MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Lexique anglais

January 15, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie-

Chapitre 6 - Distributions échantillonnales et estimation

ƒ Lexique anglais - français ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Lexique

anglais – français

• sample statistic ………. statistique échantillonnale

Constats et terminologie statistique Distribution de la moyenne – théorème central- limite Estimation : Intervalle de confiance pour la moyenne µ Calcul de la taille échantillonnale n Estimation : différence entre 2 moyennes µ 1 - µ 2 Estimation : variance σ2 - écart type σ

• sampling distribution ….. loi (distribution) d’échantillonnage • sample mean …………….. moyenne échantillonnale • estimator …………………. estimateur • estimate …………………… estimation • interval estimate ……….. estimation par intervalle • point estimate …….…….. estimation ponctuelle

ƒ Loi d’échantillonnage : quotient de 2 variances σ12/σ22 ƒ Loi d’échantillonnage : étendue R et écart type S ƒ Intervalle de tolérance pour une variable

• confidence level ………… niveau de confiance • one-sided …………………... unilatéral

Hors programme : Estimation : paramètre θ d’une loi binomiale (6.5 et 6.6) Estimation : différence θ1 - θ2 entre 2 lois binomiales

• two-sided …………………… bilatéral • paired samples ……………. échantillons appariés

6 -1

Bernard CLÉMENT, P h D

6- 2 Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Constats et terminologie statistique

Constats et terminologie statistique

• les populations statistiques sont modélisées par des lois de probabilités dont les paramètres sont toujours inconnus; • le mieux que l’on puisse faire: estimer les paramètres avec des données échantillonnales (observations ) provenant de la population; • les données ( X1, X2, …) sont transformées en statistique Y par une fonction Y = h ( X1, X2 ,…. ) et Y est une variable aléatoire le choix de h dépend de l’application envisagée ( estimation ou test) la loi de probabilité de Y s’appelle distribution d’échantillonnage; exemple : 2 échantillons de taille n provenant de la même population ( X1, X2, …Xn) et ( X1’, X2’ , ….., Xn’ ) auront une moyenne ( xbar), différente, un écart type s différent, un histogramme différent : c’est l’influence de la variabilité de l’échantillonnage; • on dispose toujours que d’un seul échantillon de taille n pour mettre en œuvre une procédure statistique : estimation ou test • paramètre statistique ξ : toute quantité associée à une loi de probabilité ex. ξ = µ : moyenne loi gaussienne , ξ = σ : écart type loi quelconque ξ = θ (1 - θ ) : moyenne loi Bernoulli ( θ)

Échantillon aléatoire : un ensemble de variables aléatoires X 1 , X 2 , , X n telles que (a) les variables sont soumises à une même loi f(x) (b) les variables sont indépendantes donc la loi conjointe : g (X1, X2, …, Xn) = f( X1)* f(X2) * …* f(Xn) Statistique : toute fonction aléatoire établie sur l’échantillon remarque : Y est une v.a Y = h (X1 , X2 , …., X n ) Estimateur : une statistique particulière conçue de façon à fournir une estimation d’un paramètre d’une loi de probabilité Estimation ponctuelle d’un paramètre ξ : est la valeur numérique ξ prise par un estimateur sur la base d’un échantillon (x1, x2,…, xn) ξ = h( x1, x2, … , xn ) Estimation par intervalle : d’un paramètre statistique ξ est un intervalle (a,b) dont les valeurs a et b dépendent de l’échantillon (x1, x2,…, xn) et une probabilité spécifiée 1 - α (appelée coefficient de confiance ) de telle sorte que : P ( a ≤ ξ ≤ b) = 1- α

6- 3

Bernard CLÉMENT, P h D

6- 4 Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Loi d’échantillonnage ( ce concept est fondamental ) tout estimateur ξ possède une loi de probabilité appelée loi (ou distribution) d’échantillonnage ; l’étude des propriétés de l’estimateur repose sur l’étude des propriétés de cette distribution. distribution d’échantillonnage

Soit X 1 , X 2,, ….. , X E( Xi ) = µ i et

Résultat 1

soient

a 1, a 2,, …. , a n des

i=n

E( ξ )

W =∑ a iX

soit

n1 ξ

Alors

n2 > n1

constantes et

une combinaison linéaire des X i

i

i=1

n2

des v. a. indépendantes telles que Var ( Xi ) = σi2 i = 1, 2, …, n

n

E( W ) = µ W = ∑ a i µ i et Var ( W ) = σw2 = ∑ ai2 σi2

remarque 1 : aucune hypothèse est nécessaire sur les lois des X i remarque 2 : si les X sont gaussiennes alors W est gaussienne

ξ

Résultat ( sous certaines conditions très générales ) : la distribution d ’échantillonnage est approximativement en forme de cloche (gaussienne) et sa dispersion (variance) diminue lorsque n augmente

Résultat 2

Soit ai = 1 / n

Var( X i ) = σ2

E(X ) = µ

i=n

W = X = Xbar = ∑ (1 / n ) X i

Estimateur sans biais ( sans erreur systématique ) : un estimateur dont la moyenne est égale au paramètre à estimer : E( ξ ) = ξ

vérifie

alors

et Var( X ) = σ2 / n

E( X ) = µ

i=1

Propriété la plus importante d’un estimateur = Var( ξ )

Résultat 3

« bon » estimateur : a une petite variance

alors X

« meilleur » estimateur : est sans biais et à variance minimum 6 -

X i ~ N ( µ , σ2 )

Si les X i sont gaussiennes

N ( µ , σ2 / n )

est gaussienne

6- 6

5

Bernard CLÉMENT, P h D

Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

uniforme

Loi de X

POPULATION

exponentielle

gaussienne H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c )

H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c )

H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c ) 8000

700

g a u s s ie n n e = 3 0 0 0 0 * 0 .1 7 1 5 * n o r m a l ( x ; - 0 . 0 0 1 8 ; 1 . 0 0 7 8 ) 2400

7000

600

2200 2000 1800

500

1600

400

300

No of obs

n=1

No of obs

5000

No of obs

Distribution de la moyenne échantillonnale et théorème central limite

6000

4000 3000

1400 1200 1000 800 600

2000

200

400

100

théorème central – limite

0 - 1 .7 3 1 8

- 1 .1 7 7 6 - 1 .4 5 4 7

- 0 .6 2 3 4 - 0 .9 0 0 5

- 0 .0 6 9 1

0 .4 8 5 1

- 0 .3 4 6 2

0 .2 0 8 0

1 .0 3 9 3 0 .7 6 2 2

u n if o r m e

7 . 21 8 4 6 .1 9 1 1

9 .2 7 3 0 8 .2 4 5 7

0 - 3 .9 0 9 5

1 1 .3 2 7 6 1 0 .3 0 0 3

- 1 .1 6 5 4 - 1 .8 5 1 4

0.206 6

1 . 57 8 7

- 0 .4 7 9 4

0.892 6

2 .9 5 0 7 2 .2 6 4 7

4 .3 2 2 7 3 .6 3 6 7

g a u s s ie n n e

His to g r a m ( c h a p 0 6 .s t a 3 1 v *3 0 0 0 0 c ) no r m2 = 1 50 0 0*0 .10 3 2*n o r ma l( x ; - 0. 0 01 8 ; 0 .71 3 9) 10 00

1800

90 0 1600

80 0

600 1400

70 0

500

1200

400

60 0 No of obs

No of obs

No of obs

n=2

1000 800

300

200

2)

10 0

0 - 0 .9 9 6 1 - 1 .1 7 7 3 - 1 .4 5 3 0

- 0 .6 2 6 0 - 0 .9 0 1 7

- 0 .0 7 4 7

0 .4 7 6 5

- 0 .3 5 0 4

0 .2 0 0 9

1 .0 2 7 8 0 .7 5 2 2

1 .5 7 9 1

0 .2 4 9 1 - 0 .3 7 3 5

1 .3 0 3 5

1 .4 9 4 4 0 .8 7 1 7

2 .7 3 9 6

3 . 98 4 8

2 .1 1 7 0

3 .3 6 2 2

5 .2 3 0 1 4 .6 0 7 4

0 - 2 .6 4 9 6

6 .4 7 5 3 5 .8 5 2 7

no rm2

H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 3 1 v *3 0 0 0 0 c ) e x p o 5 = 6 0 0 0 *0 .0 7 7 4 *n o r ma l( x ; 0 .0 0 3 1 ; 0 .4 4 5 5 )

H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 2 1 v * 3 0 0 0 0 c )

His to g r a m ( c h a p 0 6 .s t a 3 1 v *3 0 0 0 0 c )

600

un if 5 = 6 0 00 * 0 .05 72 *n or m al ( x ; 7 .93 2 7E - 5 ; 0 .45 0 6)

n o r m5 = 6 00 0* 0.0 67 2 *no rma l( x ; - 0.0 0 18 ; 0 . 4 48 9) 40 0

350

500

300

200

30 0 25 0 No of obs

No of obs

No of obs

35 0

400

250

300

150

20 0 15 0

200

i

- 1 .8 2 3 7 - 0 .9 9 7 8 - 0 .1 7 1 9 0 . 65 4 1 1 .4 8 0 0 2 .3 0 5 9 - 2 .2 3 6 7 - 1 .4 1 0 7 - 0 .5 8 4 8 0.241 1 1 .0 6 7 0 1 .8 9 2 9

expo2

u n if 2

n=5

40 0

20 0

200

0 - 1 .7 2 8 6

50 0

30 0

400

100

100

10 0

100 50

50

0 - 1 .4 4 5 5

Var ( X i ) = σ2

- 0 .9 8 7 6 - 1 .2 1 6 5

Résultat 5 Si E( X i ) = µ , i = 1, 2 ,… , n alors X suit approximativement loi gaussienne N ( µ , σ2 / n )

- 0 .5 2 9 7 - 0 .7 5 8 7

- 0 .0 7 1 9

0 .3 8 6 0

- 0 .3 0 0 8

0 .1 5 7 0

0 .8 4 3 8 0 .6 1 4 9

0 - 0 .9 3 5 5

1 .3 0 1 7

- 0 .3 1 6 2 - 0 .6 2 5 9

1 .0 7 2 7

0 .3 0 3 0

0 .9 2 2 2

- 0 .0 0 6 6

0 .6 1 2 6

1 .5 4 1 4 1 .2 3 1 8

2 .1 6 0 6 1 .8 5 1 0

0 - 1 .6 7 8 2

2 .7 7 9 9 2 .4 7 0 3

- 1 .1 4 0 9 - 1 .4 0 9 6

- 0 .6 0 3 7 - 0 .8 7 2 3

- 0 .0 6 6 4 - 0 .3 3 5 0

ex po5

u n if 5 H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 2 1 v * 3 0 0 0 0 c ) u n if 1 5 = 2 0 0 0 * 0 .0 3 1 6 * n o r m a l( x ; 7 .9 3 2 7 E- 5 ; 0 .2 5 8 6 )

1.008 1 0.739 5

1.545 4 1.276 7

no rm1 5 = 20 00*0 .03 61*n ormal(x ; -0. 001 8; 0 .25 86)

160

140

140

100

0.470 9

His togram (chap06.sta 31v *30000 c)

e x p o 1 5 = 2 0 00 *0 .0 3 69 *n orm al( x ; 0 . 00 3 1 ; 0 .2 5 6 7 )

120

0.202 2 no r m5

His to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 3 1 v *3 0 0 0 0 c )

120

120

100 100 No of obs

n = 15

No of obs

80

60

40

80 60 40

20

on peut écrire le résultat sous la forme équivalente _ X - µ_ suit approximativement une loi N ( 0, 1)

No of obs

Remarque : il n’y a aucune condition spécifique sur les lois des X

- 2 .5 3 7 5 - 3 .2 2 3 5

H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 3 1 v * 3 0 0 0 0 c )

600

Alors Y suit approximativement une loi gaussienne N ( µY , σY avec µ Y = ∑ µ i et σY2 = ∑ σi2

80

60

40

20

20

0 - 0 .7 5 6 0

- 0 .5 0 3 5 - 0 .6 2 9 8

- 0 .2 5 1 0 - 0 .3 7 7 2

0 .0 0 1 6

0 .2 5 4 1

- 0 .1 2 4 7

0 .1 2 7 8

0 .5 0 6 6 0 .3 8 0 4

0 .7 5 9 2

0 - 0 .6 4 9 9

0 .6 3 2 9

-0 .3 5 4 8 -0 .5 0 2 3

u n if 1 5

-0 .0 5 9 8 - 0 .2 0 7 3

0 .2 3 5 3 0 .0 8 7 8

His to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 2 1 v *3 0 0 0 0 c )

0 .5 3 0 3 0 .3 8 2 8

0 .8 2 5 4 0 .6 7 7 8

1 .1 2 0 4

0 -1.0046

0 .9 7 2 9

ex po 15

u n if 3 0 = 1 0 0 0 *0 .0 2 4 9 *n o r ma l( x ; 7 .9 3 2 7 E- 5 ; 0 .1 8 2 5 )

-0.7161 -0.8604

H is to g r a m ( c h a p 0 6 .s ta 3 1 v *3 0 0 0 0 c )

70

-0.4275 -0.5718

-0.1389 -0.2832

0.1497 0.0054

0.4382 0.2940

0.7268 0.5825

His to g r a m ( c h a p 0 6 norm15 .s t a 3 1 v *3 0 0 0 0 c )

e x p o 3 0 = 1 0 00 *0 .0 2 42 *n or m al( x ; 0 . 00 3 1 ; 0 .1 8 1 6 )

no r m3 0 = 10 0 0*0 .02 3 8*n o r ma l( x ; - 0. 0 01 8 ; 0 .18 5 4)

60

60

60

σ/√n

50

50

40

40

40 No of obs

No of obs

50

n = 30

30

20

6- 7

30

10

10

0 - 0 .6 3 7 8

- 0 .4 3 8 2 - 0 .5 3 8 0

- 0 .2 3 8 7 - 0 .3 3 8 4

- 0 .0 3 9 1 - 0 .1 3 8 9

0 .1 6 0 5 0 .0 6 0 7

u n if 3 0

Bernard CLÉMENT, P h D

0 .3 6 0 1 0 .2 6 0 3

0 .5 5 9 7 0 .4 5 9 9

30

20

20

10

Bernard CLÉMENT, P h D

5 .1 6 3 8 4 .1 3 6 5

2000

700

i = 1, 2, … , n

3 .1 0 9 2 2 .0 8 1 9

e x p o n e n t ie lle

H is t o g r a m ( c h a p 0 6 . s t a 2 1 v * 3 0 0 0 0 c )

remarque

1 .0 5 4 6 0 .0 2 7 3

1 .5 9 3 5 1 .3 1 6 4

u n if 2 = 1 5 0 0 0 * 0 . 0 6 8 9 * n o rm a l( x ; 7 .9 3 2 7 E- 5 ; 0 .7 0 6 )

Soit Y = ∑ X i avec E( X i ) = µ i , Var ( X i ) = σi2 Si « n est assez grand » ( au moins 30 )

200

0 - 1 .0 0 0 0

No of obs

Résultat 4 :

1000

0 - 0 .5 1 4 5

- 0 .3 2 0 8 - 0 .4 1 7 6

- 0 .1 2 7 0 - 0 .2 2 3 9

0 .0 6 6 7 - 0 .0 3 0 2

0 .2 6 0 4 0 .1 6 3 6

0 .4 5 4 2 0 .3 5 7 3

0 .6 4 7 9 0 .5 5 1 0

0 - 0 .6 6 5 2

- 0 .4 7 5 0 - 0 .5 7 0 1

ex po30

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie (6-8)

- 0 .2 8 4 8 - 0 .3 7 9 9

- 0 .0 9 4 6 - 0 .1 8 9 7

0.095 6 0.000 5

no rm3 0

0.285 8 0.190 7

8

0.476 0 0.380 9

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Exemple 1 :

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

approximation de la loi binomiale par une loi gaussienne ( voir chap. 5)

Exemple 3 : La demande quotidienne d’énergie électrique ( KWh ) pour un logement est

est un cas particulier de l’application du théorème central – limite.

une variable de moyenne 200 et d’écart type 20. Soit D la demande totale d’énergie

X = nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants X i v. a. de Bernoulli associée au i -ème essai i = 1, 2,…, n 1 avec probabilité θ Xi = 0 avec probabilité 1 - θ E(Xi) = 0*(1-θ) + 1*θ =θ X = ∑ X i est une v. a binomiale b( n, θ ) On applique le résultat 4 : Donc

X – n θ__

X suit

√ n θ ( 1- θ )

solution :

P ( D ≤ D 0 ) = 0.99

- θ____

Donc

et

et σ2 = 500 * 202 = 200 000 = ( 447.2 )2 Φ ( (D 0 - 100 000 ) / 447.2 ) ) = 0.99

Exemple 4 : la durée de vie X d’un composant électronique suit une loi exponentielle

√ θ ( 1- θ ) / n

X suit loi b( n, θ = 0.1)

une loi gaussienne N ( µ , σ 2 )

D 0 = 100 000 + z 0.99 * 447.2 = 100 00 + 2.33 * 447.2 = 101 042

suit approximativement loi N ( 0, 1)

de moyenne 100 heures

P ( 0.05 ≤ X / n ≤ 0.15 ) = 0.95 ( * ) ( * ) s’écrit

ou X i est la demande du logement i = 1, 2, …., 500 approximativement

µ = 500 * 200 = 100 000

Var ( X i ) = θ ( 1 – θ )

Exemple 2 : dans un contrôle de la qualité en cours de réception, on doit prélever un échantillon de taille n dans un lot contenant 10% de non- conformes. Déterminer n pour que le nombre X d’articles non- conformes dans l’échantillon vérifie l’équation: solution

D=∑Xi D suit

approximativement loi N ( n θ , n θ ( 1 - θ ) )

X

=

électrique dans un arrondissement de 500 logements. Calculer une limite supérieure D 0 pour D qui ne serait pas dépassée avec probabilité 0.99

X suit approximativement loi N ( 0.1*n, 0.09*n )

Φ ( ( 0.15n – 0.1*n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) - Φ ( ( 0.05n – n*0.1 - 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 0.95

(a) Quelle est la probabilité que la durée moyenne X de 36

composants dépasse 125 heures (b) Combien de composants doit- on avoir fin que la différence entre X et 100 n’excède pas 10 avec une probabilité de 0.95 ? solution : si X suit une loi exponentielle l’écart type ( X ) = moyenne ( X ) = 100 ( chap. 5) alors X suit approximativement une loi N ( 100, 100 2 / 36 ) ( a ) P ( X > 125 ) = 1 – Φ ( ( 125 – 100) / (100 / 6 ) = 1 - Φ ( 1.5 ) = 1 - 0.933 = 0. 067 ( b ) P ( │ X - 100 │ < 10 ) = 0.95

alors

100 / √ n

Φ ( ( 0.05n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 0.975 alors ( 0.05n + 0.5 ) / 0.3 √ n ) ) = 1.96 n 2 -118.3n + 100 = 0

et

P ( │ X - 100 │ <

2 Φ ( √ n / 10 ) - 1 = 0.95

n = 118

donne

10 __ ) = 0.95 100 / √ n

n = 384

6- 9 Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Estimation de la moyenne µ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance Cas A : population gaussienne et variance σ soit X 1 , X 2, …, X n

un échantillon

de X

2

connue

alors

X

~

N(µ, σ

( X–µ ) /(σ /√n)

P( -z1–α/2 ≤ ( X–µ ) /(σ /√n) ≤ z 1–α/2 ) = 1 - α

alors

2)

~ N ( 0, 1 ) (*)

0.14

N ( 0, 1) :

0.12

0.10

GAUSS

1-α

0.06

gaussienne

α/ 2

0.08

centrée – réduite 1 - α : coefficient

0.04

de confiance

0.02

0.00

-0.02 -2

0

2

4

6

8

10

-z1–α/2 On isole le paramètre µ

12

14

16

0

de l’équation (

√n



18

20

22

24

26

Z = ( X – µ ) / (σ / √ n )

z 1–α/2

U

X - z 1–α/2 σ

Bernard CLÉMENT, P h D

6 - 10 Bernard CLÉMENT, P h D

*) µ

Exemple 5 : supposons que la durée ( heures) de vie X d’ampoules électriques d’une certaine marque est une loi gaussienne de moyenne µ ( inconnue) et écart type de 100 h (a) Déterminer un intervalle de confiance avec coefficient de confiance de 0.95 pour µ si un échantillon de n = 20 ampoules a donné les durées de vie : 1076.2 - 989.2 - 1013.9 1152.5 - 1076.8 - …… 1028.7 - 946.2 - 1111.8 - 1060.5 de moyenne X = 1028.5 h (b) Refaire ( a ) avec une coefficient de confiance de 0.99 (c) Combien d’ampoules doit –on échantillonnées si on veut un intervalle de confiance à 0.95 de longueur égale à 30 ? 1028.5 - ( 1.96 * 100 / √ 20 ) ≤ µ ≤ 1028.5 + ( 1.96 * 100 ) / √ 20 ) Solution : (a) 1028.5 – 43.8 ≤ µ ≤ 1028.5 + 43.8 984.7 ≤ µ ≤ 1072.3 ( b ) avec un coefficient de confiance de 0.99 le percentile 1.96 change pour 2.576 et l’intervalle de confiance devient 970.9 ≤ µ ≤ 1086.1 (c) la longueur de l’intervalle en (a) est de 2*43.8 = 87.6 avec n = 20 on veut 2 * 1.96 * 100 / √ n = 30 donc n = 171 Détermination de la taille de l’échantillon : calcul de n

pour obtenir l’intervalle de confiance de µ

coefficient de confiance = 1 - α

( avec σ connu )

longueur de l’intervalle = 2∆

on connaît σ

≤ X + z 1–α/2 σ

√n

on spécifie :

n 6 - 11

=

(z 1–α/2 σ / ∆ ) 2 6 - 12

Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Exemple 6 : suite de l’ex. 5 - Un deuxième échantillon de 20 ampoules a donné une vie moyenne de 981 h. L’intervalle de confiance à 0.95 est : 937.2 ≤ µ ≤ 1024.8

intervalles de confiance : échantillons 1-50 de 5 obs. 1250

Remarque : dans toute étude statistique on a toujours qu’un seul échantillon de taille n qui est prélevé. Toute décision à prendre repose sur cet échantillon uniquement. Dans l’exemple 6, on a prélevé un deuxième échantillon pour des fins d’illustration mais si c’était le cas réel, on aurait combiné les deux en un seul échantillon de taille 40.

1200 1150

Interprétation d’un intervalle de confiance

1100

Le coefficient de confiance se rapporte à la procédure à long terme : ( 1 - α ) 100% des intervalles calculés avec la formule génèrent des intervalles qui contiendront µ. On ne sait jamais si l’intervalle calculé avec l’échantillon observé contient µ mais notre degré de confiance est de ( 1 - α ) 100% qu’il fait partie de ceux qui contienne µ ( les ‘ bons ‘ )

1050

µ =1000

1000

L’interprétation peut être comprise et illustrée seulement avec des données simulées provenant d’une population gaussienne dont la moyenne est connue : exemple 7

950 900

Exemple 7 : simulation de 100 échantillons de taille n = 5 provenant d’une population gaussienne

µ = 1000

et

850

σ = 100

7 échantillons : # 14 – 23 – 25 – 49 – 71 – 73 – 79 ne contiennent pas 1000

800

#14 – 23 - 25 – 49 : intervalles excluant 1000

graphiques : page suivantes

moy-de-5

750

6 - 13 Bernard CLÉMENT, P h D

6 - 14 Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Définition

d’ une

loi de Student

échantillons 51 à 100 : groupe de 5 obs 1250

Une

variable aléatoire T

dont la densité

de probabilité

est définie par

f T ( t ) = c (ν ) ( 1 + t / 30 la loi de Student 800 750

est quasi identique à une loi gaussienne centrée réduite

71 – 73 - 79 moy-de-5

6 - 15 Bernard CLÉMENT, P h D

6 - 16 Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie table

des

quantiles d’une loi de Student

Résultat 6

l o i de S t u d e n t

Soit

Annexe H OTHM

Alors T =

tp,ν

X =

X - µ_ s/√n

p. 535

( W. Gossett) Var ( X i ) = σ2

E ( Xi ) = µ ,

Soit

∑Xi/n

i = 1, 2 ,… , n

S2 = ∑ ( X i – X ) 2 / ( n - 1 )

et

suit une loi de Student avec ν = n – 1 degrés de liberté

Remarque : la lettre T est généralement consacrée pour représenter la variable de cette loi

:

Cas B : population gaussienne et variance σ 2

quantile d’ordre p

X ~ N(µ, σ2=?)

inconnue

intervalle de confiance de la moyenne

loi Student Tν

X - t 1 – α / 2, n - 1 s ≤ µ ≤ X + t 1 – α / 2, n - 1 s √n √n

ν degrés de liberté P ( Tν ≤ t p , ν ) = p

Exemple 8 :

6 observations de la durée de vie d’ampoules a donné 863.0 - 1016.2

Exemple :

- 945.8 - 992.5 - 943.8

X = 961.3

P ( T5 ≤ 2.015 ) = 0.95

et

- 1006.4

s = 57.0

Int. confiance à 0.90 pour µ : 961.3 ± 2.015 * 57 / √ 6 = ( 914.4 , 1008.2 ) 6 - 17

6 - 18

Bernard CLÉMENT, P h D

Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Estimation de la moyenne µ d’une population : méthode de l’intervalle de confiance C :

population quelconque et

n

Loi d’échantillonnage de la différence entre 2 moyennes avec variances connues

au moins 30

0.14

0.14

X ~ N ( µX, σX2)

0.12

intervalle de confiance approximatif pour la moyenne

0.10

X - z1 – α / 2 s ≤ µ ≤ X + z1 – α / 2 s √n √n

0.10

σX

GAUSS

0.08

0.08

0.06

0.02

0.02

0.00

0.00

Exemple 9 : la durée de vie de 50 ampoules électriques d’une certaine marque a donné Intervalle

X = 1014

et

s = 98.7

de confiance à 0.90 pour µ

-0.02

-0.02 -2

0

2

4

6

8

10

12

µX

14

16

18

X = ∑ X i / n1

1014 ± 1.96 * 98.7 / √ 50 1014 ± 27.4

20

22

24

26

-2

0

2

4

échantillons indépendants moyennes

Résultat 7 : ( a ) E ( X - Y ) = µX - µY

( 986.6 , 1041.4 )

6

8

10

( b ) Var ( X - Y ) = σX2 / n1 + σY 2 / n2

12

µY

14

16

18

20

22

24

U

U

X1, X2, … , Xn1

est

σY

0.06

0.04

0.04

Remarque : la formule repose sur le théorème central - limite

Y ~ N ( µY, σY2)

0.12

GAUSS

Cas

Y1, Y2, … , Yn2 Y = ∑ Y i / n2 vrai sans aucune hypothèse sur les lois

( c ) X - Y ~ N ( µX - µY , σX2 / n1 + σY2 / n2 ) ( d ) le résultat ( c ) est approximatif si n1 et n2 sont plus grands que 30 6 - 19 Bernard CLÉMENT, P h D

6 - 20 Bernard CLÉMENT, P h D

26

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Cas D : intervalle de confiance - différence de 2 moyennes

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie µX - µY

Loi d’échantillonnage de la différence entre 2 moyennes avec variances inconnues égales

variances connues

0.14

X ~ N ( µX,

0.10

0.12

σ2)

pour la différence de vie ( heures ) moyenne de deux types ( X et Y) d’ampoules électriques à l’aide des X : solution

n = 16

informations suivantes :

σ = 128

0.08

σ

0.06

X = 1050

0.04

0.02

0.02

0.00

µX

-0.02 -2

0

2

4

6

8

10

12

-0.02 14

16

18

20

22

26

-2

0

2

4

6

8

µY

10

12

14

16

18

20

SY2 = ∑ ( Y i – Y ) 2 / ( n2 - 1 )

variances

[ ( n1 -1 ) SX2 + ( n2 – 1) SY2 ] / ( n1 + n2 -2)

« pooled »

les ampoules de type X durent elles ( en moyenne ) plus longtemps Résultat 8 :

( X - Y ) - ( µX - µY ) Sp √ 1/ n1 + 1 / n2

= T ~ Student avec n1 + n2 -2 ddl

6 - 21 Bernard CLÉMENT, P h D

6 - 22 Bernard CLÉMENT, P h D

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie intervalle de confiance - différence de 2 moyennes variances inconnues mais égales

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Résultat 9 :

µ X - µY

Exemple 11 :

et la méthode nouvelle. On croit que la nouvelle méthode

Cas F :

Sp2

2

2

n1 = 10

X = 55

sX = 10

n2 = 12

Y = 40

sY = 7

= ( 9 x 10 + 11 x 7 ) / 20 = 8.48

ν = min ( n1-1, n2 -1)

µX - µY : X - Y ± t 1 – α/2, ν [ sx2 / n1 + sY2 / n2 ] 0.5

à 95 % pour la différence de temps moyen d’assemblage entre les 2 méthodes. méthode nouvelle :

= T ~ Student avec ν ddl

intervalle de confiance - différence de 2 moyennes µX - µY variances inconnues et inégales ν = min ( n1-1, n2 -1)

n’affecte pas sensiblement la variabilité. Déterminer un intervalle de confiance

Y

sont inconnues et inégales alors

(méthode Hsu)

on a modifié la séquence d’opération pour faire l’assemblage de

données : X méthode actuelle :

les variances

√sX2 / n1 + sY2 / n2

plusieurs composants. Les données suivantes furent obtenues pour comparer la la méthode actuelle

si

( X - Y ) - ( µX - µ Y )

µX - µY : X - Y ± T1 – α/2, n1 + n2 - 2 Sp [ 1/ n1 + 1/ n2 ] 0.5

solution :

24

Y = ∑ Yi / n2

moyennes

SX2 = ∑ ( X i – X ) 2 / ( n1 - 1 )

que les ampoules de type Y ?

Cas E :

22

U

Y1, Y2, … , Yn2

échantillons indépendants

X = ∑ Xi / n1

S p2 =

24

U

X1, X2, … , Xn1

Y : n=9 σ = 81 Y = 970 selon la formule ci haut et la table de la gaussienne centrée réduite et z 0.975 = 1.96

σ

0.06

0.04

0.00

µX - µY : 1050 – 970 ± 1.96 ( 1282 / 16 + 812 / 9 )0.5 = 80 ± 82.1 = ( - 2.1, 162.9 ) question

GAUSS

0.08

Exemple 10 : calculer un intervalle de confiance avec coefficient de confiance 0.95

Y ~ N ( µY, σ2)

0.10

GAUSS

µX - µY : X - Y ± Z 1 – α /2 [σX2 / n1 + σY2 / n2 ]

0.14

0.12

0.5

Exemple 12 : OTHM ex. 6.25 p 195 comparaison de la force de tension de rupture ( psi x1000) de 2 types d’acier

2

données

t 0.975, 20 = 2.08

acier X : n1 = 16

X = 74.6

sx2 = 3.5

acier Y : n2 = 13

Y = 70.2

sY2 = 19.2

intervalle de confiance à 90%

µX - µY : ( 55 – 40 ) ± 2.08 * 8.48 ( 1 / 10 + 1 / 7 ) 0.5 = 15 ± 4.08 = (10.92, 19.08 )

ν = min ( 15, 12) = 12

µX - µY : ( 74.6 – 70.2 ) ± 1.78 ( 3.5 / 16 + 19.2 / 13 ) 0.5 intervalle de confiance à 99%

question : la nouvelle méthode réduit- elle le temps moyen d’assemblage ?

-

-

ν = min ( 15, 12) = 12

t 0.95, 12 = 1.78

= 4.4 ± 2.3 = ( 2.1, 6.7 ) t 0.995, 12 = 3.05

µX - µY : ( 74.6 – 70.2 ) ± 3.05 ( 3.5 / 16 + 19.2 / 13 ) 0.5 = 4.4 ± 4.0 = ( 0.4, 8.4 ) 6 - 23 Bernard CLÉMENT, P h D

6 - 24 Bernard CLÉMENT, P h D

26

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Définition d’un loi du Khi-deux Une variable aléatoire

χ2

Table des quantiles d’une loi Khi-deux

dont la densité de probabilité est définie par

f χ2 ( u ) = c( ν ) u ( ν / 2) - 1 exp ( - u / 2 )

Quantile de la loi Khi-deux

0
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