Probabilité - Modélisation d`une expérience aléatoire Notion d

Probabilité - Modélisation d’une expérience aléatoire Une expérience aléatoire est une expérience que l’on peut répéter autant de fois que l’on veut, mais dont l’issue peut changer, de manière imprévisible, à chaque répétition. Pour vérifier qu’une expérience est aléatoire, on doit pouvoir observer que les fréquences statistiques de réalisation de chacune des issues possibles se «stabilisent» : il y a «moins» de fluctuations de ces fréquences entre des échantillons de grande taille (de 10000 répétitions par exemple) qu’entre des échantillons de petite taille (100 répétitions par exemple). Définitions : •

Modéliser une expérience aléatoire c’est définir l’ensemble Ω = { x 1, x 2, …, x n } des issues(1)

et associer à chaque issue x i un nombre p i entre 0 et 1, ces nombres étant tels que p 1 + p 2 + … + p n = 1 . En choisissant ces nombres, on dit que l’on définit une loi de probabilité sur Ω . Le nombre p 2 est la probabilité de l’issue x 2 . •

1 La loi de probabilité uniforme sur Ω = { x 1, x 2, …, x n } est celle où p 1 = p 2 = … = p n = --- . n On dit alors que l’on a une situation d’équiprobabilité. Remarques : 1 1 1 1 1. Ce choix définit bien une loi de probabilité car on a alors p 1 + p 2 + … + p n = --- + --- + … + --- = --- × n = 1 . n n n n 2. Le fait d’adopter la loi uniforme pour modéliser une expérience aléatoire n’a pas vraiment à être justifié : la seule justification serait d’ordre statistique en répétant l’expérience un grand nombre de fois. Mais ceci ne doit toutefois être fait qu’avec précautions, après avoir identifié l’ensemble des issues, et soupesé les raisons pour lesquelles on estime que toutes ces issues ont les «mêmes chances» de se produire. 3. Il peut y avoir plusieurs modélisations correctes, certaines avec équiprobabilité, et d’autres sans.

Notion d’événement En ce qui concerne l’expérience aléatoire, un événement est quelque chose susceptible de se produire, ou de ne pas se produire, lors de chaque répétition de cette expérience. Chaque événement est donc déterminé en précisant les issues dites favorables pour lesquelles il se produit (on dit aussi «pour lesquelles il est réalisé»). En ce qui concerne la modélisation : Définitions : •

un événement A est une partie de Ω ; sa probabilité p(A) est la somme des nombre p i associés à chacun des éléments de A .

•

un événement est dit élémentaire s’il ne contient qu’une issue. Sa probabilité est le nombre p i correspondant.

•

∅ est l’événement impossible : p(∅) = 0 .

Ω est l’événement certain : p(Ω) = 1

Propriétés / Définitions : •

Si la loi de probabilité est uniforme on a

card A nombre d’issues favorables p(A) = --------------- = ------------------------------------------------------------------nombre total d’issues card Ω

étant donnés des événements A : «l’issue est comme ceci» et B : «l’issue est comme cela» •

A : «l’issue n’est pas comme ceci» A est l’événement contraire de A ;

•

A ∩ B «l’issue est comme ceci et comme cela à la fois» A ∪ B «l’issue est comme ceci ou comme cela ou les deux à la fois»

A Ω

A

p(A) = 1 − p(A) A

A∩B

B

A∪B

Ω colorié

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) •

Si A ∩ B = ∅ on dit que A et B sont des événements incompatibles et on a p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

A

1. Ω (lire «oméga») est parfois appelé «univers des possibles». On suppose ici qu’il y a un nombre fini d’issues.

B

Ω

Exercice 1

2°)

Dessiner une roulette pour obtenir une expérience aléatoires avec 4 issues A, B, C et D dont les probabilités sont 0.3, 0.1, 0.4 et 0.2 .

3°)

Comment simuler cette dernière expérience avec un tableur ?

120° A

Modéliser l’expérience aléatoire consistant à faire tourner la roulette et noter le résultat A ou B suivant le secteur s’arrêtant en face du repère.

B

1°)

Correction

1°)

Les probabilités des deux issues A et B sont proportionnelles aux angles des secteurs correspondants : issue A B somme probabilité

a

mesure du secteur en degrés

120

a+b = 1

b 360 − 120 = 240

360

1 × 120 1 1 × 240 2 On a donc a = ------------------ = --- et b = ------------------ = --- . 360 3 360 3 (autrement dit, la roulette, s’arrête deux fois plus souvent sur A que sur B! ceci suppose que la roulette ne soit pas truquée) issue

A

B

C

D

somme

probabilité

0.3

0.1

0.4

0.2

1

mesure du secteur en degrés

108

36

144

72

360

D

A B

3°)

Même principe que précédemment

C

2°)

Pour faire apparaitre un résultat aléatoire A, B, C ou D dans une cellule avec 0.2 0.3 0.1 0.4 les probabilités précédentes on se sert de la fonction ALEA() qui donne un nombre aléatoire entre 0 et 1. On affiche alors A, B, C ou D selon que le résultat obtenu est dans l’un des 4 intervalles dont les largeurs sont égales aux probabilités voulues 0 0.30.4 0.8 1 Formules à utiliser : dans la cellule A1 la formule est =ALEA() dans la cellule B1 la formule est =SI(A1