présentation - Mathématiques académie de Lille

Statistiques et probabilités : Loi Normale Les I.P.R. et Formateurs de l’Académie de LILLE

Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011

Cadre général : loi à densité

Définition Une fonction f définie sur R telle que f est positive f est continue l’aire du domaine délimité par la courbe Cf , courbe représentative de la fonction f et par l’axe des abscisses, est égale à 1 est appelée fonction densité ou densité.

Cadre général : loi à densité

Définition Une fonction f définie sur R telle que f est positive f est continue l’aire du domaine délimité par la courbe Cf , courbe représentative de la fonction f et par l’axe des abscisses, est égale à 1 est appelée fonction densité ou densité.

ATTENTION :

Toute théorie générale des lois à densité et des intégrales sur un intervalle non borné est exclue.

Cadre général : loi à densité

Exemple :

Cadre général : loi à densité

Exemple : cas particulier de la loi Bêta (α = 2 et β = 6)

Cadre général : loi à densité

Définition - Notation Soient Ω l’univers d’une expérience aléatoire X une variable aléatoire continue, définie sur Ω, de densité f J est un intervalle de R. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle J, notée P({X ∈ J}), est définie comme l’aire du domaine suivant {M(x; y ) ; x ∈ J

et

0 ≤ y ≤ f (x)}

Cadre général : loi à densité

Définition - Notation Soient Ω l’univers d’une expérience aléatoire X une variable aléatoire continue, définie sur Ω, de densité f J est un intervalle de R. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle J, notée P({X ∈ J}), est définie comme l’aire du domaine suivant {M(x; y ) ; x ∈ J

et

0 ≤ y ≤ f (x)}

,→ Réinvestissement du chapitre sur l’intégration.

Cadre général : loi à densité

Exemple :

Cadre général : loi à densité

Exemple : cas particulier de la loi Bêta

Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011

Loi normale centrée réduite : densité

Capacités attendues : Connaître la fonction de densité de la loi normale et sa représentation graphique.

Loi normale centrée réduite : densité

Capacités attendues : Connaître la fonction de densité de la loi normale et sa représentation graphique.

Définition-Notation Une variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite lorsque sa densité f est définie sur R par x2 1 − f (x) = √ e 2 2π Notation : N(0, 1)

Loi normale centrée réduite : densité Courbe représentative de la densité de la loi normale centrée réduite.

Loi normale centrée réduite : densité Courbe représentative de la densité de la loi normale centrée réduite.

La densité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire

Loi normale centrée réduite : densité Courbe représentative de la densité de la loi normale centrée réduite.

La densité de la loi normale centrée réduite est une fonction paire ,→ sa courbe Cf est donc symétrique par rapport à l’axe des ordonnées

Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0; 1[ Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p).

Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0; 1[ Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, x2 1 − √ e 2 dx lim P(a ≤ Zn ≤ b) = n→+∞ 2π a Xn − n × p où Zn est la variable aléatoire définie par Zn = p . n × p × (1 − p) Z

b

Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0; 1[ Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, x2 1 − √ e 2 dx lim P(a ≤ Zn ≤ b) = n→+∞ 2π a Xn − n × p où Zn est la variable aléatoire définie par Zn = p . n × p × (1 − p) Z

b

Introduction de la loi normale centrée réduite : ,→ observation des représentations graphiques des lois

Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0; 1[ Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, x2 1 − √ e 2 dx lim P(a ≤ Zn ≤ b) = n→+∞ 2π a Xn − n × p où Zn est la variable aléatoire définie par Zn = p . n × p × (1 − p) Z

b

Introduction de la loi normale centrée réduite : ,→ observation des représentations graphiques des lois Approximation d’une loi binomiale par une loi normale ,→ généralisation Théorème Centrale Limite

Loi normale centrée réduite : introduction Théorème de de Moivre-Laplace (admis), uniquement en S Soient n un entier naturel non nul p un nombre réel fixé appartenant à l’intervalle ]0; 1[ Xn une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(n; p). Alors pour tous nombres réels a et b tels que a < b, x2 1 − √ e 2 dx lim P(a ≤ Zn ≤ b) = n→+∞ 2π a Xn − n × p où Zn est la variable aléatoire définie par Zn = p . n × p × (1 − p) Z

b

Introduction de la loi normale centrée réduite : ,→ observation des représentations graphiques des lois Approximation d’une loi binomiale par une loi normale ,→ généralisation Théorème Centrale Limite ATTENTION à la correction dite de continuité (qui n’est pas au programme).

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration

Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l’intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite.

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration

Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l’intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. ,→ Réinvestissement du chapitre sur l’intégration.

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration

Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l’intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. ,→ Réinvestissement du chapitre sur l’intégration. ,→ Réinvestissement du chapitre sur les fonctions.

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration

Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l’intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. ,→ Réinvestissement du chapitre sur l’intégration. ,→ Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration :

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration

Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l’intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. ,→ Réinvestissement du chapitre sur l’intégration. ,→ Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration : Soit α un nombre réel dans l’intervalle ]0; 1[.

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration

Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l’intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. ,→ Réinvestissement du chapitre sur l’intégration. ,→ Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration : Soit α un nombre réel dans l’intervalle ]0; 1[. On définit la fonction F sur [0; +∞[ par Z F (b) = 0

b

x2 1 − √ e 2 dx 2π

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration

Propriété (uniquement en S) A savoir démontrer Pour tout nombre réel α dans l’intervalle ]0 ;1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(−uα ≤ X ≤ uα ) = 1 − α où X est une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. ,→ Réinvestissement du chapitre sur l’intégration. ,→ Réinvestissement du chapitre sur les fonctions. Démonstration : Soit α un nombre réel dans l’intervalle ]0; 1[. On définit la fonction F sur [0; +∞[ par Z F (b) = 0

b

x2 1 − √ e 2 dx 2π

F est l’unique primitive de la densité f sur [0; +∞[ qui s’annule en 0.

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite)

 • F est continue sur [0; +∞[                        

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite)

 • F est continue sur [0; +∞[         • F est strictement croissante sur [0; +∞[                

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite)

 • F est continue sur [0; +∞[         • F est strictement croissante sur [0; +∞[     • F prend ses valeurs dans [0; 12 ]            

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite)

 • F est continue sur [0; +∞[         • F est strictement croissante sur [0; +∞[     • F prend ses valeurs dans [0; 12 ]        1−α 1   • Comme 0 < α < 1, 0 < < .   2 2 

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite)

 • F est continue sur [0; +∞[         • F est strictement croissante sur [0; +∞[     • F prend ses valeurs dans [0; 12 ]        1−α 1   • Comme 0 < α < 1, 0 < < .   2 2 

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite)

 • F est continue sur [0; +∞[         • F est strictement croissante sur [0; +∞[     • F prend ses valeurs dans [0; 12 ]        1−α 1   • Comme 0 < α < 1, 0 < < .   2 2  Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique nombre réel strictement positif que l’on note uα tel que F (uα ) =

1−α 2

Loi normale centrée réduite : propriétés et démonstration (suite)

 • F est continue sur [0; +∞[         • F est strictement croissante sur [0; +∞[     • F prend ses valeurs dans [0; 12 ]        1−α 1   • Comme 0 < α < 1, 0 < < .   2 2  Ainsi, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique nombre réel strictement positif que l’on note uα tel que F (uα ) =

1−α 2

Par symétrie de la courbe Cf et par linéarité de l’intégrale, le résultat s’ensuit.

Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−1, 96; 1, 96] est telle que : P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−2, 58; 2, 58] est telle que : P(X ∈ [−2, 58; 2, 58]) ≈ 0, 99

Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−1, 96; 1, 96] est telle que : P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−2, 58; 2, 58] est telle que : P(X ∈ [−2, 58; 2, 58]) ≈ 0, 99

Propriété (série ES-L) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−1, 96; 1, 96] est telle que : P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95

Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−1, 96; 1, 96] est telle que : P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−2, 58; 2, 58] est telle que : P(X ∈ [−2, 58; 2, 58]) ≈ 0, 99

Propriété (série ES-L) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−1, 96; 1, 96] est telle que : P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95 ,→ Donne une idée de la répartition des valeurs prises par X

Loi normale centrée réduite : propriétés Propriété (série S) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−1, 96; 1, 96] est telle que : P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95 La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−2, 58; 2, 58] est telle que : P(X ∈ [−2, 58; 2, 58]) ≈ 0, 99

Propriété (série ES-L) Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. La probabilité que X prenne ses valeurs dans l’intervalle [−1, 96; 1, 96] est telle que : P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95 ,→ Donne une idée de la répartition des valeurs prises par X ,→ Justifie les valeurs utilisées dans le chapitre sur les intervalles de fluctuation.

Loi normale centrée réduite : propriétés et illustrations

P(X ∈ [−1, 96; 1, 96]) ≈ 0, 95

P(X ∈ [−2, 58; 2, 58]) ≈ 0, 99

Bulletin officiel spécial 8 du 13 octobre 2011

Loi normale : définition

Définition-Notation Une variable aléatoire continue X suit une loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ si la variable aléatoire continue Notation : N(µ, σ 2 )

X −µ suit la loi normale centrée réduite. σ

Loi normale : définition

Définition-Notation Une variable aléatoire continue X suit une loi normale d’espérance µ et d’écart-type σ si la variable aléatoire continue

X −µ suit la loi normale centrée réduite. σ

Notation : N(µ, σ 2 )

ATTENTION :

la connaissance d’une expression algébrique de la densité d’une loi normale n’est pas un attendu du programme !

Loi normale : propriétés Commentaires : On fait percevoir l’information apportée par la valeur de l’écart-type.

Loi normale : propriétés Commentaires : On fait percevoir l’information apportée par la valeur de l’écart-type. Capacités attendues : Connaître une valeur approchée de la probabilité de certains évènements.

Loi normale : propriétés Commentaires : On fait percevoir l’information apportée par la valeur de l’écart-type. Capacités attendues : Connaître une valeur approchée de la probabilité de certains évènements. Propriétés Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale N(µ, σ 2 ). Alors La probabilité de l’événement {X ∈ [µ − σ; µ + σ]} est telle que P({X ∈ [µ − σ; µ + σ]}) ≈ 0, 68 La probabilité de l’événement {X ∈ [µ − 2σ; µ + 2σ]} est telle que P({X ∈ [µ − 2σ; µ + 2σ]}) ≈ 0, 95 La probabilité de l’événement {X ∈ [µ − 3σ; µ + 3σ]} est telle que P({X ∈ [µ − 3σ; µ + 3σ]}) ≈ 0, 99

Loi normale : propriétés et illustration

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

Texas Instrument :

T.I. 83 plus

La fonction s’appelle normalFRép

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

Texas Instrument :

T.I. 83 plus

La fonction s’appelle normalFRép

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

Texas Instrument :

T.I. 83 plus

La fonction s’appelle normalFRép

Pour calculer P(a ≤ X ≤ b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ),

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

Texas Instrument :

T.I. 83 plus

La fonction s’appelle normalFRép

Pour calculer P(a ≤ X ≤ b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), il faut saisir dans cet ordre a, b, µ et σ.

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

CASIO :

CASIO Graph 35+

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

CASIO :

CASIO Graph 35+

La fonction s’appelle Normal C.D.

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

CASIO :

CASIO Graph 35+

La fonction s’appelle Normal C.D.

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

CASIO :

CASIO Graph 35+

La fonction s’appelle Normal C.D.

Pour calculer P(a ≤ X ≤ b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ),

Loi normale : calcul d’une probabilité et calculatrices

CASIO :

CASIO Graph 35+

La fonction s’appelle Normal C.D.

Pour calculer P(a ≤ X ≤ b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), il faut saisir dans cet ordre a, b, σ et µ.

Loi normale : calcul d’une probabilité et tableurs

TABLEURS :

Open office ; Excel

Loi normale : calcul d’une probabilité et tableurs

TABLEURS :

Open office ; Excel

La fonction s’appelle LOI.NORMALE

Loi normale : calcul d’une probabilité et tableurs

TABLEURS :

Open office ; Excel

La fonction s’appelle LOI.NORMALE

Loi normale : calcul d’une probabilité et tableurs

TABLEURS :

Open office ; Excel

La fonction s’appelle LOI.NORMALE

Pour calculer P(X ≤ b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ),

Loi normale : calcul d’une probabilité et tableurs

TABLEURS :

Open office ; Excel

La fonction s’appelle LOI.NORMALE

Pour calculer P(X ≤ b) où X suit la loi normale N (µ, σ 2 ), il faut saisir dans cet ordre b, µ, σ et VRAI.

Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d’un enfant de dix ans suit la loi normale d’espérance 135 (cm) et d’écart-type 5,9 (cm).

Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d’un enfant de dix ans suit la loi normale d’espérance 135 (cm) et d’écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu’un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm.

Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d’un enfant de dix ans suit la loi normale d’espérance 135 (cm) et d’écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu’un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1

Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm.

Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d’un enfant de dix ans suit la loi normale d’espérance 135 (cm) et d’écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu’un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1

Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm.

2

Etape 2 : on identifie les paramètres de la loi suivie par la variable aléatoire X : la variable aléatoire X suit la loi normale N(135; 5.92 )

Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d’un enfant de dix ans suit la loi normale d’espérance 135 (cm) et d’écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu’un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1

Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm.

2

Etape 2 : on identifie les paramètres de la loi suivie par la variable aléatoire X : la variable aléatoire X suit la loi normale N(135; 5.92 )

3

Etape 3 : on traduit l’énoncé à l’aide de la variable aléatoire X : Calculer P(X ≤ 126)

Loi normale : exercice Énoncé. La taille exprimée en centimètres d’un enfant de dix ans suit la loi normale d’espérance 135 (cm) et d’écart-type 5,9 (cm). Déterminer la probabilité qu’un enfant de 10 ans mesure moins de 126 cm. 1

Etape 1 : on définit la variable aléatoire X qui à un enfant de dix ans (choix aléatoire et équiprobable) associe sa taille en cm.

2

Etape 2 : on identifie les paramètres de la loi suivie par la variable aléatoire X : la variable aléatoire X suit la loi normale N(135; 5.92 )

3

Etape 3 : on traduit l’énoncé à l’aide de la variable aléatoire X : Calculer P(X ≤ 126)

4

Etape 4 : on interprète géométriquement cette probabilité.

Loi normale : exercice

Loi normale : exercice

P(X ≤ 126)

=

0, 5 − P(126 ≤ X ≤ 135)

Loi normale : exercice

P(X ≤ 126)

= =

0, 5 − P(126 ≤ X ≤ 135) Z 135 0, 5 − f (x)dx 126

Loi normale et applications Texas Instrument :

T.I. 83 plus

Loi normale et applications Texas Instrument :

CASIO :

T.I. 83 plus

CASIO Graph 35+

Loi normale et applications Texas Instrument :

CASIO :

T.I. 83 plus

CASIO Graph 35+

TABLEURS :

Open office ; Excel

Loi normale et applications Texas Instrument :

CASIO :

T.I. 83 plus

CASIO Graph 35+

TABLEURS :

Open office ; Excel

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