Probabilité conditionnelle et indépendance

Chapitre 2

Probabilité conditionnelle et indépendance Dans tout le chapitre, (Ω, A, P) désigne un espace probabilisé.

2.1 Probabilité conditionnelle Sur l’espace (Ω, A, P), comment peut-on calculer la probabilité d’un évènement lorsque l’on ajoute une information supplémentaire ? Exemple 2.1.1. On lance un dé. On travaille donc dans ({1, . . . , 6}, P({1, . . . , 6}), P) avec 1 P6 k=1 δk . Supposons que l’on sache que le résultat du lancer est un nombre pair, 6 alors clairement la probabilité d’obtenir 1, 3 ou 5 est nulle et celle d’obtenir 2 devient 31 . La nouvelle probabilité, notée Q, qui tient compte de la connaissance de l’évènement B =“le

P =

résultat est pair” est donc Q = 31 (δ2 +δ4 +δ6 ). On l’a obtenu en faisant Q({ω}) =

P({ω} ∩ B) . P(B)

Définition 2.1.2. Soit B ∈ A un évènement de probabilité strictement positive. Pour tout évènement A ∈ A, la probabilité conditionnelle de A sachant B est définie par

P(A | B) =

P(A ∩ B) . P(B)

P(A | B) est la mesure de la proportion que représente l’ensemble A dans B . Attention, A | B ne désigne pas un nouvel ensemble et n’a aucun sens en dehors de la notation P(A | B). Le “| B ” est attaché à P et non à A. Proposition 2.1.3. La fonction d’ensemble

P( · | B) : A → [0, 1] A 7→ P(A | B) est une nouvelle mesure de probabilité sur (Ω, A). En particulier toutes les propriétés des propositions 1.5.1 et 1.5.3 restent vraies en remplaçant P(·) par P(· | B).

P(Ω ∩ B) P(B) = = 1, puis pour tout (Ai )i∈N ⊂ A 2 à 2 P(B) P(B) P(∪i∈N (Ai ∩ B)) X P(Ai ∩ B) X disjoints, on a P(∪i∈N Ai | B) = = = P(Ai | B). P(B) P(B) Démonstration. On a P(Ω | B) =

i∈N

i∈N

CHAPITRE 2. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ET INDÉPENDANCE

2.2 Formule des probabilités totales Proposition 2.2.1. Si B est un évènement tel que P(B) 6= 0 et P(B c ) 6= 0, alors pour tout A ∈ A, on a la décomposition

P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | B c )P(B c ) Démonstration. Les ensembles A ∩ B et A ∩ B c étant disjoints et de réunion égale à A, on a

P(A) = P((A ∩ B) ∪ (A ∩ B c )) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B c ) = P(A | B)P(B) + P(A | B c )P(B c ).

Exemple 2.2.2. Une urne contient 3 boules blanches et une boule rouge. On tire successivement, sans remise, deux boules et on note A =“la première boule est rouge”, B =“la deuxième boule est blanche”. Il est clair que P(A) = 41 , P(Ac ) = 1 − P(A) = 34 , P(B | A) = 1 et P(B | Ac ) = 32 . On a donc

P(B) = P(B | A)P(A) + P(B | Ac )P(Ac ) = 1 ·

1 2 3 3 + · = . 4 3 4 4

On va généraliser ce résultat. Définition 2.2.3. Soit (Bi )i∈I ⊂ A une famille finie ou dénombrable d’évènements. On dit que cette famille forme une partition (ou un système complet d’évènements) si : i) ∪i∈I Bi = Ω,

ii) Bi ∩ Bj = ∅ pour tout i 6= j . Proposition 2.2.4 (Formule des probabilités totales). Soit (Bi )i∈I un système complet d’évènements (fini ou dénombrable) tel que P(Bi ) 6= 0 pour tout i ∈ I . Alors, pour tout A ∈ A, X

P(A) =

i∈I

P(A | Bi )P(Bi ).

Démonstration. (exercice) Exemple 2.2.5. Une urne contient 3 boules blanches. On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6, puis on ajoute dans l’urne autant de boules rouges que le nombre obtenu. On tire ensuite une boule dans l’urne. Quelle est la probabilité qu’elle soit blanche ? En notant Di l’évènement “le dé donne le nombre i” et A l’évènement “on tire une boule blanche”, la formule des probabilités totales donne

P(A) =

6 X i=1

6

P(A | Di )P(Di ) =

1X 3 ' 0, 4978. 6 3+i i=1

Exercice 2.2.6. Avec le même protocole que dans l’exemple précédent, on tire cette fois, successivement et sans remise, 2 boules. Quelle est la probabilité que la deuxième boule tirée soit blanche ? Remarquons que lorsque A et B sont deux évènements de probabilités non nulles, on a

P(B | A) =

P(B ∩ A) P(A | B)P(B) = . P(A) P(A)

2.3. INDÉPENDANCE En y ajoutant la formule des probabilités totales, on obtient la formule de Bayes : si (Bi )i∈I est un système complet d’évènements (fini ou dénombrable) tel que P(Bi ) 6= 0 pour tout i ∈ I , alors, pour tout A ∈ A et tout i ∈ I ,

P(Bi | A) = P

P(A | Bi )P(Bi ) . j∈I P(A | Bj )P(Bj )

Exercice 2.2.7. On reprend l’exemple 2.2.5. On a tiré une boule blanche, quelle est la probabilité pour que le dé ait donné un 6 ?

2.3 Indépendance Lorsque le conditionnement par l’évènement B ne modifie pas la probabilité de l’évènement A, c-à-d lorsque P(A | B) = P(A), on dit que les évènements A et B sont indépendants (nb : on a alors P(B | A) = P(B)). Définition 2.3.1. Deux évènements A et B sont dits indépendants si

P(A ∩ B) = P(A)P(B), ou de façon équivalente, lorsque P(B) 6= 0, P(A | B) = P(A). Remarque 2.3.2.

1. Si A et B sont indépendants, alors A et B c sont indépendants.

2. A est indépendant de lui-même ssi P(A) = 0 ou 1. 3. Attention, l’indépendance n’est pas transitive. [A et B indépendants et B et C indépendants n’entraîne pas A et C indépendants.] Exemple 2.3.3. On joue à Pile ou Face sur deux lancers. On modélise l’expérience par Ω = {P, F }2 , A = P(Ω) et P la probabilité uniforme. Les évènements A =“un lancer exactement donne Pile” et B =“le premier lancer donne Face” sont indépendants (à vérifier). En revanche, les évènements C =“un lancer au moins donne Pile” et D =“un lancer au moins donne Face” ne le sont pas (à vérifier). Exemple 2.3.4. On lance deux dés discernables (écrire l’espace probabilisé correspondant) et l’on considère les évènements A =“le premier dé donne un numéro pair”, B =“le deuxième dé donne un numéro impair”, C =“les deux numéros ont même parité”. On a alors P(A) = P(B) = P(C) = 12 et

1 = P(A)P(B), 4 1 P(A ∩ C) = = P(A)P(C), 4 1 P(B ∩ C) = = P(B)P(C). 4 P(A ∩ B) =

Les évènements A, B , C sont donc deux à deux indépendants. En revanche, P(A | B ∩ C) = 0 6= P(A). L’information donnée par la réalisation à la fois de B et C modifie l’information sur l’évènement A. L’exemple précédent montre que la notion d’indépendance deux à deux n’est pas satisfaisante pour définir l’indépendance de trois (ou plusieurs) évènements.

CHAPITRE 2. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE ET INDÉPENDANCE Définition 2.3.5. Soit I un ensemble fini ou dénombrable. On dit que les évènements Ai ∈ A, i ∈ I , sont indépendants (ou mutuellement indépendants) si pour tout k ∈ N, pour tout i1 , . . . , ik ∈ I distincts,

P(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) = P(Ai1 ) · · · P(Aik ). Remarquons que l’indépendance entraîne l’indépendance deux à deux, mais que la réciproque est fausse. Un contre-exemple est donné par les évènements de l’exemple 2.3.4. Exemple 2.3.6. On lance successivement n dés à 6 faces et on modélise l’expérience en prenant une probabilité uniforme sur Ω = {1, . . . , 6}n . Les évènements Ai =“le i-ème dé donne un nombre pair”, i = 1, . . . , n, sont mutuellement indépendants. En effet, pour tout choix de i1 , . . . , ik ∈ {1, . . . , n} distincts,

P(Ai1 ∩ . . . ∩ Aik ) =

3k 6n−k 1 = k = P(Ai1 ) · · · P(Aik ). 6n 2

Remarque 2.3.7. Si la famille Ai ∈ A, i ∈ I , est une famille d’évènements indépendants, alors elle l’est encore si l’on remplace l’un (ou plusieurs) des Ai par son complémentaire. Pour finir, on peut aussi définir l’indépendance entre deux (ou plusieurs) sous-tribu de

A. On dira que deux sous-tribus F et G de A sont indépendantes si pour tout F ∈ F et tout G ∈ G , F et G sont indépendants.