PDF 2x2 - Acclab h55.it.helsinki.fi
Short Description
Download PDF 2x2 - Acclab h55.it.helsinki.fi...
Description
18. Sammanfattning
18.2. Ursprung och form av f¨ altena
• Elektriska laddningar (monopoler) i vila ger upphov till elf¨alt • Elektriska laddningar i r¨orelse ger upphov till magnetf¨alt • Elektriska laddningar i acceleration ger upphov till (elektromagnetisk) str˚ alning • Magnetiska monopoler existerar ej • Magnetiska dipoler ger upphov till magnetf¨alt • Tidsf¨or¨anderliga magnetf¨alt ger upphov till elf¨alt • Tidsf¨or¨anderliga elf¨alt ger upphov till magnetf¨alt • Monopolf¨alt avtar som 1/r 2 • Dipolf¨alt avtar som 1/r 3
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.1
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.1. Kraft, f¨ alt och potential
JJ J I II ×
18.3
JJ J I II ×
18.4
18.3. Elektrostatik
Krafter F ¨ar fysikaliskt m¨atbara storheter
I en elektrostatisk situation (ingen str¨om, inget tidsberoende) g¨aller: (i) Inne i en ledare ¨ ar elf¨ altet noll.
Elf¨alt beror p˚ a kraften som (18.1)
F = Eq Potential φ ¨ar en matematisk konstruktion som definieras av
(ii) Inne i en ledaren ¨ ar laddningst¨ atheten noll. (iii) Nettoladdningar befinner sig p˚ a ytan.
E = −∇φ
(18.2)
(iv) En ledare utg¨ or en ekvipotentialyta. (v) Elf¨ altet ¨ ar vinkelr¨ att mot en ledares yta.
F¨ or punktladdningar i vila g¨aller Coulombs lag E=C
q b r , 2 21 r21
(18.3)
d¨ar C ¨ar enheten som definierar det elektriska enhetssystemet.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.2
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.4. Dielektrika
18.5. Elektromagnetisk energi
Ett perfekt dielektrikum (isolator) ¨ar ett material som inte inneh˚ aller n˚ agra fria laddningar alls. Dielektrika reagerar p˚ a yttre elektriska f¨alt s˚ a att de polariseras, d.v.s. dipoler induceras i materialet. Detta ger upphov till ett elf¨altsbidrag innanf¨ or och utanf¨ or dielektriket. Eftersom dielektrika polariseras, s˚ a har varje region med volymen dV ett dipolmoment Detta kan beskrivas med polarisationen P=
dp , dV
2
Energit¨atheten energi/volym fr˚ an elf¨alt ges av
u=
(18.9)
Energit¨atheten f¨or isotropiska linj¨ara magnetiska media ¨ar
(18.4)
[P ] = C/m ,
1 1 1 11 2 2 D · E = D · E = εE = D 2 2 2 2ε
uM =
1 1 2 1 2 B · H = µH = B 2 2 2µ
(18.10)
Elektrisk f¨ orskjutning (displacement) eller elektriskt fl¨ odest¨ athet (flux ) definieras med D ≡ ε0 E + P
(18.5)
D = ε0E + P = (ε0 + χe(E))E ≡ ε(E)E
(18.6)
Fl¨ odet kan skrivas d¨ar ε ¨ar det dielektriska materialets permittivitet.
Man definierar ocks˚ a den relativa permittiviteten eller dielektricitetskonstanten.εr via ekvationen ε ≡ εr ε 0 (18.7)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
f¨ or vilket g¨aller
εr =
18.5
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.7
18.6. Elektrisk str¨ om
ε χe =1+ ε0 ε0
(18.8)
εr > 1 f¨or ¨ovriga media ¨an vakuum.
Laddningar i r¨orelse utg¨or en (elektrisk) str¨ om och definieras
I ≡
dQ , dt
(18.11)
F¨or de flesta metaller g¨aller Ohms lag. (18.12)
J = g(E)E,
d¨ar g kallas konduktivitet. F¨or linj¨ara isotropiska — ocks˚ a kallade ohmiska — media g¨aller att g(E) ¨ar oberoende av E , s˚ a att J = gE (18.13) Man definierar ocks˚ a resistiviteten
η= och resistans R
R=
1 g
(18.14)
ηL A
(18.15)
Dessa ekvationer och energiekvation leder till “minimala elektroniken” “URI-PUI”: (18.16)
U = RI Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.6
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.8
P = UI som alla fysiker b¨or komma ih˚ ag fast de skulle v¨ackas kl. 4 p˚ a natten i 3 promilles fylla!
(18.17)
F¨or paramagnetiska material g¨aller att χM > 0, s˚ a att B > µ0H, d.v.s. magnetf¨altet f¨ orst¨ arks inne i materialet. Detta ger att µ > 1. Materialets dipoler vill allts˚ a ordna sig med det externa f¨altet. F¨or diamagnetiska material har man att χM < 0 och B < µ0H, d.v.s. magnetf¨altet f¨ orsvagas inne i materialet. Vi har d˚ a att µ < 1. Materialets dipoler ordnar sig motsatt f¨altet, s˚ a att detta f¨orsvagas inne i materialet. I allm¨anhet g¨aller att |χM | 1 f¨or dessa material. Ferromagnetiska material har inte en konstant susceptibilitet eller permeabilitet, utan dessa varierar med det externa magnetf¨altet. Ferromagneter uppvisar en permanent magnetisering, d.v.s. de ¨ar magneter. Om en ferromagnet har magnetiserats av ett f¨alt till en punkt Hmax, Bmax, och man sedan minskar p˚ a det yttre f¨altet, s˚ a kommer (H, B)-punkterna inte att ligga p˚ a den kurva man fick d˚ a materialet magnetiserades. Detta beteende kallas hysteresis och ser typiskt ut som:
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.9
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.11
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.12
18.7. Magnetiska material
Man kan skriva magnetiseringen f¨or isotropiska material enligt M ≡ χM H
(18.18)
d¨ar χM ¨ar materialets magnetiska susceptibilitet. Fr˚ an detta f¨oljer att B = µ0(H + M) = µ0(H + χM H) = µ0(1 + χM )H
(18.19)
Man definierar ett materials magnetiska permeabilitet µ med hj¨alp av ekvationen B ≡ µH
(18.20)
µ = (1 + χM )µ0 ≡ µr µ0
(18.21)
och d¨armed d¨ar µr ¨ar den relativa permeabiliteten.
F¨ or para- och diamagnetiska material g¨aller att χM , µ ¨ar konstanter, f¨orutsatt att det p˚ averkande magnetf¨altet inte ¨ar f¨or starkt. Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.10
18.8. V˚ agor
Maxwells lagar leder direkt till v˚ agekvationen f¨ or magnetf¨ altet 2
2
(18.22)
2
(18.23)
∇ H − gµ∂tH − εµ∂t H = 0 samt v˚ agekvationen f¨ or elf¨ altet 2
∇ E − µ∂tg E − µε∂t E = 0 V˚ agekvationerna g¨aller f¨or linj¨ara, ledande eller icke-ledande neutrala media.
Monokromatiska v˚ agor betyder detta att endast en vinkelfrekvens ω f¨orekommer. Dessa fortskrider i vakuum som 0 ±iκ·r −iωt −i(ωt∓κ·r) E (r, t) = E0e e = E0e (18.24) Imagin¨ardelen (f¨or att f˚ a en sinus-funktion) ger det fysikaliskt verkliga f¨altet 0
EP (r, t) = EP,0 sin(ωt ∓ κ · r)
(18.25)
V˚ agen r¨ or sig allts˚ a i riktningen ±b u med hastigheten c
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.13
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.15
18.9. Spridning av str˚ alning
Grundl¨aggande ekvationer f¨ or monokromatiska plana v˚ agor i vakuum:
Ifall
2π 2πc = (18.31) k ω alm˚ alets linj¨ara dimension g¨aller att str˚ alningens sprids som Rayleighs lag ¨ar mycket st¨orre ¨an str˚ λ=
ν
=
κ
=
λ
= =
κ
=
ω 1 = 2π T ω c c cT = ν c2π 2π = ω κ 2π λ
(18.26) (18.27) (18.28)
dσ µ20ω 4 2 = |Komplicerat vektorberoende| dΩ 16π 2E02
(18.32)
Detta f¨orklarar ocks˚ a varf¨or himlen ¨ar bl˚ a, och solnedg˚ angen r¨od!
(18.29) (18.30)
d¨ar T ¨ar perioden (tiden) i en oskillationsfrekvens.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.14
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.16
18.10. Klassiska elektrodynamikens lag om allting
18.11. Final: den klassiska elektrodynamikens roll i fysiken
Fyra grundl¨aggande ekvationer beskriver elektriska och magnetiska f¨alt fullst¨andigt i all situationer som n˚ ansin observerats ovanf¨or kvantmekanikens skala:
Som en sammanfattning av kursen, kan vi ¨annu repetera vilken roll den klassiska elektrodynamikens spelar i fysiken?
∇·D
=
ρ
(18.33)
∇·B
=
0
(18.34)
∇×E
=
∇×H
=
∂B ∂t ∂D J+ ∂t −
(18.35) (18.36)
F¨ orsta ekvationen ¨ar Gauss’ lag, som f¨oljer fr˚ an Coulombs experimentella lag om kraften mellan laddningar. Andra ekvationen f¨oljer fr˚ an Biot-Savarts experimentalla lag f¨or hur fl¨odest¨atheten kan best¨ammas fr˚ an givna str¨ommar. Tredje ekvationen ¨ar Faradays lag, d.v.s. den experimentella observationen att f¨or¨anderliga magnetiska fl¨ oden genererar elf¨alt.
Den praktiska betydelsen ¨ar klar: elektrodynamiken leder till all elektronik och optik som vi k¨anner till i vardagslivet. Via dess roll i v¨axelverkan mellan elektroner och atomk¨arnor i Schr¨odingerekvationen har den dessutom en central roll till att leda till all kemi och materialfysik. Fundamentalt sett konstaterade vi i b¨orjan av kursen att den elektrodynamiken som baserar sig p˚ a Maxwells ekvationer och Lorentz kraftekvation ¨ar den klassiska gr¨ansen f¨or kvantelektrodynamiken. Den kvantmekaniska gr¨ansen kommer i de flesta fall fram f¨orst innanf¨or atomk¨arnan och mindre l¨angdsskalor ¨an den. Ovanom gr¨ansen ¨ar den klassiska elektrodynamiken verifierad av otaliga experiment och fungerar extremt bra. I slutet av kursen visade vi att den klassiska elektrodynamiken ¨ar helt kompatibel med relativitetsteorin, bara koordinattransformationen g¨ors som Lorentz-transformationen och Einsteins postulat i speciella relativitetsteorin beaktas. Till slut kan vi konstatera att iom. att kvantmekaniken och relativitetsteorin fortfarande inte ¨ar ihopfogade med en “teori ¨over allting”, ¨ar inte heller den klassiska elektrodynamikens slutgiltiga plats i det fysikaliska pusslet slutgiltigt klart. Men klart ¨ar att teorin ¨over allting m˚ aste leda till den klassiska elektrodynamiken som ett gr¨ansfall f¨or vardagsn¨ara fysik.
Fj¨arde ekvationen ¨ar en generaliserad form av Amp`eres lag, som f¨oljer fr˚ an Biot-Savarts experimen-
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
18.17
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.19
Trevlig elektrodynamisk sommar!!
tella lag. Tillsammans med de konstitutiva tensorekvationerna
D
=
D(E)
(18.37)
H
=
H(B)
(18.38)
J
=
J(E)
(18.39)
f¨ or allm¨anna icke-linj¨ara, anisotropiska material och Lorentzkraften
F
=
q(E + v × B)
(18.40)
ger Maxwells ekvationer en fullst¨andig klassisk beskrivning av v¨axelverkande elektromagnetiska partiklar och material. Kontinuitetsekvationen finns inbakad i dessa ekvationer, s˚ a den beh¨over inte r¨aknas upp separat. (Fotnot att grubbla o¨ver under semestern: kan du lista ut fr˚an kursens inneh˚all (j¨amf¨ort med tidigare enklare fysikkurser du tagit) orsaker till varf¨or en bil (eller annan metallbur) inte n¨odv¨andigtvis a¨ r ett fullst¨andigt bra skydd mot en blixt?
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.18
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
18.20
View more...
Comments