NOTES, nombres rationnels

Les nombres rationnels 1. Définition Ce sont tous les nombres qui peuvent être exprimés comme le quotient de deux nombres, en autres mots, une fraction. L’ensemble de ces nombres est dénoté par la lettre . Ils peuvent être positifs ou négatifs. Un nombre décimal qui peut être transformé en fraction est un nombre rationnel, mais un qui ne peut pas ne l’est pas. 1 donc 0,1 est un nombre rationnel 10 π = 3,14159265… n’est pas un nombre rationnel (il est un nombre irrationnel)

Exemple : 0,1 

Exemples de nombres rationnels sont encerclés: 1616

4,5

-3,18

2

25

4 7

2. Les fractions impropres et nombres fractionnaires Une fraction impropre est une fraction qui a une valeur qui est plus grande que 1 qui a est sous la forme où a>b. b Exemple :

4 14 , 3 6

Un nombre fractionnaire est une fraction qui a une valeur qui est plus grande que 1 b qui est sous la forme a . c 1 4 Exemple : 2 10 3 9 On ne peut pas avoir une fraction impropre et fractionnaire en même temps. On peut transformer une fraction impropre en nombre fractionnaire et vice versa. Exemple : 1 1 6 1 7 2 peut être changé à 2     3 3 3 3 3 ou on utilise le raccourci : 3 x 2 + 1 = 7 et on met cette réponse sur le dénominateur original qui donne

7 3

Exemple : De l’autre sens on divise 7 par 3. On peut mettre celui-ci 2 fois dans 7, donc notre entier est 2. La fraction est le reste de la division sur le dénominateur original.

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Les nombres rationnels 3. Les fractions et les décimales Une fraction et un nombre décimal sont deux façons d’écrire le même montant. Exemple : 1  0,5 Ces deux chiffres veulent dire la même chose. 2 Pour transformer une fraction en décimale, on divise le numérateur par le dénominateur. C’est pourquoi on écrit souvent une division sous forme de fraction. Exemple : ⅝ → 5 ÷ 8 = 0,625 Pour transformer un nombre décimal en fraction, on observe jusqu’à quelle place décimale est le chiffre. Le numérateur est les chiffres à la droite des zéros et le dénominateur est la place décimale. Exemple : 0,12  le chiffre se rend jusqu’au centième près, on ignore le premier zéro et on garde 12 le 12. La fraction est donc . 100 0,024  le chiffre se rend jusqu’au millième près, on ignore les deux premiers zéros 24 et on garde 24. La fraction est . 1000 4,9  le chiffre se rend jusqu’au dixième près, il n’y a pas de zéros à ignorer alors on 49 garde 49. La fraction est . 10 4. Les fractions équivalentes Une fraction est dite équivalente à une autre si ceux-ci représentent la même valeur. Exemple : 1 2 3   2 4 6 Il faut faire attention aux signes négatifs. 

2 2 2   5 5 5

On sait si on a une fraction équivalente si : - leur nombre décimal est le même - si on peut simplifier une fraction pour qu’elle devienne l’autre Note : simplifier consiste à diviser le numérateur et le dénominateur par un commun multiple.

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Les nombres rationnels 5. Ordonner des nombres rationnels Lorsqu’on veut ordonner des nombres, il est utile d’avoir toute la même forme afin de comparer les nombres. 6. Additionner et soustraire des nombres rationnels Si les dénominateurs sont pareils, on additionne les numérateurs et les dénominateurs ne changent pas. Exemple :

Si les dénominateurs sont différents, on trouve des fractions équivalentes de façon à avoir des dénominateurs communs avant d’additionner. Exemple :

7. Multiplier des nombres rationnels On multiplie les numérateurs et on multiplie les dénominateurs. Exemple :

8. Diviser des nombres rationnels On prend la réciproque de la deuxième fraction et on multiplie. Réciproque : on inverse le numérateur et le dénominateur. Exemple :

9. L’ordre des opérations On commence par faire toutes les multiplications et divisions. On fait les additions et soustractions en deuxième. PEDMAS – parenthèse, exposant, division, multiplication, addition, soustraction

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