MEETKUNDE leerplan D

pla ar Philip Bogaert

Filip Geeurickx Marc Muylaert

Roger Van Nieuwenhuyze Erik Willockx

Pr oe

leerplan D

fex em

MEETKUNDE

M.m.v. Björn Carreyn Cartoons

Dave Vanroye

3



ookalsvolgtformuleren:



|AB| |CD| = |A'B'|   |C'D'|



•

D

5 ) Bijeenevenredigheidmagje Gelijkvormige driehoeken inderdaaddemiddelstetermen



vanplaatsverwisselen.

pla ar



A

B’



b

2 IndestellingvanThalesspreektmen 

A’

van‘deverhoudingvanevenwijdigelijnstukken’.

1

gelijkvormige driehoeken  Volgendetekeningmaaktduidelijkwaaromdit

1

Definities vind je op een Y rode achtergrond, twee driehoeken zijn gelijkvormig als en slechts als hun overeenkomstige hoeken even groot P zijn en methodes staan in een X overeenkomstige zijden dezelfde verhouding hebben. oranje kader.

 woorden: nietopgaatbijniet-evenwijdigelijnstukken. in

|PQ|

|P'Q'|

Δ A'B'C' F  ABC a Δ|XY| 

want

3

2 2 )UA De beroemd ( st ) e stelling Eigenschappen vind je op C’ C=W A’ , V B=W B’ , U =W

fex em |XY| |X'Y'| in ≠  symbolen:

|PQ|

*

2

en

stelling Pythagoras =1omdat|XY|=|PQ| |A'B'|van|A'C'| |B'C'| =

|AB| |AC| in woorden:

=

|BC|

=k

een groene achtergrond.

3

X’

Y’

P’

Q’

Geschiedenis van de

wiskunde van en herkomst van In een rechthoekige driehoek is het kwadraat de  |X'Y'|   ≠1omdat|X'Y'|≠|P'Q'| en Voorbeeld: schuine zijde gelijk aan de som van debegrippen. kwadraten van de |P'Q'| In deze voorstelling zijn de zijden [AB] en [A'B'] overeenkomstige rechthoekszijden.

zijden, net als [BC] en [B'C'] en ook [AC] en [A'C'].

4

We stimuleren het gebruik

Thales van Milete (Turkijeca.624v.Chr.-ca.545v.Chr.) van wiskundesoftware in symbolen: 2 2 GeoGebra. 2 Thales van Milete leefde van (ca.) 624 tot zoals + |AB| ΔWABC is W rechthoekig in A ⇒ |BC| = |AC| W V U U B A’ B’ C’ We(ca.) noemen en , en , en overeenkomstige hoeken. A C 547 v.Chr. aan de kust van Klein-Azië, dat nu of: a2 = b25+ c2 Turkije heet. Omdat hij handelaar in oliën was, reisde

D A C=B

Aan het einde van elke paragraaf vind je een beschavingen. Z Z Z samenvatting. kenmerk Gegeven: Δ ABC rechthoekig ( Z Z Z ) schaalmodellen We zeggen ook dat Δ A'B'C' en Δ3:ABC zijn van elkaar. in A

Δ ABC a Δ A'B'C'

hij veel en maakte kennis veel niet-Europese Wemet bewijzen deze stelling:

Pas op oudere leeftijd startte hij met de studie |BC| van 2 = |AC|2 + |AB|2 Te bewijzen: 4 projectievoorstelling volgt: wetenschappen en filosofie.Bewijs: Hij zorgde voor eenUit de eerste opmerkingen:

Pr oe

Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden een evenredigheid bepalen.

B

manier verhouding van denken tussen en trachtte de wiskunde te verklaren. - nieuwe de constante der egelijkvormigheidsfactor hde o oovereenkomstige f d s t u k 3 • d r i e hzijden o e k s mnoemen e t i n g i nwe een chthoekige driehoek

2 Erofwordt gezegd dat hij in staat was een zonsverduistering voorspellen, kortweg factor. |AB| =te|BC| · |BD| waarschijnlijk deze van 585 v.

5

2 uitspraak: “Alles is|AC| water”. immers dat de oerstof water = Thales |BC| · meende |DC| pictogrammen + - uit de definitie volgt dat congruente driehoeken ook gelijkvormige driehoeken zijn. krijg je water, als duidelijkst faseveranderingen ondergaat. Als ijs smelt 2 2 TE· ONTHOUDEN |AB| + |AC| = |BC| |BD| + |BC| · |DC| de verhouding van de overeenkomstige is dan 1. stoom. Dezijden Grieken geloofden ook dat als je stoom ‘verder verdunt’, je lu = |BC| · (|BD| + |DC|) Overstaande hoeken die even groot zijn, BETEKENIS gelijkbenige driehoeken die eve = |BC| · |BC| D C [BC] Praktische afspraak: hebben, een diameter die de cirkel in twee gelijke verdeelt, GESCHIEDENIS • Je kent de betekenis van sinus, cosinus en tangens (de goniometrische waarden )2van een delen scherpe hoek inhet co = |BC| om de overeenkomstige zijden van gelijkvormige driehoeken gemakkelijk terug te vinden, spreken we af een rechthoekige driehoek. het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen die aan Thales toeges REKENMACHINE

6 ) Samenvatting

sin V B=

hoeken zodanig dat de hoekpunten van de overeenkomstige hoeken in dezelfdeCvolgorde staan b overstaande |AC|te noteren rechthoekszijde |BC|

=

a

=

over de ‘stelling van Thales’ zijn er twijfels. Geschiedkundigen hebben g

ICT

schuine zijde

Algemeen:

stelling daadwerkelijk van Thales afkomstig A is. |A'B'| |B'C'| |A'C'| C |AB| c aanliggende Als: = = rechthoekszijde In symbolen: |AB| |BC| |AC| a = = Opmerking: cos V B= b van de Maar handig is die stelling wel. Hij berekende zo de hoogte F piram |BC| a schuine zijde W C C’ = U B B’ = V A, W en W Dan: A’ = U Δ ABC a Δ dEf 2 2 2 BV tan B=

UA = Vd VB = UE

|AC|

|AB|

=

b c

=

Uit de formule a = b + c

( met UA = 90° in Δ ABC) kunnen we afleiden:

ook de afstand tussen twee schepen mee vinden. overstaandeerrechthoekszijde |A'B'| |B'C'| |A'C'| aanliggende rechthoekszijde Besluit: = = |AB| |BC| |AC| L ∆ ABC a ∆ A’B’C’

A

B

B

cB’

A

a

b

c

mide te berekenen. Hij nam de uitdaging aan en werkte als volgt.

Op de lijn die het midden van één van de zijden met de schaduw van de top (A) van de pir

plaatste hij een paaltje [DE] zodat de schaduw van de top van dit paaltje precies samenv

van de top van de piramide. Hij mat de afstanden |KL|, |AM|, |AD|, |DE| en berekende de C

pla ar

a Teken de twee gelijkvormige

driehoeken waarmee Thales



gewerkt heeft.

b Bereken de hoogte van de

L

V O OR WOORD 6

16

★★

Bij sommige basis oefeningen vind je een of twee sterretjes. Dit duidt de moeilijkheidsgraad aan.



piramide als je weet dat



|KL| = 114 m



|AM| = 96 m



|AD| = 3 m



en |DE| = 2 m.

K

M

D

6

In D ABC is PQ // BC en P ∈ [AB]; Q ∈ [AC].



Bereken |PQ| en |BC| als |AP| = 6 cm; |PB| = 3 cm en |PQ| + |BC| = 15 cm.

=

fex em 18

Achteraan in het boek vind je een trefwoordenregister en de oplossingen van de oefeningen.

Oppervlakte- en inhoudsproblemen.

Oplossingen

a Een foto heeft een lengte van 12 cm en een breedte van 8 cm. Als we deze foto op het c

inzoomen tot 120 %, wat wordt dan de omtrek en de oppervlakte? En als we uitzoomen

b Een ruit met zijde 6 cm heeft een oppervlakte van 18 cm². Deze ruit is gelijkvormig me cm. Bepaal de oppervlakte van deze ruit.

8

8

Constructie van een Pythagorasboom c Een parallellogram met zijden 6 cm en 4 cm heeft een

Elk hoofdstuk eindigt met een vaardigheid.



oppervlakte van 18 cm² en is gelijkvormig 1.1 Evenwijdige projectie (blz. 16)



met een parallellogram met een oppervlakte van 8 cm².

Bereken de zijden van dit parallellogram.2 A – B – [BA] – [BA] - {A} – [DC] Je herinnert je misschienVnog de constructie van een Pythagorasboom. Zo’n boom krijg je door, vertrekkend kleinste kegel en het volume van de kleinste kegel. d Bereken a van een vierkant, een gelijkbenige rechthoekige driehoek te construeren met depczijde van het 4 C–B–A – Aals – pbschuine – pac – pcbzijde – pca of a Vgrootste kegel vierkant. Vervolgens construeer je een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. Op de zijde van het vierkant teken je opnieuw een gelijkbenige, rechthoekige driehoek, en zo ga je nog een tijdje door. T 13 a A d mi[AB] De figuur die je krijgt is eigenlijk een fractaal. Dat is een meetkundige figuur waarin eenzelfde motief zich op 6cm b [DG] e [EB] een kleinere schaal steeds herhaalt. In gedachten kun je dat proces oneindig vaak voortzetten. c dan mi[DG] f D ADBElk klein takje kan immers weer opgevat worden als een stammetje dat een complete boom draagt. g D HGF G F x x Laten we vertrekken van een vierkant met zijde a. 14 A(–4, 5); B(0, 3); C(3, 1); ★★ e hierop Van de regelmatige piramide TABCD is gegeven: 2 wordt, heeft als schuine zijde a. H De gelijkbenige driehoek die gebouwd E a 3 , –3), E(–5, –5), F(0, –3) D( krijgen: De rechthoekszijde x kunnen weIABI = 6 cm en ITPI = 15 cm. als volgt 2 2 2 2 x2 + x2 = a2 C B De piramide wordt gesneden door het vlak EFGH 15 |AB| = 7; |CD| = 5; |EF| = 6; |GH| = 10; |IJ| = 4 B

9

Pr oe

Hier wordt uitgelegd hoe een rekenmachine je kan helpen.

A

19

★

ISBN: 978 90 4860 925 3

Kon. Bib.: D/2011/0147/062 Bestelnr.: 94 505 0048 NUR: 126

Druk: die Keure

7

17

★

A

Gegeven is een parallellogram ABCD waarbij |AB| = 4 cm en |AD| = 3 cm. De afstand tuss 2 cm. Bereken de afstand tussen de zijden [AD] en [BC].

7

Lay-out en opmaak: die Keure

E

56

P

a

x

van de opstaande zijden gaat en evenwijdig loopt

2x2 = a2 B D

9



16 a 6 Bereken de inhoud van beide delen.

a2 b 1 x2 = √2 2 2 c B 5 ABCD a A'B'C'D en de gelijkvormigheidsfactor is 4. 2 d a a a 4 = x= 2 2 a Als de omtrek van ABCD gelijk is aan 20 cm, wat is dan de omtrek van A'B'C'D'? 17 a (0,8)

b 33 m

2 , wat is dan de oppervlakte van A'B'C'D b Als de oppervlakte van ABCD gelijk is aan 60cm Als we onze boom wat laten groeien… Foto’s: Shutterstock, fotostock die Keure Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt We berekenen de nieuwe rechthoekszijde x. x worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze a 2 x2 + x2 = d n Copyright by die Keure aBrugge ook zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. 2 1.2 Stelling van Thales (blz. 28) B 2 No part of this book may be reproduced in any form by print, a2 Verantwoordelijke uitgever: N.V. die Keure, photoprint, microfilm or any other means without written permission 2x2 = 2 14 8 Kleine Pathoekeweg a3 - 8000 Brugge - België from the publisher. 3 3 4 7 2 B 3 3 2 H.R. Brugge 12.225 √ 2 a 54 24 x2 = 6 4 5 9 4 5 5 B a 10 – 3 5 3 a 2 5 2– 3 3 x= Druk: 2011 2 2 2 Er komt opnieuw een takje bij. 15 27 4 5 9 3 a2 4 4 a x x2 + x2 = a2k 64 40 2√ 2 8 10 6 16 B 3 3 a a2 2x2 = 6 2– 6 6 2 2 6 2– 3 3 2 4 B 2 a a x2 = 4 5, 6 8

pla ar En jij, op je skilatten, zou niet weten hoelang je op de schans blijft en onder welke hoek je ‘gelanceerd’ wordt. In dit boek glijden we doorheen de meetkunde en bestuderen er de beroemdste wiskundige eigenschap: De stelling van Pythagoras. O ja, de skischans is als toeristische attractie te bezoeken ten noorden van Oslo.

Pr oe

fex em

Beeld je even in wat de wereld zou zijn zonder meetkunde. Ingenieurs zouden niet kunnen berekenen hoeveel deze betonnen constructie kan dragen. De bouwheer van deze schans in Noorwegen zou maar gokken hoeveel hout hij zou nodig hebben bij het piramidevormige dak en hij zou niet weten hoeveel gelijkvormige elementen nodig zijn voor de balustrade.





Stelling van Pythagoras

1 1.1 Een brokje geschiedenis > 8 1.2 D  e stelling van Pythagoras: meetkundige voorstelling > 10 1.3 Een meetkundig bewijs > 11 1.4 Garfield en Pythagoras > 12 1.5 Pythagorasbomen > 13 1.6 Vierkantswortel > 14 1.7 Rationale en irrationale getallen > 15 1.8 Constructie van irrationale lengten > 16 1.9 Toepassingen op de stelling van Pythagoras > 17 1.10 T  oepassingen op de stelling van Pythagoras in de ruimte > 20

Vaardigheden: Een Pythagorasboom tekenen > 36



Afstand in het vlak

2 2.1 Inleiding > 40 2.2 Afstand tussen twee punten: bijzondere gevallen > 41 2.3 Afstand tussen twee punten: algemeen > 42

Pr oe

Vaardigheden:  Driehoeken, vierhoeken en rekenen met coördinaten > 52





4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Omtrek, oppervlakte en inhoud

Omtrek van een vlakke figuur > 80 Lengtematen > 81 Oppervlakte van een vlakke figuur > 81 Oppervlaktematen > 82 Inhoudsformules voor ruimtefiguren > 83 Inhoudsmaten > 84 Voorbeelden > 85 derdemachtswortel van een reëel getal > 86

fex em



pla ar

I n houd

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5

Congruentie

Congruente figuren > 58 Congruente driehoeken > 60 Congruentiekenmerken voor driehoeken > 61 Bewijzen > 63 Toepassingen > 64

Vaardigheden: Patronen ontwerpen > 77



Vaardigheden: Werken met formules > 105



5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5



5.6

Driehoeksmeting

5.7 5.8 5.9 5.10

Driehoeksmeting > 110 Sinus van een scherpe hoek > 111 Cosinus van een scherpe hoek > 111 Tangens van een scherpe hoek > 112 V  erband tussen sinus, cosinus en tangens van een hoek > 113 B  erekening van goniometrische getallen met de GRM > 114 Helling en tangens > 116 Grondformule van de goniometrie > 116 Oplossen van rechthoekige driehoeken > 117 Toepassingen > 120



Vaardigheden: Probleemoplossend denken > 136





Oplossingen





Trefwoordenregister

> 138

> 148

pla ar opbouw. Het is immers een voorbeeld van een fractaal, een meetkundige figuur die bestaat uit kleinere, ongeveer gelijkvormige figuurtjes met veel details. Dankzij de stelling van Pythagoras maak je kennis met een Pythagorasboom die zal leiden tot zo’n fractaal.

Pr oe

fex em

Wiskunde vind je ook in de groentenafdeling van je plaatselijke supermarkt. Deze Romanesco, genoemd naar de Italiaanse omschrijving van ‘Broccoli uit Rome’ is inderdaad familie van de broccoli en de bloemkool. Voor je het verorbert, moet je eerst nauwgezet kijken naar de prachtige



pla ar

fex em

6 Omzetting breuken - kommagetallen > 22

1 Een brokje geschiedenis  >  8 2 De stelling van Pythagoras: meetkundige voorstelling  >  10 3 Een meetkundig bewijs  >  11 4 Garfield en Pythagoras  >  12 5 Pythagorasbomen  >  13 6 Vierkantswortel  >  14 7 Rationale en irrationale getallen  >  15 8 Constructie van irrationale lengten  >  16 9 Toepassingen op de stelling van Pythagoras  >  17 10 Toepassingen op de stelling van Pythagoras in de ruimte  >  20 11 Samenvatting  >  23 12 Oefeningen  >  24

Vaardigheden

Een Pythagorasboom tekenen  >  36

Pr oe



Stelling van Pythagoras

1

Pythagoras van Samos

pla ar

1 ) Een brokje geschiedenis

Pythagoras werd geboren op het Griekse eiland Samos (rond 572 voor Christus). Omdat Samos op dat moment geregeerd werd door de tiran Polycrates, hield hij het daar vlug

voor bekeken en week hij uit naar Egypte. Later belandde hij via Babylonië in Zuid-Italië, in Croton, waar hij een 'school' stichtte. Deze school was een soort klooster waar de

voornaamste intellectuelen van die tijd samenkwamen. Ze hadden hun eigen regels (onder andere gehoorzaamheid, stilzwijgen,

eenvoud in kleding en bezittingen), eigen geheimen, inwijdingen en symbolen.

Het is dus te begrijpen dat de inwoners van Croton het

genootschap niet echt goed gezind waren. Er wordt zelfs verteld dat Pythagoras de dood vond toen de bevolking, rond 500 voor Christus, het huis van een leerling en vriend van

fex em

Pythagoras in brand stak, als protest tegen de aanwezigheid van het geheimzinnige broederschap.

Pythagoras verdeelde de wiskunde in 4 vakken: rekenkunde, meetkunde, sterrenkunde en … muziek! Een indeling die het meer dan 2000 jaar zou uithouden. Muziek was dus heel belangrijk voor hem en zijn leerlingen. Ze bestudeerden de wiskundige verhoudingen tussen klanken en ontdekten dat 2 tegelijk klinkende noten alleen een welluidende klank gaven als de lengte van hun snaren in een bepaalde wiskundige verhouding stond, zoals 3 tot 2 (kwint) en 2 tot 1 (octaaf).

Mensen zijn altijd bouwers geweest. Duizenden jaren geleden heeft men immense piramiden en tempels gebouwd. Eén van de eerste problemen die men moest oplossen was: hoe zetten we op het terrein een rechte hoek uit? In de tijd van de Griekse filosoof en wiskundige Pythagoras van Samos gebruikten Egyptische landmeters (zogenaamde harpedonaptai of touwspanners) een lang touw waar op gelijke afstanden van elkaar 13 knopen werden in gemaakt. Het touw werd verdeeld in 3 + 4 + 5 knopen. A

B

C

A’

Dit touw werd bij de knopen B en C vastgemaakt aan de grond. Vervolgens spant men de delen AB en CA' op en als

Pr oe

A en A' samenvallen, dan is de hoek in B gelijk aan 90°. Men noemt dit ook een ‘Egyptische driehoek’. C

A

A = A’

B

A’

A

5

4

A’

B

C

B

3

C

De Egyptische driehoek is een praktische toepassing van de omgekeerde stelling van Pythagoras: de som van de kwadraten van de kortste zijden is gelijk aan het kwadraat van de langste zijde (3 2 + 4 2 = 5 2) en dus is het een rechthoekige driehoek.

8

Er geldt

42 + 32 = 52

Inderdaad: 16 + 9 = 25

•

Stel ling van Pythagoras

pla ar

h oo fd stuk 1

5

4

Deze beroemde stelling die de naam stelling van Pythagoras draagt, is wellicht niet door Pythagoras zelf gevonden. In Babylonië, Egypte, Indië en zelfs China was de stelling al langer gekend.

3

stelling van Pythagoras

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden.

Een driehoek met zijden waarvan de lengten zich verhouden als 3 : 4 : 5 wordt een Egyptische driehoek genoemd. De hoek ten opzichte van de langste zijde is recht. Er geldt: 3 2 + 4 2 = 5 2 .a Bij een rechthoekige driehoek is de oppervlakte van het

vierkant met de schuine zijde als zijde, gelijk aan de som van de

fex em

oppervlakten van de vierkanten met de rechthoekszijden als zijde.

3

Dit geldt ook als je op de zijden halve cirkels construeert of gelijkzijdige driehoeken.

A

B

5 4

Deze eigenschap geldt ook als je op de zijden van de driehoek andere gelijkvormige figuren dan vierkanten construeert.

///

//

///

B

A

C

A

//

///

A

=A

B

//

+A

B

A

C

/

C

/

/

C

///

//

B

//

Pr oe

A

///

A∆ A = A∆ B + A∆ C

///

A

A

=A

B

+A

C

//

/

Een driehoek waarvan de zijden zich verhouden als 5 : 12 : 13 wordt een Indische driehoek genoemd. Er geldt:

C

/

/

13 2 = 5 2 + 12 2 . De hoek ten opzichte van de langste zijde is recht.

Dergelijke drietallen noemt men ook Pythagorische drietallen. Een aantal van deze getallen zijn:   3   4   5

want

A = A∆ B + A∆ C 32 + 42 = 52 ∆ A

  5

12

13

want

5 2 + 12 2 = 13 2

  6   8

10

want

6 2 + 8 2 = 10 2

  7

24

25

want

7 2 + 24 2 = 25 2

  8

15

17

want

8 2 + 15 2 = 17 2

  9

12

15

want

9 2 + 12 2 = 15 2

10

24

26

want

10 2 + 24 2 = 26 2

…

9

pla ar

2 ) De stelling van Pythagoras: meetkundige voorstelling 4 2 3 2 + = ↓ ↓



52 ↓

oppervlakte van oppervlakte van oppervlakte van 3

5 4

het rode

het oranje

het grootste

vierkant

vierkant

vierkant

De oppervlakte van het vierkant op de schuine zijde van een

rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de oppervlakten van

fex em

de vierkanten op de twee rechthoekszijden.

stelling van Pythagoras In woorden:

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. In symbolen:

BC 2 = AC 2 + AB 2 of a2 = b2 + c2

B

c

a

c

B

A

C

a

b

We illustreren met GeoGebra dat deze uitspraak steeds geldt.

Pr oe

a

10

a b

C

h oo fd stuk 1

Stel ling van Pythagoras

pla ar

Opmerking:

•

Ook het omgekeerde geldt: omgekeerde stelling van Pythagoras

Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee andere zijden, dan is deze driehoek rechthoekig.

Voorbeelden:

= 62 Een driehoek met zijden 4 cm, 5 cm en 6 cm is niet rechthoekig want: 4 2 + 5 2 Y immers: 16 + 25 Y = 36

Een driehoek met zijden 16 cm, 30 cm en 34 cm is wel rechthoekig want: 16 2 + 30 2 = 34 2 immers: 256 + 900 = 1156

Een driehoek met zijden 1,8 cm; 2,4 cm en 3 cm is wel rechthoekig want: 1, 8 2 + 2, 4 2 = 3 2

fex em

immers: 3, 24 + 5, 76 = 9 Toepassing:

Een vliegtuigmaatschappij onderzoekt of de mogelijkheid bestaat om staanplaatsen in te richten in het vliegtuig. Men denkt er ook

aan om uitklapbare zitvlakken te voorzien. Op de schets vind je de afmetingen terug. Staat het plankje loodrecht op de leuning?

20 12 cm

cm

16 cm

Oplossing: Er is een driehoek gevormd met zijden van 12 cm, 16 cm en 20 cm.

Omdat 12 2 + 16 2 = 20 2 is de driehoek rechthoekig.

20

12

De plank staat loodrecht op de leuning.

?

16

3 ) Een meetkundig bewijs

a

A

c

b

Pr oe

b

B a

a

D

b b

a

C

AABCD = ^a + b h2 en AABCD = c 2 + 4 $ a $ b 2 2 a b 2 Dus: ^a + b h .= c + 4 $ $ 2 .B a 2 + 2ab + b 2 .= c 2 + 2ab .B a 2 + b 2 .= c 2

11

pla ar

4 ) Garfield en Pythagoras James A. Garfield (1831 - 1881) Waarom geen politicus als wiskundige?

De republikein James Garfield was immers de 20ste president van Amerika. Hij bracht het van arme jongen uit de buitenwijken van Ohio tot oorlogsheld en president. Hij amuseerde zijn vrienden door simultaan te noteren: met zijn linkerhand schreef hij in het Latijn, terwijl zijn rechterhand in het Grieks schreef. Zijn succesverhaal kende echter een abrupt einde toen één van zijn politieke medestanders hem doodschoot. c

b



a

a

fex em



b

a

c

c

b



➀

➁

➀ Construeer een rechthoekige driehoek met zijden a, b en c. ➁ Verleng c met b en construeer een congruente driehoek. c

b

Z

c



c

X

c

a

b+c

b

=

X

+

a

a

c

Y

b

b



➂

b

Z

a

Y

➃

➂ Door het construeren van 6XY@ ontstaat een trapezium met basissen c en b en als hoogte c + b. Z y+V Z y = 90 ° D XYZ is rechthoekig in Z omdat V 1

2

Pr oe

➃ De oppervlakte van het trapezium:



^b + ch $ ^b + ch

2

= 2b $ c + a 2 2 2 L 2 ^b + ch2 = 2bc + a L b 2 + 2bc + c 2 = 2bc + a 2 L 2 2 b + c = a2

De stelling van Pythagoras werd door veel andere personen bewezen zoals onder andere Bhaskara en Leonardo Da Vinci. Zoek op het internet nog andere bewijzen van de stelling van Pythagoras.

12

h oo fd stuk 1

Stel ling van Pythagoras

pla ar

5 ) Pythagorasbomen

•

Een Pythagorasboom verkrijg je door, vertrekkend van een vierkant, een gelijkbenige

rechthoekige driehoek te construeren, met als schuine zijde de zijde van het vierkant.

Vervolgens construeer je een vierkant op elke rechthoekszijde van de driehoek. Op de zijden van het vierkant teken je opnieuw een gelijkbenige, rechthoekige driehoek. Ga zo nog een tijdje door.

Je kan je Pythagorasboom ook creatief

‘aankleden’. Als je handig bent kun je er zelfss

fex em

een 3D-versie van maken. Op pagina 38 leren

we je hoe je zo’n boom met GeoGebra kun tekenen.

Pythagorische drietallen en de laatste stelling van Fermat

Pythagorische drietallen zijn drie natuurlijke getallen die voldoen aan de stelling van Pythagoras. Zo is 3, 4 en 5 een pythagorisch drietal omdat 3 2 + 4 2 + 5 2. De 'primitieve pythagorische drietallen' kleiner dan 100 zijn:

3



5



8



7



20



12 9 28

5

11

60

61

13

16

63

65

15

17

33

56

65

24

25

48

55

73

21

29

13

84

85

35

37

36

77

85

40

41

39

80

89

45

53

65

72

97

Pr oe



4

12

Bovendien krijg je een nieuw pythagorisch drietal als je een pythagorisch drietal met een natuurlijk getal vermenigvuldigt.

Voorbeelden:

3

4

5



5

12

13



20

21

29



6

8

10

10

24

26

40

42

58

60

63

87



9

12

15

15

36

39



12

16

20

20

48

52

Er blijken oneindig veel natuurlijke getallen a, b en c te bestaan die voldoen aan a 2 + b 2 = c 2.

Natuurlijke getallen vinden die aan de voorwaarde a 3 + b 3 = c 3 voldoen, blijkt echter niet zo eenvoudig te zijn. Meer zelfs: er bestaan gewoonweg geen getallen die eraan voldoen. Er is zelfs een stelling die zegt dat er voor elk natuurlijk getal n  2 geen oplossingen zijn voor a n + b n = c n `a, b, c C N 0j.

Dit noteerde de Franse wiskundige Pierre de Fermat rond 1637 in de kantlijn van één van zijn boeken. Een bewijs van deze stelling heeft men bij hem echter nooit gevonden. Deze uitspraak werd bekend als 'het vermoeden van Fermat' en er werd eeuwenlang gezocht naar een bewijs van dit vermoeden. Het is pas in 1993 dat de Engelse wiskundige Andrew Wiles, na zeven jaar ononderbroken en hardnekkig zoeken, deze stelling heeft kunnen bewijzen.

13

pla ar

6 ) Vierkantswortel 100 = 10 omdat 10 2 = 100 4 = 2 omdat c 2 m = 4 9 3 3 9 2

vierkantswortel In woorden:

b is een vierkantswortel van a als en slechts als het kwadraat van b gelijk is aan a. In symbolen:

a = b F b2 = a

a en b zijn positieve reële getallen.

Opmerkingen:

• - 4 bestaat niet. Bij het berekenen met het rekentoestel verschijnt de vermelding ERROR

• ^ 9 h = 3 2 = 9 2 ^ 841 h = 29 2 = 841 2 Dus: ^ a h = a

fex em

2

Om vierkantswortels te berekenen gebruiken we een rekenmachine. We gebruiken hiervoor de toets

.

841 = 29 12, 25 = 3, 5  3 = 1, 73205080 ...

Deze laatste kunnen we niet als een breuk schrijven. We noemen irrationaal getal. We kunnen

3 een

3 afgerond tot op 2 decimalen schrijven als 1,73.

Toepassing:  Ee n z i j d e v a n e e n r e c h t h o e kige driehoek berekenen Voorbeeld 1:

Gegeven: D ABC, W A = 90c AC = 8, BC = 10 Gevraagd: x = AB = ?

x

D ABC, W A = 90c BC = 6, AC = 4

Gegeven: Gevraagd:

x = AC = ?

6

8

A

Pr oe

B

C

Voorbeeld 2:

B

C

6

x

4

Oplossing:

Oplossing:

We passen de stelling van Pythagoras toe in D ABC

We passen de stelling van Pythagoras toe in D ABC

AB 2 + AC 2 = BC 2 BC 2 = AB 2 + AC 2 L L 42 + x2 = 62 x2 = 82 + 62 L L 2 2 x = 62 - 42 x = 64 + 36 L L 2 2 x = 36 - 16 = 20 x = 100 L L x = 20 = 4 $ 5 = 2 5 x = 100 L de lengte van een zijde is positief x = 10

Antwoord: De lengte van 5BC? is 10.

14

A

Antwoord: De lengte van 5AC? is 2 5 .

h oo fd stuk 1

•

Stel ling van Pythagoras

2 = 0, 666 ... 3

pla ar

7 ) Rationale en irrationale getallen

In deze decimale voorstelling komt een repeterend gedeelte voor, namelijk 6. Dit noemen we de periode. 4 = 0, 3636 ... Hier is de periode 36. 11 We noemen 2 en 4 rationale getallen. 3 11 2 = 1, 41421356 ...

In deze decimale voorstelling komt geen repeterend gedeelte voor, hoever we de nauwkeurigheid ook (met computers) opdrijven.

Dit getal bevat geen periode. 7 = 2, 64575131 ...

Dit getal bevat geen periode. We noemen Besluit:

• 11 3

fex em

• 0,1515…

2 , p en

• -3 4

7 irrationale getallen.

R

Q

•7

p = 3, 1415926 ...

•

• 1,2345… •p

• 1,7 …

2

•

3

•- 7 …

• Decimale voorstellingen van rationale getallen bevatten een periode.

• Decimale voorstellingen van irrationale getallen bevatten geen periode.

• De rationale en de irrationale getallen samen noemt men de reële getallen (symbool R). Z ] rationaal getal: 7; 11 ; - 3 ; 11 ; - 3 ; 0, 3; 0, 1515... 3 4 7 8 • reëel getal: [ ] irrationaal getal: 2 ; 3 ; 7 ; p \

Pr oe

Computers kunnen heel veel decimalen weergeven van rationale en irrationale getallen:

15

E

1

D

pla ar

8 ) Constructie van irrationale lengten 1

F

1

1

B

3

4

G

5

2 1

6

A

1

C

We passen de stelling van Pythagoras toe in volgende driehoeken

fex em

in D ABC: BC 2 = 1 2 + 1 2 = 1 + 1 = 2 P BC = 2

in D BCD: CD 2 = 1 2 + ^ 2 h = 1 + 2 = 3 P CD = 3 2

in D DEC: EC 2 = 1 2 + ^ 3 h = 1 + 3 = 4 P EC = 4 = 2 2

Hoewel 2 , 3 , … irrationale getallen zijn, kunnen we toch nauwkeurig een lijnstuk tekenen waarvan de lengte 2 , 3 , … is.

Om nauwkeurig een lijnstuk te tekenen met lengte

29 cm construeer je een rechthoekige driehoek waarvan de

rechthoekszijden 2 cm en 5 cm zijn, want: 2 2 2 + 5 2 = 29 = ^ 29 h

5 cm

2 cm

Pr oe

29

16

cm

9

8

7

6

5 4=2

10 11 12

3

1

2

1

1

h oo fd stuk 1

•

Stel ling van Pythagoras

Toepassing 1:  D e w a s l i j n

pla ar

9 ) Toepassingen op de stelling van Pythagoras

C

B

A

2,5 m

2m

4,5 m

9m

De palen van een waslijn staan 9 m van elkaar verwijderd en zijn zelf 2,5 m hoog. In het midden van de waslijn

wordt een mandje met wasspelden gehangen. Hierdoor rekt de draad uit en komt het diepste punt tot op 2 m van

Oplossing: In D ABC:

fex em

de grond. Hoe lang is de draad nu geworden?

AB = 4, 5;

AC = 2, 5 - 2 = 0, 5; W A = 90c

We passen de stelling van Pythagoras toe in deze driehoek:

BC 2 = AB 2 + AC 2 L 2 BC = 4, 5 2 + 0, 5 2 L BC 2 = 20, 25 + 0, 25 = 20, 5 L BC = 20, 5 c 4, 53

Antwoord:

Pr oe

De waslijn is 2 $ 20, 5 m of ongeveer 9,06 m lang.

17

pla ar

Toepassing 2:  D e t e n t

Bij de start van het zomerkamp van hun jeugdbeweging willen Len en Stijn hun tent optrekken.

Als je weet dat de schuin geplaatste zeilen van de tent een lengte hebben van 3,5 m en dat het grondzeil 6 m breed

fex em

is, bereken dan de hoogte van de tent. Het probleem begrijpen:

A

Maak een schets van het voorvlak van de tent. Duid de gegevens erop aan. Welke lengte wordt er gezocht? Oplossing:

Het voorvlak van de tent is een gelijkbenige driehoek. We weten dat de hoogtelijn uit de top ook de middelloodlijn van de basis is.

Bijgevolg: CH = HB = 3

In D ABH ^X H = 90c h passen de stelling van Pythagoras toe AB 2 = AH 2 + HB 2 L 3, 5 2 = AH 2 + 3 2 L 12, 25 = AH 2 + 9 L 2 AH = 12, 25 - 9 = 3, 25 L AH = 3, 25 c 1, 80

Pr oe



Antwoord: De tent is ongeveer 1,80 m hoog.

18

C

3,5

H 6

B

h oo fd stuk 1

Stel ling van Pythagoras

pla ar

Toepassing 3:  D e a t h r i d e

•

Bij een deathride komen twee stuntmannen Koen en Wouter na elkaar langs een kabel naar beneden. Ilke doet volgende vaststellingen: A

B (Wouter)

J

70 m

50 m

H

E

C (Koen)

fex em

20 m

15 m

D

G

F

80 m

120 m

a Op welke afstand bevinden Koen en Wouter zich van elkaar op het moment dat Ilke de vaststellingen doet? Bereken tot op 1 cm nauwkeurig.

Het probleem begrijpen:



Welke lengte moet je zoeken?

Oplossing: H = 90c h geldt: In D BCH ^X



In welke driehoek zul je werken? BH = 50 m - 20 m = 30 m HC = 80 m - 15 m = 65 m





Antwoord:



Wouter en Koen bevinden zich op 71,59 m van elkaar.

BC 2 = BH 2 + HC 2 L 2 BC = 30 2 + 65 2 L BC 2 = 5125 L BC = 5125 . 71, 59

Pr oe

b Bereken de lengte van de kabelbaan tot op 1 cm nauwkeurig.

Het probleem begrijpen:

Oplossing:



Welke afstanden heb je nodig om de lengte

De totale lengte is:



van de kabelbaan te berekenen? In welke



driehoeken zal je dan werken?





Antwoord:

J = 90c h: In D ABJ ^V

AD = AB + BC + CD AB 2 = AJ 2 + JB = 20 2 + 15 2 = 625

2

dus: AB = 625 = 25 In D GCD ^W G = 90c h:

De totale lengte van de kabelbaan is ^25 + 71, 59 + 44, 72 h m = 141,31 m.

CD 2 = CG 2 + GD = 20 2 + 40 2 = 400 + 1600 = 2000

2

dus: CD = 2000 . 44, 72

19

G

F

Toepassing 1:  D e k u b u s De kubus c EFGH m met een ribbe van 4 cm. ABCD Op 6HD@ nemen we M zodat HM = 1 cm. Gegeven:

Gevraagd: a Bereken AM , MC en AC .

pla ar

10 ) Toepassingen op de stelling van Pythagoras in de ruimte

b Welk soort driehoek is D AMC ?

H

E

1

M

B

C

4

A

Oplossing:





= M D 2 + AD = 32 + 42 = 9 + 16 = 25

2

Y = 90c stelling van Pythagoras met ADM

2

Y = 90c stelling van Pythagoras met MDC

dus: AM = 5 cm

In D DMC : MC



2

fex em

a In D AMD: AM

2

= DC 2 + DM = 42 + 32 = 16 + 9 = 25

dus: MC = 5 cm

In D ACD : AC 2 = AD 2 + DC

2

Y = 90c stelling van Pythagoras met ADC

= 42 + 42 = 16 + 16 = 32



Pr oe



dus: AC = 32 cm = 16 $ 2 cm = 4 2 cm

b D AMC is gelijkbenig want AM = MC = 5 cm

20

4

D

Toepassing 2:   D e b a l k Gegeven:

•

Stel ling van Pythagoras

pla ar

h oo fd stuk 1

In een balk c EFGH m zijn de afmetingen 10 cm, 8 cm en 6 cm. ABCD

Gevraagd: Bereken FD . Het probleem begrijpen:

F

Bepaal een driehoek waarvan 6FD@ een zijde is. Ga na

of je voldoende elementen hebt om in die driehoek 6FD@

te berekenen. Moet je nog op zoek naar een tweede

rechthoekige driehoek om het probleem op te lossen?

H

E

6

Oplossing:

G

B

C

8

D FDB is rechthoekig in B

FD 2 = FB 2 + DB 2

(1)

10

D

fex em

FD 2 = 36 + DB

A

2

We berekenen nu BD in ∆ ABD .

Omdat deze driehoek rechthoekig is in A passen we de stelling van Pythagoras toe. D ABD is rechthoekig in A

DB 2 = AB 2 + AD

2

DB 2 = 64 + 100 = 164

(2)

We vervangen (2) in (1):

FD 2 = 36 + DB

2

FD 2 = 36 + 164 = 200 FD = 200 = 10 2

Pr oe

Antwoord: 6FD@ is 200 cm of ongeveer 14, 14 cm lang.

21

T

pla ar

Toepassing 3:  D e p i r a m i d e

TABCD is een regelmatige piramide met een vierkant als grondvlak. De zijde van het vierkant meet 16 cm en de opstaande ribbe van de piramide meet 22 cm. Bereken de hoogte van de piramide.

22

Gegeven: TABCD is een regelmatige piramide, ABCD is het grondvlak DC = 16 cm; TB = 22 cm



Gevraagd: de hoogte TH

16

B

A

16

16

H

Oplossing:

16

D

fex em

D HTC is rechthoekig in H.

C

T

We berekenen eerst HC .

?

22

H C Dit doen we in vierkant ABCD.

D DHC is rechthoekig en gelijkbenig (in een vierkant staan de

A

16

B

diagonalen loodrecht op elkaar en snijden elkaar middendoor)

stelling van Pythagoras in ∆ DHC DC 2 = DH 2 + HC 2 = 2 $ HC 2 L 2 256 = 2 $ HC L HC 2 = 128 L HC = 128 = 64 $ 2 = 8 2





16

H

In D HTC :

stelling van Pythagoras in ∆ THC TC 2 = TH 2 + HC 2 L 2 2 22 2 = TH + ^ 128 h L TH 2 = 22 2 - 128 = 356 L TH = 356

Pr oe



D

Antwoord: De hoogte is 356 cm of ongeveer 18, 87 cm .

Taak:

Bepaal met GeoGebra de hoogte van deze piramide door de situaties met passende afmetingen in het vlak te tekenen.

• Teken het vierkant ABCD. • Teken ∆ HTC.

• Bepaal de lengte van 6TH@.

22

C

11 )  Samenvatting

•

Stel ling van Pythagoras

pla ar

h oo fd stuk 1

• Je kent de stelling van Pythagoras en je kunt ze meetkundig voorstellen.

In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de schuine zijde gelijk aan de som van de kwadraten van de twee rechthoekszijden. B

a c a

b

BC 2 = AC 2 + AB of 2 a = b 2 + c2

C

• Je kent de omgekeerde stelling van Pythagoras

2

Als in een driehoek het kwadraat van een zijde gelijk is aan de som van de kwadraten van de twee

fex em

andere zijden, dan is deze driehoek rechthoekig. • Je kunt een Pythagorasboom tekenen.

• Je weet dat elk positief reëel getal een positieve en een negatieve vierkantswortel heeft. • Je kunt de vierkantswortel van een positief getal berekenen met een rekenmachine. • Je weet dat rationale getallen in hun decimale voorstelling een periode hebben en dat decimale getallen zonder periode irrationale getallen genoemd worden.

• Je weet dat de rationale en de irrationale getallen samen de verzameling van de reële getallen vormen. • Je kunt lijnstukken met irrationale lengten construeren.

Pr oe

• Je kunt de stelling van Pythagoras toepassen in vlakke figuren en ruimtefiguren.

23

pla ar

12 )  Oefeningen

1 Bereken met je rekenmachine tot op 2 decimalen nauwkeurig. a

7 + 3 =



d

5 + 6 =



e

1952 =



f

7 + 5 =

3      2

d

7      2 3

b 3 5 = c



4325 =

2 Vul in met ,  of = . a

b 3 5     

4

f

10

5 3      7

fex em

c 2 7      7 2

e 2 5     

3 Welke van volgende driehoeken MNP zijn rechthoekig? Welke hoek is recht? Kruis het passende vakje aan.

1 2 3 4 5 6 7

|MP|

|NP|

8

17

15

35

84

91

5,4

9

7,2

100

60

80

32

68

60

2,8

9,6

10

52

36

63

9

7

11

Rechthoekig

Pr oe

8

|MN|

Niet rechthoekig

… = 90c

4 Zijn volgende getallen Pythagorische drietallen?

24

1

55

33

44

2

15

9

12

3

97

65

72

4

35

20

28

5

40

24

31

Ja

Nee

ho ofdstuk 1

•

Stel l ing van Pythagoras

a

15

b

36 16

65

c

54

d

27

45

e

75

21

72

pla ar

5 Vul aan met een getal zodat je een Pythagorisch drietal krijgt.

H

Pr oe

fex em

6 Construeer 6AB@ , 6CD@ en 6EF@ zodat AB = 13 cm, CD = 18 cm en EF = 5 cm.

25

pla ar

7 Bereken x als je over de volgende gegevens beschikt. Rond je uitkomst af tot op 2 decimalen nauwkeurig. a B

c

R

29 x

25

18

A

T



b L

x

45

K

26

7,6

H

M

Pr oe

x

F

d

13



S

x

fex em



C

21



5,7

G

ho ofdstuk 1

•

Stel l ing van Pythagoras

pla ar

8 Het poppenhuis van Julie heeft onderstaande afmetingen. Bereken in cm 2 de totale oppervlakte van het dak.



52 cm



32 cm



36 cm



42 cm

fex em

9 In een gelijkzijdige driehoek is de hoogte 9 m. Hoe lang zijn de zijden? Werk tot op 1 cm nauwkeurtig.

































10 Een 8 m hoge boom is door de bliksem getroffen en is

H

geknakt. De top van de boom raakt de grond op precies

5,5 m van de stam. Op welke hoogte (op 1 cm nauwkeurig)

Pr oe

is de boom geknakt?



27

pla ar

11 De lengte van de diagonalen van een ruit bedragen 8 cm en 6 cm. Bereken de lengte van de zijde van de ruit.































fex em



12 Een ladder van 4,8 m staat tegen een muur.

De voet van de ladder is 1,6 m van de muur



verwijderd. Hoe hoog rust de ladder tegen



de muur? Werk tot op 1 cm nauwkeurig.



13 De zijde van een gelijkzijdige driehoek meet 12 cm. Bereken de hoogte van die driehoek. Werk tot op 0,01 cm

Pr oe

nauwkeurtig.

28

































14 De VRT-radiomast in Grimbergen is 165 m hoog.

Stel l ing van Pythagoras

36 m onder de top is een kabel bevestigd die naar een punt op de grond loopt, dat 40 m van de zendmast afligt. Bereken de lengte van deze kabel.





























fex em



•

pla ar

ho ofdstuk 1



15 Een man wil bij wijze van stunt een touw spannen tussen 2 torens, van 30 m en 42 m hoog en die 45 m van elkaar

H

staan. Hoe lang moet het touw minstens zijn?





Pr oe



30 m

42 m

45 m

29

driehoeken.

pla ar

16 We kunnen de stelling van Pythagoras ook toepassen in ruimtefiguren. We gaan op zoek naar rechthoekige a Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek EGA.

b Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek ACG. c Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek EIA.

d Noteer de stelling van Pythagoras voor driehoek DJH. G H B

A

I

J

b

C D



d

fex em

17 In deze balk is M het midden van 6CD@. Bereken EM .

H

c

B

M

A



6 cm

E

D

F

G 8 cm 12 cm



18 Een keukeninstallateur wil nagaan of de muren recht tegen elkaar staan.

Vanaf het hoekpunt meet hij op beide muren 135 cm af. Nu meet hij tussen de twee punten 1,90 m. Staan deze muren loodrecht tegen elkaar?

Pr oe



30

C

v

E

a

v

F

m 135 cm 135 c 190 cm

H

19 Stef zwemt een 22 m brede rivier over. Aan de overkant stelt hij vast dat hij 45 m stroomafwaarts is gedreven. a Duid op de tekening de afmetingen aan. b Hoeveel meter heeft Stef gezwommen?

•

Stel l ing van Pythagoras

pla ar

ho ofdstuk 1



Een heel oude opgave, uit ongeveer 1800 voor Christus, is te vinden op een Babylonisch kleitablet

fex em

20

(in het bezit van het British Museum te Londen).



De vertaling luidt: “Een balk met de lengte 3 stond helemaal tegen een muur aan. Hij is weggeschoven, waarbij het boveneind 0,6 omlaag is geschoven. Hoe ver is hij beneden van de muur weggeschoven?”



Pr oe



21 Twee even hoge palen staan 10 meter van elkaar verwijderd. Er is een touw strak gespannen tussen de twee toppen

H

van de palen. Wanneer een koorddanser in het midden van het touw komt, is het touw 50 cm doorgezakt.



Hoeveel cm is het touw uitgerekt door het gewicht van de koorddanser?



31

Een balk waarbij M het midden is van 6FG@ . AD = 9 cm



DC = 4 cm



GC = 3 cm

M

F

G

pla ar

22 Gegeven:

H

E

3

B



Gevraagd:

a Bereken AC . Werk in ∆ ABC.



b Bereken AG .



4

A

c Bereken AM

H



















fex em



H

C

23 Bereken de lengte van de diagonaal 5AG? van een kubus met zijde 1 cm.

F



1

A

F

G



H

Pr oe

E











14





B

C



4

A

32

G H

E

B

6

D



C 1

1

24 Bereken de lengte van de diagonaal 5BH? van een balk met l = 6 cm; b = 4 cm en h = 14 cm.

H

D

9

D

•

Stel l ing van Pythagoras

pla ar

ho ofdstuk 1

25 Is het mogelijk om een stok met lengte 1 meter in deze gesloten balkvormige doos te krijgen?

50 cm



80 cm



fex em



40 cm

26 Bereken de hoogte h van deze kegel.



12 cm



h



4 cm



27 Van een piramide is het grondvlak een vierkant met zijde 6 cm en de hoogte 18 cm. Bereken de lengte van de

H

Pr oe

opstaande zijde. Werk tot op 0,1 cm nauwkeurig.



T

















D

H

A



18

6

6

B

C







33

doorsnede.

pla ar

28 Een kubusvormig stuk hout met zijde 20 cm wordt in twee stukken gesneden. Bereken de oppervlakte van de



20



20



fex em



29 De ruimtediagonaal van een kubus is 3. De oppervlakte van deze kubus is a  3   b  3 3    c  18   d  36   e  54 JWO 2009, 2de ronde, probleem 26 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw



Pr oe

30 Welke rechthoekige driehoek heeft een omtrek met hetzelfde maatgetal als zijn oppervlakte (bv. 7 cm en 7 cm 2)? Een driehoek met rechthoekszijden

a  3 cm en 4 cm   b  6 cm en 8 cm   c  9 cm en 12 cm   d  12 cm en 16 cm   e  15 cm en 20 cm JWO 2005, 2de ronde, oefening 17 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw



34

31 Naast de gekende piramides van

H

Cheops en Chefren staat ook de minder indrukwekkende piramide van Mykerinos. Het grondvlak is een vierkant met zijde 108 m en elke opstaande zijde van deze piramide is 97 m lang.

Bereken de hoogte van deze piramide.



Werk tot op 1 cm nauwkeurig.

•

Stel l ing van Pythagoras

pla ar

ho ofdstuk 1



fex em



Pr oe















35

pla ar

Een Pythagorasboom tekenen

Teken zelf (met of zonder computer) een Pythagorasboom. Laat je creativiteit werken!

Pr oe

fex em

Hieronder een aantal voorbeelden

een Pythagorasboom tekenen

36

ho ofdstuk 1

•

Stel l ing van Pythagoras

vaardigheden

pla ar

Een Pythagorasboom tekenen met GeoGebra

In GeoGebra kunnen we met macro’s werken. Macro’s zijn erg nuttig als we bepaalde handelingen meerdere keren moeten herhalen.

Aangezien het tekenen van de Pythagorasboom uit twee verschillende meetkundige constructies bestaat, leren we hoe we deze moeten uitvoeren. Tekenen van een vierkant Dit kunnen we eenvoudig via het icoontje regelmatige veelhoek.

fex em

Tekenen van een gelijkbenige rechthoekige driehoek Sluit het algebravenster (hierdoor krijgen de getekende objecten geen naam mee) en verberg de assen. Teken een willekeurig lijnstuk 6AB@. Teken de middelloodlijn van het lijnstuk 6AB@. Duid het midden C van 6AB@ aan. Teken de cirkel met als middelpunt C en die gaat door A en B. Zoek het snijpunt D van de cirkel met de getekende middelloodlijn. Teken de driehoek ADB. Door object tonen uit te vinken kun je de hulpconstructies onzichtbaar maken. Zorg ervoor dat alleen de getekende driehoek blijft staan.

We maken hier nu een macro van: • Teken met de linkermuisknop ingedrukt een rechthoek rond de getekende driehoek. • Klik dan op macro’s en kies voor Nieuwe macro aanmaken. • Kies als eindobjecten alles wat er vermeld staat en voeg er driehoek veelhoek 1 aan toe. • Kies als beginobjecten: A en B. • Klik dan op volgende en nadien op Beëindigen. • Klik op Macro’s beheren en kies als naam voor de macro: gelijkbenige rechthoekige driehoek. Vergeet niet de macro op te slaan.

Pr oe

Tekenen van een Pythagorasboom Teken een vierkant. Gebruik de macro Gelijkbenige rechthoekige driehoek om op de zijde van het vierkant bovenaan een gelijkbenige rechthoekige driehoek te construeren. Vervolgens teken we twee vierkanten, een op elke rechthoekszijde van de getekende rechthoekige driehoek. Deze stappen blijf je voortdurend herhalen tot je een mooie boom krijgt. Doe het nu zelf … 1 Maak een Pythagorasboom en wees creatief. Doe het met behulp van ICT (zoals hierboven werd beschreven) of doe het op een mooi tekenblad. 2 Probeer ook een ‘scheve’ Pythagorasboom te maken. Je gebruikt dan niet een gelijkbenige rechthoekige driehoek, maar wel een niet-gelijkbenige rechthoekige driehoek. 3 Creëer een 3D-Pythagorasboom. Gebruik piepschuim, karton, hout en natuurlijk een gezonde portie creativiteit. Zorg voor een originele titel en vergeet je handtekening niet te plaatsen.

een Pythagorasboom tekenen

37