Méthodes de calcul d*intégrales

⋇ Méthodes de calculs d’intégrales ⋇ Primitives usuelles Fonction a (réel donné)

Primitive ax

Domaine de définition ℝ

xn, n entier naturel

x n+1 n+1

ℝ

xn, n entier relatif ≠ -1

x n+1 n+1

ℝ*

xα, α réel ≠ -1

x α+1 α+1

1 x cos x sin x 1 = 1 + tan2 x cos 2 x 1 1 =1+ 2 sin x 1 + tan2 x

ℝ∗+

ln|x|

ℝ*

sin x -cos x

ℝ ℝ

tan x

x ≠ + kπ

−

π 2

1 tan x

ex

x ≠ kπ

ex

ℝ

x

ax a positif ≠ 1

a ln a

ℝ

ch x sh x

sh x ch x

ℝ ℝ

1 = 1 − th2 x ch2 x

th x

ℝ

1 1 = −1 sh2 x th2 x 1 2 x +1 1 1 − x2 1 √1 − x 2 1 √1 + x 2 1 √x 2 − 1

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−

1 th x

ℝ* ℝ

arctan x 1

1+x

2

1−x

argth x = ln

]-1,+1[

arcsin x

]-1,+1[

argsh x = ln(x + √x 2 + 1)

ℝ

argch x = ln(x + √x 2 − 1)

]1,+∞[

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a2

Fonction

Primitive

ln |x|

x ln|x| - x

tan x

- ln |cos x|

1 tan x

ln |sin x|

x ≠ kπ

th x

ln ch x

ℝ

1 th x

ln |sh x|

ℝ*

1 sin x

ln |tan |

1 cos x

ln |tan ( + )|

1 sh x

ln |th |

ℝ*

1 ch x

2 arctan ex

ℝ

1 x arctan a a

ℝ

1 x+a ln | | 2a x − a

x ≠ ±a

1 (a ≠ 0) + x2

1 (a ≠ 0) a2 − x 2 1 √a2 − x 2 1 √a2 + k

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(a > 0)

(k ≠ 0)

x

2

x

π

2

4

x

2

arcsin

x a

ln |x + √x 2 + k|

Domaine de définition ℝ* x≠

π + kπ 2

x ≠ kπ x≠

π + kπ 2

]-a,+a[

ℝ si k > 0 { } |x| > √−k si k < 0

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Méthodes générales Linéarisation (décomposition en somme) On utilise ∫ λf(x)dx + μg(x)dx = λ ∫ f(x)dx + μ ∫ g(x)dx - pour les puissances de sinus et cosinus qu’on transforme à l’aide de la formule de Moivre - pour les fractions rationnelles

Intégration par parties ∫ u(x)v ′ (x)dx = u(x)v(x) − ∫ v(x)u′ (x)dx b

b

∫ u(x)v ′ (x)dx = [u(x)v(x)]ba − ∫ v(x)u′ (x)dx a

a

On l’emploie pour : - Formule de Taylor avec reste intégral -∫ P(x)eαx dx où P est un polynôme et α un réel donné -∫ P(x) cos αx dx , ∫ P(x) sin αx dx, ∫ P(x) ch αx dx , ∫ P(x) sh αx dx -∫ f(x)g(x)dx où g est une fonction rationnelle et f une fonction non algébrique de dérivée algébrique (par exemple arctan(x) )

Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale indéfinie Soit φ bijection On a 𝐹(𝜑(𝑡)) = ∫ 𝑓(𝜑(𝑡)). 𝜑′(𝑡)𝑑𝑡 Soit on reconnait dans l’expression de l’intégrale fo𝜑 et 𝜑′ soit on introduit φ(t) pour simplifier l’intégrale

Changement de variable bijectif – Cas d’une intégrale définie b

β

∫a f(x)dx = ∫α f[φ(t)]φ′ (t)dt avec α=φ-1(a) et β=φ-1(b) On doit répercuter le changement de variable dans la fonction f, dans la différentielle dx et dans les bornes

Applications F(ax)

Si ∫ f(x)dx = F(x) + C, ∫ f(ax)dx = Si f est impaire Si f est paire

a ∫−a f(x)dx

a ∫−a f(x)dx

a

+ C (a ≠ 0)

=0 a

= 2 ∫0 f(x)dx b

b+T

Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a f(x)dx = ∫a+T f(x)dx a+T

Si f est T-périodique ∀a, b ∈ ℝ, ∫a Si u ne s’annule pas ∫

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u′(x) u(x)

b+T

f(x)dx = ∫b

f(x)dx

dx = ln|u(x)| + C

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Primitives des fractions rationnelles Intégration d’un élément simple de première espèce dx

∫ (x−a)α α entier Si α = 1 ∫

dx (x−a)

Si α ≥ 2 ∫

= ln|x − a| + C

dx (x−a)α

= ∫(x − a)−α =

(x−a)1−α

1

+ C = (α−1)(x−a)α−1 + C

1−α

Intégration d’un élément simple de seconde espèce Ax+B

∫ (x2+px+q)α dx α entier et p²-4q < 0 étape 1 on fait apparaître dans Ax+B la dérivée de x²+px+q on se retrouve avec une intégrale du type ∫

du uα

étape 2 il reste à calculer∫

dx (x2 +px+q)α

on décompose x²+px+q comme somme de deux carrés x²+px+q = t² + k² où t = x + p/2 et k = √q − et donc ∫

dx

p2 4

dt

(x2 +px+q)α

= ∫ (t2 2 )α +k

étape 3 Si α = 1 ∫

dt t2 +k2

1

t

k

k

= arctan

Si α ≥ 2 on pose t = k tan θ et θ = arctan

1 k

dt 1 + tan2 𝜃 ∫ 2 = 𝑘1−2𝛼 ∫ 𝑑𝜃 = 𝑘1−2𝛼 ∫ cos 2𝛼−2 𝜃 𝑑𝜃 2 α (t + k ) (1 + tan2 𝜃)𝛼 étape 4 puis on revient à x dans l’expression de l’intégrale

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Primitives de fonctions trigonométriques ou hyperboliques Forme sinpx cosqx avec p et q entiers relatifs * si p est impair on prend pour variable u = sin x avec la formule sin2x = 1 – cos2x on obtient une intégrale de la forme ∫ sin𝑝 𝑥 cos 𝑞 𝑥 dx = ∫ cos 𝑧 𝑥 sin 𝑥 dx = ∫ uz du si q est impair même chose avec u = cos x * Si p et q sont pair et positifs on abaisse le degré en utilisant les formules des angles doubles cos 2 𝑥 =

1+cos 2𝑥 2

et sin2 𝑥 =

1−cos 2𝑥 2

on recommence plusieurs fois si nécessaire * Si p et q pairs l’un au moins étant négatif on prend pour variable tan x = t (valable aussi pour p et q impairs)

Cas général ∫ R(sin 𝑥 , cos 𝑥) dx où R est une fraction rationnelle On essaie les changements de variables classique u = sin x, u = cos x, u = tan x En cas d’échec la méthode générale consiste à prendre comme variable tan x/2 = t On a alors x

tan = t 2

cos 𝑥 =

1−𝑡 2 1+𝑡 2

x = 2 Arctan t sin 𝑥 =

2𝑡 1+𝑡 2

dx = tan 𝑥 =

2dt 1+t2

2𝑡 1−𝑡 2

On retrouve une fraction rationnelle classique

Primitives de fonctions hyperboliques mêmes méthodes que pour les fonctions trigonométriques

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Primitives de fonctions algébriques non rationnelles Racine n-ième d’un quotient 𝑛 𝑎𝑥+𝑏

∫ √𝛼𝑥+𝛽 𝑑𝑥 𝑛 𝑎𝑥+𝑏

On prend pour variable 𝑦 = √ et on exprime x en fonction de y 𝛼𝑥+𝛽 On calcule dx et on remplace dans l’expression d’origine. On se ramène à une intégrale de fraction rationelle

Racine d’un polynôme du second degré ∫ √𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 On transforme le polynôme et on le met sous la forme 𝑘(𝑢2 + 1) ou 𝑘(1 − 𝑢2 ) ou 𝑘(𝑢2 − 1) On se retrouve donc à intégrer ∫ √𝑢2 + 1 changement de variable u = sh t ∫ √𝑢2 − 1 changement de variable u = (+ ou -)ch t ∫ √1 − 𝑢2 changement de variable u = sin t

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