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PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (P.P.C.M.)
§ 1 Multiples communs à deux entiers relatifs Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples strictement positifs communs à a et b n’est pas vide puisqu’il contient a b . Parmi ces multiples, il en est donc un plus petit que les autres. Théorème : Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples strictement positifs communs à a et à b admet un plus petit élément. Définition : Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Le plus petit élément de l’ensemble des multiples strictement positifs communs à a et b est appelé plus petit commun multiple de a et b et se note PPCM (a ; b)
Exemples : 1- Ensemble des multiples de 12 : Ensemble des multiples de 16 : Ensemble des multiples communs à 12 et 16 : PPCM (12 ; 16) = 2- Addition de deux fractions :
11 5 9 12
Pour obtenir un dénominateur commun, on peut choisir le PPCM des dénominateurs. Ensemble des multiples de 9 : Ensemble des multiples de 12 : Ensemble des multiples communs à 9 et 12 : PPCM (9 ; 12) =
11 5 = 9 12
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§ 2 Propriétés du PPCM Propriété : Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples communs à a et b est l’ensemble des multiples de PPCM (a ; b) dém :
Réciproquement,
Propriété : Soit a, b et k des nombres entiers relatifs non nuls. PPCM (ka ; kb) = k PPCM (a ; b) dém :
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Remarques : Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. (1) PPCM (a ; b) = PPCM (b ; a) (2) PPCM (a ; b) = PPCM ( a ; b ) (3) a divise b si et seulement si PPCM (a ; b) = b (4) PPCM (a ; a) = a (5) PPCM (a ; 1) = a Propriété : Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. PGCD (a ; b) PPCM (a ; b) = a b dém :
Propriété : Soit a et b deux nombres entiers naturels non nuls. Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a ; b) = a × b 3/4
§ 3 PGCD, PPCM et décomposition en produit de facteurs premiers Propriété : Soit deux nombres entiers naturels, non nuls, a et b Soit {p1 ; p2 ; p3 ; … ; pn} l’ensemble des nombres premiers figurant dans l’une au moins des décompositions en facteurs premiers de a et de b. Si a = p1 1 p2 2 … pn n et b = p1 1 p2 2 … pn n Où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, i et i sont des entiers naturels éventuellement nuls, alors : (1) PGCD (a ; b) = p1 d1 p2 d 2 … pn d n où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, di = min ( i ; i ) (2) PPCM (a ; b) = p1 m1 p2 m2 … pn mn où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, mi = max ( i ; i ) dém : Soit a et b deux entiers naturels non nuls, et {p1 ; p2 ; p3 ; … ; pn} l’ensemble des nombres premiers figurant dans l’une au moins des décompositions en facteurs premiers de a et de b. (1) Soit d un diviseur positif commun à a et b. D’après le théorème 2 du chapitre sur la décomposition en produit de facteurs premiers, d = p1 γ1 × p2 γ2 × … × pn γn où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, γi est un entier naturel tel que 0 ≤ γi ≤ αi et 0 ≤ γi ≤ βi, c'est-à-dire tel que 0 ≤ γi ≤ min(αi ; βi). PGCD(a ; b) est le plus grand de tous les diviseurs strictement positifs communs à a et b, donc c’est le diviseur strictement positif commun à a et b pour lequel les exposants des facteurs premiers pi sont les plus grands possibles. Donc : PGCD(a ; b) = p1 d1 p2 d 2 … pn d n où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, di = min ( i ; i ) (2) D’après la relation PGCD-PPCM : PGCD (a ; b) PPCM (a ; b) = a b p1 d1 p2 d 2 … pn d n × PPCM (a ; b) = (p1 1 p2 2 … pn n ) × (p1 1 p2 2 … pn n ) = p1 α1 β1 p2 α 2 β 2 … pn αn βn Donc : PPCM(a ; b) = p1 α1 β1 d1 p2 α2 β2 d2 … pn αn βn d n Or, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, di = min ( i ; i ) donc αi + βi = di + mi où mi = max (αi ; βi). On en déduit que : PPCM (a ; b) = p1 m1 p2 m2 … pn mn où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, mi = max ( i ; i ).
Exemple : Déterminer PGCD (168 ; 540) et PPCM (168 ; 540)
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