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Complexes Exercice 1 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,u ⃗ ,v ⃗) On désigne par A le point d’affixe -2i et par B le point d’affixe 1 A tout point M d’affixe z et distinct de A on associe le point M’ d’affixe z’=

z+1+2i z+2i

1) a) Déterminer l’ensemble des points M tels que z’ soit imaginaire pur. b) Déterminer l’ensemble des points M tels que |z′|= 1 2) a) Montrer que BM’=

1 AM

b) En déduire que lorsque M varie sur le cercle de centre A et de rayon 2, M’ varie sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

Exercice 2 : Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O,u ⃗ ,v ⃗) 1

√3

√3

1

On considère les points A et B d’affixes respectives a= 2 + i 2 et b= 2 + 2 i 1) a) Donner l’écriture exponentielle de chacun des nombre complexes a et b. b) Vérifier que b²= a. 2) Soit C le point d’affixe c = a+b a) Placer les points A, B et C. π

√2+√6

b) Vérifier que c= 2 ei 4 3) On considère dans ℂ l’équation (E) : z²+z−c=0 a) Vérifier que b est une solution de l’équation (E). b) On désigne par d la deuxième solution de l’équation (E). −11π

√2+√6

Montrer que d= 2 ei 12 c) Placer alors, le point D d’affixe d.

Exercice 3 : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,u ⃗ ,v ⃗) On désigne par (C) le cercle de centre O et de rayon 1 et par I et A les points d’affixes respectives 1 et a= √3 + i 1) a) Donner la forme exponentielle de a. b) Construire le point A. 𝑎−1

2) Soit B le point d’affixe b= 1−𝑎̅ a) Vérifier que bb̅=1. En déduire que le point B appartient au cercle (C). b) Montrer que

b−1 a−1

est un réel. En déduire que les points A, B et I sont alignés.

c) Construire le point B dans le repère (O,u ⃗ ,v ⃗ ). 3) Soit 𝜃 un argument du nombre complexe b 2√3−3

2−2√3

Montrer que cos𝜃= 5−2√3 et sin𝜃= 5−2√3

Exercice 4 : Dans la figure ci-contre (O,u ⃗ ,v ⃗ ) est un repère orthonormé direct du plan, 𝜁 est le cercle de centre O et de rayon 2 et B est un point d’affixe zB. 1) Déterminer par une lecture graphique le module et un argument de zB. www.mahergrassi.jimdo.com

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Mr.Grassi Maher 21233990 En déduire que zB= −1+i√3 2) a) Placer sur la figure le point C d’affixe zC=1+i√3 b) Montrer que le quadrilatère OACB est un losange. 3) On se propose de déterminer l’ensemble E des points M d’affixe z tels que z 3 soit un réel positive ou nul. a) Vérifier que les points O, A et B appartiennent à E. b) Prouver que tout point M de la demi-droite [OB) appartient à E. c) Soit z un nombre complexe non nul, de module r et d’argument 𝜃. 2kπ Montrer que z 3 est une réel positif si et seulement si 𝜃= 3 ; k ∈ ℤ d) En déduire que E est la réunion de trois demi-droites que l’on déterminera Représenter E sur la figure.

Exercice 5 : 1) a) Vérifier que (5+2i)²= 21+20i b) Résoudre dans ℂ l’équation z²−(5−4i)z−3−15i=0 Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O,u ⃗ ,v ⃗ ). On désigne par A, B, A’ et B’ les Points d’affixes respectives −3i , 5−i , −3 et 1+5i 2) a) Placer les points A, B, A’ et B’. b) Montrer que OAA’ et OBB’ sont des triangles rectangles et isocèles. 3) Soit M un point de la droite (AB) d’affixe zM. a) Montrer qu’il existe un réel k tel que zM=5k+(2k−3)i b) Montrer que les droites (OM) et (A’B’) sont perpendiculaires si et seulement si le point M est le milieu du segment [AB]. Vérifier que dans ce cas A’B’=2 OM.

Exercice 6 : 1) Résoudre dans ℂ l’équation : z²−(3+4i)z−8+6i=0 2) Soit dans ℂ l’équation (E) : z 3 − (1+4i)z²− (14+2i)z−16+12i=0 a) Vérifier que (-2) est une solution de (E). b) Déterminer les nombre complexes b et c tels que z 3 −(1+4i)z²− (14+2i)z − 16+12i = (z+2)(z²+bz+c) c) Résoudre alors l’équation (E). 3) Dans le plan complexe rapport à un repère orthonormé (O,u ⃗ ,v ⃗ ). On désigne par A et B les points d’affixes respectives zA= −1+2i et zB= 4+2i a) Montrer que le triangle OAB est rectangle. b) Soit 𝜁 le cercle circonscrit au triangle OAB et D le point d’affixe 4-3i Montrer que la droite (OD) est tangente à 𝜁.

Exercice 7 : 1) a) Résoudre dans ℂ, l’équation (E) : z²−z+1=0 b) Mettre les solutions de (E) sous forme exponentielle. c) En déduire les solutions de l’équation (E’) : z 4 − z² + 1 = 0 2) Mettre le polynôme P(z)= z 4 − z² + 1 sous la forme d’un produit de deux polynômes du second degré à coefficients réels. 3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé (O,u ⃗ ,v ⃗ ). On désigne par A, B, C et D les images des solutions de l’équation (E’) telles que Re(zA)>0, Im(zA)>0, Re(zB)>0 et Im(zD)>0 a) Placer les points A, B, C et D. b) Déterminer la nature du quadrilatère ABCD. www.mahergrassi.jimdo.com

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Espace Exercice 1 : L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j, ⃗k) On considère les points A(1,0,0), B(0,2,0) et C(0,0,3) ⃗⃗⃗⃗⃗ . 1) a) Déterminer les composantes du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ AB ∧ AC b) En déduire qu’une équation du plan (ABC) est 6x+3y+2z−6=0 2) Soit I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [AC]. ⃗ et par ∆′ la droite On désigne par ∆ la droite passant par I et de vecteur directeur k passant par J et de vecteur directeur j . Donner une représentation paramétrique de chacun des droites ∆ et ∆′. 1 3 a) En déduire que ∆ et ∆′ sont sécantes au point D( , 1, ) 2

2

3) Soit (S) la sphère de centre D et passe par O. a) Vérifier que (S) passe par les points A, B et C. b) En déduire le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC. c) Donner l’équation cartésienne de la sphère (S).

Exercice 2 : L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j, ⃗k), on considère les points A(2,1,0) ; B(1,2,2) et C(3,3,1) 1) a) Montrer que les points A,B et C déterminent un plan P. b) Montrer qu’une équation cartésienne du plan P est : 𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0 2) a) Montrer que le triangle ABC est équilatéral. b) Calculer l’aire du triangle ABC. c) Déterminer les coordonnées du point G centre de gravité du triangle ABC. 3) Soit le point D(1,1,0) et M le projeter orthogonal de A sur le plan (BCD). a) Montrer que ABCD est un tétraèdre et calculer son volume 𝒱. b) Calculer AM. 4) Soit (S) l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace vérifiant : 𝑥² + 𝑦² + 𝑧² − 2𝑥 − 6𝑦 + 5 = 0 a) Montrer que (S) est une sphère dont on précisera le rayon et les coordonnées du centre I. b) Vérifier que A, B et C appartiennent à (S). En déduire l’intersection de la sphère (S) et le plan P. c) Donner des équations cartésiennes des plans P1 et P2 parallèles à P et tangents à la sphère (S).

Exercice 3 : L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (O,i, j, ⃗k), on considère la droite ∆ passant ⃗ et la droite D passant par le point par le point A(-3,-1,-3) et de vecteur directeur u ⃗ = 2i − 2j − k ⃗ B(3,2,3) et de vecteur directeur v ⃗ = i + 2j − 2k 1) a) Calculer u ⃗ .v ⃗ et det( u ⃗ ,v ⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ AB) b) Justifier que les droites ∆ et D sont orthogonales et non coplanaires c) Déterminer une équation cartésienne du plan contenant ∆ et parallèle à D. 2) Soit (S) la sphère de centre C(-1,0,-1) et de rayon 6 et P la plan d’équation 2x+y+2z+13=0 www.mahergrassi.jimdo.com

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a) Montrer que (S) et P se coupent suivant un cercle de centre A. Déterminer le rayon de ce cercle. b) Montrer que la droite D est tangente à la sphère (S) au point B. 3) a) Calculer AB. En déduire que le point C appartient au segment [AB]. b) Déterminer alors une droite perpendiculaire au droites D et ∆.

Exercice 4 : Dans la figure ci-contre OABCDEFG est un cube d’arête 1 ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) On munit l’espace du repère orthonormé (O,OA 1) a) Déterminer les composantes du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗ AC ∧ ⃗⃗⃗⃗⃗ AD. b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan (ACD) est x+y+z+1=0 2) Soit ∆ la droite passant par O et perpendiculaire au plan (ACD) a) Donner une représentation paramétrique de la droite ∆. b) Déterminer les coordonnées du point H, intersection de ∆ et le plan (ACD). 3) Pour tout réel m, on désigne par Sm l’ensemble des points M(x,y,z) de l’espace tel que : x²+y²+z²−2mx−2my−2mz−1+3m²=0 a) Montrer que pour tout réel m, Sm est une sphère dont on précisera le centre Im et le rayon r. b) Déterminer les valeur de m pour lesquelles Sm passe par le point A. 4) a) Vérifier que les centres des sphères S0 et S2 sont deux points de la droite ∆. 3

b) Justifier que le plan (ACD) coupe les deux sphères S0 et S2 suivant un meme cercle 3

qu’on précisera.

Exercice 5 : ⃗ ), L’espace est rapporté à un repère orthonormé direct (A,i, j, k et ABCDEFGH est un parallélépipède tel que ⃗⃗⃗⃗⃗ AB = 2i, ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ AD = 4j et ⃗⃗⃗⃗⃗ AE = 3k ⃗ 1) a) Vérifier que ⃗⃗⃗⃗⃗ AG = 2i+4j +3k b) Déterminer les composantes de chacun des vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗ et EB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ , EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ∧ EG EB c) Déterminer une équation cartésienne du plan (EBG). 2) Soit 𝛼 un réel différent de 1 et M le point de coordonnées (2𝛼,4𝛼,3𝛼) a) Vérifier que M décrit la droite (AG) privée du point G. b) Montrer que M n’appartient pas au plan (EBG). 3) Soit 𝒱 le volume du tétraèdre MEBG a) Exprimer 𝒱 en fonction de 𝛼. b) Calculer le volume du tétraèdre AEBG. c) Pour quelle valeur de 𝛼 , 𝒱 est-il égal au volume du parallélipède ABCDEFGH.

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Suite Exercice 1 : On considère les suites réelles (Un) et (Vn) définies par : U =1 V =2 { 0 et { 0 Un+1 = αUn + (1 − α)Vn Vn+1 = (1 − α)Un + αVn 1 Où 𝛼 un réel donné tel que 2 < 𝛼 < 1 1) Soit (tn) la suite définie sur ℕ par tn= Vn − Un a) Calculer t0 et t1. b) Montrer que pour tout entier naturel n, tn= (2α − 1)n c) En déduire la limite de tn. 2) a) Montrer que , pour tout entier naturel n, Un ≤ Vn b) Montrer que la suite Un est croissante et que Vn est décroissante. c) En déduire que les suites (Un) et (Vn) convergent vers une même limite ℓ. d) Montrer que, pour tout entier naturel n, Un+Vn=3 et en déduire la valeur de la limite ℓ.

Exercice 2 : 1) Soit a un réel strictement positif et x un réel de l’intervalle [a, a+1]. 1 1 1 a) Ordonner du plus petit au plus grand les réels , et 𝑥 a a+1 1 1 b) Déduire que ≤ ln(a+1) – ln(a) ≤ a+1 a 1 1 2) Soit (Sn) la suite définie pour n ≥ 2 par Sn= 1+ +….+ 2

a) Montrer, en utilisant (1), que Sn − 1≤ ln(𝑛) ≤ Sn lim lim ln(n) b) En déduire n→+∞ Sn puis n→+∞ S

n

n

3) On pose, pour tout entier naturel n≥2, Un= Sn − ln(n) a) Montrer que la suite (Un) est minorée. b) Montrer que la suite (Un) est décroissante. c) En déduire que la suite (Un) est convergente.

Exercice 3 : n

1 2 3 n k =− + − 3 + …+ (−1)n n k e e² e e e k 0 1) a) Montrer que pour tout entier naturel n, (2n+2)−e(2n+1) < 0 1 b) Montrer que pour tout entier naturel n, U2n+2− U2n= e2n+2 [(2n+2)−e(2n+1)] En déduire que la suite (U2n)n>0 est décroissante. 2) Montrer que la suite (U2n+1)n>0 est croissante. 3) a) Montrer que pour tout entier naturel non nul n, U2n > U2n+1 lim b) Calculer n→+∞ (U2n − U2n+1 ) 4) Montrer que la suite (Un) converge vers un réel 𝛼 et que U3< 𝛼 < U2

On considère la suite (Un) définie sur ℕ∗ par Un=  (1) k

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Exercice 4 : On considère la suite (In) définie sur ℕ∗ par In=





4 0

(tan x )n dx

1) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ , In ≥ 0. b) Montrer que (In) est une suite décroissante. c) En déduire que (In) est une suite convergente. 1 2) a) Montrer que pour tout n ∈ ℕ∗ , In+In+2= n+1 b) En déduire la limite de la suite (In). 3) Calculer I1, I2 et I4.

Exercice 5: Dans la figure ci-contre on a représenté dans un repère orthonormé la courbe Cf de la fonction x

f définie par f(x)= e− 4 ainsi que la droite ∆ d’équation y=x . 1) a) Utiliser le graphique pour justifier que l’équation f(x)=x admet dans [0,1] une solution unique 𝛼. b) Vérifier que 0,8< 𝛼15/X>10) c) Sachant qu’un client a déjà attendu 10 minute à une caisse, déterminer la probabilité que son attente totale ne dépasse pas 15 minute. On donnera une expression exacte, puis une valeur approchée à 10-2 près de la réponse. 3) On suppose que la durée d’attente à une caisse de ce supermarché est indépendante de celle des autres caisses. Actuellement 6 caisses sont ouvertes. On désigne par Y la variable aléatoire qui représente le nombre de caisse pour lesquelles la durée d’attente est supérieure à 10 minutes. a) Calculer p(Y=4) et p(Y=5) b) Calculer l’espérance mathématique de Y. c) Le gérant du supermarché ouvre des caisses supplémentaires si la durée d’attente à au moins 4 des 6 caisses est supérieure à 10 minute. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité d’ouverture de nouvelles caisses.

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Exercice 7 : Le laboratoire de physique d’un lycée dispose d’un parc d’oscilloscopes identiques. La durée de vie en années d’un oscilloscope est une variable aléatoire noté X qui suit la loi exponentielle de paramètre 𝜆. Toutes les probabilités seront données à 10-3 près. 1) Sachant que p(X>10)= 0,286, montrer qu’une valeur approchée à 10-3 près de 𝜆 est 0,125. On prendre dans la suite de l’exercice 𝜆= 0,125 2) Calculer la probabilité qu’un oscilloscope du modèle étudier ait une durée de vie inferieure à six mois. 3) Sachant qu’un appareil a déjà fonctionne huit années, quelle est la probabilité qu’il ait durée de vie supérieur à 10 ans. 4) On considère que la durée de vie d’un oscilloscope est indépendante de celle des autre appareilles. Le responsable du laboratoire décide de commander quinze oscilloscopes. Quelle est la probabilité qu’au moins un oscilloscope ait une durée de vie supérieure à 10 ans ? 5) Combien l’établissement devrait-il acheter d’oscilloscopes pour que la probabilité qu’au moins l’un d’entre eux fonctionne plus de six ans soit supérieure à 0,999 ?

Exercice 8 : La durée du devoir qui est entre vos mains est 2 heures. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le temps que vous mettez pour traiter ce devoir et qui suit une loi uniforme sur l’intervalle [0,2]. 1) Quelle est la densité de probabilité de cette loi ? 2) Quelle la probabilité que vous traitez le sujet en exactement une heure ? 3) Quelle est la probabilité que vous prenez entre 1h30mn et 2h pour le traiter ?

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Statistiques Exercice 1 : Le tableau ci-dessous donne la production d’électricité en Tunisie, exprimée en milliards de kWh, entre 1984 et 2009. Les rangs des années sont calculés par rapport à l’année 1980. Année 1984 1990 1995 2000 2005 2006 2007 2008 2009 Rang de l’année Xi 4 10 15 20 25 26 27 28 29 Production Yi 37,9 213,1 279,9 358,8 395,2 401,3 416,5 420,7 427,7 1) Représenter le nuage de points associé à la série (xi , yi). 2) Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. 3) Calculer la variance et l’écart type de X et de Y. 4) Calculer la covariance de X et Y. 5) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Interpréter le résultat. 6) a) Donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x par la méthode de moindres carrés. b) D’après cet ajustement, quelle serait la production d’électricité en 2013. 7) Compte tenu de l’allure du nuage de points, on choisit un ajustement logarithmique et on modélise la production d’électricité par la fonction f définie pour tout x de [4,+∞[ par f(x)= 197 lnx−237. a) Calculer la production d’électricité prévisible avec ce modèle pour l’année 2013. Quelle conclusion peut-on en tirer. b) Résoudre dans [4,+∞[ l’inéquation f(x) ≥ 460. c) Avec ce modèle, en quelle année peut-on prévoir que la production d’énergie dépasse 460 milliards de kWh ?

Exercice 2 : Le tableau suivant donne l’évolution du nombre d’adhérents d’un club de rugby de 2001 à 2006 Année 2001 2002 2003 2004 2005 2006 Rang xi 1 2 3 4 5 6 Nombre d’adhérents yi 70 90 115 140 170 220 1) a) Représenter le nuage de points associé à la série (xi , yi). b) indiquer si le nuage de points justifie la recherche d’un ajustement affine entre les variables X et Y. 2) calculer le coefficient de corrélation linéaire de cette série statistique. Interpréter le résultat. 3) Déterminer une équation de la droite de régression de Y en X (les coefficients seront arrondis à 10-3 près)

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4) En supposant que cet ajustement reste valable pour les années suivantes, donner une estimation du nombre d’adhérents en 2009. 5) On pose Z=lnY a) Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les valeurs de zi au millième. xi 1 2 3 4 5 6 zi 4,248 b) Déterminer une équation de la droite d’ajustement de z en x obtenue par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondies au millième). c) En déduire y en fonction de x. d) Donner une estimation du nombre d’adhérents en 2009. e) En 2009, il y a eu 430 adhérents. Lequel des deux ajustements semble le plus pertinent ? Justifier la réponse.

Exercice 3 : Le tableau suivant donne le chiffre d’affaires en millions de dinars d’une entreprise en fin de chaque année depuis l’an 2000 ( le rang de l’an 2000 égale à 0) Rang de l’année xi Chiffre d’affaires yi On pose Z= eY 1) 2) 3) 4) 5)

0 1

1 1,5

2 1,8

3 2,5

4 2,7

5 2,9

6 2,9

7 3,1

Donner le tableau correspondant à la série statistique (xi , zi) Calculer le coefficient de corrélation linéaire de X et Z. Donner la droite de régression de Z en X. Exprimer Y en fonction de X. On suppose que l’évolution du chiffre d’affaires se poursuivra selon le modèle précédent. Donner le chiffre d’affaires attendu pour l’année 2009.

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Equations différentielles Exercice 1 : On considère l’équation différentielle (E) : y’−2y= e2x 1) Vérifier que la fonction g définie sur ℝ par g(x)= x e2x est une solution de l’équation différentielle (E). 2) Résoudre l’équation différentielle (E’) : y’−2y=0 3) Montrer que f est une solution de (E) signifie (f−g) est une solution de (E’). 4) En déduire toutes les solutions de (E). 5) Déterminer, la fonction h, solution de (E) qui vérifie h(0)=1.

Exercice 2 : 1) Résoudre l’équation différentielle (E) : 9y ′′ +𝜋²y=0 2) On désigne par f la solution particulière de (E) dont la courbe représentative, dans un plan muni d’un repère orthonormé, passe par le point A(1,−√2) et admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des abscisses. Déterminer f. π

3) Vérifier que f(x)=√2 cos[ 3 (x + 2)] 4) Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [-2,-1].

Exercice 3 : On considère l’équation différentielle (E) : 5y’−2y= 16−4x 1) Résoudre l’équation différentielle (E’) : 5y’−2y=0 2) Soit la fonction g(x)=ax+b, où a et b deux réels. Déterminer les réels a et b pour que g soit solution de (E). 3) Démontrer qu’une fonction f définie sur ℝ est une solution de (E) si et seulement si f−g est solution de (E’). 4) En déduire toutes les solutions de (E).

Exercice 4 : A l’instant t=0 (t exprimé en heures) un médecin injecte à un patient une dose de 1,4 mg d’une substance médicamenteuse qui n’est pas présente dans le sang. Cette substance se répartit instantanément dans le sang, ensuite elle est progressivement éliminée. On note Q(t) la quantité de substance (en mg) présente dans le sang à l’instant t, (t ≥0). On note que la fonction Q : t ⟼Q(t) vérifie l’équation différentielle (E) : y’+ (0,115)y=0 1) Résoudre l’équation (E). 2) a) Justifier que Q(t)= 1,4 e−0,115t b) Donner le sens de variation de Q. www.mahergrassi.jimdo.com

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c) Résoudre dans [0,+∞[ l’équation Q(t)=0,7 ; la solution sera arrondie à l’unité. 3) Pour une efficacité optimale de ce médicament, sa quantité présente dans le sang doit être comprise entre 0,7mg et 1,4mg. Expliquer pourquoi le médecin prescrit à ce patient une injection de 0,7mg chaque six heures.

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Etude de fonction Exercice 1 : on a représenté dans un repère orthonormé (O, i,j) la courbe C de la fonction logarithme népérien (« ln ») .

1) Placer les points de la courbe C d’abscisses e et √e 2) Soit f la fonction définie sur ]0, + ∞[ par f(x) = ln²x –lnx +1. On note Cf sa courbe représentative dans le repère (O, i,j). lim a) Montrer que x→0 + f(x)= +∞ et

lim x→+∞

f(x) = +∞

f(x)

lim b) Calculer x→+∞ .Interpréter graphiquement le résultat. x

c) Montrer que pour tout réel x> 0, f ’(x) =

2lnx−1 x

.

d) Dresser le tableau de variation de f. 3) a) Etudier la position relative des courbes Cf et C . b) Tracer Cf. 4) soit A l’aire de la partie du plan limitée par les courbes C et Cf et les droites d’équations x=1 et x=e a) Montrer que



e

1

ln ² xdx = e−2

b) Calculer A.

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Exercice 2 : Soit (O, i,j) un repère orthonormé du plan. C est la représentation graphique de la fonction f

définie sur ℝ + par : f(x) = −

𝑥²+𝑥𝑙𝑛𝑥+𝑥 (𝑥+1)²

pour x > 0 et f(0)=0.

Le réel 𝛼 est l’abscisse du point d’intersection de la courbe Cf avec l’axe des abscisses autre que le point O

1) a) Par lecture graphique, donner le signe de f(x). b) Montrer que ln 𝛼 = −(𝛼 + 1) 2) On considère la fonction g définie sur [𝛼, +∞[ par g(x)=

xlnx x+1

+1

et on désigne par Cg la courbe représentative de g dans le repère (O, i,j) lim lim Montrer que x→+∞ g(x)=+∞ et que x→+∞

g(x) x

=0

3) a) Montrer que pour tout réel x appartenant à l’intervalle [𝛼, +∞[ , g’(x)= –

f(x) x

b) Dresser le tableau de variation de g 4) a) Montrer que g (𝛼)=1−𝛼 b) Construire alors le point de la courbe Cg d’abscisse 𝛼. c) Tracer la courbe Cg. 5) On désigne par A l’aire (en unité d’aire) de la partie du plan limitée par les courbes Cg , Cf et les droites d’équations x= 𝛼 et x=1 . a) Montrer, en utilisant une intégration par parties, que ∫α f(x)dx = −  xg ( x )  + ∫α g(x)dx 1

1

1

b) En déduire que A = 𝛼 2 − 𝛼 + 1. www.mahergrassi.jimdo.com

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Exercice 3 : Dans le graphique ci-dessous Γ est la courbe représentative, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie sur l’intervalle [0,+∞[ et dérivable sur ]0 ,+∞[.  Les points O, A et B appartiennent à Γ.  La droite (AC) est la tangente à Γ au point A.  Γ admet une branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de +∞.

1) Par une lecture graphique : a) Déterminer f(0), f(2), f(2e), f ’(2) et f ’(2e). lim lim b) Déterminer x→+∞ f(x) et x→+∞

f(x) x

c) Justifier que la restriction g de f a l’intervalle [2, +∞[ admet une fonction réciproque g −1 et préciser l’ensemble de définition de g −1 . 2) On admet que g est définie par g(x) = x(1−𝑙𝑛2 − 𝑙𝑛𝑥) , pour tout x ≥2 . On désigne par C la courbe représentative de g et par C’ celle de g −1 dans un repère orthonormé (O, i,j) du plan . Tracer les courbes C et C’. 3) Soit D la partie du plan limitée par les axes (O, i) et (O, j) et les courbes C et C’. a) Hachurer D. 2e b) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties que ∫2 g(x) dx = e2 − 3 c) Calculer l’aire de D

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Exercice 4 : Dans le repère orthonormé (O, i,j) ci-dessous, la courbe C représente la fonction f définie sur ]0,+∞[ par f(x)= ax+b

lnx x

où a et b sont deux réels.

La droite D est tangente à C au point A(1,-1) et elle passe par le point B(-1,-5).

1) Déterminer, à l’aide du graphique, f(1) et f ’(1). 2) Exprimer f ’(x) en fonction de a et b. 3) Déterminer les réels a et b. 4) On admet que f(x)= −x+3

lnx x

a) Déterminer la limite de f à droite en 0. Interpréter graphiquement le résultat. b) Montrer que la droite ∆ :y=−x est une asymptote à C en +∞. c) Etudier la position relative de C et ∆. 5) Calculer l’aire, en unité d’aire, de la partie du plan limitée par C, ∆ et les droites d’équations x=1 et x=e.

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Exercice 5 : I/ Soit g la fonction définie sur ℝ par : g(x)= e2x − 2x 1) Etudier les variations de g. 2) En déduire que pour tout réel x, on a : g(x) ≥ 1. II/ On considère la fonction f définie sur ℝ par : f(x)= e2x − 2x² On désigne par C la représentation graphique de f dans un repère orthonormé (O,i,j) 1) Dresser le tableau de variation de f. 2) Soit I le point de C d’abscisse 0. a) Montrer que I est un point d’inflexion de C. b) Déterminer une équation de la tangente (T) à C au point I. 3) Montrer que l’équation f(x)=x admet dans ℝ une solution unique 𝛼 et vérifier que -1< 𝛼