝑑 𝑅0 �����⃗ 𝑂𝐴 𝑑𝑡

(4.17)

D'après la formule de dérivation d'un vecteur (page 8) : 𝑑𝑅0 �����⃗ 𝑂𝐴 𝑑𝑅 �����⃗ 𝑂𝐴 �⃗S⁄R ∧ �����⃗ = + �Ω 𝑂𝐴 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 �����⃗ 𝑑 𝑅 𝑂𝐵 �����⃗ 𝑑 𝑅0 𝑂𝐵 �����⃗ ��⃗R⁄R ∧ 𝑂𝐵 = = +Ω 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

�⃗𝐴⁄𝑅 = 𝑉 0

D’où :

�⃗𝐵⁄𝑅 𝑉 0

�����⃗ − �����⃗ 𝑑𝑅 �𝑂𝐵 𝑂𝐴� �����⃗ − 𝑂𝐴 �����⃗� ��⃗S⁄R ∧ �𝑂𝐵 +Ω 0 𝑑𝑡 �����⃗ � 𝑑 𝑅 �𝐴𝐵 �𝑉⃗𝐵⁄𝑅 − 𝑉 �⃗𝐴⁄𝑅 = �⃗S⁄R ∧ �����⃗ + �Ω 𝐴𝐵 0 0 0 𝑑𝑡

�⃗𝐵⁄𝑅 − 𝑉 �⃗𝐴⁄𝑅 = 𝑉 0 0 Or :

(4.18) (4.19)

(4.20) (4.21)

54

�����⃗ = Constante ⟹ 𝐴𝐵

Par conséquent :

�����⃗ � 𝑑 𝑅 �𝐴𝐵 =0 𝑑𝑡

�����⃗ �⃗𝐵⁄𝑅 = 𝑉 �⃗𝐴⁄𝑅 + Ω ��⃗S⁄R ∧ 𝐴𝐵 𝑉 0 0 0

(4.22)

(4.23)

C’est la formule de distribution des vitesses dans un corps solide indéformable en mouvement. Elle montre que le champ des vitesses d’un solide est un champ antisymétrique. On définit alors le torseur cinématique exprimé au point A du solide (S) dans son mouvement par rapport au repère R 0 , est défini par : �𝑉𝑆⁄𝑅0 � = � 𝐴

�⃗𝑆⁄𝑅 𝛺 0 � �⃗𝐴⁄𝑅 𝑉

(4.24)

0

��⃗S⁄R est le vecteur taux de rotation instantané du solide (S) par rapport au repère R 0 Le vecteur Ω 0 � ⃗ et VA⁄R0 est le vecteur vitesse du point A appartenant au solide (S) par rapport au repère R 0 .

Le champ des vecteurs vitesses des points du solide (S) par rapport à R 0 peut être représenté par ce torseur, dit torseur cinématique. 4.3.5. Champ des accélérations d'un solide

La formule de changement de base de dérivation permet de définir le champ des vecteurs accélération des points d’un solide, par rapport au référentiel du mouvement A chaque point du solide (S), on peut associer son vecteur accélération défini par : 𝑎⃗𝐵⁄𝑅0

Sachant que :

�⃗𝐵⁄𝑅 𝑑 𝑅0 𝑉 0 = 𝑑𝑡

�⃗𝐵⁄𝑅 = 𝑉 �⃗𝐴⁄𝑅 + Ω ��⃗S⁄R ∧ �����⃗ ∀(𝐴, 𝐵) ∈ (𝑆) ; 𝑉 AB 0 0 0

�⃗𝐵⁄𝑅 �⃗𝐵⁄𝑅 + �Ω �⃗S⁄R ∧ �����⃗ 𝑑𝑅0 𝑉 𝑑 𝑅0 �𝑉 AB� 0 0 0 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅0 �⃗ 𝑅0 ��⃗ 𝑑 𝑉𝐴⁄𝑅0 𝑑 ΩS⁄R0 𝑑 𝑅0 �����⃗ AB �����⃗ � �⃗ = + ∧ AB + ΩS⁄R0 ∧ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑎⃗𝐵⁄𝑅0 =

Or :

𝑎⃗𝐵⁄𝑅0

𝑎⃗𝐵⁄𝑅0

𝑑𝑅0 �����⃗ AB 𝑑 𝑅 �����⃗ AB �⃗S⁄R ∧ �����⃗ = + �Ω AB 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 �⃗𝐴⁄𝑅 �⃗S⁄R 𝑑𝑅0 𝑉 𝑑𝑅0 �Ω 0 0 ��⃗S⁄R ∧ �Ω ��⃗S⁄R ∧ �����⃗ = + ∧ �����⃗ AB + Ω AB� 0 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(4.25)

(4.26) (4.27) (4.28)

(4.29) (4.30)

C'est la Formule de Rivals ou loi de distribution des accélérations dans un corps solide indéformable.

55

Du fait de l’existence du dernier terme, le champ des vecteurs accélérations des points d’un solide ne peut pas être représenté par un torseur. Ce point marque la différence entre champ des vitesses et des accélérations. 4.3.6. Axe instantané de rotation On appelle axe instantané de rotation l’axe central du torseur cinématique. Cet axe est donc le lieu des points dont les vitesses sont parallèles au vecteur taux de rotation instantané. A tout instant, le mouvement du solide peut être considéré comme la composition d’une rotation autour de l’axe instantané de rotation ∆(t) de vitesse angulaire Ω et d’une translation instantanée le long de l’axe instantané de rotation de vitesse VA , A étant un point de l’axe. Δ(t)

.

𝐴

��⃗ Ω

.

𝑀

�V⃗M = �V⃗A + ������⃗ �⃗ MA ∧ �Ω Translation Rotation

Figure 4.8. Mouvement général d’un solide Nous avons vu que l’axe central d’un torseur est le lieu des points où les moments sont minimaux. Donc, si un solide possède au moins deux points de vitesses nulles, l’axe instantané de rotation passe obligatoirement par ces deux points. 4.3.7. Cas particulier de mouvements 4.3.7.1. Mouvement de translation Pour un mouvement de translation, à un instant donné, les vecteurs vitesses de tous les points du solide sont égaux et le vecteur taux de rotation est nul. ��⃗ = �0⃗, V �⃗A = V �⃗B ∀(𝐴, 𝐵) ∈ Solide Ω

(4.31)

Si les trajectoires des points du solide sont rectilignes, nous parlerons de translation rectiligne. Si, de plus, leurs vitesses respectives sont constantes au cours du temps, nous aurons une translation rectiligne uniforme.

56

𝐴(𝑡)

𝐴(𝑡1 )

𝐵(𝑡)

𝐴(𝑡2 )

𝐵(𝑡1 )

𝐵(𝑡2 )

Figure 4.9. Mouvement de translation rectiligne 4.3.7.2. Mouvement de rotation autour d'un axe Le solide en rotation possède une liaison rotoïde ou pivot avec le solide de référence : chaque point du solide décrit alors une trajectoire circulaire autour de l'axe du rotoïde constituant l'axe instantané de rotation.

�Ω �⃗ 𝑟 𝑑𝜃 𝑀 𝑑𝑠

𝑜 𝑧⃗0

𝑣⃗𝑀

Figure 4.10. Mouvement de rotation autour d’un axe Si O appartient à l'axe fixe du vecteur directeur z⃗ 0 ,on a alors : �⃗𝑀 = ������⃗ �⃗ 𝑉 𝑀𝑂 ∧ �Ω

(4.32)

�⃗ = Ωz⃗ 0 est colinéaire à z⃗ 0 , Cela est possible si �Ω Or par définition, nous avons :

Et :

�⃗𝑀 � = �𝑉 ��⃗ = Ω

𝑑𝑠 𝑟𝑑𝜃 = = 𝑟𝜃̇ 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑧⃗ = 𝜃̇𝑧⃗0 𝑑𝑡 0

(4.33)

(4.34)

Si un solide est soumis à la rotation autour d'un axe de vecteur directeur z⃗ 0 à une vitesse θ̇ dans le sens direct, le vecteur taux de rotation instantané de ce solide s'écrit : �Ω �⃗ = 𝜃̇𝑧⃗0

(4.35)

57

4.3.7.3. Mouvement hélicoïdal Ce mouvement est la superposition d'une rotation autour d'un axe et une translation suivant ce même axe. C'est le cas, par exemple, du mouvement d'une vis dans un écrou. Le vecteur vitesse du point M s'écrit : �V⃗M = �V⃗A + ������⃗ �⃗ MA ∧ �Ω

(4.36)

Avec �V⃗A est le vecteur vitesse de translation du point A, qui représente le mouvement de �⃗ est le vecteur taux de rotation instantané, qui représente le mouvement de rotation. translation et �Ω

4.4.

COMPOSITION DE MOUVEMENTS

4.4.1. Dérivation composée Soit le repère orthonormé R(O, x�⃗, y �⃗, z⃗ ) lié au solide (Figure 3.12.), et un repère fixe R 0 (O0 , x�⃗ 0 , y �⃗0 , z⃗ 0 ). 𝑅

𝑥⃗0

𝑧⃗

𝑅0 𝑧⃗0 ���⃗ (𝑡) 𝑊

. .

𝐴

𝑜0

𝑀 𝑜

𝑥⃗

(𝑆)

𝑦⃗

𝑦⃗0

Figure 4.11. Composition de mouvement �⃗ dx

déterminons l’expression de la dérivée de � dt � par rapport au temps t. Soit A le point tel que �����⃗ OA = x�⃗, on peut alors écrire : Or,

�⃗𝐴 = 𝑉 �⃗𝑂 + �����⃗ �⃗S⁄R 𝑉 𝑂𝐴 ∧ �Ω 0

�����⃗ 𝑑𝑥⃗ 𝑑𝑂𝐴 �����⃗ ∧ Ω �����⃗ ∧ Ω �����⃗ �⃗𝐴 − 𝑉 �⃗𝑂 = 𝐴𝑂 ��⃗S⁄R = −𝑂𝐴 ��⃗S⁄R = Ω ��⃗S⁄R ∧ 𝑂𝐴 = =𝑉 0 0 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 �⃗S⁄R ∧ 𝑥⃗ = �Ω 0

(4.37)

(4.38)

On a donc, plus généralement, la formule de base mobile : 𝑑𝑥⃗ �⃗S⁄R ∧ 𝑥⃗ = �Ω 0 𝑑𝑡 𝑑𝑦⃗ ��⃗S⁄R ∧ 𝑦⃗ =Ω 0 𝑑𝑡

(4.39) (4.40)

58

𝑑𝑧⃗ �⃗S⁄R ∧ 𝑧⃗ = �Ω 0 𝑑𝑡

(4.41)

��⃗ = W ���⃗(t) représentatif d’une grandeur physique variable dans les repères R 0 et Soit un vecteur �W R et dans le temps. ��⃗ dans R 0 au temps t, on écrit : Soient x0 , y0 et z0 les composantes de �W ���⃗ (𝑡) = 𝑥0 (𝑡)𝑥⃗0 + 𝑦0 (𝑡)𝑦⃗0 + 𝑧0 (𝑡)𝑧⃗0 𝑊

(4.42)

��⃗ dans R au temps t : Soient x, y et z les composantes de �W

���⃗ (𝑡) = 𝑥(𝑡)𝑥⃗ + 𝑦(𝑡)𝑦⃗ + 𝑧(𝑡)𝑧⃗ 𝑊

(4.43)

���⃗(t) par rapport à t dans les repères R 0 et R respectivement : On appelle dérivée de W

(4.44)

Et :

���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅0 𝑊 = 𝑥̇ 0 (𝑡)𝑥⃗0 + 𝑦̇ 0 (𝑡)𝑦⃗0 + 𝑧̇0 (𝑡)𝑧⃗0 𝑑𝑡 ���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅 𝑊 = 𝑥̇ (𝑡)𝑥⃗ + 𝑦̇ (𝑡)𝑦⃗ + 𝑧̇ (𝑡)𝑧⃗ 𝑑𝑡

��⃗(t) exprimée dans le repère R par rapport à t et par rapport à R 0 s’écrit : La dérivée de �W ���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅0 𝑊 𝑑 𝑅0 𝑥⃗ 𝑑 𝑅0 𝑦⃗ 𝑑 𝑅0 𝑧⃗ = 𝑥̇ 𝑥⃗ + 𝑦̇ 𝑦⃗ + 𝑧̇ 𝑧⃗ + 𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅0 ���⃗ (𝑡) 𝑅 ���⃗ (𝑡) 𝑅0 𝑅0 𝑅0 𝑑 𝑊 𝑑 𝑊 𝑑 𝑥⃗ 𝑑 𝑦⃗ 𝑑 𝑧⃗ = +𝑥 +𝑦 +𝑧 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅0 ���⃗ (𝑡) 𝑅 ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑊 𝑑 𝑊 ��⃗S⁄R ∧ 𝑥⃗� + 𝑦�Ω ��⃗S⁄R ∧ 𝑦⃗� + 𝑧�Ω ��⃗S⁄R ∧ 𝑧⃗� = + 𝑥�Ω 0 0 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡 ���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅 𝑊 ���⃗ (𝑡) 𝑑𝑅0 𝑊 ��⃗S⁄R ∧ (𝑥𝑥⃗ + 𝑦𝑦⃗ + 𝑧𝑧⃗) = +Ω 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(4.45)

(4.46) (4.47) (4.48) (4.49)

D’où la règle de dérivation composée ou règle de dérivation dans un repère mobile : ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅 𝑊 ���⃗ (𝑡) 𝑑 𝑅0 𝑊 ��⃗S⁄R ∧ 𝑊 ���⃗ (𝑡) = +Ω 0 𝑑𝑡 𝑑𝑡

��⃗(t) = �Ω �⃗S⁄R , nous remarquons que : Dans le cas particulier où �W 1 4.4.2. Composition de vitesses

�⃗S⁄R �⃗S⁄R 𝑑 𝑅0 �Ω 𝑑 𝑅 �Ω 1 1 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(4.50)

(4.51)

Soit R 0 le repère absolu et R le repère relatif.

Le vecteur vitesse absolue d’un point M quelconque (non forcément lié au solide, figure 3.11), sera noté :

59

�⃗M⁄R = V 0

𝑑 𝑅0 ��������⃗ 𝑂0 𝑀 𝑑𝑡

(4.52)

Le vecteur vitesse relative d’un point M du solide (S) sera noté dans le repère R :

(4.53)

Le vecteur position absolu du point M par rapport au repère R 0 est noté :

(4.54)

�⃗M⁄R = V

𝑑 𝑅 ������⃗ 𝑂𝑀 𝑑𝑡

��������⃗ 𝑂0 𝑀 = ��������⃗ 𝑂0 𝑂 + ������⃗ 𝑂𝑀

D’où : �V⃗M⁄R = 0

𝑑𝑅0 ��������⃗ 𝑂0 𝑀 𝑑 𝑅0 ��������⃗ 𝑂0 𝑂 𝑑 𝑅0 ������⃗ 𝑂𝑀 = + 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(4.55)

En tenant compte de la relation (3.16) qui donne la dérivée d'un vecteur mobile par rapport au repère fixe, on écrit :

Cette relation devient :

�⃗M⁄R = V �⃗O∈S⁄R V 0 0

������⃗ 𝑑 𝑅0 𝑂𝑀 ������⃗� ��⃗S⁄R ∧ 𝑂𝑀 + �Ω 0 𝑑𝑡

�V⃗M⁄R = �V⃗M⁄R + �V⃗O∈S⁄R + �Ω ��⃗S⁄R ∧ ������⃗ 𝑂𝑀� 0 0 0

(4.56)

(4.57)

�⃗M⁄R = V �⃗r (M) + V �⃗e (M) V 0

(4.58)

�V⃗r (M) = �V⃗M⁄R

(4.59)

������⃗� �⃗e (M) = V �⃗O∈S⁄R + �Ω ��⃗S⁄R ∧ 𝑂𝑀 V 0 0

(4.60)

�⃗M⁄R est le vecteur vitesse du point M pour un observateur lié au Le vecteur vitesse absolue V 0 repère absolu (fixe) R 0 . Cette vitesse peut être décomposée en deux parties : La vitesse relative :

C'est la vitesse du point M pour un observateur lié au repère relatif (mobile) R.

La vitesse d’entraînement :

C'est la vitesse du point M appartenant à R 0 et qui coïncide à l'instant t avec le point M.

4.4.3. Composition des taux de rotation instatanés

Soient A et B deux points d’un solide (S). On peut alors écrire : �⃗𝐴⁄𝑅 = 𝑉 �⃗𝐵⁄𝑅 + �����⃗ �⃗S⁄R 𝑉 AB ∧ �Ω 0 0 0 �⃗𝐴⁄𝑅 = 𝑉 �⃗𝐵⁄𝑅 + �����⃗ �⃗S⁄R 𝑉 AB ∧ �Ω

(4.61) (4.62)

60

�⃗𝐴⁄𝑅⁄𝑅 = 𝑉 �⃗𝐵⁄𝑅⁄𝑅 + �����⃗ �⃗R ⁄R 𝑉 AB ∧ �Ω 0 0 0

(4.63)

��⃗S⁄R = Ω ��⃗S⁄R + Ω ��⃗R ⁄R Ω 0 0

(4.64)

En utilisant les équations vu précédemment on peut écrire :

Cette relation montre que, si ‘lon sait décomposer un mouvement de rotation en rotations autour d’axes connus, l’expression d’un taux de rotation instantané est obtenu en ajoutant vectoriellement les taux de rotation instantanés autour des différents axes. 4.4.4. Composition d’accélérations On notera le vecteur accélération absolue : 𝑎⃗𝑀⁄𝑅0

�⃗𝑀⁄𝑅 𝑑 2𝑅0 ��������⃗ 𝑂0 𝑀 𝑑 𝑅0 𝑉 0 = = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

��⃗S⁄R = �Ω �⃗� : On a alors pour simplifier l’écriture �Ω 0

������⃗�� �⃗𝑂∈𝑆⁄𝑅 + 𝑉 �⃗𝑀⁄𝑅 + �Ω ��⃗ ∧ OM �⃗𝑀⁄𝑅 𝑑 𝑅0 �𝑉 𝑑 𝑅0 𝑉 0 0 𝑎⃗𝑀⁄𝑅0 = = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑅0 �⃗ 𝑅 𝑅 0 0 � ⃗ � �⃗ 𝑑 𝑉𝑂∈𝑆⁄𝑅0 𝑑 𝑉𝑀⁄𝑅 𝑑 Ω 𝑑 𝑅0 ������⃗ OM ������⃗ + Ω ��⃗ ∧ 𝑎⃗𝑀⁄𝑅0 = + + ∧ OM 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(4.65)

(4.66) (4.67)

En tenant compte de la relation de la dérivée d'un vecteur mobile par rapport au repère fixe, le vecteur accélération absolue du point M, s'écrit : 𝑎⃗𝑀⁄𝑅0 = 𝑎⃗𝑂∈𝑆⁄𝑅0 + �

�⃗𝑀⁄𝑅 �⃗ 𝑑 𝑅0 𝑉 𝑑 𝑅0 �Ω ������⃗ + Ω ��⃗ ∧ 𝑉 �⃗𝑀⁄𝑅 � + ��⃗ +Ω ∧ OM 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑅0 ������⃗ OM �⃗ ∧ ������⃗ ∧� + �Ω OM� 𝑑𝑡

(4.68)

Nous pouvons donc le réécrire sous la forme :

Ou bien :

��⃗ ∧ 𝑉 �⃗𝑀⁄𝑅 � + 𝑎⃗𝑀⁄𝑅0 = 𝑎⃗𝑂∈𝑆⁄𝑅0 + 𝑎⃗𝑀⁄𝑅 + 2�Ω

�⃗ 𝑑 𝑅0 �Ω ������⃗ + Ω ������⃗� ��⃗ ∧ �Ω ��⃗ ∧ OM ∧ OM 𝑑𝑡

𝑎⃗𝑀⁄𝑅0 = 𝑎⃗𝑟 (𝑀) + 𝑎⃗𝑐 (𝑀) + 𝑎⃗𝑒 (𝑀)

(4.69)

(4.70)

Cette accélération absolue peut être décomposée en trois parties : -

L’accélération relative : 𝑎⃗𝑟 (𝑀) = 𝑎⃗𝑀⁄𝑅

-

(4.71)

C'est le vecteur accélération du point 𝑀 pour un observateur lié au repère relatif 𝑅. L’accélération d’entraînement : Accélération de 𝑀 par rapport à 𝑅0 si 𝑀 est supposé fixe dans 𝑅. 61

�⃗ 𝑑 𝑅0 �Ω (4.72) ������⃗ + Ω ������⃗� ��⃗ ∧ �Ω ��⃗ ∧ OM ∧ OM 𝑑𝑡 Elle s’obtient aussi par l’application de la formule de Rivals (3.11) entre 𝑂 et 𝑀, rigidement lié à 𝑂 dans le mouvement d’entraînement. L’accélération complémentaire où de Coriolis : 𝑎⃗𝑒 (𝑀) = 𝑎⃗𝑂∈𝑅⁄𝑅0 +

-

��⃗ ∧ 𝑉 �⃗𝑀⁄𝑅 � 𝑎⃗𝑐 (𝑀) = 2�Ω

(4.73)

L’accélération de Coriolis est nulle si et seulement si : - le vecteur taux de rotation du repère relatif par rapport au repère absolu est nul : ��⃗ = �⃗ Ω 0 �⃗r (M) = V �⃗M⁄R = �0⃗ - la vitesse relative du point considéré est nulle : V ��⃗ ⫽ �V⃗M⁄R - la vitesse relative est colinéaire au vecteur taux de rotation : Ω Ainsi, tout objet en mouvement sur Terre est soumis à une accélération de Coriolis sauf s’il tombe en chute libre aux pôles Nord ou Sud. Un objet qui tombe va être dévié vers l’Est.

4.5.

Les Liaisons

4.5.1. Définitions Les liaisons entre les solides diminuent le nombre de degrés de liberté. Pour décrire le mouvement de n solides libres dans l’espace à trois dimensions, il faut 6n paramètres (3 translations + 3 rotations par solide). Chaque liaison est affectée d’un ou plusieurs degrés de liaison. Si l’on a k degrés de liaison, le nombre de degrés de liberté est égal alors à : Nombre de degrés de liberté = 6𝑛 – 𝑘

(4.74)

Pour obtenir le nombre de degrés de liberté d’un système de solides, on immobilise un à un les solides à partir de l’un d’entre eux. On dit que le système est isostatique quand le nombre de degrés de liaison est égal au nombre de degrés de liberté. Quand ce nombre est supérieur au nombre de degrés de liberté, le système est hyperstatique. Une liaison est dite bilatérale si elle subsiste quel que soit le temps. Sinon, elle est unilatérale. 4.5.2. Solides en contact ponctuel Soient (S1 ) et (S2 ) deux solides en contact ponctuel et I le point géométrique de contact.

A l’instant t, le point I1 ∈ (S1 ) et le point I2 ∈ (S2 ) coïncident avec I. Le vecteur z⃗ est le vecteur normal au plan tangent aux deux solides en I.

62

𝑧⃗

�⃗𝑔 V

(𝑆2 ) �⃗ ��⃗𝑛 �Ω Ω 𝐼

�Ω �⃗𝑡

(𝑆1 )

Figure 4.12. Solides en contact ponctuel 4.5.2.1. Vitesse de glissement Le vecteur vitesse de glissement d’un solide (S2 ) par rapport à un solide (S1 ) comme montre la, est : �⃗𝑔(𝑆 ⁄𝑆 ) = 𝑉 �⃗𝐼 ∈𝑆 − 𝑉 �⃗𝐼 ∈𝑆 𝑉 2 1 2 2 1 1

(4.75)

On remarque que �V⃗g(S2⁄S1 ) est la vitesse de I2 par rapport à un repère lié à (S1 ) et que �V⃗g(S2⁄S1 ) est contenue dans un plan tangent aux solides en I. 4.5.2.2. Plan tangent Le point �I, �V⃗g � est toujours contenu dans le plan tangent entre (S2 ) et (S1 ). Sinon, il y aurait éloignement des solides ou pénétration de l’un dans l’autre. 4.5.2.3. Roulement sans glissement Il y a roulement sans glissement si �V⃗g = �⃗ 0. Dans ce cas, I appartient à l’axe instantané de ��⃗� rotation qui est alors défini par �I, Ω Dans le cas de roulement sans glissement, on a :

�⃗𝑔(𝑆 ⁄𝑆 ) = �⃗ �⃗𝐼 ∈𝑆 = 𝑉 �⃗𝐼 ∈𝑆 𝑉 0⟺𝑉 2 1 1 1 2 2

(4.76)

La condition de roulement sans glissement est intéressante pour trouver la relation existante entre le vecteur taux de rotation instantané du solide et la vitesse d’un de ses points. 4.5.2.4. Roulement et pivotement ��⃗(S ⁄S ) le vecteur taux de rotation instantané de (S2 ) par rapport à (S1 ), on écrit : On appellera Ω 2 1 ��⃗(𝑆 ⁄𝑆 ) = Ω ��⃗(𝑆 ) − Ω ��⃗(𝑆 ) Ω 2 1 2 1

(4.77)

�⃗(S ⁄S ) en deux vecteurs (Figure 3.13) : On peut décomposer le vecteur �Ω 2 1 63

-

4.6.

�Ω �⃗𝑡 , situé dans le plan tangent en 𝐼 aux deux solides, est le vecteur taux de rotation instantanée de roulement de (𝑆2 ) par rapport à (𝑆1 ) ; ��⃗𝑛 , situé dans le plan normale en 𝐼 au plan tangent, est le vecteur taux de rotation Ω instantanée de pivotement de (𝑆2 ) par rapport à (𝑆1 ).

MOUVEMENT PLAN SUR PLAN

4.6.1. Définition Un mouvement plan sur plan représente le mouvement d’une figure plane (section d’un solide par exemple) qui reste parallèle à un plan fixe P0 et à une distance constante.

Tous les vecteurs vitesses de la figure plane considérée sont parallèles au plan P0. On ramène l’étude du mouvement de la figure plane considérée au mouvement de sa projection sur P0. �Δ⃗(𝑡)

𝐴

�⃗𝐴 V

𝐼

�V⃗𝐵 (𝑃0 )

𝐵

Figure 4.13. Mouvement plan sur plan Le mouvement de tout point du solide est déterminé dès que l’on connaît le mouvement de sa projection dans le plan de référence. 4.6.2. Centre instantané de rotation Soient deux points A et B d’un solide (S) en mouvement plan sur plan, et les vecteurs vitesses �V⃗A et �V⃗B appartiennent au plan P0. D’après la loi de distribution des vitesses �V �⃗A = V �⃗A + �����⃗ �⃗�, le AB ∧ �Ω �⃗ appartient aussi au plan P0. Le vecteur taux de rotation Ω ��⃗ est donc normal produit vectoriel �����⃗ AB ∧ �Ω au plan P0, ce qui signifie que l’axe instantané de rotation Δ(t) est perpendiculaire à P0. Or, par définition, tous les points de l’axe instantané de rotation ont une vitesse parallèle à cet axe. De plus, dans le cas d’un mouvement plan sur plan, les vitesses sont parallèles au plan P0. Par conséquent, le point d’intersection entre le plan P0 et l’axe instantané de rotation a une vitesse nulle. Ce point est appelé centre instantané de rotation (CIR). 4.6.3. Base et roulante

Lors d’un mouvement plan sur plan, le centre instantané de rotation I est un point coïncidant à un instant donné avec un point du solide ayant une vitesse nulle, mais la position de ce point varie avec le temps : -

𝐼 décrit dans les axes liés au solide de référence une courbe appelée base ; 𝐼 décrit dans les axes liés au solide une courbe appelée roulante.

64

Roulante 𝑦0 𝑜

4.7.

𝑥0

. .

.

𝑀

𝐶 𝐼

𝜃

Base

Figure 4.14. Roulante et base

Exercices

A. Soit M un point repéré dans le plan (xoy) par les équations paramétriques suivantes : 𝑥 = 4𝑡 2 − 1 et 𝑦 = 2√2𝑡 Déterminer : - Le vecteur vitesse du point M en fonction du temps ainsi que son module ; - Le vecteur accélération du point M en fonction du temps ainsi que son module ; En déduire les accélérations tangentielle et normale ; - Le rayon de courbure de la trajectoire ; �⃗ � un repère orthonormé direct fixe. Soit des vecteur 𝑢 B. Soit 𝑅0 �𝑂, 𝚤⃗, 𝚥⃗, 𝑘 �⃗ et 𝑣⃗ tel que : �⃗ 𝑑𝑢

𝑢 �⃗ = cos 𝜓 𝚤⃗ + sin 𝜓 𝚥⃗, 𝑣⃗ = 𝑑𝜓 1. Vérifier que

�⃗ 𝑑𝑣

𝑑𝜓

�⃗ � est = −𝑢 �⃗ et que la base formé par les vecteurs unitaires �𝑢 �⃗, 𝑣⃗, 𝑘

orthogonale directe ; 2. Soit (𝐶) une courbe décrite par le point 𝑀 dont l’équation paramétrique est donnée �⃗ où 𝑎 et 𝑏 sont des constantes et 𝜓 le paramètre de représentation. ������⃗ = 𝑎𝑢 par :𝑂𝑀 �⃗ + 𝑏𝜓𝑘 �������⃗ 𝑑𝑂𝑀 �⃗ � ; - Calculer en fonction de �𝑎, 𝑏, 𝑣⃗, 𝑘 -

𝑑𝜓 𝑑𝑠

En déduire 𝑑𝜓 en fonction de 𝑐 = √𝑎2 + 𝑏 2 , 𝑠 étant l’abscisse curviligne ; �������⃗�𝑑𝜓 𝑑𝑂𝑀

Déterminer 𝜏⃗ = �𝑑𝑂𝑀 , vecteur unitaire tangent à la courbe au point 𝑀 en �������⃗�𝑑𝜓�

�⃗ � ; fonction de �𝑎, 𝑏, 𝑣⃗, 𝑘 �⃗ est constant. En déduire l’angle 𝛼 compris entre les vecteurs 𝜏⃗ et 𝑘 �⃗ 𝑑𝜏

1

3. Exprimer 𝑑𝑠 en fonction de 𝛼, 𝑐 et 𝑢 �⃗. En déduire 𝑛�⃗ ainsi que la courbure 𝑅 ; 4. Déterminer la binormale 𝑏�⃗ au point 𝑀. En déduire l’expression de la torsion �⃗ 𝑑𝑏

�⃗ 𝑛

𝑇

que 𝑑𝑠 = 𝑇 , vérifier que le rapport 𝑅 est constant.

1

𝑇

sachant

C. Les coordonnées d’un point M , en mouvement dans un plan sont données par : 𝑥 = 𝑎(1 + cos 𝑡) et 𝑦 = 𝑏 sin 𝑡, t : représente le temps , a et b sont deux constantes positives. - Donner l’équation de la trajectoire du point M , quelle est sa nature ? - Exprimer la vitesse du point M. Existe-t-il des instants tel que le module V de la vitesse soit égale à une grandeur 𝜆 > 0donnée ? discuter les solutions. - Le vecteur vitesse peut-il être normal au vecteur accélération ? - Représenter graphiquement ces vecteurs sur la courbe.

65

Chapitre V CINETIQUE

66

5. CINETIQUE 5.1.

Introduction

La cinétique traite les relations mettant en jeu les grandeurs cinématiques associées à la répartition des masses.

5.2.

Grandeurs associées aux vitesses

5.2.1. Quantité de mouvement, moment cinétique 5.2.1.1. Point matériel Soit �V⃗M le vecteur vitesse d'un point M ayant une masse m. On appelle quantité de mouvement �⃗M du point M la grandeur vectorielle : mV

On appelle moment cinétique du point M, le moment par rapport à un point quelconque A de la �⃗M quantité de mouvement : ������⃗ AM ∧ mV

5.2.1.2. Ensemble de points matériels

On appelle quantité de mouvement d’un système de n points matériels Mi de masse mi la grandeur vectorielle : ∑ni=1 mi �V⃗Mi

On appelle moment cinétique en un point A de l'ensemble des n points matériels Mi la somme �⃗M des moments par rapport à ce point quantités de mouvement élémentaires mi V i Soit : ∑ni=1 ������⃗ AMi ∧ mi �V⃗Mi

5.2.1.3. Système matériel continu La quantité de mouvement d'un système matériel continu de volume V est : �⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀) 𝑃�⃗ = � 𝑉

(5.1)

𝑉

Le moment cinétique du système en un point A est :

5.2.2. Torseur cinétique

�⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀) 𝜎⃗𝐴 = � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑉

(5.2)

𝑉

5.2.2.1. Définition Par définition, le moment cinétique au point A est :

67

�⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀) 𝜎⃗𝐴 = � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑉

(5.3)

������⃗ + ������⃗ �⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀) = �����⃗ 𝜎⃗𝐴 − 𝜎⃗𝐵 = � �𝐴𝑀 𝑀𝐵 � ∧ 𝑉 𝐴𝐵 ∧ 𝑃�⃗

(5.4)

𝑉

Il est alors évident que si on a :

𝑉

Le moment cinétique obéit à la loi du transport des moments, ce qui montre que qu’il est possible de construire un torseur cinétique ayant pour résultante la quantité de mouvement. Le moment cinétique par rapport au point A s’écrit :

�����⃗ ∧ 𝑃�⃗ 𝜎⃗𝐴 = 𝜎⃗𝐵 + 𝐴𝐵

Le torseur cinétique au point A s'écrit alors :

⎛ �⃗ 𝑃 [𝐶]𝐴 = � � = ⎜ ⎜ 𝜎⃗𝐴 ⎜

5.2.2.2. Calcul de la résultante

�⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀) �𝑉

𝑉

������⃗ ∧ 𝑉 �⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀) � 𝐴𝑀

⎝𝑉

(5.5)

⎞ ⎟ ⎟ ⎟

(5.6)

⎠

Soit O le point origine, la résultante du torseur cinétique où la quantité du mouvement du système peut s'écrire : 𝑃�⃗ = � 𝑑𝑚 𝑉

������⃗ 𝑑𝑂𝑀 𝑑 𝑑 �����⃗ � = 𝑚𝑉 �⃗𝐺 = � ������⃗ 𝑂𝑀𝑑𝑚 = �𝑚𝑂𝐺 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(5.7)

𝑉

Où G est le centre d'inertie. Le torseur cinétique au centre A, s'écrit alors : �⃗ 𝑚𝑉 [𝐶]𝐴 = � 𝐺 � 𝜎⃗𝐴

(5.8)

5.2.2.3. Théorème de Koenig relatif au moment cinétique Le référentiel du Koenig, ou référentiel barycentrique, R k est le référentiel dont les axes sont ��⃗R ⁄R = �0⃗�. issus du centre d'inertie G et constamment parallèles à ceux du repère R 0 �Ω K 0

68

𝑅𝑘 𝑧⃗𝑘 𝑅0 𝑧⃗0 𝑥⃗0

𝐺

𝑥⃗𝑘

𝑜0

(𝑆)

𝑦⃗𝑘

𝑦⃗0

Figure 5.1. Théorème de Koenig Par définition, le moment cinétique en G par rapport à R 0 est :

������⃗𝑑𝑚� ∧ 𝑉 ������⃗ ∧ 𝑉 �⃗𝐺⁄𝑅 + � 𝐺𝑀 �⃗𝑀⁄𝑅 𝑑𝑚 𝜎⃗𝐺⁄𝑅0 = �� 𝐺𝑀 0 𝑘

(5.9)

�⃗𝑀⁄𝑅 𝑑𝑚 𝜎⃗𝐺⁄𝑅𝑘 = � ������⃗ 𝐺𝑀 ∧ 𝑉 𝑘

(5.10)

𝜎⃗𝐺⁄𝑅0 = 𝜎⃗𝐺⁄𝑅𝑘

(5.11)

𝜎⃗𝐺⁄𝑅0 = 𝜎⃗𝐺⁄𝑅𝑘 + �����⃗ 𝐴𝐺 ∧ 𝑃�⃗𝑅0

(5.12)

𝑉

𝑉

������⃗dm = �⃗ Or ∫V GM 0, car G est le centre d'inertie du système matériel. Et, par définition, 𝑉

On a donc l'égalité :

Le théorème de Koenig est alors :

5.2.2.4. Moment cinétique d'un solide indéformable en G (centre d'inertie) Le moment cinétique d'un solide indéformable au centre d'inertie G, est :

�⃗𝑀 𝑑𝑚 = � ������⃗ �⃗𝐺 + ������⃗ �⃗�𝑑𝑚 𝜎⃗𝐺 = � ������⃗ 𝐺𝑀 ∧ 𝑉 𝐺𝑀 ∧ �𝑉 𝑀𝐺 ∧ �Ω

(5.13)

������⃗𝑑𝑚� ∧ 𝑉 ������⃗ ∧ �Ω ������⃗�𝑑𝑚 �⃗𝐺 + � 𝐺𝑀 ��⃗ ∧ 𝐺𝑀 𝜎⃗𝐺 = �� 𝐺𝑀

(5.14)

��⃗� = � ������⃗ ��⃗ ∧ ������⃗ 𝐼𝐺 �Ω 𝐺𝑀 ∧ �Ω 𝐺𝑀�𝑑𝑚

(5.15)

𝑉

𝑉

𝑉

𝑉

������⃗dm = �0⃗, car G est le centre d'inertie du système matériel. D'autre part : Or ∫V GM 𝑉

D'où le moment cinétique d'un solide indéformable qui s'écrit donc :

69

�⃗ 𝜎⃗𝐺 = 𝐼𝐺 �Ω

(5.16)

5.2.2.5. Moment cinétique d'un solide indéformable en un point de vitesse nulle Si le solide est indéformable, nous pouvons utiliser la règle de distribution des vitesses : �⃗𝑀 𝑑𝑚 = � ������⃗ �⃗𝐴 + ������⃗ �⃗�𝑑𝑚 𝜎⃗𝐴 = � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑉 𝐴𝑀 ∧ �𝑉 𝑀𝐴 ∧ �Ω

(5.17)

������⃗ ∧ �Ω �⃗�𝑑𝑚 = 𝐼𝐴 �Ω �⃗ 𝜎⃗𝐴 = � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ �𝑀𝐴

(5.18)

��⃗ 𝜎⃗𝐴 = 𝐼𝐴 Ω

(5.19)

��⃗ 𝜎⃗𝐴 = 𝐼𝑧𝑧 Ω

(5.20)

𝑉

𝑉

𝑉

Alors, si A est un point d'un solide indéformable tel que �V⃗A∈S = �⃗ 0, le moment cinétique en A de ce solide est :

Si la rotation a lieu autour d'un fixe (A, z⃗ ) et que (A, z⃗ ) est un axe principal d'inertie, on a : 5.2.3. Energie cinétique 5.2.3.1. Définition

Pour un système matériel continu (S), on appelle énergie cinétique la quantité scalaire exprimée en joules (J) : 1 �⃗𝑀2 𝐸𝑐 = � 𝑑𝑚(𝑀)𝑉 2

(5.21)

𝑉

5.2.3.2. Théorème de Koenig relatif à l'énergie cinétique L'énergie cinétique par rapport à un référentiel R 0 (R k est le référentiel de Koenig), par définition est : 𝑅

𝐸𝑐 0 = � 𝑉

1 1 2 �⃗𝑀2 ⁄𝑅 = � 𝑑𝑚(𝑀)�𝑉 �⃗𝐺⁄𝑅 + 𝑉 �⃗𝑀⁄𝑅 � 𝑑𝑚(𝑀)𝑉 0 𝑘 0 2 2

(5.22)

𝑉

Or, le vecteur vitesse absolue dans le cas de la translation s'écrit :

D’où :

�⃗𝑀⁄𝑅 = 𝑉 �⃗𝐺⁄𝑅 + 𝑉 �⃗𝑀⁄𝑅 𝑉 0 0 𝑘

(5.23)

70

1 1 1 𝑅 �⃗𝐺2⁄𝑅 + � 𝑑𝑚(𝑀)�𝑉 �⃗𝐺⁄𝑅 𝑉 �⃗ �⃗𝑀2 ⁄𝑅 𝐸𝑐 0 = � 𝑑𝑚(𝑀)𝑉 � + � 𝑑𝑚(𝑀)𝑉 0 𝑀⁄𝑅𝑘 0 𝑘 2 2 2 𝑉

𝑉

𝑉

1 𝑅 �⃗𝐺2⁄𝑅 + 𝑉 �⃗𝐺⁄𝑅 � 𝑑𝑚(𝑀)𝑉 �⃗𝑀⁄𝑅 + 𝐸𝑐𝑅𝑘 𝐸𝑐 0 = 𝑚𝑉 0 𝑘 0 2 𝑅

𝐸𝑐 0 =

𝑉

1 𝑑 ������⃗ + 𝐸𝑐𝑅𝑘 �⃗𝐺2⁄𝑅 + 𝑉 �⃗𝐺⁄𝑅 𝑚𝑉 � 𝑑𝑚(𝑀)𝐺𝑀 0 0 2 𝑑𝑡

(5.24)

(5.25)

(5.26)

𝑉

Or ∫V ������⃗ GMdm = �0⃗, car G est le centre d'inertie du solide. Par conséquent, le théorème de Koenig est alors : 𝑅

𝐸𝑐 0 =

1 �⃗𝐺2⁄𝑅 + 𝐸𝑐𝑅𝑘 𝑚𝑉 0 2

(5.27)

L'énergie cinétique d'un système (S) par rapport à un référentiel R 0 est égale à l'énergie cinétique de ce système dans son mouvement autour du centre d'inertie G, augmentée de l'énergie cinétique du centre d'inertie G de la masse totale masse m. 5.2.3.3. L'énergie cinétique d'un solide indéformable Soit N un point d'un solide indéformable, nous pouvons écrire : 𝐸𝑐 =

𝐸𝑐 =

1 �⃗𝑀 �𝑉 �⃗𝑁 + �������⃗ �⃗� � 𝑑𝑚(𝑀)𝑉 𝑀𝑁 ∧ �Ω 2 𝑉

1 1 �⃗𝑁 � 𝑑𝑚𝑉 �⃗𝑀 + � 𝑑𝑚𝑉 �⃗𝑀 �Ω ��⃗ ∧ �������⃗ 𝑉 𝑁𝑀� 2 2 𝑉

𝑉

1 1 1 1 �⃗𝑁 𝑚𝑉 �⃗𝐺 + �Ω �⃗ � �������⃗ �⃗𝑀 = 𝑉 �⃗𝑁 𝑚𝑉 �⃗𝐺 + �Ω �⃗σ 𝐸𝑐 = 𝑉 𝑀𝑁 ∧ 𝑑𝑚𝑉 �⃗ 2 2 2 2 N

D’où l’énergie cinétique est :

(5.28)

(5.29)

(5.30)

𝑉

1 1 1 Ω 1 �⃗ ��⃗ 𝑚𝑉 �⃗𝑁 𝑚𝑉 �⃗𝐺 + �Ω �⃗σ 𝐸𝑐 = 𝑉 �⃗N = � � � 𝐺 � = [𝑉]𝑁 [𝐶]𝑁 �⃗𝑁 2 2 2 𝑉 2 �⃗N σ

(5.31)

Cas particuliers : - Si 𝑁 = 𝐺 centre d'inertie (Solide indéformable) 1 �⃗𝐺 + 1 �Ω �⃗𝐼𝐺 �Ω �⃗ 𝐸𝑐 = 2 𝑚𝑉 2 Où : 1 �⃗𝐺 est l'énergie cinétique de translation; 𝑚𝑉 2 1 ��⃗𝐼𝐺 Ω ��⃗ est l'énergie cinétique de rotation. Ω -

2

Si le solide a uniquement un mouvement de translation : 1 �⃗𝐺2 𝐸𝑐 = 2 𝑚𝑉 Si le solide est en rotation sans translation autour d'un axe fixe (𝑂, 𝑧⃗) : Le moment cinétique au point 𝑁 appartient à l'axe (𝑂, 𝑧⃗), s’ écrit : �⃗ car 𝑉 �⃗𝑁 = �⃗ �⃗N = 𝐼𝑁 �Ω σ 0 71

Soit : 𝐼𝑥𝑥 𝜎𝑁 = �𝐼𝑦𝑥 𝐼𝑧𝑥

𝐼𝑥𝑦 𝐼𝑦𝑦 𝐼𝑧𝑦

L'énergie cinétique est donc :

5.3.

𝐸𝑐 =

𝐼𝑥𝑧 0 𝐼𝑥𝑧 Ω 𝐼𝑦𝑧 � � 0 � = �𝐼𝑦𝑧 Ω� 𝐼𝑧𝑧 Ω 𝐼𝑧𝑧 Ω

(5.32)

1 1 �Ω �⃗σ �⃗N = 𝐼𝑧𝑧 Ω2 2 2

(5.33)

Grandeurs associées aux accélérations

5.3.1. Torseur dynamique 5.3.1.1. Définition Soit �a⃗M l'accélération d'un point M telle que :

𝑎⃗𝑀 =

�⃗𝑀 𝑑𝑉 𝑑𝑡

(5.34)

On appelle a�⃗M dm la quantité d'accélération élémentaire du point M, et la quantité ������⃗ AM ∧ a�⃗M dm(M), le moment dynamique au point A. Le torseur dynamique en A s'écrit :

⎛ �⃗ 𝐷 [𝐷]𝐴 = � � = ⎜ ⎜ 𝛿⃗𝐴 ⎜

� 𝑎⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀)

𝑉

������⃗ ∧ 𝑎⃗𝑀 𝑑𝑚(𝑀) � 𝐴𝑀

⎝𝑉

⎞ ⎟ ⎟ ⎟

(5.35)

⎠

Le moment dynamique obéit à la règle du transport des moments : �⃗ 𝛿⃗𝐴 = 𝛿⃗𝐵 + �����⃗ 𝐴𝐵 ∧ 𝐷

(5.36)

De la même manière que pour le torseur cinétique, le système étudié ne doit pas être nécessairement indéformable, contrairement au cas du torseur cinématique. 5.3.1.2. Calcul de la résultante dynamique La résultante du torseur dynamique est la quantité d’accélération du centre d’inertie affectée de la masse totale du système matériel. La résultante �D⃗ du torseur dynamique s'écrit : �⃗ = � 𝑑𝑚𝑎⃗𝑀 = � 𝑑𝑚 𝐷 𝑉

𝑉

�⃗𝐺 � �⃗𝑀 𝑑𝑉 𝑑 𝑑𝑃�⃗ 𝑑�𝑚𝑉 �⃗𝑀 = = � 𝑑𝑚𝑉 = 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(5.37)

𝑉

72

Le point G est le centre d'inertie. S'il y a conservation de la masse, la résultante �D⃗ est donc égale au produit de la masse par l'accélération du centre d'inertie : �⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺 𝐷

(5.38)

5.3.1.3. Théorème de Koenig relatif au moment dynamique Par définition, le moment dynamique en G par rapport à un référentiel R 0 est (R k est le référentiel de Koenig) : ������⃗ ∧ 𝑎⃗𝑀⁄𝑅 𝑑𝑚 = � 𝐺𝑀 ������⃗ ∧ �𝑎⃗𝐺⁄𝑅 + 𝑎⃗𝑀⁄𝑅 �𝑑𝑚 𝛿⃗𝐺⁄𝑅0 = � 𝐺𝑀 0 0 𝑘

(5.39)

������⃗𝑑𝑚� ∧ 𝑎⃗𝐺⁄𝑅 + � 𝐺𝑀 ������⃗ ∧ 𝑎⃗𝑀⁄𝑅 𝑑𝑚 𝛿⃗𝐺⁄𝑅0 = �� 𝐺𝑀 0 𝑘

(5.40)

𝛿⃗𝐺⁄𝑅𝑘 = � ������⃗ 𝐺𝑀 ∧ 𝑎⃗𝑀⁄𝑅𝑘 𝑑𝑚

(5.41)

𝑉

𝑉

𝑉

𝑉

������⃗dm = 0, car G est le centre d'inertie du système matériel, et, par définition, Or ∫V GM 𝑉

On a donc l'égalité : �⃗ δG⁄R0 = �⃗ δG⁄Rk Le théorème de Koenig est alors :

�����⃗ ∧ 𝐷 �⃗𝑅 𝛿⃗𝐺⁄𝑅0 = 𝛿⃗𝐺⁄𝑅𝑘 + 𝐴𝐺 0

(5.42)

5.3.1.4. Calcul du moment dynamique

������⃗ ∧ dmV �⃗M est : Pour rappel, la dérivée de l'expression suivante ∫V AM

������⃗ �⃗𝑀 𝑑 𝑑𝐴𝑀 𝑑𝑉 �⃗𝑀 = � �⃗𝑀 + � ������⃗ � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑚𝑉 ∧ 𝑑𝑚𝑉 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉

𝑉

D'ici, on peut écrire que :

� ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑚

𝑉

Donc :

𝛿⃗𝐴 = � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑚 𝑉

𝑉

������⃗ �⃗𝑀 𝑑𝑉 𝑑 𝑑𝐴𝑀 �⃗𝑀 − � �⃗𝑀 = � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑚𝑉 ∧ 𝑑𝑚𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡

D'où, le moment dynamique qui s'écrit :

(5.43)

𝑉

(5.44)

𝑉

������⃗ �⃗𝑀 𝑑𝑉 𝑑 𝑑𝐴𝑀 �⃗𝑀 = � ������⃗ 𝐴𝑀 ∧ 𝑑𝑚 − � ∧ 𝑑𝑚𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑉

(5.45)

𝑉

73

𝛿⃗𝐴 =

𝑑𝜎⃗𝐴 �⃗𝑀 − 𝑉 �⃗𝐴 � ∧ 𝑑𝑚𝑉 �⃗𝑀 − � �𝑉 𝑑𝑡

Le moment dynamique devient alors :

-

-

𝑉

𝑑𝜎⃗𝐴 �⃗𝐴 ∧ 𝑚𝑉 �⃗𝑀 +𝑉 𝑑𝑡 si 𝐴 est confondu avec le centre d'inertie 𝐺, on aura : �⃗ 𝑑𝜎 𝛿⃗𝐺 = 𝐺 𝛿⃗𝐴 =

𝑑𝑡

�⃗𝐴 = si A est un point géométrique fixe (𝑉 �⃗ 𝑑𝜎 𝛿⃗𝐴 = 𝑑𝑡𝐴

(5.46)

������⃗ 𝑑𝑂𝐴 𝑑𝑡

(5.47)

= �0⃗)

Pour simplifier les calculs, le moment dynamique devra toujours être calculé à partir du moment cinétique en un point fixe ou au centre d’inertie.

5.4.

Exercices

A. Une barre homogène de longueur 𝑂𝑀 = 𝐿, de centre 𝐺 est en mouvement dans un repère orthonormé fixe 𝑅0 (𝑂, 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 ). On définit deux repères 𝑅1 et 𝑅2 tel que : 𝑅1 (𝑂, 𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ) repère mobile tel que : 𝑧⃗0 = 𝑧⃗1 et 𝜃 = (𝑥⃗0 , 𝑥⃗1 ) = (𝑦⃗0 , 𝑦⃗1 ) ; 𝑅2 (𝑂, 𝑥⃗2 , 𝑦⃗2 , 𝑧⃗2 ) repère mobile tel que : 𝑦⃗1 = 𝑦⃗2 et 𝛼 = (𝑥⃗1 , 𝑥⃗2 ) = (𝑧⃗1 , 𝑧⃗2 ) ; On prendra 𝑅1 comme repère de projection et comme repère relatif. Déterminer : 0 �⃗2 du repère 𝑅2 par rapport à 𝑅0 ; - La vitesse de rotation instantanée �Ω �⃗0 (𝑀) et l’accélération 𝛾⃗0 (𝑀) par dérivation ; - La vitesse 𝑉 �⃗0 (𝐺) et l’accélération 𝛾⃗0 (𝐺) par composition de mouvement ; - La vitesse 𝑉 - Le moment cinétique au point 𝑂 exprimé dans 𝑅1 ; - Le moment dynamique au point 𝑂 exprimé dans 𝑅1 ; - L’énergie cinétique de la barre. B. On considère le système suivant (Σ) composé des solides suivants : (𝑆1 ) est un coulisseau de masse 𝑚1 de centre de masse 𝐺1 lié au repère 𝑅1 en mouvement de translation rectiligne par rapport à un repère fixe 𝑅0 (𝑂, 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 ) suivant l’axe 𝑧⃗0 . (𝑆2 ) est une barre uniforme de longueur 2𝑏, de masse 𝑚2 , de centre de masse 𝐺2 lié à 𝑅2 . (𝑆3 ) est un disque homogène de rayon 𝑅, de masse 𝑚3 , de centre de masse 𝐺3 lié à 𝑅3 . 𝐴3 0 0 𝐴2 0 0 On donne les tenseur d’inertie : 𝐼𝐺2 (𝑆2 ) = � 0 𝐵2 0 � ; 𝐼𝐺3 (𝑆3 ) = � 0 𝐵3 0 � 0 0 𝐶2 𝑅2 0 0 𝐶3 𝑅 3 - Déterminer les vitesses et les accélérations des points 𝐺𝑖 avec 𝑖 = 1,2,3 ; - Calculer les moments cinétiques 𝜎⃗𝐺𝑖 (𝑆𝑖 ⁄𝑅0 ) des (𝑆𝑖 ) en 𝐺𝑖 avec 𝑖 = 1,2,3 ; - Calculer les moments dynamiques 𝛿⃗𝐺𝑖 (𝑆𝑖 ⁄𝑅0 ) des (𝑆𝑖 ) en 𝐺𝑖 avec 𝑖 = 1,2,3 ; - En déduire le moment dynamique du système au point 𝐺𝑖 : 𝛿⃗𝐺1 (Σ⁄𝑅0 ) exprimé dans 𝑅0 ; - Calculer l’énergie cinétique du système 𝐸𝑐 (Σ⁄𝑅0 ) par rapport à 𝑅0 .

74

C. Le système mécanique représenté ci-dessous est composé de deux solides. (𝑆1 ) : une barre de longueur 𝑂𝑂1 = 𝐿, de masse négligeable, maintenue à ses deux extrémités par des liaisons : sphériques 𝑂 et cylindrique en 𝑂1(d’axe 𝑥⃗1 ). Le disque (𝑆2 ) a un rayon 𝑅 et une masse 𝑚. La barre, lié au repère 𝑅1 ( 𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ), est en rotation dans le plan vertical à une vitesse angulaire 𝜃̇ par rapport au repère fixe 𝑅0 ( 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 ) autour de l’axe 𝑧⃗0 = 𝑧⃗1 . Le disque lié au repère 𝑅2 ( 𝑥⃗2 , 𝑦⃗2 , 𝑧⃗2 ), tourne autour de l’axe 𝑥⃗1 = 𝑥⃗2 à une vitesse de rotation 𝜑̇ . Le tenseur d’inertie du disque (𝑆2 ) au point 𝑂1 dans 𝑅1 est donné par : 𝐴 0 0 𝐼𝑂1 (𝑆2 ) = � 0 𝐶 0 � . On prendra 𝑅1 comme repère de projection. 0 0 𝐶 𝑅1 Déterminer : - La vitesse de rotation instantanée du disque par rapport au repère fixe ; - La vitesse et l’accélération du point 𝑂1 par la cinématique du solide ; - Le moment cinétique et le moment dynamique aux points 𝑂1 et 𝑂 par rapport à 𝑅1 ; - L’énergie cinétique du système ; - Appliquer le théorème de la résultante dynamique au système ; - Appliquer le théorème du moment dynamique au système au point 𝑂.

75

Chapitre VI DYNAMIQUE

76

6. DYNAMIQUE 6.1.

Introduction

La dynamique est l’étude du mouvement des corps matériels en liaison avec les forces qui s’exercent sur ces corps.

6.2.

Torseur d’action

On peut définir la force comme étant toute cause capable de produire ou de modifier un mouvement ou de créer une déformation. Dans le cadre de la mécanique classique on peut la classer sous trois types : -

Gravitationnelle ; Electromagnétique ; De contact.

Les deux premières engendrent des efforts à distance. Les efforts appliqués sur un système matériel peuvent être représentés mathématiquement par un torseur, appelé torseur d'action, qui s'écrit en un point O : 𝐹⃗ [𝐹]𝑜 = � � ��⃗𝑜 𝑀

(6.1)

���⃗o le moment de la force �F⃗ au Où �F⃗ représente la résultante des forces extérieures appliquées et M point O.

Les efforts extérieurs à un système matériel (S) sont les efforts exercés sur (S) par d'autres ���⃗i et des efforts à systèmes extérieurs. Si (S) est soumis à des forces localisées �F⃗i , des couples M distance de densité massique ⃗f, le torseur des efforts extérieurs exercés sur un solide (S) en un point O, s'écrit : � 𝐹⃗𝑖 + � 𝑓⃗𝑑𝑚 ⎛ ⎞ 𝐹⃗𝑒 (𝑆) ⎟ [𝐹𝑒 ]𝑜 = � �=⎜ ⎜ ⎟ ��⃗ 𝑀𝑜 (𝐹𝑒 ) ⎜ ⎟ ������⃗𝑖 ∧ 𝐹⃗𝑖 + � 𝑀 ������⃗ ∧ 𝑓⃗𝑑𝑚 ��⃗𝑖 + � 𝑂𝑀 � 𝑂𝑀 𝑖 ⎝ 𝑖 ⎠ (𝑆)

6.3.

(6.2)

Principe fondamental de la dynamique

6.3.1. Rappel de la dynamique des particules Une particule peut être considérée comme un solide ponctuel possédant une masse m mais aucune dimension. La dynamique des particules est régie par des principes basés sur les lois de Newton.

77

La dynamique des particules est régie par un groupe de proposition dites lois de Newton qui sont en fait des principes. Ces principes constituent les bases de la mécanique classique dite mécanique Newtonienne. 6.3.1.1. Première loi de Newton Dans un repère absolu (R o ), une particule π de masse m totalement isolée possède une quantité de mouvement constante. On écrit : �⃗𝑜 𝑃�⃗𝑜 = 𝑚𝑉

6.3.1.2. Deuxième loi de Newton

(6.3)

Une particule (π) est soumise à des actions de la part d'une autre particule. À l'instant t, ces actions sont représentées par le vecteur force �F⃗ s'exerçant sur π. On écrit : 𝑃�⃗𝑜 =

𝑑 �⃗𝑜 � = 𝐹⃗ �𝑚𝑉 𝑑𝑡

(6.4)

𝐹⃗ = 𝑚𝑎⃗𝑜

(6.5)

Où a�⃗o est le vecteur accélération de la particule (π).

6.3.1.3. Troisième loi de Newton

�⃗1⁄2 � et Si, à l'instant t, il y a interactions entre deux particules π1 et π2 , les forces de π1 sur π2 �F �⃗2⁄1 �sont égales et opposées sur la ligne d'action π1 π2 (Figure 5.1). de π2 sur π1 �F 𝐹⃗1⁄2 = −𝐹⃗2⁄1

(6.6)

C'est le principe de réciprocité où le principe d’action – réaction.

𝐹⃗2⁄1

.

𝜋1

.

𝜋2

𝐹⃗1⁄2

Figure 6.1. Principe d’action - réaction

78

6.3.2. Principe fondamental de la dynamique pour un système matériel Ce principe correspond à la généralisation des lois de Newton pour un système matériel possédant une dimension. L'égalité des torseurs des efforts extérieurs et dynamique s'écrit : [𝐹𝑒 ]𝑜 = [𝐷]𝑜 ⟺ �

�⃗ 𝐹⃗𝑒 𝐷 �=� � ��⃗𝑒 (𝐹𝑒 ) 𝛿⃗𝑜 𝑀

(6.7)

Il en résulte deux égalités vectorielles. Le point O est un point quelconque qui devra être judicieusement choisi afin de faciliter les calculs. 6.3.2.1. Théorème de la résultante dynamique L'égalité des résultantes des deux torseurs se traduit par : �⃗ ⟺ 𝐹⃗𝑒 = 𝐹⃗𝑒 = 𝐷

𝑑𝑃�⃗ = 𝑚𝑎⃗𝐺 𝑑𝑡

(6.8)

Nous retrouvons la deuxième loi de Newton appliquée à une particule ou la première équation du principe fondamental de la dynamique. 6.3.2.2. Théorème du moment cinétique ou moment dynamique L'égalité des moments des torseurs des efforts extérieurs et dynamique se traduit par : ��⃗𝑒 (𝐹𝑒 ) = 𝛿⃗𝑜 𝑀

(6.9)

Si l'on écrit les torseurs en un point fixe A par rapport à un repère galiléen, on a la seconde équation du principe fondamental de la dynamique, qui s'écrit : ��⃗𝐴 (𝐹𝑒 ) = 𝑀

𝑑𝜎⃗𝐴 𝑑𝑡

(6.10)

6.3.2.3. Solide mobile autour d'un axe fixe 𝚫

On considère l'axe Δ comme axe principal d'inertie, passant par un point O. Le théorème du moment cinétique en O permet d'écrire :

6.4.

Energie cinétique

��⃗ 𝑑𝜎⃗𝑜 𝑑Ω ��⃗𝑜 (𝐹𝑒 ) ⟺ 𝐼Δ ��⃗Δ (𝐹𝑒 ) =𝑀 =𝑀 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(6.11)

6.4.1. Puissance et travail d'une force �⃗ appliquée à un point matériel M de vitesse V �⃗M à l'instant t est : La puissance d'une force F �⃗ (𝑀) 𝑃 = 𝐹⃗ (𝑡)𝑉

(6.12)

79

L'unité de la puissance est le Watt (1 watt = 1 joule/sec) Le travail élémentaire accompli pendant l’intervalle de temps dt est : ������⃗ �⃗ (𝑀)𝑑𝑡 = 𝐹⃗ (𝑡)𝑑𝑂𝑀 𝑑𝑊 = 𝑃𝑑𝑡 = 𝐹⃗ (𝑡)𝑉

Le travail accompli entre deux instants t 0 et t1 est donc : 𝑡1

𝑊 = � 𝑑𝑊 = � 𝑃𝑑𝑡

(6.13)

(6.14)

𝑡0

L'unité du travail est le joule.

6.4.2. Cas des solides indéformables Le solide étant indéformable, si A et M sont deux points du solide, la puissance des efforts extérieurs est : ������⃗ ∧ Ω �⃗𝑀 𝑑𝐹⃗ = ��𝑉 �⃗𝐴 + 𝑀𝐴 ��⃗�𝑑𝐹⃗ 𝑃=�𝑉 𝐷

(6.15)

������⃗ ∧ �Ω ������⃗ ∧ 𝑑𝐹⃗ � �⃗𝐴 � 𝑑𝐹⃗ + ��𝑀𝐴 �⃗�𝑑𝐹⃗ = 𝑉 �⃗𝐴 � 𝑑𝐹⃗ + �Ω �⃗ ��𝑀𝐴 𝑃=𝑉

(6.16)

�⃗𝐴 𝐹⃗𝑒 + Ω ��⃗𝑀 ��⃗𝐴 (𝐹𝑒 ) = [𝑉]𝐴 [𝐹𝑒 ]𝐴 𝑃=𝑉

(6.17)

Finalement, la puissance des efforts extérieurs pour un solide indéformable est le produit du torseur cinématique par le torseur des efforts extérieurs :

6.4.3. Théorème de l'énergie cinétique

6.4.3.1. Cas d'un système discontinu L’énergie cinétique d'un système discontinu s’écrit : 𝑛

1 �⃗𝑖2 𝐸𝑐 = � 𝑚𝑖 𝑉 2

(6.18)

𝑖=1

On a alors :

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

�⃗ 𝑑𝐸𝑐 𝑑𝑉 �⃗ 𝑖 = � 𝑚𝑖 𝑉 �⃗ 𝑎⃗𝑖 = � 𝑚𝑖 𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝑡

Connaissant ma�⃗i = �F⃗i, il vient :

𝑛

𝑛

𝑛

𝑖=1

𝑖=1

𝑖=1

𝑑𝐸𝑐 �⃗𝑖 = � 𝐹⃗𝑖 𝑉 �⃗𝑖 = � 𝑃𝑖 = 𝑃 = � 𝑚𝑖 𝑎⃗𝑖 𝑉 𝑑𝑡

(6.19)

(6.20)

La puissance des efforts intérieurs et extérieurs est égale à la dérivée par rapport au temps de l'énergie cinétique :

80

𝑑𝐸𝑐 = 𝑃 = (𝑃𝑖𝑛𝑡 + 𝑃𝑒𝑥𝑡 ) 𝑑𝑡

(6.21)

6.4.3.2. Cas du solide indéformable (continu) Dans le cas d'un solide continu, nous avons :

Si A est un point du solide :

𝐸𝑐 =

1 �⃗𝑀2 𝑑𝑚 �𝑉 2

(6.22)

𝐷

𝑑𝐸𝑐 �⃗𝑀 𝑎⃗𝑀 𝑑𝑚 = ��𝑉 �⃗𝐴 + ������⃗ �⃗�𝑎⃗𝑀 𝑑𝑚 = �𝑉 𝑀𝐴 ∧ �Ω 𝑑𝑡

𝑑𝐸𝑐 �⃗A = [V]A [D]A ������⃗ ∧ 𝑎⃗𝑀 �𝑑𝑚 = 𝑉 �⃗𝐴 � 𝑎⃗𝑀 𝑑𝑚 + Ω ��⃗ ��𝐴𝑀 �⃗𝐴 𝐷 �⃗ + Ω ��⃗δ =𝑉 𝑑𝑡

(6.23) (6.24)

La dérivée de l'énergie cinétique est égale au produit des torseurs cinétique et dynamique. Elle est donc égale à la puissance des quantités d’accélération absolue, soit : 𝑑𝐸𝑐 = 𝑃𝑒𝑥𝑡 𝑑𝑡

(6.25)

6.4.3.3. Conservation de l'énergie mécanique Le théorème de l'énergie cinétique peut s'écrire : 𝑑𝐸𝑐 = 𝑃𝑑𝑡 = 𝑑𝑊

(6.26)

𝑑𝑊 = −𝑑𝑈

(6.27)

𝐸𝑐 + 𝑈 = Constante

(6.28)

Si toutes les forces dérivent d'un potentiel, on a alors :

Le théorème de l'énergie cinétique devient donc :

La quantité Ec + U est appelée l'énergie mécanique totale du système considéré.

6.5.

Exercices

A. Soit une barre homogène de longueur 𝐴𝐵 = 𝐿, de masse 𝑚, de centre 𝐺 dont l’extrémité 𝐴 repose sur un sol lisse et l’extrémité 𝐵 s’appuie contre mur vertical parfaitement lisse. Initialement la barre fait un angle 𝜃0 avec le mur. Les deux extrémités glissent, sans frottement, respectivement sur le sol et sur le mur. - En utilisant les théorèmes de la résultante dynamique et du moment dynamique, établir les trois équations scalaires du mouvement de la barre ; - En déduire, à partir de ces équations, l’accélération angulaire de la barre ;

81

-

3𝑔 En intégrant l’équation de l’accélération, monter que l’on a : 𝜃̇ 2 = 𝐿 (cos 𝜃0 − cos 𝜃) ; Retrouver l’expression de 𝜃̇ 2 en utilisant le théorème de conservation de l’énergie mécanique totale ; Déterminer en fonction de 𝜃 les réactions 𝑅𝐴 et 𝑅𝐵 ; En déduire l’angle pour lequel la barre quitte le mur.

B. Une barre homogène 𝐵 = 𝐿 , de masse 𝑚 est attachée initialement par son extrémité 𝐵0 par un fil inextensible à un bâti fixe. L’autre extrémité 𝐴0 repose sur un sol parfaitement lisse. Soit 𝜃0 l’angle d’inclinaison initial de la barre avec l’axe vertical (𝑂1 , 𝑦⃗0 ). A un instant t quelconque on coupe le fil et la barre tombe sans vitesse initiale. On considère que le mouvement se fait dans le plan (𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 ). Soit 𝑅1 (𝐴, 𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ) un repère lié à la barre tel ������⃗1 = 𝑥𝑥 que (𝑥⃗0 , 𝑥⃗1 ) = (𝑦⃗0 , 𝑦⃗1 ) = 𝜃. On donne 𝑂𝑂 ����⃗0 et le tenseur d’inertie de la barre en son 𝐴 0 0 𝑚𝐿2 centre d’inertie 𝐺 dans le repère 𝑅1 s’écrit : 𝐼𝐺⁄𝑅1 = � 0 0 0 � avec 𝐴 = 12 . 0 0 𝐴 𝑅1 (𝑂, ) On prendra le repère fixe 𝑅0 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 comme repère de projection. - Déterminer les vecteurs, position, vitesse, accélération absolue du point 𝐺 ; - Appliquer le théorème de la résultante dynamique au point 𝐺 ; En déduire que le centre 𝐺 de la barre reste en mouvement vertical lors de sa chute ; - Appliquer le théorème du moment dynamique au point 𝐺 ; - En déduire l’expression de l’accélération angulaire 𝜃̈ en fonction de 𝐿, 𝜃̇, 𝜃 et 𝑔.

C. Une demi sphère pleine de centre 𝐶, de rayon 𝑅, de masse 𝑀, de centre d’inertie 𝐺 est animée d’un mouvement plan par rapport au repère fixe 𝑅0 (𝑂, 𝑥⃗0 , 𝑦⃗0 , 𝑧⃗0 ). Elle est en contact avec le sol lisse en 𝐴 et le mur lisse au point 𝐵. Elle glisse sans frottement sur les deux points. Le tenseur d’inertie de la demi sphère pleine en son centre 𝐶 dans le repère 𝐴 0 0 2 𝑅1 (𝐶, 𝑥⃗1 , 𝑦⃗1 , 𝑧⃗1 ) est donné par : 𝐼𝐶⁄𝑅1 = � 0 𝐴 0 � avec 𝐴 = 5 𝑀𝑅 2 et 𝐶𝐺 = 𝑎. 0 0 𝐴 - Déterminer la vitesse et l’accélération absolue du points 𝐺 dans 𝑅0 et 𝑅1 ; - Déterminer les coordonnées du centre instantané de rotation de la demi sphère ; - Calculer les réactions 𝑁𝐴 et 𝑁𝐵 en fonction de 𝜃, 𝜃̇ et 𝜃̈ en utilisant le théorème de la résultante dynamique ; - En utilisant le théorème du moment dynamique trouver l’équation différentielle de mouvement de la demi sphère ;

82

-

En intégrant l’équation de mouvement et en prenant les conditions : 𝜃(0) = 0 et 2𝑀𝑔𝑎 𝜃̇ (0) = 0, montrer que l’on a : 𝜃̇ 2 = 𝐴 sin 𝜃 ; Retrouver l’expression de 𝜃̇ 2 en utilisant la conservation de l’énergie mécanique totale ; En déduire les expressions des réactions 𝑅𝐴 et 𝑅𝐵 et de l’angle limite 𝜃1 pour lequel la demi sphère pleine quitte le mûr.

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REFERENCES Michel COMBARNOUS, Didier DESJARDINS, Christophe BACON, Mécanique des solides. Cours et exercices corrigés, 2ème édition, Dunod, 2000 Edgard ELBAZ, Mécanique du point matériel, Ellipses, 1985 Claude CHEZE, Hélène LANGE, Mécanique générale. Cours, exercices et problèmes corrigés, Ellipses, 1998 Jean-Claude DOUBRERE, Résistance des matériaux. Cours et exercices corrigés, Eyrolles, 2010 Amar KASSOUL, Physique 4 : Mécanique Rationnelle. Cours et exercices, UHBC, 2009 Pascal OLIVE, Christian GROSSETETE, Mécanique des systèmes et du solide. Classes préparatoires scientifiques, Ellipses, 2000 Sylvie POMMIER, Yves BERTHAUD, Mécanique générale. Cours et exercices corrigés, Dunod, 2010 Hervé OUDIN, Mécanique du solide, Ecole Centrale de Nantes, 2014

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