MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie ∑ C
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
LOI BI NOMIALE définition X = nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants avec une probabilité commune de succès de θ
Chapitre 4 Lois discrètes Loi binomiale
X i la v.a de Bernoulli associée au i ème essai i = 1, 2, …, n Xi =1
Loi de Poisson
avec probabilité θ
Xi =0
avec probabilité 1 - θ
X1, X2,…, X n sont indépendantes,
Loi hypergéométrique
X= ∑Xi
Applications : contrôle (maîtrise) statistique de la qualité
est appelée une variable aléatoire binomiale (loi binomiale)
notation : X ~ b( n, θ )
SQC Statistical Quality Control
:
X suit une loi binomiale de paramètres ( n, θ )
f onction de masse
Statistica : BINOM( x ; θ ; n)
f (x) = P(X = x) = Cnx θ x (1- θ ) n – x
a) introduction au SPC - cartes de contrôle
x = 0 , 1 , …., n Statistica : IBINOM( x ; θ ;n)
fonction de répartition
carte np - carte p - carte c - carte u
x
∑
F(x) = P(X ≤ x) =
b) contrôle de la qualité des lots
k ( 1- θ ) n - k
Cnk θ
k=0 moyenne - variance – écart type
Plans d’échantillonnage pour accepter ou rejeter des lots
E[X] = n θ
1 Bernard CLÉMENT, PhD
ET[X] = [n θ ( l - θ ) ] 0,5
Var[X] = n θ ( l - θ )
2
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
LOI
BI NOMIALE
au dessus d’un
paramètre indique
n=30 θ=0,5
Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)
n=30 θ=0,9
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)
0.18
0.16
0.16
0.14
0.14
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c) 0.20 0.18 0.16
0.12
0.14
0.12
0.10 0.12
0.10
0.08
0.10
0.08
une estimation
0.08
0.06
0.06
0.06
0.04
0.04
0.04
0.02
0.02
propriétés
0.00 0
2
4
a) erreur systématique = écart entre θ et E ( θ ) ^
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
0.02
binom 0.00
BINOM-2 1
3
5
7
9
n=100 θ=0,3
= E ( θ ) - θ = E ( X / n ) – θ = ( E(X) / n ) - θ = ( n θ / n) - θ = 0 b) erreur aléatoire = Var ( θ )
13
15
17
19
21
23
25
27
29
BINOM-3
0.00 3
1
5
7
9
0.09
0.08
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
n= 100 θ=0,8
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c) 0.09
0.08
pour tout θ
11
n=100 θ=0,5
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c) 0.10
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c) 0.14
0.12
0.07 0.10
0.07
= Var( θ ) = θ ( 1 – θ ) / n ≤ 0,25 / n
B I N O M I A L E (n , θ=theta)
n =30 θ=0,3
n : taille de l’échantillon - paramètre contrôlable connu θ : paramètre généralement inconnu comment estimer θ ? réponse : l’estimation de θ est θ = X / n où X = nombre succès en n essais de Bernoulli remarque : le symbole
ou
0.06
0.06
0.08
0.05 0.05 0.04
0.06
0.04 0.03
remarque : les notions de l’estimation seront développées au chapitre 6
0.03
0.04 0.02
0.02 0.01
3 Bernard CLÉMENT, PhD
0.02
0.01 BINOM-4 0.00
0.00 1
8
15
22
29
36
43
50
57
64
71
Bernard CLÉMENT, PhD
78
85
92
99
BINOM-5 1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
0.00 1
9
17
25
33
41
49
57
65
73
81
89
97
4
BINOM-6
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
de P O I S S O N
LOI
Épreuve consiste à recenser le nombre de ‘’succès’’ relatifs à des événements répartis dans le temps ou la masse ou l’espace.
Fonction de répartition
k=x F (x ) = ∑ e – λ λ
Nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance comme dans les essais de Bernoulli Événements sont étudiés en tant que « présence » (ou ‘’apparition’’) sur un intervalle continu : on compte le nombre d’apparition d’un événement spécifique. Exemple: la présence d’un défaut sur une pièce fabriquée. Définition (conditions) si 1. Stationarité : la probabilité d’une occurrence sur une unité d’épreuve
Moyenne - variance - écart type moyenne = E (X ) = λ Var ( X ) = λ
ET ( X ) = λ0,5
Ce critère seul n’est pas suffisant pour caractériser la distribution Poisson.
du nombre d’occurrence sur les autres unités
Les conditions (page 5) doivent être vérifiées mais cela n’est pas facile en pratique. Les tests d’ajustement à une distribution (Poisson et autres) seront vus au chapitre 7 pour traiter cette question.
X = nombre d’occurrence est soumise à une loi de Poisson de paramètre λ
On écrit X ~ Poi (λ ) Fonction de masse
λx/ x!
k=0
moyenne = variance
2. Indépendance : le nombre d’occurrence sur une unité est indépendant
λ
k/k!
Un critère essentiel pour une distribution Poisson
est la même pour toutes les unités;
pX ( x ) = e –
de P O I S S O N
x = 0, 1, 2, …. 5
6
Bernard CLÉMENT, PhD
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
de P O I S S O N
LOI
lambda = 5
de P O I S S O N
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
Exemples
0.20
lambda = 1
• nombre d’appels téléphoniques que reçoit un central particulier
0.18 0.16 0.14
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)
durant une période de temps (durant une heure par exemple)
0.40
0.12 0.10
• nombre d’accidents qui surviennent pendant l’heure de pointe à une intersection
0.35
0.08 0.06
0.30
• nombre de défauts dans un rouleau de papier, rouleau de tissus, une
0.04
0.25
0.02 POI-5
0.00
plaque de métal ,…… (la surface est constante d’un échantillon à l’autre)
1
0.20
3
5
7
9
11
13
15
17
19
Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c) 0.10
0.15
Important
0.09
- les conditions d’observation constituent une - définir précisément
0.08
0.10
« fenêtre »
0.07
0.05
et maintenir constante
0.06 0.05
POI-1
0.00 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
- le nombre d’occurrences est proportionnel à cette fenêtre
0.04 0.03
lambda = 20
0.02 0.01 POI-20
0.00 1
7 Bernard CLÉMENT, PhD
4
7
10
13
16
19
22
25
28
31
34
37
40
8 Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
de P O I S S O N
LOI
Exemple 1 : tissus en longueur de 50 mètres de long.
de POISSON
Exemple 2 : un composant critique d’une machine brise, en moyenne,
rouleaux contiennent (en moyenne) 2 zones inutilisables.
λ fois par période de temps. Combien ( k ) de composants devraient-on
On veut des longueurs de 10 mètres sans défauts.
stocker afin de s’assurer, avec une probabilité d’au moins de 1 – α
Achèteriez vos tissus de ce fabricant ?
(α = 0,05 et 0,01) de pouvoir faire les remplacements nécessaires en cas
Solution : hypothèses d’indépendance + probabilité proportionnelle surface + unité surface assez petite alors une seule occurrence
Solution :
Si oui, le processus est Poissonnien avec λ = 2 sur 50 mètres Sur 10 mètres, le processus est Poissonnien avec lambda = 2 / 5 = 0,4 On cherche
P(X=0) = e
– 0,4
(0,4)
0/
de bris
sans attendre la livraison
de nouveaux composants ?
X nombre total de bris du composant
On suppose que X suit une loi de Poisson avec paramètre λ à résoudre : x=k P( X ≤ k ) = ∑ e – λ λx / x ! = 1 - α x=0
0! = 0,67
k=?
Quelques valeurs ( λ, α ) - utilisation de la fonction de répartition λ 0.5 1 2 5_____ α 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01_ k 3 4 4 5 5 6 10 12
Quelle votre décision ? ………
9 Bernard CLÉMENT, PhD
10 Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
LOI de POISSON Résultat :
Exemple 3 : confection de vêtements plein air : V = R + P + D
Poisson
- Revêtement extérieur ( R) + Pellicule imper ( P ) + Doublure iso (D)
X 1, X 2, …, X k des variables aléatoires indépendantes de
Soit loi
addition de variables
Poisson
- 2 fournisseurs : fournisseur A et
de paramètres λ 1,, λ 2 , …, λ k respectivement.
Y = ∑ Xi
Alors
de POISSON
fournisseur B
- vêtement = pantalon + anorak - pantalon exige 3 m.
est une variable de loi Poisson de paramètre λ où λ= ∑λi
Questions :
Anorak exige 2 m.
1. variables suivent-elles une loi Poisson ? 2 . Calculer la probabilité que l’ensemble pantalon + anorak a) soit sans défectuosité ( X =0) ?
Résultat : approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson Si
n ≥ 100
ET θ ≤ 0.10
ET
b) ait au plus une défectuosité ( X ≤ 1) ?
n θ ≤ 10 alors
avec les tissus du fournisseur A
on peut approximer la loi binomiale ( n, θ )
tableau : nombre de défectuosités – 6 variables
par une loi de Poisson de paramètre λ = n θ
(données page suivante) 11
Bernard CLÉMENT, PhD
12 Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie R-A
P-A
D-A
R-B
P-B
D-B
1
1
1
2
4
0
2
2
4
0
2
1
1
0
3
4
3
1
0
1
1
P-A
D-A
4
1
1
0
4
3
1
Moy
2,25
1,75
2,55
2,10
2,15
1,85
5
1
3
4
2
4
4
6
1
2
2
1
2
1
Var
2,60
1,99
2,68
1,57
2,24
1,92
7
6
4
3
3
0
2
8
4
3
6
1
2
1
2. Fournisseur A lambda
Anorak
Exemple 3 : suite Nombre de défectuosités rouleau de 50 mètres R = Revêtement P = Pellicule imperméable D = Doublure A : fournisseur A
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
de POISSON
Exemple 3 : suite 1. loi de Poisson ?
R-A
R-B
P-B
D-B
R-B ne semble pas suivre une loi de Poisson
9
4
2
4
3
0
0
B : fournisseur B
10
2
3
2
2
1
4
R-A : revêtement fourn. A
11
4
5
4
2
3
3
R
(2/ 50)*2,25
(3/50)*2,25
0,225
12
2
2
4
2
0
4
P
(2/ 50)*1,75
(3/ 50)*1,75
0,175
13
0
0
0
1
4
3
0
1
1
4
4
3
D
(2/ 50)*2,55
(3/ 50)*2,55
0,255
14 15
1
0
4
3
4
0
0,393
0,655
16
2
1
4
1
2
3
a) P ( X = 0, lambda = 0,655 ) = 0,5194
17
2
0
1
2
2
0
b) P ( X ≤ 1, lambda = 0,655 ) = 0,5194 + 0,3402 = 0,8594
18
3
1
1
3
4
2
19
2
2
2
0
3
2
20
1
1
4
3
3
1
P-A : pellicule fourn. A D-A : doublure fourn. A R-B : rev. fourn. B P-B : pell. fourn . B D-B : doub. fourn B
total
0,262
Panalon
total
13
Bernard CLÉMENT, PhD
14 Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie LOI
HYPERGÉOMÉTRIQUE
Définition lot de N articles dont
D articles sont non conformes
Exemple : N = 1000
et N – D articles sont conformes échantillonnage (sans remise ) de n articles X = nombre d’articles conformes dans l’échantillon X suit une loi hypergéométrique H (n ; N ; D) Fonction de masse
f (x ) =
C Dx C N – Dn – x / C Nn
HYPERGÉOMÉTRIQUE
D = 50 n = 20 [ 50 ! / ( 0 ! 50 ! ) ] x [ 950 ! / ( 20 ! 930 ! ) ]
P(X=0) = 1000 ! / ( 20 ! 980 ! ) =
950 x 949 x …….. x 931_ 1000 x 999 x ………x 981
x = 0, 1, … , n
= 0,3549
Moyenne = E( X) = n D / N Variance = Var(x) = n D ( N – D ) ( N - n ) / ( N ( n – 1 ) )
approximation par loi binomiale : θ = 50 / 1000 = 0,05
n = 20
Approximation par une loi binomiale Si n / N ≤ 0,05
et
θ=D/N
alors
P ( X = 0 ) = θ 0 ( 1 – θ ) 20 = 0,95 20 = 0,3585
H ( n ; N ; D ) ≈ b( n ; θ ) 15 Bernard CLÉMENT, PhD
16 Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Brève introduction aux cartes de contrôle
APPLICATIONS : introduction au Contrôle Statistique de la Qualité (CSQ) méthodes du CSQ
RESSOURCES
• les plans d’échantillonnage pour accepter/ refuser lot de produits sur la
APPROVISIONNEMENT
base d’un échantillonnage :
MATÉRIAUX
« Acceptance Sampling » « CSP »
cartes de « contrôle » (= comportement) des processus : normal ou anormal ? - chapitre 4: exemples -
chapitre 8 : développements détaillés
PARAMÈTRES MESURABLES et CONTRÔLABLES
• l’analyse de capacité (chapitre 10) • la planification d’expériences : DOE – Taguchi
Fonction de transfert f
X1, X2, X 3, …
• autres : fiabilité – Quality Function Deployment ( QFD )
CARACTÉRISTIQUES CRITIQUES pour la QUALITÉ : - MESURES - COMPTAGES - ATTRIBUTS
VALEUR AJOUTÉE
• l’analyse processus de mesure ( chapitre 9)
Y
Y =f (X1, X2,..)
cartes de contrôle s’appliquent à ces variables Y
17 Bernard CLÉMENT, PhD
18
Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages carte n p
et
carte p : base loi binomiale
carte c
et
carte u : base loi Poisson
Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages carte n
Remarque : p représente le paramètre θ de la loi binomiale c représente le paramètre λ de la loi Poisson Le BUT de la carte est de signaler la présence d’une « cause spéciale » qui a produit un changement important dans comportement statistique du processus. Carte ATTRIBUT p : fraction de pièces non-conforme échantillon de n pièces ( n peut être variable) n p : nombre de pièces non conforme échantillon de n pièces ( n est fixe) Carte COMPTAGES c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe) u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable)
p variable
np constant
c constant
u variable
LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUE : en général règle 3 sigma de Shewhart ( inventeur des cartes) Ligne Centrale CL = moyenne Limite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité) Limite Inférieure LCL = moyenne - 3 * (variabilité) Formules limites de contrôle : attributs et comptages carte
n p : n p bar ± 3 [ n p bar ( 1 – n p bar ) ] 0.5
carte
p : p bar
± 3 [n p bar ( 1 – n p ba r ) / n i ] 0.5
carte
c :
c bar
± 3 ( c bar ) 0.5
carte
u :
u bar
± 3 ( c bar / n i ) 0.5
Remarque : bar représente l’opération de faire la moyenne arithmétique
19 Bernard CLÉMENT, PhD
PRODUIT ou SERVICE
ÉQUIPEMENTS PERSONNEL ENVIRONNEMENT
- chapitre 4 : introduction • la maîtrise statistique des processus : « SPC » ou
PROCESSUS étapes méthodes procédures
20 Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages Exemple 1 : carte n p - 20 échantillons de n = 2500
Exemple 2 : carte p - 30 échantillons - n = variable
X = nombre défectueux
Inspection à 100 % - 1 lot au hasard choisi chaque jour échantillonnage durant 15 jours = nombre d’échantillons X = nombre de pièces non conformes dans le lot La taille (n) du lot est variable d'une journée à l'autre
X : 23 – 43 – 22 – 34 – 21 – 33 – 29 – 31 – 34 – 31 46 – 39 – 28 – 33 – 20 – 41 – 13 – 27 – 22 – 40 Np Chart; variable: x-déf Histogram of Np
Np: 30.500 (30.500); Sigma: 5.4889 (5.4889); n: 2500.
55 50 46.967 45 40 35 30.500
30 25 20 15
14.033
10 5 0
1
2
3
4
5
6
7
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
21 Bernard CLÉMENT, PhD
jour 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
P Chart; variable: n-def
n X_ 3350 31 3354 113 1509 28 2190 20 2678 35 3252 68 4641 139 3782 12 2993 3 3382 17 3694 14 3052 8 3477 27 4051 44 3042 70
P: .01298 (.01298); Sigma: .00199 (.00199); n: 3229.8
Hi stogram of P 0.0 40 0.0 35 0.0 30 0.0 25 0.0 20
.01914
0.0 15
.01298 0.0 10
.00683 0.0 05 0.0 00 -0.005
0
1
2
3
4
2
4
6
8
10
12
14
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
Exemple 3 : carte c - 26 échantillons - X = nombre de non conformités
Exemple 4 : carte u - 10 échantillons tissus - X = nombre imperfections
X : 21 - 24 - 16 - 12 - 15 - 5 - 28 - 20 - 31 - 25 - 20 - 24 - 16 19 - 10 - 17 - 13 - 22 - 19 - 39 - 30 - 24 - 16 - 19 - 17 - 25 Histogram of C
Echant. 1 Aire 10 X 14
C: 20.269 (20.269); Sigma: 4.5021 (4.5021)
45
2 12 18
3 4 5 6 20 11 7 10 30 13 5 10
7 8 9 10 21 16 19 26 39 24 34 49
U Chart; variable: N_IMPERF
40
Histogram of U
U: 1.5526 (1.5526); Sigma: .31960 (.31960); n: 15.2
3.5
35
33.776
3.0
30 2.5 2.2857
25 2.0
20.269
20
1.5526
1.5
15 1.0 .81952
10 0.5
6.7628 5
0.0
0
0
2 1
4 3
6 5
8 7
9
10 11
5
10
15
20
25
-0.5 0
1
2
3
23 Bernard CLÉMENT, PhD
4
5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
OÙ FAIRE DE L'INSPECTION DES LOTS PAR ÉCHANTILLONAGE ?
Brève introduction aux plans d’échantillonnage des lots
Produits regroupés en lots
Réception de lots de matières premières ou de produits semi-fini provenant de fournisseurs externes.
(critère opérationnel à définir selon les circonstances et les besoins) les plans d’échantillonnage (« acceptance sampling ») réfère à l’inspection d’une partie du lot (échantillon) d’articles (produits, composants) dans le but d’obtenir une information servant de base à :
En cours de fabrication à des points de
juger le lot
contrôle fixés par le processus.
- accepter le lot en le déclarant de « qualité satisfaisante » - rejeter le lot ; continuer l’ inspection ? inspection rectificatrice ?
Avant l'expédition des produits.
Bernard CLÉMENT, PhD
25
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Bernard CLÉMENT, PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
NOTATION - TERMINOLOGIE
A V A N T A G E S de l’inspection par échantillonnage
Si le coût d'une inspection à 100% est élevé.
N : nombre d’unités dans le lot = taille du lot
Moins de manipulations du produit : moins de dommages potentiels.
n : nombre d’unités dans l’échantillon
C'est la seule alternative si le test est destructif .
D : nombre d’unités non conformes dans le lot
Si les lots sont de "grande" taille, disons plusieurs milliers d'unités.
p = D / N : proportion d’unités non conformes dans le lot
Décision plus rapide pour disposer du produit.
X : nombre d’unités non conformes dans l’échantillon
Beaucoup de lots ( flux de lots ) à inspecter.
X / n : proportion d’unités non conformes dans l’échantillon
Les conséquences économiques de livrer un lot de "mauvaise" qualité ne sont pas élevées. DÉSAVANTAGES
c = Ac : nombre d’acceptation (plan simple) si X c alors on rejette le lot
qualité satisfaisante = alpha
P a ( p ) : probabilité d’accepter un lot de non qualité p
• risque du consommateur = probabilité d'accepter un lot de mauvaise qualité = beta Bernard CLÉMENT PhD
α = alpha = risque du producteur : rejeter lot bonne qualité β = beta = risque consommateur : accepter lot mauvaise qualité 27
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
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NOTATION - TERMINOLOGIE
RISQUES DE MAUVAISES DÉCISIONS
AQL ( « Acceptable Quality Level ») QUALITÉ LOT
proportion maximale d'articles défectueux (ou non-conformes) qui peut être considéré comme moyenne satisfaisante par le producteur et le consommateur (client).
bonne
c’est une convention pour concevoir un plan d'échantillonnage.
Accepter lot
RQL ( « Rejectable quality level » )
mauvaise
1-α
β
DÉCISION
proportion minimale d'articles défectueux (non-conformes) qui peut être considéré comme moyenne non-satisfaisante par le consommateur.
Rejeter lot
c’est une convention pour concevoir le plan d’échantillonnage.
α
1- β
α : risque du producteur
Plan d'échantillonnage : ( n, Ac, Re )
β : risque du consommateur 29
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30 Bernard CLÉMENT PhD
MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie
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courbe caractéristique plan d’échantillonnage
Calcul de la probabilité d’accepter : P a ( p )
P a ( p ) : probabilité accepter lot
Plan simple : un seul échantillon de taille n est prélever
1
Plan ( N , n , c ) : échantillonnage sans remise
1- α
p = D/N qualité du lot
(D=pN)
X : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon X distribuée selon une loi de probabilité β 0
Bernard Clément PhD
Hypergéométrique ( N, D, n )
p
0
AQ L
RQ L
proportion non conforme 31
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Calcul de la probabilité d’accepter P a ( p )
pN N (1 − p ) x n − x Pa ( p ) = ∑ N x =0 n
EXEMPLE
C
=
hypergéométrique (exacte)
n x p (1 − p) n − x x =0 x
APPROXIMATION
C
c
=∑
e
− np
x =0
(np) x!
P Pa
0,005 0,990
0,010 0,940
0,020 0,737
0,030 0,498
0,040 0,304
P Pa
0,050 0,172
0,060 0,091
0,070 0,047
0,080 0,023
0,090 0,01
Binomiale : si n / N < 0.1
89 Pa = ∑ p d (1 − p) 89−d d =0 d 2
x
Poisson : si p " petit " et n est " grand "
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n = 89 c = 2
33
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Courbe caractéristique plan n = 89 c = 2
design d’un plan d’échantillonnage (n, c) : n= ?
Line Plot (ch4-SPC-v5.sta 24v*204c) 1.2
trouver n et c tels que
1
P a ( p1 ) = 1 - α
1–α
1.0
c=?
P a ( p2 ) = β
0.8
Pa : fonction répartition (page 33) Pa-p
0.6
0.4
β
0.2
0
p1
0.0
p2
p proportion d’articles non conformes
-0.2 0.005
0.015
0.025
0.035
0.045
0.055
0.065
0.075
0.085
0.095
0.105
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