OPERATIONS SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES

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Opérations sur les variables aléatoires discrètes

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OPERATIONS SUR LES VARIABLES ALEATOIRES DISCRETES «Rien n’est moins sûr que l’incertain.» Pierre DAC

MARCHE D’APPROCHE 4. COUPLE DE VARIABLES ALEATOIRES 4. 1. Le rouge et le noir Cet exemple sera repris dans tout le chapitre. Une urne contient 10 boules : 5 blanches, 3 rouges et 2 noires. De cette urne on extrait 3 boules, successivement et sans remise. Soit X le nombre de boules rouges et Y le nombre de boules noires figurant dans l’échantillon. !

Soit Ω l’ensemble des échantillons de 3 boules. Le nombre de ces échantillons est

3 C10 , c’est à dire 120.

Soit X(Ω) et Y(Ω) les univers-images respectifs de X et de Y. Alors X(Ω) = ’0; 3÷ et Y(Ω) = ’0; 2÷.

!

A chaque échantillon précédent est associé un couple (xi, yi) où xi∈X(Ω) et yi∈Y(Ω). Soit i∈’0; 3÷ et j∈ ’0; 2÷. Calculons la probabilité, notée pij, de l’événement

!

C i × C2j × C53− i − j (X = xi)∩(Y = yj) . Alors pij = 3 . 3 C10 Ce qui permet de dresser le tableau suivant où, volontairement pour faciliter les additions, nous n’avons pas simplifié les fractions : Y X 0 1 2 3 Sommes

0

1

2

Sommes

10/120 30/120 15/120 1/120 56/120

20/120 30/120 6/120 0 56/120

5/120 3/120 0 0 8/120

35/120 63/120 21/120 1/120 1

L’ensemble {(xi, yj); pi j} est la loi de probabilité du couple (X, Y) de variables aléatoires que l’on appelle aussi loi conjointe des variables aléatoires X et Y.

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4. 2. Lois marginales ! Dans l’exemple précédent, intéressons-nous uniquement à la variable X. etc....

Chapitre 7

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Chapitre 7

3. SOMME ET PRODUIT DE VARIABLES ALEATOIRES 3. 1. Somme de deux variables aléatoires Le rouge et le noir ♦ Les variables aléatoires X et Y sont telles que X(Ω) = ’0; 3÷ et Y(Ω) = ’0; 2÷. Soit Z = X + Y. Alors Z(Ω) = ’0, 5÷.

!

La loi de probabilité de Z est définie par : p( Z = k ) =

∑ p[( X = i) ∩ (Y = j)] .

i+ j=k

Par exemple : p(Z = 2) = p[(X = 0) ∩(Y = 2)] + p[(X = 1)∩(Y = 1)] + p[(X = 2)∩(Y = 0)], 5 30 15 5 d’où p( Z = 2) = + + = . 120 120 120 12 En utilisant cette méthode on obtient la loi de probabilité de X + Y. zk pk

0 1/12

1 5/12

2 5/12

3 1/12

4 0

5 0

Somme 1

♦ Le calcul des espérances mathématiques des variables X, Y, et X + Y conduit à : 9 3 3 E(X) = , E(Y) = et E(X + Y) = , donc E(X + Y) = E(X) + E(Y). 10 5 2 ♦ Le calcul des variances des variables aléatoires X, Y et X + Y conduit à : 49 13 17 V(X) = , V (Y ) = et V ( X + Y ) = , donc V(X + Y) ≠ V(X) + V(Y). 100 25 6 La dame de cœur En reprenant la même démarche avec cet exemple on obtient : ♦ La loi de probabilité de X + Y

!

zk pk

0 1 21/32 10/32

2 1/32

Somme 1

♦ Les espérances mathématiques 1 1 3 E(X) = , E(Y) = et E(X + Y) = , donc E(X + Y) = E(X) + E(Y). 8 4 8 ♦ Les variances 7 3 19 V(X) = , V (Y ) = et V ( X + Y ) = , donc V(X + Y) = V(X) + V(Y). 64 16 64 Généralisation ♦ Quelles que soient les variables aléatoires discrètes X et Y : E(X + Y) = E(X) + E(Y). En effet, si X et Y sont définies sur le même univers Ω, alors X + Y est définie sur la même univers et : E ( X + Y ) = ( X + Y )(ω ) × p {ω } . !

a f ω ∈Ω ∑ X (ω ) × pa{ω}f + ∑ Y (ω ) × pa{ω}f ) = E(X) + E(Y). ∑

Alors E ( X + Y ) =

ω ∈Ω

ω ∈Ω