Parabeln och vad man kan ha den till

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Math, Trigonometry
Share Embed Donate


Short Description

Download Parabeln och vad man kan ha den till...

Description

Parabeln och vad man kan ha den till

Anders K¨all´en MatematikCentrum LTH [email protected]

Sammanfattning I den h¨ar artikeln diskuterar vi vad parabeln ¨ar f¨or geometrisk konstruktion och varf¨or den kan beskrivas som grafen till ett andragradspolynom. Vi tittar ocks˚ a in p˚ a dess geometriska och optiska egenskaper.

Parabeln och vad man kan ha den till

1 (5)

Introduktion De kurvor som vi f˚ ar som grafen av ett andragradspolynom brukar kallas parabler, men parabeln ¨ar en rent geometrisk konstruktion och beskrivningen som grafen till ett andragradspolynom bara a¨r en konsekvens av dess geometriska definition i ett l¨ampligt koordinatsystem. I det h¨ar dokumentet ska vi titta p˚ a vad parabeln egentligen ¨ar f¨or n˚ agot, och vad man kan anv¨anda den till. Och varf¨or den kan anv¨andas till vad den anv¨ands till. V˚ ar diskussion kommer att anv¨anda den analytiska geometrins metoder, d.v.s. vi kommer att r¨akna fram de geometriska egenskaperna genom att anv¨anda analys p˚ a en beskrivning av kurvan i ett v¨al valt koordinatsystem.

Parabelns definition Det finns minst tv˚ a geometriska definitioner av vad en parabel ¨ar. Den enklaste, och kanske ursprungliga, baserar sig p˚ a att man ger en linje, kallad styrlinjen, och en punkt, kallad br¨annpunkten av sk¨al som vi ˚ aterkommer till, som inte ligger p˚ a linjen. Parabeln som definieras utifr˚ an en s˚ adan linje och punkt best˚ ar av de punkter i planet som har samma avst˚ and till punkten som till linjen[1] .

symmetriaxel

br¨ annpunkt

vertex styrlinje

Man inser mer eller mindre direkt att en s˚ adan kurva m˚ aste vara symmetrisk kring en linje som ¨ar vinkelr¨at mot styrlinjen, en linje som vi kallar parabelns symmetrilinje (streckad i figuren). Dess sk¨arning med kurvan sker i en punkt som kallas parabelns vertex. Basen f¨or v˚ ar diskussion a¨r nu att vi h¨arleder en ekvation f¨or parabeln i ett v¨al valt koordinatsystem. Vi v¨aljer detta s˚ a att x-axeln ¨ar parallell med styrlinjen och ligger mitt emellan den och br¨annpunkten. Som yaxel tar vi parabelns symmetrilinje. Parabelns vertex hamnar d˚ a i origo, d.v.s. i sk¨arningen mellan koordinataxlarna. Vidare v¨aljer vi skalan s˚ a att br¨annpunkten kommer i punkten (0, 1). N¨ar vi gjort det har vi figuren till h¨oger.

1

−1

p

x2 + (y − 1)2 (x, y) 1

|y + 1|

y = −1

Villkoret f¨or att punkten (x, y) ska ligga p˚ a parabeln blir nu avst˚ andet fr˚ an (x, y) till (0, 1) ska vara samma som avst˚ andet fr˚ an (x, y) till (x, −1), allts˚ a att p x2 + (y − 1)2 = y + 1. Kvadrerar vi denna likhet f˚ ar vi den ekvivalenta[2] likheten x2 + y 2 − 2y + 1 = y 2 + 2y + 1



y=

x2 . 4

Detta ¨ar det koordinatsystem vi kommer att anv¨anda i den kommande diskussionen om parabelns geometriska egenskaper.

Parabeln och vad man kan ha den till

2 (5)

L˚ at oss dock notera att om vi v¨aljer en annan skala p˚ a axlarna (samma axlar allts˚ a), s˚ a att br¨annpunkten ist¨allet hamnar i punkten (0, c) och styrlinjens ekvation blir y = −c, s˚ a ska vi inf¨ora nya koordinater (x0 , y 0 ) genom x = cx0 , y = cy 0 . I dessa koordinater g¨aller d˚ a att styrlinjen har ekvationen y 0 = −1 och br¨annpunkten ligger i (0, 1) och vi har att y=

x2 4



y0 (x0 /c)2 (x0 )2 = = c 4 4c2



y0 =

(x0 )2 . 4c

Slutligen, om vi ist¨allet l¨agger v˚ art koordinatsystem (vi sl¨anger nu prim:en) s˚ a att det nya 2 origo svarar mot punkten (x0 , y0 ), s˚ a f˚ ar vi ekvationen y − y0 = a(x − x0 ) d¨ar a = 1/4c. Det betyder att en parabel kan alltid skrivas p˚ a ekvationsformen y = ax2 + bx + d f¨or l¨ampliga a, b, d om vi v¨aljer v˚ art koordinatsystem s˚ a att x-axeln ¨ar parallell med styrlinjen och y-axeln vinkelr¨at mot den. Omv¨ant beskriver varje s˚ adan ekvation en parabel eftersom vi har kvadratkompletteringen y = ax2 + bx + d = a(x +

b 2 b2 ) +d− . 2a 4a

Den andra geometriska definitionen av en parabel ¨ar som ett k¨agelsnitt. Vi ˚ aterkommer till den l¨angre fram i detta dokument.

N˚ agra geometriska egenskaper hos parabeln Parabeln har en viktig geometrisk egenskap som vi ser i figuren till h¨oger. Parabeln definieras av att de tv˚ a r¨oda linjesegmenten a¨r lika l˚ anga, vilket g¨or att de bildar tv˚ a sidor i en likbent triangel. Den viktiga egenskapen ¨ar att tangenten till parabeln i topph¨ornet sk¨ar triangelns bas under r¨at vinkel.

br¨ annpunkt

styrlinje F¨or att se att s˚ a ¨ar fallet, inf¨or vi samma koordinatsystem som tidigare, med br¨annpunkten i (1, 0) och styrlinjen som y = −1. D˚ a g¨aller allts˚ a att parabeln 2 har ekvationen y = x /4 vilket betyder att tangenten till parabeln i punkten (x, y) kommer att ha riktningskoefficient k = x/2. Men den linje som ¨ar basen i triangeln har riktningskoefficient k 0 = −2/x eftersom den ¨ar hypotenusa i en r¨atvinklig triangel med h¨ojd 2 och bas x. Men kk 0 = −1, vilket betyder att de tv˚ a linjerna (tangenten och basen) ¨ar vinkelr¨ata.

En annan intressant geometrisk egenskap hos parabeln ¨ar att om tv˚ a tangenter till den sk¨ar p˚ a styrlinjen, s˚ a sk¨ar de under r¨at vinkel. Med samma koordinatsystem som innan har vi d˚ a att tangenten till parabeln 2 i punkten (a, a2 /4) har ekvationen y − a4 = a2 (x − a). Sk¨arningen (x, y) mellan de tv˚ a tangenterna i punkterna vars x-koordinat a¨r a respektive b och som sk¨ar styrlinjen y = −1 ska d˚ a uppfylla de tre ekvationena

Parabeln och vad man kan ha den till

 a2 a  y − 4 = 2 (x − a) 2 y − b4 = 2b (x − a)   y = −1



 2  − b (1 + − 2b (1 +   y = −1

3 (5)

a2 ) 4 b2 ) 4

=x−a =x−a



 2 2  a(4 + a ) = b(4 + b ) 2 − 2b (1 + b4 ) = x − a   y = −1

Det f¨orsta villkoret definiera vilket samband som m˚ aste g¨alla mellan tangenternas tangeringspunkter, och kan skrivas 4(a − b) = (b − a)(b + a). s˚ a om a 6= b s˚ a g¨aller att b + a = −4, dvs b = −4/a. Men det betyder att tangenten i 2 (b, b /4) har riktningskoefficient b/2 = −1/(a/2), vilket betyder att den ¨ar vinkelr¨at mot tangenten i (a, a2 /4), eftersom denna har riktningskoefficient a/2. Ekvationen b = −4/a talar ocks˚ a om varifr˚ an vi ska dra den andra tangenten f¨or att sk¨arningen ska hamna p˚ a styrlinjen. Anm¨arkning Vi har h¨ar anv¨ant analytisk geometri f¨or att l¨osa geometriska problem: vi inf¨or ett l¨ampligt koordinatsystem s˚ a att vi kan st¨alla upp ekvationer och r¨akna. Det g˚ ar naturligtvis att visa p˚ ast˚ aendet rent geometriskt ocks˚ a – det var s˚ a de gamla grekerna gjorde.

Parabelns optiska egenskap – varf¨ or heter det br¨ annpunkt? Om P och Q a¨r tv˚ a punkter p˚ a samma sida om en r¨at linje, hur ska vi v¨alja punkten R p˚ a linjen s˚ a att summan av str¨ackorna P R och RQ ¨ar s˚ a liten som m¨ojligt? Om vi tittar i figuren till h¨oger ser vi att f¨oljande konstruktion ger svaret: spegla P i linjen s˚ a att vi 0 0 f˚ ar punkten P . Dra sedan den r¨ata linjen P Q mellan spegelbilden och Q och kalla dess sk¨arningspunkt med linjen f¨or R. D˚ a g¨aller f¨or varje annan punkt R0 p˚ a linjen att P R0 + R0 Q ≥ P R + RQ eftersom P 0 Q ¨ar tredje sidan i den triangel som bildas av P 0 R0 och R0 Q, och allts˚ a mindre ¨an deras summa (se figuren).

P

Q

R

R′

Den viktiga konsekvensen av detta a¨r f¨oljande geometriska observation: summan P R+RQ ¨ar som minst n¨ar P′ vinkeln mellan P R och linjen, och vinkeln mellan RQ och linjen ¨ar lika stora, d.v.s. den ing˚ aende vinkeln ¨ar lika med den utg˚ aende vinkeln. Dessa p˚ ast˚ aenden ¨ar ekvivalenta[3] . Vi vet empiriskt[4] att f¨or ljus g¨aller att n¨ar det reflekteras i en plan yta ¨ar den infallande vinkeln lika med den utg˚ aende vinkeln, vilket betyder att ljus f¨ardas den kortaste v¨agen mellan de tv˚ a punkterna, n¨ar det reflekteras i en linje.

Parabeln och vad man kan ha den till Vi ˚ aterv¨ander nu till parabeln. J¨amf¨or figuren till h¨oger med den f¨orsta i f¨oreg˚ aende avsnitt. Vi ser d˚ a att vinkeln β ¨ar lika stor som vinkeln mellan tangenten och den str¨ackade linjen, eftersom dessa a¨r halva toppvinkeln i en likbent triangel. Men den senare vinkeln ¨ar motst˚ aende vinkel till vinkeln α i figuren, s˚ a vi har att α = β. Det betyder att om vi reflekterar en vertikalt inkommande str˚ ale i tangenten, s˚ a kommer den reflekterade str˚ alen att hamna i br¨annpunkten. Alla vertikalt inkommande str˚ alar reflekteras allts˚ a i samma punkt.

4 (5)

α β

Eftersom t.ex. ljus och ljud reflekteras p˚ a detta s¨att, s˚ a betyder det att ljus som kommer in parallellt med symmetriaxeln kommer att reflekteras till br¨annpunkten. Omv¨ant, om det finns en ljusk¨alla i br¨annpunkten kommer ljuset att l¨amna parabeln i form av parallella ljusstr˚ alar. Detta ¨ar principen bakom b˚ ade parabolantenner, som samlar upp parallellt inkommande elektromagnetiska v˚ agor till en mottagarhuvud, och bilstr˚ alkastare, d¨ar en gl¨odlampa i br¨annpunkten genererar ljus som reflekteras till parallellt ljus fram˚ at. Naturligtvis ¨ar varken parabolantennen eller billyktan en kurva, utan en tv˚ a-dimensionell yta. F¨or att utnyttja parabelns geometriska egenskaper har man d¨arf¨or konstruerat en rotationsparaboloid, vilken uppkommer genom att vi roterar en parabel l¨angs sin symmetrilinje. Om vi sk¨ar denna paraboloid med plan som inneh˚ aller symmetrilinjen (som blir rotationsaxel f¨or paraboloiden) s˚ a kommer sk¨arningarna mellan plan och paraboloid att vara identiska parabler vilka alla kommer att ha samma symmetrilinje och samma br¨annpunkt. Allt ljus som kommer in parallellt med rotationsaxeln kommer d¨arf¨or att reflekteras till br¨annpunkten.

Parabeln som ett k¨ agelsnitt Det finns som p˚ apekats ovan, en alternativ, geometrisk, definition av vad en parabel ¨ar. N¨amligen som en av de kurvor vi kan f˚ a om vi sk¨ar en kon med ett plan. Figuren till h¨oger illustrerar hur s˚ adana sk¨arningar kan se ut, och en parabel f˚ ar man om man sk¨ar konen med ett plan som ¨ar parallellt med konens sida. Som s˚ adan ser vi att en parabel utg¨or en sorts ¨overg˚ ang mellan ellipser och hyperbler[5] , en sorts degenererad ellips eller hyperbel. F¨or att se att det verkligen ¨ar s˚ a att vi f˚ ar en parabel n¨ar vi sk¨ar en kon med ett plan som a¨r parallellt med konens sida, betrakta figuren p˚ a n¨asta sida. L˚ at θ vara vinkeln mellan planet och konens axel och inf¨or beteckningar x och y som i figuren (basen p˚ a det

Parabeln och vad man kan ha den till

5 (5)

lila omr˚ adet ¨ar allts˚ a 2x och h¨ojden ¨ar y). L˚ at nu θ vara vinkeln mellan sk¨arningsplanet och konens axel och l˚ at r vara konens basradie p˚ a den h¨ojd d¨ar sk¨arningens h¨ogsta punkt ligger. Vi ser d˚ a att BM = 2y sin θ och att CM = 2r. Enligt kordasatsen g¨aller att BM · CM = DM · EM, vilket betyder att 4ry sin θ = x2 , och allts˚ a y=

1 x2 . 4r sin θ

H¨ar ¨ar r, θ konstanter som bara best¨ams av konen och planet. Vi ser allts˚ a att i det koordinatsystem vi valt f˚ ar kurvan ekvationen f¨or en parabel med br¨annpunkt i (0, r sin θ)t.

Noteringar 1. Med avst˚ andet till linjen menas det minsta avst˚ andet. 2. Ekvivalens? Den kvadrerade ekvationen ¨ar ekvivalent med att p x2 + (y − 1)2 = ±(y + 1),

men h¨ar kan vi inte anv¨ anda minustecknet eftersom y ≥ 0. S˚ a uttrycken ¨ar ekvivalent under bivillkoret att y + 1 ≥ 0.

3. Detta kallas Herons problem 4. empiriskt=erfarenhetsm¨ assigt 5. Ellipser och hyperbler behandlas i kapitlet Om ellipser och hyperbler

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF