Probabilité de pouvoir construire un triangle lorsqu`on coupe

A propos de la loi uniforme. Exercice : Soit un segment [AB] de longueur 1 que l'on coupe au hasard en deux points X et Y. On définit alors deux variables aléatoires X et Y, uniformes sur [0;1] et indépendantes. On obtient alors trois segments. Quelle est la probabilité de pouvoir former un triangle à l'aide de ces trois segments ? 1) Exprimer en fonction de X et de Y les longueurs , et des trois segments obtenus. Quelles conditions doivent vérifier ces longueurs pour que ce triangle existe ? 2) Illustration du problème par un algorithme :

Pour N = 5000, on obtient :

3) Afin de justifier que la coupe a eu lieu au hasard, montrer que

,

et

suivent la même loi.

= min(X,Y). Pour tout t[0;1], P(min(X,Y)>t) = P( X>t  Y>t) = P( X>t ) P(Y>t) car X et Y indépendantes donc P( min(X,Y)>t) =

–

= 2(1-t) sur [0;1], où

donc P( min(X,Y)  t) = 1 est la densité de

.

–

d'où, en dérivant,

=

–

Pour tout t[0;1], P( –

)=

–

–

= P( -tX-Y  X-Y  t)

= P(Y  X+t  Y  X-t) donc, d'après le graphique ci-contre, P( d'où, en dérivant

–

)=1-

= 2(1-t) sur [0;1] où

–

.

est la densité de

.

= 1-Max(X,Y) = Min(1-X,1-Y). 1-X et 1-Y sont uniformes sur [0,1] et indépendantes. On raisonne comme pour = 2(1-t) sur [0;1] où ,

et

est la densité de

.

.

ayant la même densité suivent bien la même loi.

4) Déterminer la probabilité cherchée. – 

–

– –

– –

Si

le système devient

– –

– –

– Si

le système devient



–

– –

– 

– –

L'aire de l'ensemble des points (x;y) tels que – – vaut . – –

–

La probabilité de pouvoir fabriquer un triangle vaut donc .

Espérance d'une variable aléatoire de loi uniforme sur [a;b] : L'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi uniforme sur [a;b] est donnée par :

E(X) =

=

=

.

On peut observer que la définition de l'espérance par la formule E(X) = l'espérance d'une variable aléatoire discrète.

prolonge celle de

… Reprise du document d'accompagnement – TS – Probas/Stats – page 40 que l'on peut compléter sur [a;b] avec : –

= =a+

–

=

=

+

–

=a+

–

=a+

–

.

.

Exercice : Roméo et Juliette sont dans une zone non couverte par les opérateurs de téléphonie mobile. Pour se rencontrer, ils se donnent rendez-vous entre 19h et 20h, et décident d'arriver chacun indépendamment l'un de l'autre, au hasard. Combien de temps le premier arrivé attend-il le second, en moyenne ?