Probabilités 03 – Variables aléatoires discrètes

Spéciales PSI – LYCÉE BUFFON

E XERCICES

1 . Montrer que Y admet une espérance et la calculer. 7. Soit X ,→ P (θ). On pose Y = X+1

Probabilités 03 – Variables aléatoires discrètes

8. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ telle que ∀k ∈ N∗ , P(X = k) = a3−k . a) Déterminer a pour que l’on définisse bien ainsi une loi de probabilité.

Loi, fonction de répartition 1. Soit X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes.

b) X a-t-elle plus de chances de prendre des valeurs paires ou impaires ?

a) On suppose que X et Y suivent des lois de P OISSON de paramètres λ et µ. Quelle est la loi suivie par X + Y ?

c) Montrer que X a une espérance et une variance et les calculer. d) On pose Y = X(X − 1). Montrer que la variable aléatoire Y admet une espérance et la calculer.

b) Même question lorsque X et Y suivent une même loi géométrique de paramètre p. c) Même question lorsque X et Y suivent des lois binomiales de à paramètres !à ! à (n, p) !et (m, p). k n X m n +m On pourra redémontrer la formule de VANDERMONDE : = . i k − i k i=0 2. Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes indépendantes qui suivent une même loi géométrique de paramètre p. a) Déterminer P(X > n) pour n ∈ N.

9. Un sauteur en hauteur tente de franchir les hauteurs successives 1, 2, ... ,n. . . On suppose 1 que, pour tout n ∈ N∗ , la probabilité de succès est . Le sauteur est éliminé à son premier n échec. On note X la variable aléatoire égale au numéro du dernier saut réussi. a) Justifier soigneusement que X(Ω) = N∗ , puis déterminer la loi de X, et vérifier que +∞ X P(X = k) = 1. k=1

b) Montrer que X a une espérance et une variance et les calculer.

b) En déduire la loi de Z = min(X, Y). On vérifiera que cette loi est géométrique. 3. Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. On effectue des tirages d’une boule avec remise jusqu’à l’obtention d’une boule noire, en ajoutant à chaque tirage, une boule blanche supplémentaire. On note X la variable égale au numéro du tirage final où apparaît une boule noire, si un tel tirage existe, et égale à 0 si, à chaque tirage, une boule blanche est obtenue. a) Donner sans calcul X(Ω). b) Déterminer, pour tout n ∈ N∗ , P(X = n). +∞ X P(X = n) = 1. En déduire P(X = 0). Qu’en conclure ? c) Montrer que

10. On joue à PILE ou FACE avec une pièce non équilibrée. À chaque lancer la probabilité d’ob1 tenir FACE est égale à . Les lancers sont supposés indépendants. 3 On note X la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires pour l’obtention pour la première fois de deux PILE©s consécutifs. Soit n un entier naturel non nul. On ª note p n la probabilité de l’événement X = n . On note de plus Fi l’événement « obtenir FACE au i -ème lancer ». © ª © ª © ª © ª a) Expliciter les événements X = 2 , X = 3 , X = 4 , X = 5 à l’aide des événements Fi et Fi . Déterminer la valeur de p 1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 . b) A l’aide de la formule des probabilités totales, en distinguant deux cas selon le résultat du premier lancer, montrer que : 1 2 ∀n Ê 3, p n = p n−2 + p n−1 9 3 c) En déduire l’expression de p n en fonction de n, pour n > 1.

n=1

4. Soit p un réel tel que 0 < p < 1. On suppose que la fonction de répartition F d’une variable aléatoire X à valeurs dans N∗ vérifie : ∀n ∈ N, F(n) = 1 − (1 − p)n Donner la loi de X. Espérance et variance 5. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p. Calculer E

µ ¶ 1 . X

6. Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N∗ . On suppose que ∀n ∈ N∗ , 4P(X = n + 2) = 5P(X = n + 1) − P(X = n). Montrer que X suit une loi usuelle. En déduire la valeur de son espérance et de sa variance.

d) Calculer E(X). 11. Deux joueurs A et B lancent une pièce, dont la probabilité d’obtenir « PILE » est 1/3, jusqu’à l’obtention d’un « PILE ». On note X A (resp. X B ) le nombre de lancers nécessaires au joueur A (resp. B). a) Donner les lois de X A et X B ainsi que leurs espérances et variances. b) Calculer P(X A = X B ). c) Soit k ∈ N∗ . Calculer P(X B Ê k). En déduire P(X A Ê X B ). 12. On effectue des lancers de dé équilibré indépendants et on appelle « succès » l’obtention d’un « 6 ». Pour tout n ∈ N∗ , on note X n le temps d’attente du n-ième succès. Page 1

Exercices – Probabilités 03– Variables aléatoires discrètes

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a) Déterminer la loi de X n . (On pourra commencer par déterminer X n (Ω), puis dénombrer le nombre d’issues de l’événement (X n = n + k) où k ∈ N). Ã !µ ¶ +∞ X k −1 5 k b) En déduire que = 5n . 6 n − 1 k=n 13. Un péage comporte 10 guichets numérotés de 1 à 10. Le nombre de voitures N, arrivant au péage en 1 heure, suit une loi de P OISSON de paramètre λ > 0. On suppose de plus que les conducteurs choisissent leur file au hasard et indépendamment des autres. Soit X 1 la variable aléatoire égale au nombre de voitures se présentant au guichet no 1 en une heure. a) Quelle est la probabilité qu’une voiture qui arrive au péage se dirige vers le guichet no 1 ?

a) Montrer que P(X 1 + X 2 = Y1 + Y2 ) = P(14 + X 1 + X 2 − Y1 − Y2 = 14). b) Déterminer la fonction génératrice de la variable à valeurs naturelles Z = 14 + X 1 + X 2 − Y1 − Y2 . c) En déduire la valeur de P(X 1 + X 2 = Y1 + Y2 ). 20. On considère une expérience aléatoire ayant la probabilité p de réussir et q = 1 − p d’échouer définissant une suite de variables de B ERNOULLI indépendantes (X n )nÊ1 . Pour m ∈ N∗ , on note S m la variable aléatoire déterminant le nombre d’essais jusqu’à l’obtention de m succès : S m = k ⇐⇒ X 1 + · · · + X m = k et X 1 + · · · + X m−1 < k a) Déterminer la loi et la fonction génératrice de S 1 .

b) Calculer P(N=n) (X 1 = k) pour tout 0 É k É n. Et pour tout k > n ? +∞ X P(N=n) (X 1 = k) · P(N = n). c) Justifier que P(X 1 = k) =

b) Même question avec S m − S m−1 pour m Ê 2. c) Déterminer la fonction génératrice de S m puis la loi de S m .

n=k

Puis montrer que P(X 1 = k) = e−λ

µ

1 10

¶k

µ ¶ X 9 n λn λk +∞ . k! n=0 10 n!

d) En déduire la loi de X 1 , son espérance et sa variance.

14. Soit X une variable aléatoire réelle telle que E(|X|) = 0. Montrer que P(X = 0) = 1.

Petits problèmes 21. Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches est p et la proportion de boules noires est q. Ainsi, on a : 0 < p < 1, 0 < q < 1 et p + q = 1.

Inégalité de B IENAYMÉ -T CHÉBY TCHEV

Partie I : Tirages avec arrêt dès qu’une boule noire a été obtenue Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu une boule noire. On note T la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués et U la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.

15. On utilise un dé cubique équilibré. Déterminer le nombre de lancers nécessaires pour pouvoir affirmer avec un risque d’erreur inférieur à 5% que la fréquence d’apparition du « 6 » au cours de ces lancers différera de 1/6 d’au plus 1/100. 16. Soit (X n )nÊ1 une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes avec X n suivant une loi de Bernoulli de paramètre ï p n . Montrer que pour ¯tout!ε > 0 ¯ ¯ X +··· +X n 1X ¯ ¯ 1 n − pi ¯ < ε = 1 lim P ¯ n→+∞ ¯ n n i=1 ¯

a) Reconnaître la loi de T. Pour tout entier k Ê 1, donner P(T = k) et rappeler l’espérance et la variance de T. b) En déduire que U admet une espérance et une variance. Déterminer E(U) et V(U).

17. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de P OISSON de paramètre λ. Montrer que P(X Ê λ + 1) É λ.

Partie II : Tirages avec arrêt dès qu’une boule blanche et une boule noire ont été obtenues Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s’arrête dès que l’on a obtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire. On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués. On note Y la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues. On note Z la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues. Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l’événement (Y = 1) ∪ (Z = 1) est égale à 1. Pour tout entier naturel non nul i , on note : Bi l’événement « la i -ème boule tirée est blanche », Ni l’événement « la i -ème boule tirée est noire ».

Fonctions génératrices 18. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de P OISSON de paramètre λ > 0. ¡ ¢ a) Calculer E X(X − 1) . . . (X − r + 1) . b) Retrouver ce résultat par les fonctions génératrices.

c) Reprendre l’exercice lorsque X suit une loi binomiale de paramètre p ∈ [0, 1]. 19. Deux joueurs lancent deux dés équilibrés. On veut déterminer la probabilité que les sommes des deux jets soient égales. On note X 1 et X 2 les variables aléatoires déterminant les valeurs des dés lancés par le premier joueur et Y1 et Y2 celles associées au deuxième joueur. On étudie donc l’événement (X 1 + X 2 = Y1 + Y2 ).

a) (i) Montrer, pour tout entier k Ê 2, P(X = k) = q.p k−1 + p.q k−1 .

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Exercices – Probabilités 03– Variables aléatoires discrètes

(ii) Vérifier

+∞ X

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On considère l’événement A n : « à l’issue de la première pioche, les deux feuilles piochées ne sont pas agrafées » et an sa probabilité c’est-à-dire que an = P(A n ).

P(X = k) = 1

k=2

1 1 (iii) Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance et que : E(X) = + − 1. p q ¡ ¢ b) (i) Pour tout entier k Ê 2, déterminer P (X = k) ∩ (Y = 1) (On distinguera les cas k = 2 et k Ê 3).

a) Calculer an . b) Étude de T2 . On suppose dans cette question que n = 2, c’est-à-dire que la boite contient deux originaux et deux copies. (i) Montrer que pour tout entier k Ê 2 P(T2 = k) = (1 − a2 )a2k−2.

(ii) En déduire que P(Y = 1) = q(1 + p).

(iii) Déterminer la loi de la variable aléatoire Y. On admet que l’espérance de Y existe et que E(Y) =

(ii) Justifier que la variable S 2 = T2 − 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l’espérance et la variance de T2 en fonction de a2

1 (1 − p + p 2 ). q

c) Étude de T3 . On suppose dans cette question que n = 3, c’est-à-dire que la boite contient trois originaux et trois copies.

c) Donner la loi de Z et son espérance. d) Montrer que les variables aléatoires Y Z et X − 1 sont égales.

(i) Calculer P(T3 = 2) puis P(T3 = 3) en fonction de a2 et a3 .

e) Montrer que le couple (Y, Z) admet une covariance et exprimer cov(Y, Z) à l’aide de E(X), E(Y) et E(Z).

(ii) À l’aide du système complet d’événements (A 3, A 3 ), démontrer pour tout k Ê 2 que P(T3 = k + 1) = (1 − a3 )P(T2 = k) + a3 P(T3 = k)

22. Soit n un entier naturel non nul. Une entreprise dispose d’un lot du n feuilles originales qu’elle a numérotées 1, 2, · · · , n. Elle photocopie ces n feuilles originales et souhaite que chaque original soit agrafé avec sa copie. L’entreprise programme le photocopieur afin que chaque original soit agrafé avec sa copie. Cependant, suite à un défaut informatique, la photocopieuse a mélangé les originaux et les copies. L’entreprise décide donc de placer les n originaux et les n copies dans une boite. Une personne est alors chargée du travail suivant : elle pioche simultanément et au hasard 2 feuilles dans la boite. S’il s’agit d’un original et de sa copie, elle les agrafe et les sort de la boite. Sinon, elle repose les deux feuilles dans la boite et elle recommence. On modélise l’expérience par un espace probabilisé (Ω, B, P). Soit Tn la variable aléatoire égale au nombre de pioches qui sont nécessaires pour vider la boite lorsque celle-ci contient n originaux et n copies (soit 2n feuilles).

(iii) Montrer que ∀k Ê 2, (iv) Calculer

+∞ X

P(T3 = k) =

i (1 − a2 )(1 − a3 ) h k−2 a3 − a2k−2 . a3 − a2

P(T3 = k).

k=2

(v) Prouver que la variable aléatoire T3 − 1 admet une espérance et calculer E(T3 − 1). Donner la valeur de E(T3 ) en fonction de a2 et a3 . (vi) Établir que la variable aléatoire T3 (T3 −1) admet une espérance et donner sa valeur en fonction de a2 et a3 . En déduire que T3 admet une variance.

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