première S Prob sur un ens fini V. aléa cours et exercicesx

Probabilités sur un ensemble Fini Variables Aléatoires A) Probabilités sur un ensemble Fini 1) Quelques exemples: Exemple 1 Une classe de BTS est composée 15 filles et 10 garçons. L'expérience consiste à choisir un élève au hasard dans cette classe. Quelle est la probabilité pour que l’élève soit une fille ? Dans cet exemple on a donné :
Un Univers : L'ensemble des élèves de cette classe.
Une expérience aléatoire : " Choisir un élève au hasard".
Un événement ou une éventualité : " choisir une fille".
Une évaluation numérique de l'événement. Si maintenant, on veut déterminer la probabilité de l'événement : "choisir un élève qui pratique une activité sportive" ou "choisir un élève qui joue dans un club de musique", on se rend compte que la simple connaissance de l'univers précédent ne permet pas de répondre à la question. Il faut des renseignements plus précis sur chaque individu de la classe ou savoir comment se répartissent les caractéristiques étudiées dans cette classe. Exemple 2 On lance un dé équilibré dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Il est claire que la probabilité 1 d'obtenir la face 5 est de . Mais si on précise que le dé est truqué et si personne ne sait comment ce dé a 6 été truqué alors personne ne peut répondre à la question : " quelle est la probabilité d'obtenir la face 5".

2) Conséquence : Etudier un problème de probabilité, c'est avant tout bien préciser l'Univers et savoir comment fonctionne cet univers en terme d'évaluation des éventualités au cours d'une expérience aléatoire. 3) Le langage des événements a) Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. L'ensemble de toutes les issues possibles ( ou éventualités) de cette expérience est appelé Univers. On note Ω cet univers. Lorsqu'on effectue une expérience aléatoire, certains faits liés à cette expérience peuvent se produire ou non, on les appelle événements. Lorsque Ω est un ensemble fini, on identifie chaque événement à une unique partie de Ω (un sous-ensemble de Ω ). Un événement élémentaire est constitué d'une seule éventualité, il est modélisé par un singleton de Ω . b) Dans l’exemple 1 : L’univers Ω est l’ensemble des élèves de la classe. C’est un événement certain. Dans l’expérience précisée dans cet exemple, on note F l’événement « choisir une fille » et G l’événement « choisir un garçon » . F et G sont des parties de Ω . Dans l’exemple 2 on peut représenter la sortie de 5 par l’événement A = 5 . La sortie d’un nombre strictement

{}

inférieur à 5 par

B = {1;2;3;4}. La sortie d’un nombre pair par C = {2;4;6}

c) Réunion de deux événements : La réunion de deux événements A et B est l'événement A ∪ B constitué des éventualités réalisant A ou B. d) Intersection de deux événements : L'intersection de deux événements A et B est l'événement A ∩ B constitué des éventualités réalisant à la fois A et B. N.M. Probabilités Variable aléatoire

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e) Evénement contraire : On donne un événement A. L'événement contraire de A, noté A , est constitué des éventualités de Ω ne réalisant pas A. f) Evénements incompatibles ou disjoints : Deux événements A et B sont incompatibles ou disjoints lorsque leur intersection est vide A ∩ B = ∅ . A et B ne peuvent pas se réaliser simultanément. Exercice : Reprendre l’exemple 2 et écrire les événements événements à l’aide d’une phrase.

A∩ B

;

B∩C

;

B ∪ C . Exprimer chacun de ces

Document à compléter en classe : A Sous ensemble de Ω Réunion de A et B Intersection de A et B : A et B sont disjoints A∩ B A est évènement de Ω A ∪ B

Complémentaire de

A⊂Ω

A∪ A = Ω

A∩ B = Φ

A dans Ω : A

A∩ A = Φ

4) Probabilité DEFINITION D'UNE PROBABILITE : On désigne par P( Ω ) l'ensemble de tous les événements liés à une expérience aléatoire sur Ω . On appelle probabilité toute application p : P( Ω ) → [ 0 , 1 ] possédant les propriétés suivantes : 1. P( Ω ) = 1 2. Si A et B sont incompatibles ( A ∩ B = ∅ ) alors p( A ∪ B ) = p( A) + p( B )

PROPRIETES
La probabilité d'un événement A est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires constituant A . Pour tout événement A, le nombre p(A) est compris entre 0 et 1. 0 ≤ p( A) ≤ 1 .
La somme de toutes les probabilités des événements liés à une expérience aléatoire sur Ω est égale à 1.

∑p

i

=1


La probabilité de l'événement impossible est nulle. p(∅) = 0 p( A ∪ B) = p( A) + p( B) − p( A ∩ B)
Pour tous événements A et B, on a :
Probabilité de l'événement contraire : Pour tout événement A ; p( A) = 1 − p( A)

N.M. Probabilités Variable aléatoire

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UNIVERS EQUIPROBABLE : Définition : On dit qu'un univers est équiprobable si on peut attribuer à chaque événement élémentaire la même probabilité (exemples : dé non truqué, Choix au hasard d'une personne ou d'un objet, tirage au hasard de cartes dans un jeu de 32 cartes, boules indiscernables au toucher... .)

 Dans le cas d'un univers équiprobable la probabilité d'un événement A est : p( A) =

Nombre de cas favorables Nombre de cas possibles

Le nombre de cas favorables est le nombre de tous les éléments de A. Le nombre de cas possibles est le nombre de tous les éléments de Ω .

Exercices d’application

B) Variables Aléatoires 1. Séquence à l’aide d’un tableur. (Simulation) Alice et Bob jouent à la méthode du DUC de TOSCANE On lance trois dés bien équilibrés dont les six faces sont numérotées de 1 à 6. Alice et Bob calculent la somme des trois nombres obtenus. Si la somme obtenue est égale à 9, Alice gagne. Si la somme obtenue est égale à 10, Bob gagne. Dans tous les autres cas, la partie est annulée. Le but de l’exercice est de déterminer qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande fréquence de gagner ? Travail à faire : a) Sur un tableur, réaliser une simulation de cette expérience aléatoire. b) Sur un tableur, réaliser une simulation sur un échantillon de taille 2000 de cette expérience aléatoire et déterminer, pour cette simulation, les fréquences de réussite respectives d’Alice et de Bob. c) Est-il possible de conjecturer qui, d’Alice ou de Bob, a la plus grande fréquence de gagner ?

2.

Définition d'une variable aléatoire Lorsque à chaque événement E d'un univers Ω , on associe un nombre, on dit que l'on définit une variable aléatoire. Une variable aléatoire est une variable qui peut prendre des valeurs numériques incertaines. Elle sera notée X ou Y ou … Définition : Une variable aléatoire X est une application définie sur un ensemble Ω , muni d’une probabilité P, à valeur dans
, qui prend les valeurs  ,  , … … … ,  avec des probabilités  ,  , … … … ,  . On écrit :     Variable discrète, variable continue On distingue :
Les variables aléatoires discrètes, susceptibles de prendre un nombre fini de valeurs isolées.
Les variables aléatoires continues, susceptibles de prendre toutes les valeurs situées dans un intervalle donné ou dans l’ensemble des nombres réels.

3. Loi de probabilité d’une variable aléatoire Lorsque à chaque valeur x prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité p i de l'événement " X =  ", on dit que l'on définit la loi de probabilité de X. Il est souvent commode de présenter cette loi de probabilité à l'aide d'un tableau : X= xi Pi =P(X= xi)

N.M. Probabilités Variable aléatoire

X= x1 P1

X= x2 P2

……

X= xn Pn

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i =n Propriété

∑ Pi = 1

.

La somme de toutes les probabilités est égale à 1

i =1 Exemple 1 :

Sur l’ensemble des issues { 1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }, correspondant à l’expérience du lancer d’un dé, nous pouvons définir la loi de probabilité par le tableau suivant : X = 

  

Exemple 2 : On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. On gagne 2€ pour chaque résultat « pile » et on perd 1€ pour chaque résultat « face » Etablir la loi de probabilité de la variable aléatoire X prenant comme valeur le gain de chaque issue.

Valeur du Gain (X =  )

  

3 Espérance mathématique. Variance. Ecart type. L'espérance mathématique d'une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 , x3 , …… , xn avec des probabilités p1 , p2 , p3 , ……., pn est

i =n

∑ pi xi

E(X) = x1p1 + x2p2 + x3p3 + …………..+ xnpn =

i =1

Quelle notion en statistique vous fait penser à l'espérance mathématique ? Réponse :

La variance de la variable aléatoire X est : V ( X ) = p1 [x1 − E ( X )] + p2 [x2 − E ( X )] + +.... + pn [xn − E ( X )] = 2

2

2

i =n

∑ p [x − E ( X )]

2

i

i

i =1

ou V ( X ) = p1 x1 + p2 x2 + .... + pn xn − [E ( X )] = 2

2

2

2

i=n

∑ p x − [E ( X )] 2

2

i i

i =1

Cette deuxième écriture est pratique pour les calculs. Remarque :

V ( X ) = E ( X ²) − [ E ( X )]²

L'Ecart type est égal à la racine carrée de la variance :

σ X = V( X )

Exemple 3 : Reprendre les exemples 1 et 2, pour calculer l’espérance mathématiques et l’écart type de chaque variable aléatoire.

N.M. Probabilités Variable aléatoire

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Exercices Exercice 1 Dans une association de 300 personnes, une enquête a donné les résultats suivants :
200 personnes aiment la lecture ;
180 personnes aiment le sport ;
60 personnes n'aiment ni le sport ni la lecture. On interroge une personne au hasard dans l'association. 1. Montrer que la probabilité P1 , pour qu'elle n'aime que la lecture est de 0,2. 2. Quelle est la probabilité P2 pour qu'elle n'aime que le sport ? 3. Quelle est la probabilité P3 pour qu'elle aime à la fois le sport et la lecture ? Exercice 2 Dans une classe, 80% des élèves reconnaissent aimer les mathématiques, 80% aimer le professeur et 65% les deux. 1. Compléter le tableau suivant : Matière Aime N'aime pas Total Professeur Aime N'aime pas Total 2. Lorsqu'on interroge un élève au hasard de cette classe quelle est la probabilité pour que cet élève : a) n'aime que la matière ? b) aime au moins la matière ? c) n'aime ni la matière ni le professeur.

Exercice 3 On considère deux dés équilibrés mais fantaisistes dont les faces sont numérotées de la façon suivante :
Le premier dé : 1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 4 ; 4.
Le deuxième dé : 1 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 8. On lance les deux dés et on appelle S la somme des points obtenus. On suppose que chaque face a la même probabilité d'apparaître. 1. Compléter le tableau suivant en inscrivant les points obtenus en fonction du résultat obtenu sur chaque dé. Dé n° 1

1

2

2

3

4

4

Dé n° 2 1 3 4 5 6 8

2. Quelle est la probabilité pour que S soit impaire ? 3. On lance les deux dés deux fois quelle est la probabilité pour que S soit impaire au moins une fois ?

Exercice 4 Dans une classe de BTS de 25 élèves, chaque élève possède une calculatrice, et une seule, de marque C1, C2 ou C3. Deux filles et trois garçons ont une calculatrice de marque C1. 32% des élèves de la classe ont une calculatrice de marque C2. 56% des élèves de la classe sont des filles. La moitié des filles de la classe ont une calculatrice de marque C3. 1. a) Calculer le nombre d'élèves de la classe qui possèdent une calculatrice de marque C2. b) Calculer le nombre de filles de la classe. c) Compléter le tableau suivant. N.M. Probabilités Variable aléatoire

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Nombres de filles

Nombre de calculatrices de marque C1 2

Nombre de garçons

3

Total

5

Nombre de calculatrices de marque C2

Nombre de calculatrices de marque C3

Total

25

2. On choisit au hasard un élève de la classe. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :


A : « l'élève est un garçon ».
B : «l'élève possède une calculatrice de marque C2 ». 3.


Décrire par une phrase l'événement C = A ∩ B, puis calculer sa probabilité.
Décrire par une phrase l'événement D = A ∪ B, puis calculer sa probabilité.

4. Les deux filles et les trois garçons qui possèdent une calculatrice de marque C1 se prénomment: Aline, Sonia, Christophe, David et Éric. On écrit chaque prénom sur un carton et on place les cinq cartons dans une urne. On tire au hasard un premier carton de l'urne puis, sans le remettre, un deuxième carton. On obtient ainsi un couple de prénoms. a) Déterminer le nombre de couples de prénoms qu'il est possible d'obtenir de cette manière. b) Déterminer la probabilité de l'événement F : «obtenir deux prénoms féminins ». c) Déterminer la probabilité de l'événement G : «obtenir au moins un prénom masculin ».

Exercice 5 Dans une population personnes, il y a 45% de fumeurs et 35% de personnes atteintes de bronchite. De plus 65% des bronchiteux sont des fumeurs. 1. Représenter cette situation par un diagramme ou un tableau. 2. Toutes les personnes ont la même probabilité d'être choisies. On choisit une personne au hasard. Calculer les probabilités des événements suivants: F : " C'est un fumeur bronchiteux" B : " C'est un bronchiteux non-fumeur " N : " C'est une personne qui n'est ni fumeur ni bronchiteux"

N.M. Probabilités Variable aléatoire

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