Om konvergens av talföljder

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Math
Share Embed Donate


Short Description

Download Om konvergens av talföljder...

Description

Arbetsblad 5 (MATLAB) ¨ en ´ Anders Kall

¨ Om talfoljders konvergens Introduktion ¨ I det h¨ar arbetsbladet ska vi diskutera olika sorters o¨andliga talfoljder. Den viktiga fr˚agan vi ska adressera a¨ r om den konvergerar mot n˚agot ¨ sig v¨aldigt oregelbunvisst tal, g˚ar mot o¨andligheten eller bara uppfor ¨ att gissa vad som det. Id´en a¨ r att vi ska experimentera i MATLAB for g¨aller, men ocks˚a hitta metoder att matematiskt verkligen visa att det h¨ander som vi tror h¨ander.

1.6 3 1.4 2.5

¨ n˚agon funktion f ( x ) av en variabel, kallas relationen ett dynamiskt for system i diskret tid. Om vi best¨ammer ett startv¨arde a0 s˚a definierar ¨ ¨ detta en o¨andlig talfoljd, vilken kallas losningen till det dynamiska systemet. ¨ Ovning Det enklaste exemplet p˚a ett dynamiskt system a¨ r

0.6 0.4 0.5

0

1

6 7 8 9

Beskriv sedan vad som h¨ander med an d˚a n → ∞ (n v¨axer obegr¨ansat). Svaret beror p˚a r!

10 11 12

¨ Om du har t¨ankt r¨att p˚a ovningen vet du att (1)

14 15 16 17

Definition Den matematiska definitionen av (1) a¨ r att det till varje e > 0 ska finnas ett heltal N s˚adant att om n > N s˚a g¨aller att | an | < e, dvs n > N ⇒ | an | < e.

18 19

2

3

0

4

0

5

10

15

20

r =0.5; b=1; f =@( x ) r ∗x+b ; N= 2 0 ; a0 = 0 . 1 ; A=a0 ; f o r i = 1 :N−1 a1= f ( a0 ) ; A = [A a1 ] ; a0=a1 ; end

21

23

Vi f˚ar sedan att lim ( an − A) = 0.

n→∞

En enkel rekursionsmodell Det kanske n¨ast enklaste dynamiska system tar f ( x ) = rx + a d¨ar r, a a¨ r olika reella tal, allts˚a

subplot ( 1 , 2 , 1 ) f p l o t (@( x ) [ f ( x ) , x ] , [ 0 , 4 , 0 , 4 ] ) ; l i n e (A( [ 1 1 2 ] ) , [ 0 A( [ 2 2 ] ) ] ) ; f o r i = 2 :N−1 l i n e (A( [ i i i + 1 ] ) ,A( [ i i +1 i + 1 ] ) ) ; end

20

22

an+1 = ran + b,

1

13

om |r | < 1. Men vad betyder detta?



0

Matlab-koden som skapat detta a¨ r:

5

lim an = A

0.2

4

¨ d¨ar r a¨ r ett reellt tal. Visa att losningen p˚a det best˚ar av den geomet¨ riska talfoljden an = ar n .

n→∞

0.8

1

2

a0 = a,

1

1.5

3

lim an = 0

1.2

2

¨ Talfoljder kan uppkomma p˚a m˚anga olika s¨att. Om det a¨ r s˚a att det ¨ ¨ n:te talet an best¨ams helt av det foreg˚ aende, s¨ager man att talfoljden a¨ r rekursivt best¨amd. Har man en matematisk relation (formel) kallas ¨ talfoljden. ¨ denna en rekursionsformel for Om an+1 best¨ams ur an genom en formel a n +1 = f ( a n )

an+1 = ran ,

1.8

3.5

Dynamiska system i diskret tid och en variabel

n→∞

2

4

subplot ( 1 , 2 , 2 ) p l o t ( 1 : N, A, ’ o ’ ) ; ¨ kommandot subplot s˚a att vi f˚ar tv˚a Notera h¨ar att vi infort ¨ fonster bredvid varandra. Kommandot a¨ r subplot(n,m,k) (inget ¨ ¨ semikolon!) delar in grafikfonstret n × m delfonster och k talar om i ¨ vilket fonster vi just nu ritar. I figuren ser vi att an kommer n¨armare och n¨armare ¨ sk¨arningspunkten mellan de tv˚a graferna, allts˚a losningen p˚a ¨ ekvationen f ( x ) = x. Denna losning a¨ r

a0 = a.

¨ (se ovning ¨ ¨ inte det nu. Ist¨allet Detta kan vi losa l¨angre ner), men vi gor ¨ a vad som h¨ander d˚a n → ∞ genom att rita in de tv˚a ska vi forst˚ graferna y = f ( x ) och y = x i samma figur. Rita nu in talet a0 p˚a ¨ att f˚a a1 = f ( a0 ) geometriskt g˚ar vi upp parallellt med x-axeln. For ¨ f och d¨arefter parallellt med y-axeln fr˚an a0 p˚a x-axeln till grafen for x-axeln till linjen y = x. Om vi nu g˚ar ner till x-axeln parallellt med y¨ att f˚a a2 = f ( a1 ) forfar ¨ axeln hamnar vi i punkten a1 . For vi p˚a samma s¨att igen utifr˚an a1 . Vi forts¨atter sedan denna process. ¨ att se vad som h¨ander l˚ater vi MATLAB rita upp detta a˚ t oss. I For figuren nedan har vi till v¨anster ritat in den beskrivna processen och ¨ ¨ de speciella valen r = 0.5 och till hoger har vi plottat an mot n for a = 1.

a∗ =

b 1−r

¨ a att och vi tror oss allts˚a forst˚ an → a∗

d˚a

n → ∞.

¨ ¨ vilOvning Experimentera med andra r och andra startv¨arden. For ¨ ka r verkar du f˚a detta resultat (att talfoljden n¨armar sig sk¨arningen ¨ andra tal. Fors ¨ ok ¨ att gora ¨ mellan de tv˚a kurvorna) och vad h¨ander for ¨ en s˚a noggrann utredning som mojligt genom att variera r (spelar b n˚agon roll?). ¨ det i steg: Vi ska nu se matematiskt vad som h¨ander. Vi gor

¨ 1. S¨att cn = an − a∗ . D˚a loser cn rekursionsformeln cn+1 = rcn och a¨ r allts˚a en geometrisk serie: cn = ( a0 − a)r n . 2. D˚a |r | < 1 g¨aller att cn → 0 d˚a n → ∞, vilket betyder att lim an = a∗

¨ En kul datorovning som ansluter till diskussionen ovan a¨ r att studera det dynamiska systemet an+1 = (1 + r ) an − ra2n

n→∞

i det fallet. ¨ detta a¨ ven g¨aller 3. D˚a r ≥ 1 g¨aller att cn → ∞ d˚a n → ∞, varfor an . 4. D˚a r < −1 g¨aller att cn sv¨anger mellan positiva och negativa ¨ detta a¨ ven g¨aller an . v¨arden, men |cn | → ∞ d˚a n → ∞, varfor 5. Slutligen, d˚a r = −1 har vi att an = − an−1 + b = −(− an−2 + b) + b = an−2 , s˚a a0 = a2 = a4 = a6 = . . .. P˚a samma s¨att g¨aller att a1 = ¨ a3 = . . . = b − a0 . Losningen bst˚ar allts˚a av tv˚a v¨arden, a0 och ¨ a1 = f ( a0 ). En s˚adan losning kallas en 2-cykel. ¨ ¨ Ovning Vi har ocks˚a en explicit losning h¨ar: a n = r n a 0 + b (1 + r + . . . + r n −1 ) = r n a 0 + b

¨ mot kaos Pa˚ vag

1 − rn . 1−r

Bevisa det och h¨arled resultatet ovan fr˚an denna formel ist¨allet.

˚ ¨ modeller Nagra icke-linjara Samma id´e som ovan kan till¨ampas p˚a mer komplicerade modeller. ¨ foljande ¨ ¨ ¨ och fors ¨ ok ¨ sedan beviGor ovningar grafiskt i MATLAB forst sa det du ser matematiskt. I det h¨ar avsnittet betraktar vi bara system med positiva startv¨arden a0 . ¨ Ovning Betrakta det dynamiska system som f˚as med hj¨alp av funktionen bx . f (x) = 1+x ¨ ¨ olika startv¨arden Studera losningarna till detta dynamiska system for ¨ foljande ¨ a0 . Ar hypotes rimlig fr˚an dina simuleringar: 1. Om b ≤ 1 g¨aller att an → 0 d˚a n → ∞, 2. Om b > 1 g¨aller att an → (b − 1) d˚a n → ∞? ¨ ok ¨ sedan bevisa p˚ast˚aendet matematiskt. Ett s¨att att gora ¨ det a¨ r Fors ¨ detta problem). att betrakta cn = 1/an (men detta a¨ r speciellt for ¨ Losningar till ekvationen f (x) = x kallas j¨amviktsl¨osningar till det dynamiska systemet. De kan vara antingen stabila eller instabila. L¨ost uttryckt a¨ r ett j¨amviktsl¨age stabilt om ¨ startv¨arden som ligger n¨ara det, medan systemet n¨armar sig det for ¨ ¨ det a¨ r instabilt d˚a losningarna forsvinner iv¨ag fr˚an det, oavsett hur n¨ara vi startar. ¨ ¨ Exempel Om b > 1 har vi i foreg˚ aende ovning tv˚a sk¨arningar mellan ¨ de tv˚a graferna, x = 0 och x = b − 1 i forsta kvadranten. Av dessa a¨ r x = 0 instabilt medan x = b − 1 a¨ r stabilt. Om emellertid b ≤ 1 finns det bara ett j¨amviktsl¨age, x = 0, och detta a¨ r d˚a stabilt. Det a¨ r ¨ ¨ inneborden av analysen i ovningen. ¨ Ovning Betrakta nu det dynamiska system som utg˚ar ifr˚an funktionen bx2 f (x) = . 1 + x2 ¨ hur m˚anga j¨amviktsl¨agen det finns i forsta ¨ ¨ Undersok kvadranten for ¨ vilka som stabila och vilka som a¨ r instabila. olika b och avgor ¨ Om vi t¨anker oss att an i motsvarande dynamiska system utgor ¨ en djurpopulation, forklara p˚ast˚aendet att om a0 a¨ r mindre a¨ n ett kri¨ tiskt v¨arde ac kommer populationen att do¨ ut, medan om det a¨ r storre kommer den att n˚a ett stabilt j¨amviktsantal.

¨ olika r > 2. Ta det som en laborativ matematisk undersokning ¨ for att ¨ olika r. Men var ta reda p˚a vilka stabila j¨amviktsl¨agen som finns for ¨ ¨ r i sm˚a steg! forsiktig, oka ¨ 2 < r < 2.570 . . . finns periodiska Det du ska finna a¨ r att det for ¨ losningar p˚a systemet, med en period som v¨axer med r (experimente¨ ar vad detta betyder). Men n¨ar du passerar det ovre ¨ ra s˚a att du forst˚ v¨ardet intr¨affar n˚agot som kommit att kallas kaos. Men det a¨ r en annan historia....

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF