Nombres complexes et transformations du plan

1

Définition

On appelle corps des nombres complexes, et on note CI un ensemble contenant IR tel que :  Il existe dans CI un élément noté i tel que i 2 = -1.  Tout élément de CI s'écrit sous la forme a + ib , où a et b sont des réels.  CI est muni d'une addition et d'une multiplication qui suivent les mêmes règles de calcul que celles connues dans Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre z. Nombres complexes particuliers Soit un nombre complexe z = a + ib avec a  IR et b  IR .  si b = 0 , on a z = a , z est un réel.  si a = 0 , on a z = ib , on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire). Remarques  IR correspond à l'ensemble des points sur une droite. Un nombre réel x correspond au point d'abscisse x sur la droite. On peut donc toujours comparer deux nombres réels.  CI, ensemble des nombres a + ib avec a  IR et b  IR correspond à l'ensemble des points d'un plan. Un nombre complexe a + ib avec a  IR et b  IR correspond au point du plan de coordonnées (a ; b). On ne peut donc pas comparer deux nombres complexes : il n'y a pas de relation d'ordre dans CI. On ne peut donc pas dire qu'un nombre complexe z est inférieur à un nombre complexe z' ou qu'un nombre complexe z est positif (c'est-à-dire supérieur à 0). Vocabulaires Soit un nombre complexe z . L'écriture z = a + ib , où a et b sont des réels, est appelée forme algébrique ou cartésienne du nombre complexe z. a est appelé partie réelle de z, et b partie imaginaire de z : on note a = Re(z) et b = Im(z). Remarque La partie réelle de z et la partie imaginaire de z sont des nombres réels. Exemples Re (3 + 4 i) = 3 ; Im (3 + 4 i) = 4 ; Re (– 27 + i) = - 27 ; Im (19 – i) = - 1 Egalité Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a

a + ib = a' + ib'  (a ; b) = (a' ; b') 

a = a'  b = b'

Exercice 1 Déterminer tous les réels x et y tels que (x + 2 y) + (5 – y) i = 10 + 6 i . Solution 1

 x  2 y  10 (x + 2 y) + (5 – y) i = 10 + 6 i    x = 12 et y = - 1 5  y  6 Exercice 2 Calculer chacun des nombres complexes suivants : S = (4 + 2 i) + (6 + 3 i) ; P1 = (2 + i)(– 1 – 3 i) et P2 = (5 + 2 i)(5 – 2 i) ; C = (– 7 + 3 i) 2

Solution 2 S = (4 + 2 i) + (6 + 3 i) = 10 + 5i P1 = (2 + i)(– 1 – 3 i) = (-2 + 3) + (-i – 6i) = 1 – 7i P2 = (5 + 2 i)(5 – 2 i) = 29 ; En général : pour tous réels a et b, (a + ib)(a – ib) = a² + b² C = (– 7 + 3 i) 2 = 49 – 42i – 9 = 40 – 42i Exercice 3 Calculer (3 + 2i)(3 - 2i). En déduire la forme algébrique de Error! Solution 3 (3 + 2i)(3 - 2i) = 13 3 - 2i 3 2 = - i Error! = 13 13 13 Exercice 4 Calculer les puissances de i suivantes : i 2 ; i 3 ; i 4 ; i 5 puis généraliser les résultats Solution 4 i2=-1; i3=-i; i4 =1; i5=i 1 si n = 4p i si n = 4p  1  ; p  IN En général i n    1 si n = 4p + 2  i si n = 4p + 3 2

Représentation graphique Un nombre complexe est formé de deux nombres réels. Or deux nombres réels forment un couple de coordonnées. Ainsi, si le plan est muni d'un repère orthonormé on peut repérer tout point par un nombre complexe.

Affixe

On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct (O;Error!,Error! ). b M(z) ■ Au point M de coordonnées (a ; b), on peut associer le nombre complexe z = a + ib.  On dit que z = a +i b est l'affixe de M ;V ( z )  a ■ Au vecteur ;V de coordonnées (a ; b), on peut associer O le nombre complexe z = a + ib.  On dit que z = a + ib est l'affixe de ;V ■ Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormé direct, on dit qu'on se place dans le plan complexe. Exercice 5 Placer dans le plan complexe, les points d'affixes : z1 = 2 + 3i ; z2 = 3 + i ; z3 = -1 + 2i ; z4 = 2 – i ; z5 = i ; z6 = -i ; z7 = 1 ; z8 = -i – 3 ; z9 = 2z1 - 3z2 ; z10 = z3(z4 - z2) Solution 5 N B : z9  2  2  3i   3 3  i   5  3i et z10   1  2i  2  i  3  i    1  2i  1  2i   5

Exercice 6 Soit un repère orthonormé (O ; I , J) . a) Quels sont les affixes complexes respectives des points I et J ? b) Déterminer l’ensemble E des points M(z) tel que z 2 soit réel, et l’ensemble F des points M(z) tels que z 2 soit un imaginaire pur.

Solution 6 a) zI = 1 et z J = i b) On pose z = x + iy  z² = x² - y² + 2ixy M(z)  E  z²  IR  Im(z²) = 0  2xy = 0  x = 0 ou y = 0  E = (OI)  (OJ) M(z)  F z²  i  IR  Ré(z²) = 0  x² - y² = 0  y = x ou y = - x  F est la réunion de la première bissectrice(la droite d’équation y = x) et de la deixième bissectrice(d’équation y = - x) Exercice 7 Déterminer le lieu L des points M(z) tels que F(z) soit un imaginaire pur où F est l’application complexe définie sur par F(z) = (1 + 2 i) z + 2 + i . Solution 7 On pose z = x + iy où x et y sont deux réels F(z) = (1 + 2 i) z + 2 + i = (1 + 2 i) (x + iy) + 2 + i = (x – 2y + 2) + i(2x + y + 1) 1 M(z)  L  F(z)  i  IR  x – 2y + 2 = 0  L =  : y = x + 1 2 Propriétés : Si M a pour affixe z = a + ib et si M' a pour affixe z' = a' + ib' , avec a, b, a', b' réels, alors  le vecteur ;MM' a pour affixe z' - z = (a' - a) + (b' - b)i  OM =  ;OM = a2 + b2  MM' =  ;MM' = (a' - a)2 + (b' - b)2 Le milieu I de [MM'] a pour affixe zI = Error!     Si ;V a pour affixe z et ;V ' pour affixe z', alors ;V + ;V ' a pour affixe z + z'.  Si k est un réel, alors k ;V a pour affixe k z.   Si ;V a pour affixe z et ;V ' pour affixe z' tels que z ‘ ≠ 0   z Les vecteurs ;V et ;V ' sont colinéaires si et seulement si : est réel. z'   z Les vecteurs ;V et ;V ' sont orthogonaux si et seulement si : est imaginaire. z' Conjugué Une question motivante : les nombres complexes Error! et Error! sont-ils égaux ? Réponse : Error! =

338 17 - 7i 

17 +7i 17 - 7i 

=

338 17 - 7i  338

= 17 - 7i

5+ i(3- 2i) = 17 -7i Ceci motive la définition suivante. Définition b

M(z) Si M est le point d'affixe z, le point M' d'affixe est symétrique de M par

Soit z un nombre complexe de forme algébrique a + ib. On appelle conjugué de z le nombre complexe noté Error! tel que Error! = a - ib.

Exemples a) 1 – 2 i = 1 + 2i ;

i =-i ;

2 112 = 2112

b) Si a  R et b  R alors a = a et

b i = - bi

c) Pour tout nombre complexe z = a + bi (mis sous forme algébrique) , nous avons : Re ( z ) = a et Im ( z ) = - b d) Pour tout nombre complexe z = a + bi (mis sous forme algébrique) , nous avons : z + z = 2a et z - z = 2ib Nous en déduisons que Re(z) =

zz 2

et Im(z) = Error!

Ceci nous donne les équivalence suivantes : z est un réel  z = Error! Ceci nous donne les équivalence suivantes :

z est un imaginaire pur  z = - Error!

Propriétés : Pour tous nombres complexes z et z', on a :  Error! = z 2 2  z. Error! est un réel positif z z   Re( z )    Im( z ) 



 z + z' = Error! + Error!  Si z'  0 Error! = Error!  Re(z) =

zz 2

;

;

Error! = Error! - Error!

;

 ; Error! = Error!.Error!

Error! = Error!

Im(z) = Error!

 z est réel  z = Error!

;

z est imaginaire pur  z = - Error!

Exercices : 1, 3 et 4 page 29 ; 20 page 30. (Manuel)

3

Forme trigonométrique

Définition

M(z)

Tout nombre complexe non nul z peut-être écrit sous la forme : z = r(cos  + i sin ) , avec   IR et r   , qui est une forme trigonométrique de z.

r

O



Propriété Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique : z = r(cos  + i sin ) et z' = r' (cos ' + i sin '), on a : r  r ' z = z'      '  2  Module Soit le nombre complexe z de forme algébrique a + ib et soit M le point d'affixe z. On appelle module de z le nombre réel positif r = OM = a2 + b2 On note r = | z |

Remarque La notation | z | ne risque pas de prêter à confusion avec la notation de la valeur absolue puisque lorsque x est un nombre réel, on a r = OM = | x | . Pour un réel x, | x | pourra être lu indifféremment "valeur absolue de x" ou "module de x". Pour un nombre complexe non réel z , | z | sera lu impérativement "module de z". Exercice 8 1°) Calculer le module de chacun des nombres complexes : z1 = 3 + 4i z2 = 1 - i z3 = 5 - Error! z4 = 3 z5 = i - 4 z6 = i z7 = -5 z8 = Error! + Error! i 2°) Donner les formes trigonométriques de : z1 = 1 + i z2 = 3 + i z3 = 1 - i 3 z4 = i Solution 8 1°)  z1  =  3 + 4i  = 3² + 4² = 25 = 5  z2  = 1 – i  = 1² +(-1)² = 2 2

101 101  1 =  z3  = 5 - Error!  = 5² +  -  = 4 2  2

 z4  =  3 = 3  z5 =  i - 4  = 1² +(-4)² = 17  z6  =  i  = 1  z7  =  - 5  = 5 2

 z8  =  Error! + Error! i  =

2

 2  2   +   = 1 2 2    

2°) z1 = 1 + i =

 2 2       2  i   2  cos    i sin    2  4  4    2

 3 1        z2 = 3 + i = 2   i   2  cos    i sin    6  6    2 2  1 3       z3 = 1 - i 3 = 2   i   2  cos     i sin     2   3  3   2     z4 = i = cos    i sin   2 2 Propriétés:   Soit ;V un vecteur d'affixe z , on a V = | z |.

Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB, on a AB = | zB - zA |.  |z|=0  z=0 ; |- z| = | z | ; | Error! | = | z | ; | z + z' |  | z | + | z' | n n  | zz' | = | z |.| z' | ; z  z , n  ; si z'  0 alors Error!= Error! et Error!= Error! z Error! = | z |2 (donc z Error!  IR+ ) Exercice : 5 pages 29 (Manuel)

;

si z  0 alors Error! = Error!

Exercice 9 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé (O;Error!,Error!) . 1°) Calculer le module des nombres complexes suivants : (7 + 35i)(3 + 2i) ; Error! ; Error! 2°) Déterminer tous les points M d'affixe z tels que z Error! = 4 . 3°) On considère le point A d'affixe 2 + 3i. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que | z - (2 + 3i) | = 5 . 4°) Soit j = - Error! + iError! . Calculer | j |. Démontrer que j2 = Error! . En déduire que j3 = 1. (On dit que j est une racine cubique de 1) Solution 9 1°) (7 + 35i)(3 + 2i) = 7 + 35i 3 + 2i = 7  1 + 5i3 + 2i  = 7 26 × 13 = 91 2 Error! =

7 - 35i 3+ 2i

=

7 1 - 5i 3+ 2i

5  3i  1  i

7 26 13

34  2

=7 2

2 17 2°) z Error! = 4  z² = 4  x² + y² = 4  M(z)   (O, 2). 3°) | z - (2 + 3i) | = 5  AM = 5  M(z)   (A, 5). 4°) j = - Error! + iError! | j | = | - Error! + iError! | = 1 1 3 3 1 3 =- -i j2 = (- Error! + iError!)² = - - i = Error! 4 4 2 2 2 j3 = j2  j = j  j = | j | ² = 1

Error! =

4i

Argument



=

Définition Soit le nombre complexe non nul z de forme algébrique a + ib et soit M le point d'affixe z. On appelle argument de z tout nombre réel  tel que   (Error! , Error!) [2  ] On note   arg(z) [2  ] Remarque  n'est pas unique, il est défini à 2k  près (k  ZZ) c'est-à-dire modulo 2  . Propriétés : Soient z et z' deux nombres complexes non nuls, on a :      

arg(zz')  arg z + arg z' arg Error!  - arg z arg Error!  arg z - arg z' arg (z n )  n arg z arg ( Error! )  - arg z arg (- z)  arg z + 

[2  ] [2  ] [2  ] [2  ] [2  ] [2  ]

Exercice 10 Soit z1 = 2 + 2i et z2 = 1 + i 3 . Écrire z1 et z2 sous la forme trigonométrique. En déduire les formes trigonométriques de z1  z2 ; Error! ; (z1)3 ; Error! ; - z2 ; Error! Solution 10

  π  π  π  π  z1 = 2 2  cos   + isin    ; z2 = 1 + i 3 = 2  cos   + isin    4  4  3  3      π π  π π   7π   7π   z1  z2 = 4 2  cos  +  + isin  +   = 4 2  cos   + isin    4 3  4 3   12   12    

 π  π  2 2  cos   + isin      4  4  π π  π π   π  π   Error! = = 2  cos  -  + isin  -   = 2  cos  -  + isin  -    4 3  4 3   12   12   π  π    2  cos   + isin    3  3   3

   π  π   3π   3π   (z1) =  2 2  cos   + isin     = 16 2  cos   + isin    4  4   4   4     3

  π  π   π  π  z1 = 2 2  cos   + isin     2 2  cos    + isin     4  4   4  4      π π   π  π     4π   4π   - z2 = - 2  cos   + isin    = 2  cos  π +  + isin  π +   = 2  cos   + isin   3 3  3  3     3   3     2

  π  π   π  π  8  cos   + isin     2 2  cos   + isin     4  4   2  2   Error! = =    π  π   π  π  2  cos  -  + isin  -   2  cos   + isin     3  3   3  3  

  π π  π π   5π   5π   = 4  cos  +  + isin  +   = 4  cos   + isin    2 3  2 3   6   6   

Propriétés :   Soient ;V et ;V ' d'affixes respectives z et z' dans le plan complexe rapporté au repère (O; Error!,Error!). Si z et z' ont pour formes trigonométriques : z = r(cos  + i sin ) et z' = r' (cos ' + i sin '), Alors : 

( Error!, Error!) =  = arg z [2  ].    ( ;V, ;V ') = ' -  = arg z' - arg z [2  ]. A, B, C et D étant des points distincts d'affixes respectives zA, zB, zC et zD dans le plan complexe de repère(O;Error!,Error!) , alors :   le vecteur ;AB a pour affixe zB - zA, et on a : AB = zB - zA et (Error! ,Error!) = arg(zB - zA) [2  ]. Exercices : 2 et 6 page 29. (Manuel)

4

Ecriture exponentielle : Notation i i Pour   IR, on note cos  + i sin  = e et par conséquent pour r  IR*;+ r(cos  + i sin ) = r e Cette notation est appelée notation exponentielle.

Propriétés : Les résultats déjà vus s'écrivent, avec la notation exponentielle : i i i (  ) (-) -i  e e '=e + ' Error! = e i =e i

n

(e ) = e

in

, n  ZZ

ei  = e

-i 

-e

Error! = e i i

=e

( - ')

i ( + )

Remarques  La propriété e i   e i ' = e i ( + ') , facile à retenir, permet de retrouver les formules d'addition : cos(+' ) = cos  cos ' - sin  sin ' et sin( + ' ) = sin  cos ' + cos  sin ' 2 i 2i  La propriété (e ) = e  permet de retrouver les formules de duplication : cos 2 = cos2  - sin2  et sin 2 = 2 sin  cos  Racines carrées d’un nombre complexe Définition Soit Z  , on appelle racine carrée de Z tout nombre complexe z vérifiant : z² = Z. Cas particulier Si Z = 0 alors (z² = 0  z = 0) donc 0 est l’unique racine carrée de 0. Exemple Trouver les racines carrées de i, revient à résoudre l’équation z² = i. Méthode algébrique On pose z = x + iy  z² = x² - y² +2ixy

z² = i  x² - y² +2ixy = i 

1   x²  2  x²  y ²  0   x²  y ²  0 1   or z ²  i  1   x ²  y ²  1   y ²   2 2 xy  1 2 xy  1   2 xy  1    2 2  2 2   x, y    , ,  ou  x, y      2   2 2   2 Ainsi

2 2 2 2 et  sont les deux racines carrées de i. i i 2 2 2 2

Méthode trigonométrique On pose z = [r, ] = r ei  z² = [r², 2] = r² e 2i i



z² = i  r² e 2i = e 2  r ²  1 r  1       2   2k , k     k , k     2  4



5

i 2 2 2 2  ze = +i ou z  e 4   -i 2 2 2 2 i

4

Théorème Tout nombre complexe non nul Z = [r, ] admet exactement deux racines carrées opposées l’une de     l’autre qui sont z1   r ,  et z2   r ,    2 2   Exercice 12 Déterminer les racines carrées de chacun des nombres complexes suivants : Z1  1  i 3 et Z 2  3  4i

Solution 12  π 1°) Z1 = 1 + i 3 = 2,   3

D’après le théorème précédent on a : Z1 admet exactement deux racines carrées opposées l’une de π  7π  π   l’autre qui sont z1 =  2,  et z2 =  2, π +  =  2,  6  6  6  

x² - y² = 3  2°) x² + y² = 5  2xy = 4 

 x, y  = 2,1 ou -2,-1 

Z 2  3  4i admet exactement deux racines carrées opposées l’une de l’autre qui sont

2 + i et - 2 - i Equation du second degré Théorème Soit l’équation ( E ) : az² + bz + c = 0 ; z 

et (a, b, c) 

*



( E ) admet toujours deux solutions (distinctes ou confondues) z ' 

. b   b   et z "  2a 2a

Où  est une racine carrée du discriminant  = b² - 4ac. Remarque :  z = z   = 0. b c z + z =  et z  z = a a  z = 1 est une solution de ( E ) : az² + bz + c = 0  a + b + c = 0  z = - 1 est une solution de ( E ) : az² + bz + c = 0  a - b + c = 0 b   = b² - ac, avec b = est le discriminant réduit 2 b '  ' b '  ' z'  et z "  où  est une racine carrée de . a a

Exercice 13 Résoudre dans

, l’équation : iz² - (7 + 2i)z + 14 = 0

Solution 13 2 2 Δ = 7 + 2i  - 4i ×14 = 7 - 2i  z' =

7 + 2i - 7 + 2i 7 + 2i + 7 - 2i = 2 et z'' = = -7i 2i 2i

Equations de degré supérieur à deux Propriété : Soit P(z) = an z n  an 1 z n 1  .......  a1 z  a0 un polynôme complexe de degré n. Si  est une solution de l’équation P(z) = 0 alors P(z) = (z - )Q(z) Où Q(z) est un polynôme complexe de degré n – 1. Exemple : (équation de troisième degré) 1°) résoudre dans l’équation iz 2   3  5i  z  4i  7  0 2°) Soit P(z) = iz3   3  8i  z 2  16  19i  z  21  12i a) Montrer que l’équation P(z) = 0 possède une solution réelle à préciser. b) Trouver les nombres complexes a, b et c tels que : z  on a

P(z) =  z  3  az 2  bz  c  . c) Résoudre alors P(z) = 0. Solution : 1°) iz 2   3  5i  z  4i  7  0

   3  5i   4i   4i  7  2

 16  30i  16  28i  2i  1  i  z' 

2

5i  3  1  i 4  6i 5i  3  1  i 2  4i   3  2i et z ''    2i 2i 2i 2i 2i

2°) P(z) = iz3   3  8i  z 2  16  19i  z  21  12i a)

Soit  une solution réelle de l’équation P(z) = 0  i 3   3  8i  2  16 19i   21 12i = 0  3 ²  16  21  i  3  8 ²  19  12   0

3 ²  16  21  0  3   8 ²  19  12  0 =3 b)

P(z) =  z  3  az 2  bz  c  .  P(z) = az3   b  3a  z 2   c  3b  z  3c Or P(z) = iz3   3  8i  z 2  16  19i  z  21  12i Par identification on a :

a  i a  i b  3a  3  8i    b  3  5i  c  3b  16  19i  c  7  4i 3c  21  12i Donc P(z) =  z  3  iz 2  (3  5i ) z  7  4i  . c)

P(z) = 0   z  3  iz 2  (3  5i ) z  7  4i  . = 0  z – 3 = 0 ou iz 2   3  5i  z  4i  7  0  z = 3 ou z = 3 + 2i ou z = 2 + i

Racines nièmes d’un nombre complexe Définition Soit n un entier supérieur ou égal à 2 et soit Z  tout nombre complexe z vérifiant : zn = Z.

, on appelle racine nième du nombre complexe Z,

Remarques  Si Z = 0 alors (zn = 0  z = 0)  0 est l’unique racine nième de 0.  Si Z  * alors Z = [, ]  2k    Z admet exactement n racines nièmes distinctes zk   n  ,  , k  0,1,...., n  1 n n   Exemples : 1°) Déterminer les racines quatrièmes de Z = - 8 + 8i 3 .



Représenter les points images des solutions dans P O, u, v 2°) Déterminer les racines cubiques de l’unité Solution : 1°) Z = - 8 + 8i 3 = 8(- 1 + i 3 ) =  2π  16, 3  Les racines quatrièmes de Z sont π kπ   π kπ   ; zk =  4 16, +  2, + 6 2   6 2  

k  0,1,2,3  π z0 = 2,  = 3 + i ;  6  2π  z1 = 2,  = -1 + i 3 ;  3 

 7π  z2 = 2,  = - 3 - i ;  6   5π  z3 = 2,  = 1 - i 3  3 

2°) Les racines cubiques de l’unité sont

3  2π  1 z0 = 1,0 = 1 ; z1 = 1,  = - + i et 2  3  2 3  4π  1 z2 = 1,  = - - i  3  2 2



Remarques

 2k    Soit Z = [, ], n  2 et zk   n  ,  , k  0,1,...., n  1 n n    OMk =

n



  Mk  (O, n  )

2  2  n Ainsi : les points images respectifs des n racines nièmes d’un nombre complexe non nul





 OM k , OM k 1 

Z = [, ] sont les sommets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle (O, 

La somme des n racines nièmes de l’unité est nulle :

n 1

e

i

2 k n

n



)

0

k 0

 On obtient toutes les racines nièmes d’un nombre complexe non nul en multipliant l’une d’elles successivement par les racines nièmes de l’unité. Exercice 14 Calculer ( 2 + i )3. En déduire les racines cubiques de Z = 2 + 11i. Solution 14 ( 2 + i )3 = 2 + 11i 3

 z  Soit z une racine cubique de Z = 2 + 11i  z 3 = 2 + 11i  z 3 = ( 2 + i )3    =1  2+ i  z  est une racine cubique de 1 2+ i



1 3 1 3 z = 1 ou - + i ou - - i 2 2 2 2 2+ i

 1  1 3 3  z = 2 + i ou z =  - + i   2 + i  ou z =  - - i  2 + i  2  2   2  2 Exercices : 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39. (Manuel) 7

Nombres complexes et transformations du plan :

Translation Soit v un vecteur du plan d’affixe b  tv : P  P , M ( z )

.

M '( z ')

MM '  v  z - z = b  z = z + b. Propriété : (F :  , z  z  = z + b) est la transformation complexe associée à la translation de vecteur v , où v est le vecteur d’affixe b.

Exemple : f : P  P, M ( z )

 1 M '( z ') / z '  z  1  i est la translation de vecteur v d’affixe – 1 + i c'est-à-dire v   1

Homothétie Soit h(, k) une homothétie de centre  et de rapport k h(, k) : M ( z )

M '( z ')  M '  k M  z - z = k(z - z)  z = kz + (1 – k) z

Propriété : Pour tout réel k  IR*\{1} et pour tout complexe b, l’application : f : P  P, M ( z )

M '( z ') / z '  kz  b est

 b  l’homothétie de rapport k et de centre    1 k 

Exemple : f : P  P, M ( z )

 3  i  M '( z ') / z '  2 z  3  i est une homothétie de rapport 2 et de centre     1 2 

C'est-à-dire (3, 1).

Rotation Soit R(, ) la rotation de centre  et d’angle . M '( z ')  R(, ) : M ( z )

 z ' z 1  z  z  z '  z    M  M ' z  z z ' z        z ' z     ei  z  z  M ; M '    2  arg  z  z     2  arg  z ' z    2            z  z 





 z ' z  ei  z  z   z '  ei z  1  ei  z Propriété : Pour tout (a, b) 

*

tel que a = 1 et a  1

L’application f : P  P, M ( z )

 b  M '( z ') / z '  az  b est la rotation de centre    et d’angle 1 a 

  arg(a) [2]. Exercice 15 (session principale 2005)





Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct O; u; v , on donne le point A d’affixe 1. Soit l’application f de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :

z'

1 i 1 i . z 1 2 2

1. Déterminer la nature de f et préciser ses éléments caractéristiques. 2. Soit le point M 0 d’affixe 2. On pose pour tout entier naturel n, M n1  f  M n  . On désigne par zn l’affixe du point M n et par Z n l’affixe du vecteur AM n . i



a) Montrer que Z1  e 4 . b) Montrer que pour tout n de

, Zn  e

i

n 4

.

c) En déduire l’ensemble des valeurs de n pour les quelles les points A, M 0 et M n sont alignés. Solution 15 Soit l’application f de P dans P qui à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :

z'

1 i 1 i . z 1 2 2

 i 1 i 1. f : M(z)  M(z) tel que : z ' 1   z  1  z ' 1  e 4  z  1 2

D’où f est la rotation de centre A et d’angle dont une mesure est



 . 4



2. M0(2) et M n1  f  M n  ; M n  zn  et Z n  aff AM n = zn - 1. a) Z1  z1  1  e

i

 4



 z0  1  e 4 . i

b) Montrons par récurrence que pour tout n de IN, Z n  e  

Pour n = 0, Z 0  z0  1  1  e

i0

Ainsi :  n  IN, Z n  e

i

i

 4

n 4

 4

Pour n  0, supposons que Z n  e En effet : Z n 1  zn 1  1  e

i

i

n 4

et montrons que Z n 1  e 



 zn  1  e 4  Z n  e 4  e i

i

i

n 4

e

i

 4

( n 1) 4

( n 1) 4

n 4

c) A, M 0 et M n sont alignés  AM n et AM 0 sont colinéaires  n

i

 k , k  IN  n = 4k, k  IN  n est un multiple de 4.

n i Zn  Z n  e 4 est réel Z0