Partiklars r¨ orelser i elektromagnetiska f¨ alt Handledning till dator¨ ovning AST213 Sol¨ar-terrest fysik
Handledare: Magnus Wik (2862125)
[email protected] Institutet f¨or rymdfysik, Lund Oktober 2003
1
Inledning
Syftet med laborationen ¨ar att studera laddade partiklars r¨orelser i elektromagnetiska f¨alt med hj¨alp av datorprogrammet Xspace. Inom astrofysiken och rymdfysiken ¨ar m˚ anga plasman av mycket l˚ ag t¨athet varf¨or det ¨ar intressant att studera enskilda partiklars v¨axelverkan med de storskaliga elektromagnetiska f¨alt som n¨astan alltid ¨ar n¨arvarande. Laborationen anknyter direkt till resultaten i Kivelsons & Russells bok Introduction to Space Physics kapitel 2.1-2.2., samt till teorih¨aftet ”Partiklar och elektromagnetiska f¨alt” kapitel 3. Vi kommer endast att studera partiklar med icke-relativistiska hastigheter vilket inneb¨ar att r¨orelseekvationen f¨or en partikel med massan m och laddningen q blir m
du = q(E + u × B) dt
Denna ekvation l¨oses genom numerisk integration med givna elektriska och magnetiska f¨alt. De E- och B-f¨alt som partiklarna sj¨alva genererar f¨orsummas. Man brukar dela upp partikelns hastighet u i en hastighetskomponent vinkelr¨att mot B (u⊥ ) och en parallellt med B (uk ), dvs u = u⊥ + uk . Observera att tidsstegen vid integreringen varierar beroende p˚ a initialvillkor och partikelslag. Partiklar som kan studeras ¨ar H+ , He+ , He++ , O+ , e, och H− . Elektronens massa ¨ar i Xspace √ ar det geometriska medelv¨ardet av protonens och elektronens massa, dvs m = me mp . Detta ¨ f¨or att skillnaderna mellan elektroner och ¨ovriga partiklar inte skall bli alltf¨or stor. En magnetisk f¨altlinje definieras som den linje vars tangent i varje punkt pekar i magnetf¨altets riktning, dvs dx Bx = , dy By d¨ar Bx och By ¨ar magnetf¨altskomponenterna i x- respektive y-led. OBS: Uppgifter markerade med • skall l¨osas innan laborationen genomf¨ors.
1
2
2
Homogent magnetf¨ alt
H¨ar f¨oruts¨atts att magnetf¨altet ¨ar homogent, vilket betyder att det ser likadant ut i varje punkt i rummet. Magnetf¨altet ges av B = B0 ez , B0 = konstant.
2.1
Gyro-r¨ orelsen
Varje elektriskt laddad partikel som placeras i ett magnetf¨alt kommer att gyrera, d.v.s. r¨ora sig runt i cirkel. R¨orelsen best¨ams av en balans mellan Lorentzkraften och en centrifugalkraft. Om E = 0 och om magnetf¨altet ¨ar homogent, s˚ a blir r¨orelsen speciellt enkel att beskriva. • 1. Ber¨akna gyrofrekvens och gyroradie f¨or de 6 olika partikelslagen d˚ a B0 = 200 nT och v = 50ex + 50ey + 15ez km/s. • 2. Om elektroner och protoner i ett v¨ateplasma har samma kinetiska energi, vad blir d˚ a f¨orh˚ allandet mellan deras gyrofrekvenser? Mellan deras gyroradier? 3. Studera de olika partiklarnas banor givna samma initialvillkor. G¨or en utskrift och markera i figuren partikelslag, r¨orelseriktning och magnetf¨altets riktning. 4. Vad kan man s¨aga om partiklarnas energi? F¨orklara varf¨or det blir s˚ a?
2.2
E × B-drift
H¨ar l¨agger vi dessutom p˚ a ett elektriskt f¨alt E = E0 (sin θex + cos θez ), d¨ar θ ¨ar vinkeln fr˚ an z-axeln. Partiklarna kommer fortfarande att gyrera men kommer dessutom att b¨orja driva under inverkan av det elektriska f¨altet. • 1. Ber¨akna drifthastigheten uE f¨or en proton d˚ a E0 = 1 V/km, θ = 90◦ och B0 = 200 nT. Vad blir drifthastigheten f¨or en elektron? 2. L˚ at E vara vinkelr¨at mot B (θ = 90◦ ) och studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. G¨or en utskrift och markera rotationsrikting, driftriktning, samt E- och Bf¨alten. 3. Vad kan s¨agas om partiklarnas energi ? 4. Uppst˚ ar det en elektrisk str¨om ? 5. L˚ at nu ist¨allet E bilda 45◦ mot B och studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. G¨or en utskrift och markera rotationsrikting, driftriktning, samt E- och Bf¨alten. 6. Vad kan s¨agas om partiklarnas energi ? 7. Uppst˚ ar det en elektrisk str¨om ?
3
3
Inhomogent magnetf¨ alt
H¨ar komplicerar vi magnetf¨altet genom att g¨ora det inhomogent, d.v.s. magnetf¨altets utseende varierar i rummet. Partiklarna kommer fortfarande att gyrera, men f˚ ar dessutom olika driftr¨orelser p.g.a. magnetf¨altets struktur. F¨or att inte komplicera situationen alltf¨or mycket, s˚ a f¨oruts¨atter vi att E = 0.
3.1
Gradientdrift
Antag att magnetf¨altet varierar enligt B = Bz (x)ez , d.v.s. f¨altlinjerna ¨ar parallella med z-axeln medan t¨atheten varierar i x-led. Se ekvation 12 i teori-h¨aftet. • 1. Ta fram ett uttryck f¨or gradientdriften i det speciella fallet n¨ar B = Bz (x)ez . 2. Studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. G¨or en utskrift och markera rotationsrikting och driftriktning. 3. Vad kan s¨agas om partiklarnas energi ? 4. Uppst˚ ar det en elektrisk str¨om ?
3.2
Kr¨ okningsdrift
H¨ar varierar magnetf¨altet enligt !
B = B0 eϕ = B0 (− sin ϕex + cos ϕey ) = B0
y x −p 2 ex + p 2 ey , 2 x +y x + y2
uttryckt i cylindriska koordinater (r, ϕ, z) och kartesiska koordinater (x, y, z) som i Xspace. • 1. Ta fram ett uttryck f¨or hur kr¨okningsdriften varierar med radien r i cylindriska koordinater. 2. Studera de olika partiklarna under samma initialvillkor. G¨or en utskrift och markera rotationsrikting och driftriktning. 3. Vad kan s¨agas om partiklarnas energi ? 4. Uppst˚ ar det en elektrisk str¨om ?
4
4
Magnetisk spegling
Den magnetiska flaskan ¨ar ett magnetf¨alt som ¨ar cirkul¨arsymmetriskt kring z-axeln och d¨ ar styrkan ¨okar d˚ a z → +∞ eller z → −∞. Eftersom magnetf¨altet blir starkare mot flaskans ¨ovre och nedre del kan laddade partiklar reflekteras fram och ˚ ater och f¨orbli f˚ angade av magnetf¨altet. I kartesiska koordinater kan man beskriva en magnetisk flaska p˚ a f¨oljande s¨att: Bx = −Br cos ϕ, By = −Br sin ϕ, 1 1 (1 − f ) + . Bz = B0 1 − s s H¨ar ¨ar f och Br funktioner av cylinderkoordinaterna z och r: z L
2 , + e−z/L tanh( Lz ) 1 f· , = B0 r 1 − s 2L
f Br
= sech
=
ez/L
medan s och L ¨ar tv˚ a fria parametrar som best¨ammer magnetf¨altets form Bmax = ”mirror ratio”, Bmin L = flaskans ”skalh¨ojd”. s =
• 1. Skissa n˚ agra f¨altlinjer i xz-planet f¨or att f˚ a en uppfattning om magnetf¨altets utseende. • 2. Vad blir B d˚ a z = 0 respektive d˚ a z → ±∞? Riktning och styrka? • 3. Visa att ∇ · B = 0, d.v.s. att magnetf¨altet ¨ar fysikalisk rimligt. Vi ska nu sl¨appa iv¨ag partiklar fr˚ an en punkt n¨ara origo med olika hastighet l¨angs z-axeln (uk ). Alla partiklar ska ha samma hastighet vinkelr¨att mot magnetf¨altet (u⊥ =10 km/s). Det kommer nu att visa sig att partiklar med h¨og hastighet parallellt med magnetf¨altet tar sig ur flaskan, medan partiklar med l˚ ag uk reflekteras tillbaka av det starkare magnetf¨altet. 4. Studera en proton med initialtillst˚ andet (x, y, z)=(0, 5, 0) och (ux , uy , uz )=(u⊥ , 0, uk ). Fyll i nedanst˚ aende tabell d¨ar α ¨ar vinkeln mellan magnetf¨altet och partikelns r¨orelseriktning. s 50 50 50 50 50 26 26 26 26 26
ux =u⊥ km/s 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
uz =uk km/s 10 30 50 70 90 10 30 50 70 90
αi
5
Partikeln f˚ angad i flaskan ? (Ja/Nej)
I teori-h¨aftet, kapitel 3.2.4 och 3.2.5, beskrivs hur partikelns kinetiska energi och magnetiska moment f¨orblir konstanta under partikelns r¨orelse i magnetf¨altet. mu2 = konstant, 2 mu2⊥ = = konstant. 2B
E= µm
5. Best¨am vid vilken initial vinkel αi som gr¨ansen g˚ ar f¨or inf˚ angning av protonen i flaskan. G¨or detta f¨or b˚ ada magnetf¨alten (s=26 och s=50). Ledtr˚ ad: best¨am relationen mellan α och B. Vad ¨ar α d˚ a partikeln reflekteras och v¨ander tillbaka?
6
