Nombres premiers entre eux

Arithmétique 1) Critère de divisibilité Propriété : Un nombre est divisible par :  2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8,  5 si son chiffre des unités est 0 ou 5,  3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3,  9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9. Exemples : * 132 est divisible par : 2 car son chiffre des unités est 2, par 3 car 1 + 3 + 2 = 6 = 2 × 3 et par 6 car 132 est à la fois divisible par 2 et par 3. * 5715 est divisible par : 5 car son chiffre des unités est 5, par 3 et 9 car 5 + 7 + 1 + 5 = 18 et 18 = 3 × 6 = 9 × 2, par 15 car 5715 est à la fois divisible par 3 et par 5 et par 45 car 5715 est à la fois divisible par 9 et par 5, mais attention : 5715 n'est pas divisible par 27, la division ne tombe pas juste.

2) Diviseurs communs et PGCD a) Définitions

Définition : Un diviseur commun de deux ou plusieurs nombres entiers est un nombre qui divise chacun d'entre eux. Exemple : 2 est un diviseur commun à 22 et à 36 car 2 divise 22 et 2 divise 36.

Définition : Le plus grand diviseur commun à plusieurs nombres est appelé PGCD. Exemples : Quel est le PGCD de 12 et de 18? Les diviseurs de 12 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 et 12. Les diviseurs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18. Les diviseurs communs de 12 et de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 et 6. 6 est le plus grand diviseur commun de 12 et de 18, donc 6 est le PGCD de 12 et de 18. On note : PGCD(12 ; 18) = 6

Remarque : Devoir déterminer tous les diviseurs communs de deux nombres pour pouvoir obtenir le PGCD de ces deux nombres est une méthode fastidieuse. On privilégiera donc les deux méthodes qui vont suivre pour trouver le PGCD de deux nombres.

b) Méthodes de calcul d’un pgcd 1ère technique : « Soustractions successives »  Soustraire le plus petit nombre du plus grand nombre.  Comparer le résultat de cette soustraction au plus petit des deux nombres :  S’ils sont égaux, alors le PGCD est égal au plus petit des nombres ;  S’ils sont différents, recommencer la première étape avec le résultat de la soustraction et le plus petit nombre. Exemple : Calculer le PGCD de 182 et 117. 182 − 117 = 65 117 − 65 = 52 65 − 52 = 13 52 − 13 = 39 39 − 13 = 26 26 − 13 = 13 Donc : PGCD(182 ;117) = 13. Remarque : Le PGCD est donc la dernière différence non nulle.

1ère technique : « Soustractions successives »  Effectuer la division euclidienne du plus grand de ces nombres par le plus petit.  Examiner le reste de cette division :  Si ce reste est égal à zéro, alors le PGCD est le diviseur de cette division euclidienne ;  Si ce reste n’est pas égal à 0, recommencer l’étape 1 avec le diviseur et le reste de cette division. Exemple : Calculer le PGCD de 182 et 117. 182 = 117 × 1 + 65 117 = 65 × 1 + 52 65 = 52 × 1 + 13 52 = 13 × 4 + 0 Donc : PGCD(182 ;117) = 13. Remarque : Le PGCD est donc le dernier reste non nul des divisions euclidiennes successives.

3) Nombres premiers entre eux Définition : On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur seul diviseur commun est 1. Conséquence : Si le PGCD de deux nombres est 1, alors les deux nombres sont premiers entre eux. Exemples : 158 et 577 sont-ils premiers entre eux ? On détermine le PGCD de 577 et 158. 577 = 158 × 3 + 103 158 = 103 × 1 + 55 103 = 55 × 1 + 48 55 = 48 × 1 + 7 48 = 7 × 6 + 6 7=6×1+1 6=6×1+0 PGCD(577 ; 158) = 1 donc 577 et 158 sont premiers entre eux.

4) Fractions irréductibles Définition : Une fraction irréductible est une fraction que l'on ne peut pas simplifier. Exemple : 2 3

10 10

2×5

2

est une fraction irréductible contrairement à 15 (15 = 3×5 = 3).

Propriété : Si le numérateur et le dénominateur d'une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible. Exemple : On a vu que 577 et 158 sont premiers entre eux donc

577 158

et

158 577

sont deux fractions

irréductibles. Propriété : Lorsque l'on simplifie une fraction par le PGCD de son dénominateur et de son numérateur, on obtient une fraction irréductible. Exemple : Rendre irréductible la fraction :

145 . 100

On détermine le PGCD de 145 et 100. 145 = 100 × 1 + 45 100 = 45 × 2 + 10 45 = 10 × 4 + 5 10 = 5 × 2 + 0 Donc PGCD(145 ; 100)=5. On en déduit que l’on peut rendre cette fraction irréductible en divisant le dénominateur et le numérateur par 5 :

145 100

=

5×29 5×20

=

29 29 . 20 20

est irréductible.