MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

1-23

Chapitre 5    

23-43 pas au programme mais … concepts importants pour un ingénieur

Bernard CLÉMENT, PhD

distributions discrètes

distribution Bernoulli / binomiale processus / distribution de Poisson distribution géométrique distribution hypergéométrique

APPLICATIONS 2 méthodes contrôle statistique de la qualité  Statistical Process Control (SPC) cartes : np - carte p - carte c - carte u

 « Acceptance Sampling » plans d’échantillonnage pour accepter ou rejeter des produits regroupés en lots

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

1

distribution constante : c’est une distribution sans variabilité! prob X=c

avec probabilité = 1

1 E(X) = c

X

Var(X) = 0

c

phénomène à 2 résultats

distribution Bernoulli prob

résultat «Succès» «Echec» noté S E X 0 1 prob 1 - p p

p 1-p

1

0 ≤p≤ 1

X

0

E(X) = 0*(1- p) + 1*p = p

autre notation θ au lieu de p

Var(X) = p *( 1 – p) ≤ 1/4 base pour distribution binomiale 2 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

distribution BINOMIALE : distribution résultant de l’échantillonnage (l’observation) d’une distribution Bernoulli

Définition X=

nombre de succès dans une suite de n essais (échantillonnage) de Bernoulli indépendants avec une probabilité commune de succès θ X i la v.a de Bernoulli associée au i ème essai i = 1, 2, …, n X i = 1 avec probabilité θ ou X i = 0 avec probabilité 1 - θ X1, X2,…, X n sont indépendantes,

X= ∑Xi

est appelée une variable aléatoire binomiale

notation : X ~ b(n, θ)

:

X suit distribution binomiale paramètres (n, θ) Statistica : BINOM(x ; θ ; n)

fonction de masse

p (x) = P(X = x) = Cnx θ x (1- θ ) n – x fonction de répartition x

F(x) = P(X ≤ x) = moyenne = E(X)

E[X] = n θ Bernard CLÉMENT, PhD

∑

x = 0 , 1 , …., n Statistica :

Cnk θ k ( 1- θ ) n - k

k=0 variance = Var(X)

Var[X] = n θ ( 1 - θ )

IBINOM(x ; θ ;n)

besoin table

écart type = ET(X) ET[X] = [n θ ( 1 - θ )] 0,5

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

3

Distribution Binomiale

Table Fonction Répartition FX(x)

4 Bernard CLÉMENT, PhD

distribution

BI NOMIALE

n : taille de l’échantillon = nombre d’observations paramètre contrôlable connu ou à déterminer θ : paramètre généralement inconnu comment estimer

θ ?

choix de n ?

réponse : l’estimation de θ est

θ =X/n

c’est un moyenne

où X = nombre succès en n essais de Bernoulli remarque : le symbole

au dessus d’un

paramètre indique une estimation

propriétés a) erreur systématique = écart entre θ et ^

E(θ )

= E ( θ ) - θ = E ( X / n ) – θ = ( E(X) / n ) - θ = ( n θ / n) - θ = 0 b) erreur aléatoire = Var ( θ ) = Var( θ ) = θ ( 1 – θ ) / n

≤ 0,25 / n

pour tout θ

remarque : l’estimation statistique vue au chapitre 10 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

5

distribution

BI NOMIALE

n = 30 θ = 0,3 Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)

n = 30 θ = 0,9

θ = 0,5

n = 30

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

0,18

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

0,16

0,16

0,20 0,18

0,14

0,14

0,16

0,12 0,14

0,12 0,10

0,12

0,10 0,08

0,10

0,06

0,08

0,08 0,06

0,06

0,04

0,04

0,04

0,02

0,02

0,02 0,00

0,00 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

0,00

1

30

3

5

n = 100 θ = 0,3

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

1

3

5

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

11

13

15

17

19

21

23

25

27

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

0,10

0,09

0,16

0,09

0,08

0,14

0,08

9

n = 100 θ = 0.9

n = 100 θ = 0,5

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

7

0,07

0,12

0,07

0,06 0,10

0,06

0,05 0,05

0,08 0,04

0,04

0,06 0,03

0,03

0,02

0,02

0,01

0,01

0,00 1

8

15

22

29

36

43

50

57

64

71

78

85

92

99

0,04

0,02

0,00

0,00 1

Bernard CLÉMENT, PhD

9

17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97

1

9

17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97

6

29

distribution

BI NOMIALE

X ~ b(n, θ)

Logiciel Statistica binom(x;0,5;30)

n = 30 θ = 0,5 Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

0,16

0,14

0,12

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00 1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

Exemple Prob (X = 3) = ? = 30! (0,53) (0,527) 3! *27! = 0,00000378116965 Bernard CLÉMENT, PhD

7

Processus de Poisson

-

Distribution de Poisson

Épreuve consiste à recenser le nombre d’apparitions relatifs à des événements répartis dans le temps ou l’espace. (fenêtre obs.) Nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance comme dans les essais de Bernoulli Événements étudiés en tant que « présence » (ou ‘’apparition’’) sur un intervalle continu: on compte X le nombre d’apparitions d’un événement spécifique. Exemple: la présence d’un défaut sur une pièce fabriquée

Processus de Poisson : si conditions suivantes satisfaites 1. Stationarité : la probabilité d’une occurrence sur une unité d’épreuve est la même pour toutes les unités;

2. Indépendance : le nombre d’occurrence sur une unité est indépendant du nombre d’occurrence sur les autres unités X = nombre d’occurrence est soumise à une loi de Poisson de paramètre λ

On écrit Fonction de masse pX ( x ) = e – Bernard CLÉMENT, PhD

λ

X ~ Poi (λ )

λx/

x!

x = 0, 1, 2, ….

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

8

Distribution

de P O I S S O N Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c) 0.20

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c) 0.40

0.18 0.16

λ=5

0.35 0.14 0.12

λ=1

0.30

0.25

0.10 0.08 0.06

0.20 0.04

0.15

0.02 POI-5

0.00

0.10

1

0.05

0.10

3

5

7

9

11

13

15

17

19

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)

λ = 20

0.09

POI-1

0.00 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01

POI-20

0.00 1

Bernard CLÉMENT, PhD

4

7

10

13

16

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

19

22

25

28

31

34

37

40

9

Distribution

de P O I S S O N

Fonction de répartition

k=x F (x ) =∑ e – λ λ k / k !

Table

k=0

Moyenne - variance - écart type moyenne = E (X ) = λ critère essentiel

Var ( X ) = λ

ET ( X ) = λ 0,5

pour une distribution Poisson moyenne = variance

critère pas suffisant pour caractériser la distribution Poisson. Les conditions (page 8) doivent être vérifiées mais cela n’est pas facile de voir en pratique. méthode 1 : observation du phénomène - collecte de données méthode 2 : tests d’ajustement à une distribution (Poisson et autres) vus dans le chapitre des tests

Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

10

Fonction de répartition Poisson

k=x F (x ) = ∑ e – λ λ k / k ! k=0

HMGB p.473

11 Bernard CLÉMENT, PhD

Fonction de répartition Poisson

k=x F (x ) = ∑ e – λ λ k / k ! k=0

HMGB p.473

12 Bernard CLÉMENT, PhD

Distribution

de P O I S S O N

Exemples • nombre d’appels téléphoniques que reçoit un relai de transmission

durant une période de temps (durant une heure par exemple) • nombre d’accidents qui surviennent pendant l’heure de pointe à une intersection

• nombre de défauts dans un rouleau de papier, rouleau de tissus, une plaque de métal …. (la surface est constante d’un échantillon à l’autre) Important - conditions d’observation constituent une

« fenêtre »

- définir précisément cette fenêtre et maintenir constante - nombre d’occurrences proportionnel taille fenêtre

Bernard CLÉMENT, PhD

13 MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Distribution Exemple 1

de P O I S S O N

tissus viennent en longueur de 50 mètres de longueur rouleaux contiennent (en moyenne) 2 zones inutilisables.

On veut des longueurs de 10 mètres sans défauts. question : achèteriez vos tissus de ce fabricant? Solution hypothèses d’indépendance + probabilité proportionnelle surface + unité surface assez petite alors une seule occurrence Si oui, processus est Poissonnien avec λ = 2 sur 50 mètres Sur 10 mètres, processus Poissonnien avec λ = 2 * (10/50) = 0,4 On cherche

P ( X = 0 ) = e – 0,4 (0,4) 0/ 0! = 0,67

Quelle votre décision ? ………

14 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Distribution Exemple 2

de P O I S S O N

un composant critique d’une machine se brise, en moyenne,

λ fois par période de temps. Combien ( k = ? ) de composants devraient-on stocker afin de s’assurer, avec une probabilité d’au moins de 1 – α (α = 0,05 et 0,01) de pouvoir faire les remplacements nécessaires en cas

de bris

Solution

sans attendre la livraison

de nouveaux composants ?

X nombre total de bris du composant

On suppose que X suit une loi de Poisson avec paramètre λ à résoudre : k k=? P( X ≤ k ) = ∑ e – λ λx / x ! = 1 - α x=0 Quelques valeurs (λ , α ) - utilisation de la table de la fonction de répartition

λ α k

0.5 0,05 0,01 3 4

Bernard CLÉMENT, PhD

1 0,05 0,01 4 5

2 0,05 5

5 0,01 6

0,05 10

0,01 12

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

100 0,05 0,01 117 123

15

Distribution Résultat

Soit

addition de

de P O I S S O N

variables

X 1, X 2, …, X k

Poisson

variables aléatoires indépendantes

avec distribution Poisson de paramètres λ 1,, λ alors

Résultat

Si

Y = ∑ Xi

distribution de Poisson avec

paramètre

λ

où

λ = ∑ λ

2

, …, λ k

i

approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson

n ≥ 100

et θ ≤ 0.10

et

n θ ≤ 10

alors

on peut approximer distribution binomiale ( n, θ ) par une distribution de Poisson de paramètre λ = nθ

Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

16

Distribution Exemple 3

de P O I S S O N

confection de vêtements plein air : V = R + P + D

- Revêtement extérieur (R) + Pellicule imper (P) + Doublure iso (D) - 2 fournisseurs : fournisseur A et

fournisseur B

- vêtement = pantalon + anorak - pantalon exige 3 mètres

Anorak exige 2 mètres

Questions 1. variables suivent-elles une loi Poisson ? 2 . Calculer la probabilité que pantalon + anorak a) soit sans défectuosité ( X = 0) ? b) ait au plus une défectuosité ( X ≤ 1) ? avec les tissus du fournisseur A

tableau

nombre de défectuosités – 6 variables (données page suivante)

Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

17

Exemple 3 : suite

Obs.

R-A X1

P-A X2

D-A X3

R-B X4

P-B X5

D-B X6

Nombre de défectuosités

1

1

1

2

4

0

2

rouleau de 50 mètres

2

4

0

2

1

1

0

R = Revêtement

3

4

3

1

0

1

1

4

1

1

0

4

3

1

5

1

3

4

2

4

4

6

1

2

2

1

2

1

7

6

4

3

3

0

2

8

4

3

6

1

2

1

9

4

2

4

3

0

0

10

2

3

2

2

1

4

R-A : revêtement fourn. A

11

4

5

4

2

3

3

P-A : pellicule fourn. A

12

2

2

4

2

0

4

D-A : doublure fourn. A

13

0

0

0

1

4

3

14

0

1

1

4

4

3

15

1

0

4

3

4

0

P = Pellicule imperméable D = Doublure -----------

A : fournisseur A B : fournisseur B -----------

R-B : rev.

fournisseur B

P-B : pell.

fournisseur B

16

2

1

4

1

2

3

D-B : doub. fournisseur B

17

2

0

1

2

2

0

18

3

1

1

3

4

2

19

2

2

2

0

3

2

20

1

1

4

3

3

1

Bernard CLÉMENT, PhD

20 rouleaux

18

Exemple 3 : suite X1

X2

X3

X4

X5

X6

R-A

P-A

D-A

R-B

P-B

D-B

Moy.

2,25

1,75

2,55

2,10

2,15

1,85

Var.

2,60

1,99

2,68

1,57

2,24

1,92

1.X loi de Poisson ?

X4 ne semble pas suivre une loi de Poisson 2. Avec le fournisseur A

λ

X = nombre de défauts ensemble

Anorak

Pantalon

total

R

(2/ 50)*2,25

(3/50)*2,25

0,225

P

(2/ 50)*1,75

(3/50)*1,75

0,175

D

(2/ 50)*2,55

(3/ 50)*2,55

0,255

total

0,262

0,393

0,655 = λ

a) P ( X = 0, λ = 0,655 ) = 0,5194 b) P ( X ≤ 1, λ = 0,655 ) = 0,5194 + 0,3402 = 0,8594 3. Avec le fournisseur B Bernard CLÉMENT, PhD

P ( X = 0, λ = ? ) = ?

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

faire 19

distribution

GÉOMÉTRIQUE

répète (observe) épreuve Bernoulli jusqu’à l’obtention du premier succès X : nombre d’essais

x = 1,2,3….

p (X = x) = (1 - p) x - 1 p

E(X) = 1 / p

notation: X ~ G(p)

x = 1, 2, 3, ….

ET(X) = √ (1-p) / p

Var (X) = (1 – p) / p2

propriété de non vieillissement : absence de mémoire

Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

20

distribution Exemple

GÉOMÉTRIQUE

lancement d’un dé à jouer jusqu’à l’obtention du ‘6’

Questions a) probabilité que cela prenne au moins 3 lancers ? b) moyenne du nombre de lancers = ? c) variance du nombre de lancers = ? Réponse

X : nombre de lancers

loi G (p=1/6)

a) Prob( X ≥ 3) = 1 – (1 – (1-1/6))2 = (5/6)2 = (25 / 36) = 0,69 b) E(X) = 1 / (1/6) = 6 c) Var (X) = (1- (1/6)) / (1/6)2 = 30

Bernard CLÉMENT, PhD

21 MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Distribution

Définition

HYPERGÉOMÉTRIQUE

lot de N articles dont D articles sont non conformes et N – D articles sont conformes

échantillonnage (sans

remise )

de n articles

X = nombre d’articles non conformes dans l’échantillon X suit une loi hypergéométrique H (n ; N ; D) Fonction de masse

p (x ) =

C Dx C N-Dn–x / CNn

x = 0, 1, … , n

Moyenne = E( X) = n D / N Variance = Var(x) = n D ( N – D ) ( N - n ) / [ N ( N – 1 ) ]

Approximation avec Si n / N ≤ 0,05 alors

Bernard CLÉMENT, PhD

distribution et

binomiale

θ=D/N

H(n ; N ; D ) ≈ b(n ; θ ) MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

22

Distribution Exemple : N = 1000

HYPERGÉOMÉTRIQUE

D = 50

n = 20

[ 50 ! / ( 0 ! 50 ! ) ] x [ 950 ! / ( 20 ! 930 ! ) ] P(X=0)

= 1000 ! / ( 20 ! 980 ! ) =

950 x 949 x …….. x 931_ 1000 x 999 x ………x 981

=

0,3549

approximation par loi binomiale : θ = 50 / 1000 = 0,05

n = 20

P ( X = 0 ) = θ 0 ( 1 – θ ) 20 = 0,95 20 = 0,3585

23 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

APPROXIMATIONS

24 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

APPLICATIONS : introduction au Contrôle Statistique de la Qualité

méthodes 1. plans d’échantillonnage pour accepter/ refuser lot de produits sur la base d’un échantillonnage :

« Acceptance Sampling »

2. maîtrise statistique des processus : « SPC » ou

« CSP »

cartes de contrôle processus : comportement = stable (normal) ou anormal ? 3. analyse de capabilité de processus 4. planification d’expériences : DOE – Taguchi 5. analyse processus de mesure : étude R&R 6. fiabilité : qualité dans le temps 7. Quality Function Deployment ( QFD ) 8. Six Sigma

25 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart plus de détails

http://www.groupes.polymtl.ca/mth6301/mth8302/Clement-SPC_Introduction.pdf

RESSOURCES APPROVISIONNEMENT MATÉRIAUX

PROCESSUS étapes méthodes procédures

PRODUIT ou SERVICE

ÉQUIPEMENTS PERSONNEL ENVIRONNEMENT

PARAMÈTRES MESURABLES et CONTRÔLABLES

PROCESSUS: valeur ajoutée

Fonction de transfert f

X1, X2, X3, …

CARACTÉRISTIQUES CRITIQUES pour la QUALITÉ : Y - MESURES - COMPTAGES - ATTRIBUTS

Y

Y =f (X1, X2,..) cartes de contrôle Shewhart s’appliquent à Y Bernard CLÉMENT, PhD

26

Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart carte np et carte c

et

carte p :

base distribution binomiale

carte u : base distribution Poisson

remarque : p représente le paramètre c représente le paramètre BUT

θ de la binomiale

λ

de Poisson

signaler la présence d’une «cause spéciale»

de la

qui a produit un

changement important

carte

dans comportement statistique du processus.

Carte p :

p et np (ATTRIBUT) fraction de pièces non-conforme échantillon de n pièces (n peut être variable) np : nombre de pièces non conforme échantillon de n pièces (n est fixe)

Carte c et u (COMPTAGES) c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe) u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable) 27 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart carte n

p variable

np constant

c constant

u variable

LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUE : en général règle de 3 sigma de Shewhart (inventeur des cartes) Ligne Centrale CL = moyenne Limite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité) Limite Inférieure LCL = moyenne - 3 * (variabilité) Formules limites de contrôle : attributs et comptages np ± 3 [ np ( 1 – np ) ] 0.5

carte

np :

carte

p :

p

± 3 [np ( 1 – np) / n i ] 0.5

carte

c :

c

± 3 (c ) 0.5

carte

u :

u

± 3 (c / n i ) 0.5

remarque :

au dessus lettre veut dire: moyenne arithmétique sur les données 28

Bernard CLÉMENT, PhD

Brève introduction aux cartes de contrôle de Shewhart Exemple 1 : carte n p - 20 échantillons de n = 2500

X = nombre défectueux

X : 23 – 43 – 22 – 34 – 21 – 33 – 29 – 31 – 34 – 31 46 – 39 – 28 – 33 – 20 – 41 – 13 – 27 – 22 – 40 Np Chart; variable: x-déf Histogram of Np

Np: 30.500 (30.500); Sigma: 5.4889 (5.4889); n: 2500.

55 50 46.967 45 40 35 30.500

30 25 20 15

14.033

10 5 0

1

2

Bernard CLÉMENT, PhD

3

4

5

6

7

2

4

6

8

10

12

14

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

16

18

20

29

Exemple 2 : carte p - 30 échantillons - n = variable jour 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

n 3350 3354 1509 2190 2678 3252 4641 3782 2993 3382 3694 3052 3477 4051 3042

X_ 31 113 28 20 35 68 139 12 3 17 14 8 27 44 70

Inspection à 100 % un lot au hasard choisi chaque jour échantillonnage durant 15 jours = nombre d’échantillons X = nombre de pièces non conformes dans le lot taille (n) du lot est variable d'une journée à l'autre P Chart; variable: n-def Histogram of P

P: .01298 (.01298); Sigma: .00199 (.00199); n: 3229.8

0.040

0.035

0.030

0.025

0.020

.01914

0.015

.01298 0.010

.00683 0.005

0.000

-0.005 0

Bernard CLÉMENT, PhD

1

2

3

4

2

4

6

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

8

10

12

14

30

Exemple 3 : carte c - 26 échantillons - X = nombre de non conformités

X : 21 - 24 - 16 - 12 - 15 - 5 - 28 - 20 - 31 - 25 - 20 - 24 - 16 19 - 10 - 17 - 13 - 22 - 19 - 39 - 30 - 24 - 16 - 19 - 17 - 25 Histogram of C

C: 20.269 (20.269); Sigma: 4.5021 (4.5021)

45

40

35

33.776

30

25 20.269

20

15

10 6.7628 5

0 0

2 1

6

4 3

Bernard CLÉMENT, PhD

5

8 7

9

10 11

5

10

15

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

20

25

31

Exemple 4 : carte u - 10 échantillons tissus - X = nombre imperfections

Echant. 1 Aire 10 X 14

2 3 4 5 6 7 8 9 12 20 11 7 10 21 16 19 18 30 13 5 10 39 24 34

10 26 49

U Chart; variable: N_IMPERF Histogram of U

U: 1.5526 (1.5526); Sigma: .31960 (.31960); n: 15.2

3.5

3.0

2.5 2.2857 2.0

1.5526

1.5

1.0 .81952 0.5

0.0

-0.5 0

1

2

3

4

5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

32 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Brève introduction aux plans d’échantillonnage des lots

Produits regroupés en lots lot = ?

définition à faire selon circonstances et besoins critère à préciser

plans d’échantillonnage (« acceptance sampling ») réfère à l’inspection d’une partie du lot (échantillon) d’articles (produits, composants) dans le but d’obtenir une information servant de base à :

juger le lot - accepter le lot - rejeter le lot :

en le déclarant de « qualité satisfaisante » continuer inspection ? inspection rectificatrice ?

33 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

OÙ FAIRE DE L'INSPECTION DES LOTS PAR ÉCHANTILLONAGE ?

 Réception de lots de matières premières ou de produits semi-fini provenant de fournisseurs externes.  En cours de fabrication à des points de contrôle fixés par le processus.  Avant l'expédition des produits.

34 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

A V A N T A G E S de l’inspection par échantillonnage 

Si le coût d'une inspection à 100% est élevé.



Moins de manipulations du produit : moins de dommages potentiels.



Seule alternative si le test est destructif .



Si les lots sont de "grande" taille, disons plusieurs milliers d'unités.



Décision plus rapide pour disposer du produit.



Beaucoup de lots ( flux de lots ) à inspecter.



Conséquences économiques de livrer un lot de "mauvaise" qualité ne sont pas élevées.

DÉSAVANTAGES  risque du producteur = probabilité de rejeter un lot de qualité satisfaisante = alpha = 

 risque du consommateur = probabilité d'accepter un lot de mauvaise qualité = beta =  35 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

NOTATION - TERMINOLOGIE N : nombre d’unités dans le lot = taille du lot n : nombre d’unités dans l’échantillon D : nombre d’unités non conformes dans le lot p = D / N : proportion d’unités non conformes dans le lot X : nombre d’unités non conformes dans l’échantillon X / n : proportion d’unités non conformes dans l’échantillon c = Ac : nombre d’acceptation (plan simple) si X c alors on rejette le lot P a ( p ) : probabilité d’accepter un lot de non qualité p  = alpha = risque du producteur : rejeter lot bonne qualité  = beta = risque consommateur : accepter lot mauvaise qualité

36 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

NOTATION - TERMINOLOGIE

AQL ( « Acceptable Quality Level ») proportion maximale d'articles défectueux (ou non-conformes) qui peut être considéré comme moyenne satisfaisante par le producteur et le consommateur (client) c’est une convention pour concevoir un plan d'échantillonnage

RQL ( « Rejectable quality level » ) proportion minimale d'articles défectueux (non-conformes) qui peut être considéré comme moyenne non-satisfaisante par le consommateur c’est une convention pour concevoir le plan d’échantillonnage

Plan d'échantillonnage défini par: (n, Ac, Re )

37 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

RISQUES DE MAUVAISES DÉCISIONS

 : risque du producteur  : risque du consommateur

accepter lot

QUALITÉ LOT bonne

mauvaise

1-

 FP

OK

DÉCISION rejeter lot



1-  FN

OK

analogie FP = Faux Positif = accepter lot mauvaise qualité FN = Faux Négatif = rejeter lot bonne qualité 38 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

courbe caractéristique plan d’échantillonnage

P a ( p ) : probabilité accepter lot 1

valeurs fréquentes α : 0,05 - 0,01

1- 

β : 0,10 - 0,05

 p

0

proportion

0

AQ L

RQ L

non conforme

39 Bernard CLÉMENT, PhD

Calcul de la probabilité d’accepter : P a ( p ) Plan simple : un seul échantillon de taille n est prélevé

Plan ( N , n , c ) : échantillonnage sans remise p = D / N qualité du lot

(D=pN)

X : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon X distribuée selon une loi de probabilité Hypergéométrique ( N, D, n )

40 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

Calcul de la probabilité d’accepter P a ( p )  pN   N (1 − p )      C  x  n−x   Pa ( p ) = ∑ N x =0   n 

hypergéométrique (exacte)

n x = ∑   p (1 − p ) n − x x =0  x  C

e − np (np ) x =∑ x! x =0

APPROXIMATION

Binomiale : si n / N < 0.1

c

Poisson : si p " petit " et n est " grand "

41 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

EXEMPLE n = 89 c = 2 0,005 P Pa 0,990 Line Plot (ch4-SPC-v5.sta 24v*204c)

0,010 0,940

0,020 0,737

0,030 0,498

0,040 0,304

0,060 0,091

0,070 0,047

0,080 0,023

0,090 0,01

1,2

0,050 0,172

P Pa

1,0

 89  Pa = ∑   p d (1 − p) 89−d d =0  d  2

0,8

Pa-p

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2 0.005

0.015

0.025

0.035

0.045

0.055

0.065

0.075

0.085

0.095

0.105

42 Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

design d’un plan d’échantillonnage (n, c) : n = ?

c=?

trouver n et c tels que

Pa ( p1 ) = 1 - α 1

Pa ( p2 ) = β

1–α

α

β donnés

2 équations avec 2 inconnus

Pa : fonction répartition (page 38) β 0 p1

p2

p proportion d’articles non conformes 43

Bernard CLÉMENT, PhD

MTH2302 Probabilités et méthodes statistiques

trouver n et c tels que

Pa ( p1 ) = 1 - α Pa ( p2 ) = β α β donnés

P Pa

0,005 0,990

0,010 0,940

0,020 0,737

0,030 0,498

0,040 0,304

P Pa

0,050 0,172

0,060 0,091

0,070 0,047

0,080 0,023

0,090 0,01

 89  Pa = ∑   p d (1 − p) 89−d d =0  d  2

2 équations 2 inconnus

Pa : fonction probabilité Line Plot (ch4-SPC-v5.sta 24v*204c) 1,2

Exemple 1,0

p1 = 0,01

α = 0,06 = 1 - Pa

0,8

p2 = 0,09

β = 0,09 = 1 - Pa

Pa-p

0,6

0,4

0,2

solution n = 89 c = 1 0,0

-0,2 0.005

0.015

0.025

0.035

0.045

0.055

0.065

0.075

0.085

0.095

0.105

44 Bernard CLÉMENT, PhD

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