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January 15, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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MAP311 Aléatoire A. Dalalyan

Ecole Polytechnique Année 2007-2008

P ETITE CLASSE 2 : Indépendance des événements. Variables aléatoires discrètes

Exercice 1 Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé. 1. Montrer que tous les événements de A sont deux-à-deux indépendants si et seulement si la probabilité de chaque événement est soit 0 soit 1. 2. La relation d’indépendance est-elle transitive ? 3. Montrer que la relation d’indépendance est transitive si et seulement si la probabilité de chaque événement est soit 0 soit 1.

Exercice 2 Soit (Ω, A, P) = ([0, 1], B([0, 1]), dx ) où dx désigne la mesure de Lebesgue. Pour tout n ∈ N et pour tout w ∈ [0, 1], on définit ξ n (w) comme le nème chiffre après la virgule dans la décomposition binaire du nombre w. Montrer que pour tout n 6= k les variables aléatoires ξ n et ξ k sont indépendantes.

Exercice 3 Un sauteur tente de franchir des hauteurs successives numérotées 1, . . . , n, . . .. On suppose que les sauts sont indépendants les uns des autres. On suppose que P(nème saut est réussi) = 1 n . Soit X le dernier saut réussi. Quelle est la loi de X. Calculer E( X ).

Exercice 4 Soit X une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans N. Montrer que ∞

E( X ) =

∑ P ( X > n ).

n =0

Exercice 5 On note P l’ensemble des nombres premiers différents de 1. On sait que tout x ∈ N s’écrit de manière unique comme produit de puissances entières de nombres premiers de P . Il existe donc U p : N → N telle que ∀ x ∈ N,

x=

∏ pU ( x ) . p

p∈P

Soit Q la probabilité sur N définie par Q( x ) =

c , x2

1. Trouver la loi de U p , pour chaque p ∈ P.

(0 < c < 1).

2. Calculer Q(U p ≥ n), pour n ∈ N. 3. Montrer que pour Q, les variables (U p ) p∈P sont indépendantes. 4. Calculer la fonction génératrice de la v.a. U p . En déduire son espérance et sa variance.

Exercice 5∗ Soient X1 , . . . , Xn des variables aléatoires i.i.d. (indépendantes et identiquement distribuées) suivant la loi de Bernoulli de paramètre p ∈]0, 1[ et S = X1 + . . . + Xn leur somme. Pour s ∈ {0, . . . , n}, donner la loi conditionnelle de X1 sachant S = s et calculer E( X1 |S = s).

Exercice 6 Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes uniformes sur {0, 1}, et Z égale a X + Y modulo 2. Quelle est la loi de Z ? Est-ce que X et Z sont indépendantes ? Est-ce que Y et Z sont indépendantes ? Est-ce que X, Y et Z sont indépendantes ?

Exercice 7 Soit (ξ n ) une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi. Soit ( Xn ) la suite de variables aléatoires définies par ( X0 = x, X n +1 = X n − X n h K +



h K ξ n +1 ,

où x ∈ R et hK = 1 avec K ∈ N. La loi commune des ξ i est l’équirépartition sur {−1, 1}. Calculer E( Xn ) et E( Xn2 ). Identifier les limites de E( XK ) et E( XK2 ) quand K tend vers l’infini.

Exercice 8 On jette, de façon indépendante, un dé biaisé (qui donne “pile” avec la probabilité p et “face” avec la probabilité q = 1 − p) jusqu’à obtenir un nombre r (fixé par avance) de résultats “pile”. Soit N le nombre de tirages surnuméraires (au delà de r) nécessaires pour obtenir ce résultat. Calculer la fonction génératrice de N et en déduire sa loi. Que vaut E( N ).

Exercice 9 (Pour réflechir) Soit ( Xn ) une suite de v.a.i.i.d. à valeurs dans N, et N une variable à valeurs dans N indépendantes des ( Xi ). On pose S = 0 si N = 0 et S = ∑kN=1 Xk sinon. On note GN la fonction génératrice de N. 1. Calculer E(S) et Var (S) en fonction des moments de N et X. 2. On suppose maintenant que les L( Xi ) ∼ B( p) pour 0 < p < 1, et on désire déterminer les lois de N telles que S et N − S soient indépendantes. (a) Déterminer la loi de (S, N − S) si N ∼ P (θ ), et vérifier que S et N − S sont indépendantes. (b) On suppose que S et N − S sont indépendantes. Montrer que pour z ∈ [−1, 1], 0 ( z ) /G ( z ). GN (z) = GN ((1 − p) + pz) GN ( p + (1 − p)z). On pose h(z) = GN N i. si p = 1/2, vérifier que h(z) = h((1 + z)/2). En déduire que h(z) = lim h(r ), r →1−

puis que N est soit p.s. 0 soit suit une loi de Poisson. ii. si p < 1/2, inspirez vous de la question précédente pour obtenir la loi de N.

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